Este documento presenta los pasos para calcular la matriz asociada a una aplicación lineal. Primero, se encuentran las imágenes de los vectores de la base del dominio. Luego, se expresan como combinaciones lineales de la base del codominio. Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para obtener la matriz asociada.

1. ALGEBRA LINEAL
GRUPO 3
INTEGRANTES:
- Jonathan López
- Daniel Villavicencio
- Alisson Alava
- Alejandro Guerrero

2. •
APLICACIÓN LINEAL INVERSA
Para que exista la aplicación lineal
inversa 𝑓−1
, entonces, la aplicación lineal
f debe ser biyectiva, es decir; f debe ser
inyectiva y sobreyectiva.
f(u)=w
x
u
𝑓: 𝑉 → 𝑊
𝑓−1: 𝑊 → 𝑉
𝑉 𝑊𝑓
𝑓−1

3. 2
Pasos para encontrar una aplicación lineal inversa
1. Demostrar si es inyectiva y sobreyectiva, para
esto calculamos el núcleo o la imagen de la
aplicación lineal.
2. Demostrar que es biyectiva.
3. Escalonamos la matriz utilizada para
encontrar la imagen. Los valores obtenidos,
los reemplazamos en la aplicación lineal
inversa.
f(a,b)=x+yt(a,b)
𝑉 𝑊
𝑓
𝑓−1

4. 1. Demostramos si es inyectiva y sobreyectiva,
para esto calculamos el núcleo o la imagen de
la aplicación lineal.
𝑓: ℝ2 → 𝑃1(𝑡)
𝑎, 𝑏 → 𝑓 𝑎, 𝑏 = 2𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑡
𝑁𝑓 = 𝑎, 𝑏 /2𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑡 = 0 + 0𝑡
2𝑎 = 0
𝑎 + 𝑏 = 0
𝑁𝑓 = (0,0)
dim(𝑁𝑓) = 0
𝑁𝑓 = {(𝑎, 𝑏 ) 𝑓(𝑎, 𝑏) = 0 + 0𝑡
𝑎 = 0
𝑏 = 0
f(a,b)=p+q
t
(a,b)
ℝ2
𝑃1(𝑡)
𝑓
𝑓−1
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

5. 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑝 + 𝑞𝑡 /(𝑓 𝑎, 𝑏 = (𝑝 + 𝑞𝑡)
𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑝 + 𝑞𝑡 / 2𝑎 + 𝑏 + 𝑎 𝑡 = 𝑝 + 𝑞𝑡
2𝑎 = 𝑝
𝑎 + 𝑏 = 𝑞
f(a,b)=p+qt(a,b)
ℝ2
𝑃1(𝑡)
𝑓
𝑓−1
2 0
1 1
𝑝
𝑞 ≈
1 0
1 1
𝑝/2
𝑞
≈
1 0
0 1
𝑝/2
𝑞 − 𝑝/2
𝑓1 ← 𝑓11/2 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓1
𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑝 + 𝑞𝑡 /𝑝, 𝑞 ∈ ℝ
dim(𝐼𝑚𝑔𝑓) = 2 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑃1(𝑡)

6. Otra forma:
Teorema de la dimensión
𝐷𝑖𝑚(ℝ2) = 𝐷𝑖𝑚(𝑁𝑓) + 𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚𝑔𝑓)
f(a,b)=p+qt(a,b)
ℝ2
𝑃1(𝑡)
𝑓
𝑓−1
2= 0 + 𝐷𝑖𝑚(𝐼𝑚𝑔𝑓)
𝐷𝑖𝑚 𝐼𝑚𝑔𝑓 = 2 = 𝐷𝑖𝑚(𝑃1 𝑡 )
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

7. 2.-Demostramos que es biyectiva
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑁𝑓 = (0,0)
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐼𝑚𝑔𝑓 = 𝑃1(𝑡)

8. 3.- A la matriz utilizada para encontrar la imagen, la escalonamos y
reducimos con estos valores obtenidos remplazamos en la
aplicación lineal inversa.
𝑓−1: 𝑊 → 𝑉
𝑓−1
: 𝑃1(𝑡) → ℝ2
𝑝 + 𝑞𝑡 → 𝑓 𝑝 + 𝑞𝑡 =
𝑝
2
, 𝑞 −
𝑝
2
2 0
1 1
𝑝
𝑞 ≈
1 0
1 1
𝑝/2
𝑞
≈
1 0
0 1
𝑝/2
𝑞 − 𝑝/2
𝑓1 ← 𝑓11/2 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓1
f(a,b)=p+qt(a,b)
ℝ2
𝑃1(𝑡)
𝑓
𝑓−1

9. Sea (V, K, +, ) un espacio vectorial
de dimensión finita con base 𝐵 =
𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 , para cada v ∈ V
existen escalares únicos
𝛼1, 𝛼2, . . . , 𝛼 𝑛tales que:
v = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛

10.  El vector en V cuyas componentes son los coeficientes
de v, expresado como v 𝐵, se llaman coordenadas de
un vector respecto a una base o vector coordenado de
v con respecto a B.
 Sea 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 llegamos a encontrar las
coordenadas del vector v de la base dada y se escribe
de la siguiente forma:
v 𝐵 =
𝛼1
𝛼2
.
..
𝛼 𝑛

11.  Sea la base 𝑩 = 𝟏, 𝟏, 𝟎 , 𝟏, 𝟎, 𝟏 , 𝟎, 𝟏, 𝟏 y 𝒗 = −𝟐, 𝟒, 𝟐 ,
encontrar 𝑣 𝐵 =?
1.- Hacemos la combinación lineal:
−2,4,2 = 𝛼1 1,1,0 + 𝛼2 1,0,1 + 𝛼3 0,1,1
2.- Obtenemos nuestra matriz ampliada con un sistema de
ecuaciones, y realizamos operaciones elementales
1 1 0
1 0 1
0 1 1
−2
4
2
~
𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓1
1 1 0
0 −1 1
0 1 1
−2
6
2
~
𝑓3 ↔ 𝑓2
1 1 0
0 1 1
0 −1 1
−2
2
6

~
𝑓3 ← 𝑓3 + 𝑓2
𝑓1 ← 𝑓1 − 𝑓2
1 0 −1
0 1 1
0 0 2
−4
2
8
7

12. ~
𝑓3 ← 𝑓3(
1
2
)
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
−4
2
4
~
𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓3
𝑓1 ← 𝑓1 + 𝑓3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
−2
4
3.- Obtenemos los escalares
∴
𝛼1 = 0
𝛼2 = −2
𝛼1 = 4
𝑣 𝐵 =
0
−2
4

14.  A toda aplicación lineal f: V → W de
espacios vectoriales de dimensión finita n y
m respectivamente, se le puede asociar una
matriz A ∈ Mmxn , tal que:
F (x)= AX , donde X=
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥n
 Recíprocamente a toda matriz A se le puede
asociar con una aplicación lineal f: V → W.

15. 𝑨 = 𝒇 B2
B1
𝒗 𝑩1
𝒇 𝒗 𝑩2
𝑣 f(𝑣)= w
𝑉 W
𝑩2𝑩1
f

16. DEFINICIÓN
Si la base es canónica:
𝒇 𝒗 𝑩2
= 𝑨 × 𝒗 𝑩1
𝒇 𝒗 𝐶 = 𝑨 × 𝒗 𝑪
𝒇 𝒗 𝑩2
= 𝒇 𝑩2
𝑩1× 𝒗 𝑩1
𝒇 𝒗 C2
= 𝒇 C2
C1 × 𝒗 C1
𝒇 𝒗 𝐶 = 𝑨 × 𝒗

17. PROCESO PARA EL CÁLCULO DE UNA MATRIZ
ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
• Donde B1 es una base del espacio vectorial
de salida, y u1 es el primer vector de la base
del espacio vectorial de salida.
• Donde B2 es una base del espacio vectorial
de llegada, y w1 es el primer vector de la base
del espacio vectorial de llegada.
Sea:
𝐵1 = u1,u2, …
un 𝐵2 = w1,w2, …
wm

18. DATOS:
La aplicación lineal, las bases 𝐵1 Y 𝐵2 ; siendo 𝐵1 la
base del espacio vectorial de salida y 𝐵2 la base
del espacio vectorial de llegada.
1. Hallar las imágenes de los vectores de 𝐵1:
𝑎, 𝑏, 𝑐 → f 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑏 + 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑡 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 𝑡2
𝐵1 = 1,1,0 , 1,0,1 , 0,1,1
𝐵2 = 1 − 𝑡, 𝑡, 𝑡 − 𝑡2
S 𝑒𝑎 𝑓: R3 → P2 (t)

19. 2. Con las imágenes obtenidas en el paso 1, se
expresa como combinación lineal con los vectores
B2.
f 1, 1, 0 = 1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2
f 1, 0, 1 = 0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2
1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾 1 − 𝑡 + 𝛽𝑡 + 𝛿 𝑡 − 𝑡2
f 0, 1, 1 = 1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2
0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾′ 1 − 𝑡 + 𝛽′𝑡 + 𝛿′ 𝑡 − 𝑡2
1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 = 𝛾′′ 1 − 𝑡 + 𝛽′′𝑡 + 𝛿′′ 𝑡 − 𝑡2

20. 3. Obtenemos un sistema de ecuaciones de
cada una de las combinaciones lineales
anteriores
Para:
1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾 1 − 𝑡 + 𝛽𝑡 + 𝛿 𝑡 − 𝑡2
1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾 + −𝛾 + 𝛽 + 𝛿 𝑡 − 𝛿 𝑡2
1 = 𝛾
0 = −𝛾 + 𝛽 + 𝛿
0 = −𝛿
1
−1
0
1
0 0
0 1
1 0
−1 0

21. Para:
1
−1
0
1
0 0
0 0
1 2
−1 0
0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾′ 1 − 𝑡 + 𝛽′𝑡 + 𝛿′ 𝑡 − 𝑡2
0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾′ + −𝛾′ + 𝛽′ + 𝛿′ 𝑡 − 𝛿′ 𝑡2
0 = 𝛾′
2 = −𝛾′ + 𝛽′ + 𝛿′
0 = 𝛿′

22. Para:
1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 = 𝛾" 1 − 𝑡 + 𝛽"𝑡 + 𝛿" 𝑡 − 𝑡2
1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 = 𝛾" + −𝛾" + 𝛽" + 𝛿" 𝑡 + 𝛽"𝑡 − 𝛿 𝑡2
1 = 𝛾"
0 = −𝛾" + 𝛽" + 𝛿"
−2 = −𝛿"
1
−1
0
1
0 0
0 1
1 0
−1 −2

23. 3. Unir las 3 matrices ya que solo cambia el termino
independiente.
4. Resolver el sistema usando el método de Gauss Jordan.
Matriz asociada a la
aplicación lineal
1
−1
0
1
0 0
0 1
1 0
−1 0
0 1
2 0
0 −2
𝐹2 = 𝐹2 + 𝐹3
1
0
0
1
0 0
0 1
1 1
−1 0
0 1
2 1
0 −2
𝐹2 = 𝐹2 + 𝐹1
1
0
0
1
0 0
0 1
0 1
1 0
0 1
2 −1
0 0

24. La Matriz asociada a la aplicación lineal es:
∴
𝒇 𝑩2
𝑩1 =
1
1
0
0 1
2 −1
0 0