Este documento describe diferentes sistemas de apoyo para levantamientos topográficos, incluyendo el sistema de poligonación, el sistema de triangulación y el sistema de trilateración. Explica conceptos como poligonales cerradas, abiertas y ancladas, y detalla consideraciones para la precisión de mediciones angulares y de distancias. Además, analiza conceptos como la rigidez de figuras de triangulación y la relación entre la precisión de ángulos y distancias en trabajos topográficos.

1. CONTROL HORIZONTAL “TOPOGRAFICO”
“GEODÉSICO”
Para poder montar ésta estructura que se
llama control, en el terreno, se han ideado
diversidad de “Sistemas de Apoyo” o
métodos que se adapten al terreno y al
estado actual de la técnica instrumental.

2. SISTEMAS DE APOYO PARA LOS LEVANTAMIENTOS
TOPOGRAFICOS
I. SISTEMA DE POLIGONACION
1. Poligonales cerradas.
2. Poligonales abiertas.
3. Poligonales ancladas o conectadas o amarradas.
De acuerdo al instrumento utilizado para la medida de sus lados, estas 3 clases
de poligonales pueden ser:
a) Poligonales clásicas.- Cuando sus lados se miden con cinta de acero.
b) Poligonales a la barra.- Cuando sus lados se miden con barra invar, y un
teodolito de 1” de precisión.
c) Poligonales electrónicas.- Cuando sus lados se miden en un equipo EDM
(o sea con un instrumento para la medición electrónica de distancias).
d) Poligonales al GPS.- Cuando sus lados se calculan con las coordenadas
de sus vértices, obtenidas satelitalmente.

4. LEICA
TRIMBLE
TOPCON
SOUTH

5. Gnss
Emlid
EMLID

6. 1. POLIGONALES CERRADAS
Comprobación Angular:
Teóricamente se debe cumplir que: I=180(n-2) ó I=180(n+2)
En la práctica: I’ ≠ I; I’= Σ de <s internos medidos.
Luego el error angular Ea será: Ea= I’-I
Este error angular comparamos con el error angular tolerable (Ta):
Ta= ±a √ n
Luego: Ea≤Ta → Se acepta si el error angular es menor que la Tolerancia
angular y se compensan los ángulos. Caso contrario regresa al campo.

7. Comprobación lineal:
Teóricamente la suma Σx=0 y Σy=0 (suma de coordenadas parciales)
Pero en la práctica:
Σx≠0  Ex = Error total en abscisas.
Σy≠0  Ey = Error total en ordenadas.
ET= Error lineal total de cierre o error de posición o error absoluto.
Luego, el error ET será: ET = √(Ex2+Ey2).
Por consiguiente el error relativo, del levantamiento de la poligonal será:
ER = ET / Perímetro
Este error relativo lo comparamos con el error relativo tolerable que nos han
asignado:
Sea: ERT= Error relativo tolerable
Luego, si: ER ≤ERT  El levantamiento de la poligonal cerrada será totalmente
aceptable, o sea en ángulos y distancias.

8. TOLERANCIAS PARA LEVANTAMIENTO DE
POLIGONALES
I) Para poligonales de baja precisión:
Tolerancia Angular: Ta= ±1’ √ n
Tolerancia Lineal: ER= ±1/2500
II) Para poligonales de mediana precisión:
Tolerancia Angular: Ta= ±30” √ n
Tolerancia Lineal: ER= ±1/5000
III) Para poligonales de gran precisión:
Tolerancia Angular: Ta= ±10” √ n
Tolerancia Lineal: ER= ±1/10,000

9. NORMAS DE POLIGONALES
(Comité Federal del Control Geodésico EE.UU.)
Clasificación de las Poligonales:
CONCEPTO 1er
ORDEN 2do
ORDEN 3er
ORDEN
Clase I Clase II Clase I Clase II
El número de lados entre comproba-
ciones de Z1 no debe exceder de:
5-6 10-12 15-20 20-25 30-40
Error estandar en las mediciones de
longitud no debe exceder de:
1/600,000 1/300,000 1/120,000 1/60,000 1/30,000
Error de cierre en Z1 en puntos de
comprobación no debe exceder de:
1”/Estación
ó 2”√n
1.5”/Estación
ó 3”√n
2”/Estación
ó 6”√n
3”/Estación
ó 10”√n
8”/Estación
ó 30”√n
Después de la propagación del Z1 el
error de cierre de posición no debe
exceder de:
0.04n√n ó
1/1’000,000
0.08n√n ó
1/50,000
0.2n√n ó
1/20,000
0.4n√n ó
1/10,000
0.8n√n ó
1/5,000

10. 2. POLIGONAL ABIERTA
Destinadas a proyectos longitudinales (ferrocarriles, caminos, canales,
oleoductos, emisores de desagüe, etc.).
Estas poligonales no permiten determinar el error angular ni el error lineal.
Se puede ir verificando el error azimutal tomando el azimut verdadero del
lado inicial y cada cierto número de lados volver a medir el azimut
verdadero de otro lado.
El error azimutal o error angular (Ea) = Z’DE verdadero calculado - ZDE verdadero medido.
Este error azimutal o error angular lo comparamos con la tolerancia
angular, por ejemplo de “A” hasta “E”:
Ta= ±30”√ n; n= # de ángulos o vértices.
Nota.- El Azimut verdadero de una alineación recta se puede
obtener:
Ejecutando observaciones astronómicas de Sol o de Estrellas.
ERP-IGN
Modo
Estático
2 horas
Modo
Estático
2 horas
B
A
10-15°
Máscara
GNSS

11. SATELITE EL GIROSCOPO

13. 3. POLIGONALES ANCLADAS O CONECTADAS
Se desprenden de un punto de control geodésico y se deben cerrar también en otro
punto de control geodésico.
Se utilizan en los levantamientos de grandes extensiones y de gran importancia.
“En principio, toda poligonal de gran importancia se deben desprender de un vértice
de control geodésico y cerrarse en otro vértice o punto de control geodésico existente;
este punto de control de cierre debe ser del mismo orden o de un orden superior al
vértice de control de arranque.

14. FORMAS COMUNES DE ANCLAJE DE POLIGONALES
1) Anclaje de una poligonal a un punto y una Marca de control geodésico
en su inicio:
Marca de Azimut (M).- Es un punto debidamente materializado en el terreno,
o un rasgo bien definido, por ejemplo: una cruz de iglesia, chimeneas, arista
de un tanque elevado, etc., situado a unos 500m como mínimo del punto de
control geodésico (P).

15. 2) Anclaje de una poligonal a dos puntos geodésicos en su inicio:

16. 3) Anclaje de una poligonal a un punto en su inicio y
otro en su cierre:
Permite determinar el error angular y el error lineal de cierre, en efecto:
Error Angular (Ea) = Z’QN verdadero calculado - ZQN verdadero medido.
Error Lineal: Si X’Q e Y’Q son las coordenadas absolutas de Q obtenidas por
cálculo partiendo de las coordenadas absolutas (UTM) de P, tendremos que:
Ex= X’Q - XQ
Ey= Y’Q - YQ ; ET= (Ex2+Ey2) ; además: ER= ET/Perímetro

17. 4) Anclaje Perfecto
5 Km

18. RED DE POLIGONALES
Ex, Ex Poligonal de 1
er
orden Poligonal de 2
do
orden Poligonal de 3
er
orden
ET=(Ex
2
+Ey
2
) Ta=10”n; Ta=30”n Ta=1’n
ER= ET/Perímetro ER= 1/10,000 ER= 1/5,000 ER= 1/2,500

19. PROBLEMA
Con los siguientes datos de una poligonal anclada P,A,B,C,D,Q; determinar:
a) El azimut de los lados.
b) El error de cierre angular y compensar los ángulos (Ta= 30”n)
c) Las coordenadas de los vértices (Compensar las coordenadas, ER= 1/5,000 )
d) Dibujo de la poligonal a escala adecuada, tamaño A1, incluir la escala gráfica,
datos técnicos, leyenda, norte, membrete.
e) Determinar la distancia y el azimut de PQ.
f) Elipsoide WGS84, zona UTM 18 (plano de ubicación: Google)

21. II. SISTEMA DE TRIANGULACION
Consiste en cubrir la superficie por levantar con una malla de triángulos en la cual
después de efectuar el reconocimiento y seleccionar los vértices de apoyo, se efectúa
las siguientes medidas para realizar su levantamiento:
1. Se mide uno de los lados de los triángulos que se llama Base de la triangulación.
2. Se orienta la base preferiblemente por medio de un azimut verdadero o
astronómico, si la zona es muy extensa.
3. Se miden todos los ángulos de los triángulos, cerrando el horizonte en cada vértice.
En el gabinete se efectúan los cálculos topográficos para determinar las coordenadas
de todos los vértices
La triangulación se aplica cuando la superficie por
levantar es accidentada.
Cuando la triangulación es muy extensa, es
conveniente medir dos bases:
1) Base de partida, y
2) Base de comprobación o cierre.

22. FIGURAS FUNDAMENTALES DE UN SISTEMA DE
TRIANGULACION
1. La unidad básica es el Triángulo.
2. La cadena de triángulos: Se utiliza cuando la zona por levantar está
constituida por una faja de terreno muy accidentado.
C°Pilan
C°Botija

23. 3. Cuadrilátero con dos diagonales.

24. 4. Aplicación del Cuadrilátero con dos diagonales.

25. 5. Cadena de Cuadriláteros.

26. 6. El Polígono con Punto Interior. Para zonas muy extensas.

27. 7. La Cadena Mixta.
8. La maraña de triángulos.

28. SISTEMA DE APOYO MIXTO

30. III. SISTEMA DE TRILATERACION
Todos los lados de la triangulación se miden electrónicamente.
Orientando siempre uno de los lados de los triángulos por medio de
un azimut preferiblemente astronómico o ligado a la red nacional.
Se calculan trigonométricamente los ángulos de todos los triángulos
y luego se les compensa.
Los cálculos para la compensación de ángulos se aplica a figuras
sencillas o en aquellas en las cuales se disponen del programa de
cómputo electrónico para su compensación.

31. RIGIDEZ DE UNA FIGURA DE TRIANGULACION
• Es el efecto de la forma de los triángulos sobre la
exactitud con la que se puede calcular la longitud de
sus lados.
• Sabemos que los senos de los ángulos pequeños
varían o cambian mucho más rápidamente que los
senos de los ángulos más grandes; por lo tanto es
evidente que el error del lado calculado de un
triángulo será mayor si el lado está opuesto a un
ángulo pequeño que si está opuesto a un ángulo
grande.

32. • En todo triángulo es necesario conocer 2 de los ángulos
para poder calcular un lado desconocido, aplicando la
ley de los senos.
• Estos 2 ángulos conocidos se llaman ángulos de
distancia, y se les designa por las letras “A” y “B”.
Siendo A= Angulo opuesto al lado por calcular.
B= Angulo opuesto al lado conocido o previamente calculado.

33. • Como vemos en cada triángulo hay un ángulo
que no interviene en el cálculo de lados, a este
ángulo se le llama Angulo Azimutal y se
acostumbra designarlo por la letra “C”.
• Luego en esta triangulación pueden emplearse
ángulo pequeños pero que no correspondan a
los ángulos de distancia “A” y “B”.
• Se recomienda que en una triangulación, los
ángulos no deben ser menores de 30° ni
mayores de 120°.

34. Ejemplo de aplicación.- En los triángulos
ABC y DEF, los lados b y c tienen la misma
longitud, se desea determinar la precisión
de los lados c y f opuestos a los ángulos de
60° y 15° respectivamente, ambos ángulos
se ha medido con una precisión de 20”.

35.  En el triángulo ABC:
Cálculo del lado c: (ley de senos)
c= 500.Sen 60°00’20” = 565.2896 m
Sen 50° (-)
c= 500.Sen 60°00’00” = 565.2579 m
Sen 50°
Error absoluto (ET)= 565.2896-565.2579= 0.0317
= 0.0317  ER= 0.0317 = 1  1 .
565.2896 17865 18000

36.  En el triángulo DEF:
Cálculo del lado f: (ley de senos)
f=500.Sen 15°00’20” = 129.9508 m
Sen 95° (-)
f=500.Sen 15°00’00” = 129.9038 m
Sen 95°
Error absoluto (ET)= 129.9508-129.9038= 0.0470
 En el triángulo DEF:
Cálculo del lado f: (ley de senos)
f=500.Sen 15°00’20” = 129.9508 m
Sen 95° (-)
f=500.Sen 15°00’00” = 129.9038 m
Sen 95°
Error absoluto (ET)= 129.9508-129.9038= 0.0470
8= 0.0470  ER= 0.0470 = 1  1 .
129.9508 2764 3000

37. PRECISIONES ANGULARES Y LINEALES
En todo trabajo topográfico debe existir una
relación de equilibrio entre:
• la precisión en la medida de los ángulos y
• en la medida de las distancias.
Por ejemplo existiría una incongruencia si se
utilizara un:
• distanciómetro electrónico para medir la
distancia y un
• teodolito de un minuto de precisión para medir
los ángulos.

38. • Supongamos que se va a ubicar un punto “P”
por coordenadas polares, es decir por medio de
un ángulo Ɵ, y a una distancia L, con respecto a
la alineación fija AB.

39. Llamemos:
eƟ = error o imprecisión en la medida del ángulo Ɵ.
eL= error o imprecisión en la medida de la distancia L.
Para que haya equilibrio en la precisión de la medida del
ángulo Ɵ y la distancia L, se debe cumplir que:
PP’ = PP”; PP’= desplazamiento transversal debido al
  Error Angular eƟ.
L.eƟ = eL
 eƟ = eL = ER = Error relativo en la medida de la distancia L
L

40. Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1.- Un punto P se va a ubicar en el terreno por coordenadas
polares.
Dicho punto se ubicará con respecto a la recta fija AB y a una distancia
de 300 m del punto A.
• Se utilizará un teodolito cuya precisión es de 30” y
• Un distanciómetro electrónico cuya precisión de (5mm+5ppm),
donde 5ppm es 5 partes por millón de la distancia medida.
Deducir si habrá equilibrio o congruencia en la precisión en la medida
del ángulo y en la medida de la distancia.

41. a) Cálculo del desplazamiento transversal que se
originará debido al error de 30” en la medida del
ángulo Ɵ.
1”---------0.0000048rad S = R  R = 2.S = .S; Si S=1”
30”--------- x 360 2 360 180
R = x1” = 0.0000048
648,000”
ad S = R  R = 2.S = .S; Si S=1”; 180°x3600”= 648,000”
360 2 360 180
R = x1” = 0.000004848136811 radianes
648,000”
Desplazamiento transversal que se originará:
L.e = 300x30”x0.0000048 = 0.042 m
Solución 1
Desplazamiento transversal que se originará si error es 5”:
L.e = 300x5”x0.0000048 = 0.0072 m  Hay congruencia

42. b) Cálculo del error en la medida de la distancia: L= 300 m
Luego, no habrá congruencia en la precisión en la
medida del ángulo y la distancia
Solución

43. Ejemplo 2.- La imprecisión al medir un ángulo de 5”.
Calcular la correspondiente imprecisión máxima relativa en
una distancia medida si se desea que haya un equilibrio en los
errores angulares y lineales.
Solución 2
Para que haya equilibrio de precisiones angulares y
lineales, debe cumplirse que:

44. Ejemplo 3.- La exactitud relativa especificada en la
medida de una distancia es de 1/41253.
• Calcular la imprecisión máxima que se debe tolerar
al medir un ángulo para que exista congruencia en la
calidad de las medidas angulares y lineales.
Solución 3

45. a) PARA POLÍGONOS BÁSICOS O TOPOGRÁFICOS DE 1ER ORDEN:
Existen fundamentalmente 2 criterios:
1) El criterio del Error Relativo (ER):
E R= ET
Perímetro
2) El criterio del Error de precisión en el plano (ET).- Este
criterio consiste en
considerar que el error de
posición máximo permisible
en el plano es de:
1/2mm=0.05cm=0.5mm.
CRITERIOS PARA CALCULAR LA EXACTITUD DEL
CONTROL HORIZONTAL TOPOGRAFICO

46. Por lo tanto, de acuerdo a este error de
precisión máxima permisible en el plano y
considerando la escala de dicho plano, se
puede deducir el Error absoluto máximo
permisible en una poligonal topográfica
básica de 1er orden.
Ejemplo.- Supongamos que la escala del
plano será de 1/1000.
Deducir el máximo absoluto permisible de la
poligonal topográfica básica de 1er orden.

47. Solución:
dibujo terreno
1/1000  1cm ----------10m
0.05cm----------- x x=0.05x10=0.5m
1
O sea que: ET=0.5m  Es el Error absoluto máximo
tolerable para la poligonal que será dibujada a la
escala 1/1000.
Si la poligonal tiene 5 km de perímetro, el error relativo
o proporcional o coeficiente de exactitud será:
E R= ET . = 0.5m = 1 .
Perímetro 5000m 10000

48. Si fuera: dibujo terreno
1/5000  1cm ----------50m
0.05cm----------- x
x=0.05x50=2.5m  ET=2.5m
1
Perímetro= 5 km = 5000m
E R= ET . = 2.5m = 1 .
Perímetro 5000m 2000

49. b) PARA CALCULAR LA EXACTITUD EN
POLIGONALES SUPLEMENTARIAS TOPOGRÁFICAS.
El criterio de error de posición en el terreno
es de empleo más frecuente que el de
coeficiente de exactitud.
Ejemplo.- Se va a enlazar la poligonal del trazo
de un ferrocarril cuyo perímetro es de 500m con los
puntos de un control básico.
• Supongamos que asignamos un error absoluto
ET=0.20m

50. El error relativo correspondiente sería:
E R= ET . = 0.20m = 1 .
Perímetro 500m 2500

51. CONVERGENCIA DE MERIADIANOS