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- 1. 381 Apéndice A Desplazamientos de miembros prismáticos La tabla siguiente proporciona los desplazamientos en vigas de rigidez constante a la flexión 𝐸𝐼 y rigidez constante a la torsión 𝐺𝐽, sometidas a la carga que se muestra sobre cada viga. Las direcciones positivas de los desplazamientos son: hacia abajo para la traslación y en el sentido horario para la rotación. Se desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas normales y cortantes Viga Desplazamiento q por unidad de longitud 𝑓1 = 5 384 𝑞𝑙4 𝐸𝐼 𝑓2 = 𝑓3 = 19 2048 𝑞𝑙4 𝐸𝐼 𝑓 4 = −𝑓5 = 𝑞𝑙3 24𝐸𝐼 𝑓6 = 𝑞𝑥 24𝐸𝐼 (𝑙3 − 2𝑙𝑥2 + 𝑥3) 𝑓1 = 𝑃(𝑙−𝑏)𝑥 6𝑙𝐸𝐼 (2𝑙𝑏 − 𝑏2 − 𝑥2) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≤ 𝑏 𝑓1 = 𝑃𝑏(𝑙−𝑥) 6𝑙𝐸𝐼 (2𝑙𝑥 − 𝑏2 − 𝑥2) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≥ 𝑏 𝑓2 = 𝑃𝑏(𝑙 − 𝑏) 6𝑙𝐸𝐼 (2𝑙 − 𝑏) 𝑓3 = 𝑃𝑏 6𝑙𝐸𝐼 (𝑙2 − 𝑏2) Cuando 𝑏 = 𝑙 2 , 𝑓2 = −𝑓3 = 𝑃𝑙2 16𝐸𝐼 , 𝑦 𝑓1 = 𝑃𝑙3 48𝐸𝐼 en 𝑥 = 𝑙 2
- 2. 382 Viga Desplazamiento 𝑓1 = 𝑀𝑙 3𝐸𝐼 𝑓2 = − 𝑀𝑙 6𝐸𝐼 𝑓3 = − 15𝑀𝑙2 384𝐸𝐼 𝑓 4 = − 𝑀𝑙2 16𝐸𝐼 𝑓5 = − 21𝑀𝑙2 384𝐸𝐼 𝑓1 = 𝑀𝑙 4𝐸𝐼 𝑓2 = − 9𝑀𝑙2 256𝐸𝐼 𝑓3 = − 𝑀𝑙2 32𝐸𝐼 𝑓 4 = − 3𝑀𝑙2 256𝐸𝐼 𝑓1 = 𝑇𝑙 𝐺𝐽 (Se desprecia el efecto de la combadura) 𝑓1 = 𝑃𝑙3 3𝐸𝐼 𝑓2 = 𝑃𝑙2 2𝐸𝐼 𝑓 4 = 𝑓1 + 𝑑𝑓2 𝑓3 = 𝑃𝑙3 3𝐸𝐼 (1 − 3𝑏 2𝑙 + 𝑏3 2𝑙3 ) Para 0 ≤ 𝑏 ≤ 𝑙
- 3. 383 Viga Desplazamiento 𝑓1 = 𝑞𝑙4 192𝐸𝐼 𝑓2 = − 𝑞𝑙3 48𝐸𝐼 𝑓1 = 7𝑃𝑙3 768𝐸𝐼 𝑓2 = − 𝑃𝑙2 32𝐸𝐼 𝑓1 = 𝑞𝑙4 8𝐸𝐼 𝑓2 = 𝑞𝑙3 6𝐸𝐼 (3𝜉 − 3𝜉2 + 𝜉3) 𝑓3 = 𝑞𝑙4 24𝐸𝐼 (6𝜉2 − 4𝜉3 + 𝜉4) 𝑓1 = 𝑀𝑙2 2𝐸𝐼 𝛽(1 − 0.5𝛽) 𝑓2 = { 𝑀𝑙𝜉 𝐸𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜉 ≤ 𝛽 𝑀𝑙𝛽 𝐸𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛽 ≤ 𝜉 ≤ 1 𝑓3 = { 𝑀𝜉𝑙2 2𝐸𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜉 ≤ 𝛽 𝑀𝑙2 𝛽(𝜉 − 0.5𝛽) 𝐸𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛽 ≤ 𝜉 ≤ 1
- 4. 384 𝑓1 = 𝑞𝑙2 24𝐸𝐼 𝛽2 𝜉(2 − 𝛽2 − 2𝜉2) 𝑓2 = 𝑞𝑙4 𝛽3 384𝐸𝐼 (32 − 39𝛽 + 12𝛽2) 𝑓3 = 𝑞𝑙3 24𝐸𝐼 𝛽2(2 − 𝛽2) 𝑓 4 = 𝑞𝑙3 24𝐸𝐼 𝛽2(4 − 4𝛽 + 𝛽2) 𝑓1 = −𝑓2 = − 𝑀𝑙 2𝐸𝐼 𝑓3 = − 𝑀𝑥(𝑙 − 𝑥) 2𝐸𝐼 𝑓 4 = − 𝑀𝑙2 8𝐸𝐼 𝑓1 = 𝛹𝑙2 8 𝑓2 = − 𝛹𝑥(𝑙 − 𝑥) 2 𝑓3 = −𝑓 4 = 𝛹𝑙 2
- 5. 385 Apéndice B Fuerzas de extremo empotrado de miembros prismáticos La tabla siguiente da las fuerzas de extremo empotrado en vigas de rigidez constante a la flexión y rigidez constante a la torsión debidas a cargas aplicadas. Las fuerzas se consideran positivas si son hacia arriba o en dirección horaria. Un par de torsión es positivo si actúa en la dirección de rotación de un tornillo de rosca derecha que avanza hacia la derecha. Cuando las fuerzas en los extremos se usan en el método de desplazamiento, los signos apropiados se deben asignar de acuerdo con el sistema de coordenadas seleccionado. Viga Fuerza de extremo empotrado 𝐹1 = −𝐹2 = 𝑃𝑙 8 𝐹3 = 𝐹4 = 𝑃 2 𝐹1 = 𝑃𝑎2 𝑏 𝑙2 𝐹2 = − 𝑃𝑎𝑏2 𝑙2 𝐹3 = 𝑃 ( 𝑎 𝑙 + 𝑎2 𝑏 𝑙3 − 𝑎𝑏2 𝑙3 ) 𝐹4 = 𝑃 ( 𝑏 𝑙 − 𝑎2 𝑏 𝑙3 + 𝑎𝑏2 𝑙3 )
- 6. 386 Viga Fuerza de extremo empotrado 𝐹1 = −𝐹2 = 𝑞𝑙2 12 𝐹3 = 𝐹4 = 𝑞𝑙 2 𝐹1 = 𝑞𝑐 12𝑙2 [12𝑎2 𝑏 + 𝑐2(𝑙 − 3𝑎)] 𝐹2 = − 𝑞𝑐 12𝑙2 [12𝑎𝑏2 + 𝑐2(𝑙 − 3𝑏)] 𝐹3 = 𝑞𝑐𝑎 𝑙 + (𝐹1 + 𝐹2) 𝑙 𝐹4 = 𝑞𝑐𝑏 𝑙 − (𝐹1 + 𝐹2) 𝑙 𝐹1 = 𝑀𝑎 𝑙 (2 − 3𝑎 𝑙 ) 𝐹2 = 𝑀𝑏 𝑙 (2 − 3𝑏 𝑙 ) 𝐹3 = −𝐹4 = 6𝑀𝑎𝑏 𝑙3 𝐹1 = 𝑞𝑙2 20 𝐹2 = − 𝑞𝑙2 30 𝐹3 = 7 20 𝑞𝑙 𝐹4 = 3 20 𝑞𝑙 q por unidad de longitud q por unidad de longitud q por unidad de longitud
- 7. 387 Viga Fuerzas de extremo empotrado 𝐹1 = −𝐹2 = 𝑞𝑙2 96 𝐹3 = 𝐹4 = 𝑞𝑙 4 𝐹1 = −𝐹2 = 𝑞𝑙2 15 𝐹3 = 𝐹4 = 𝑞𝑙 3 𝐹1 = −𝐹2 = 𝑞𝑙2 12 𝐹3 = 𝐹4 = 𝑞𝑙 2 𝐹1 = −𝐹2 = 𝐸𝐼𝛼 ℎ (𝑡2 − 𝑡1) 𝐹3 = −𝐹4 = 𝐸𝐴𝛼𝑡𝑐𝑔 𝑡𝑐𝑔 es la variación de temperatura en el las fibras del centroide de la sección 𝛼: coeficiente de expansión térmica 𝐹1 = − 𝑇𝑎 𝑙 𝐹2 = − 𝑇𝑏 𝑙 𝐹1 𝐹4 𝐹3 𝑡2 𝑡1 ℎ 𝐹2 q por unidad de longitud q por unidad de longitud Carga total =𝑞𝑙
- 8. 388 Si el apoyo empotrado en cualquiera de los casos anteriores, excepto el último, se cambia por un apoyo articulado o rodillo, los momentos finales fijos en el otro extremo se pueden calcular usando las ecuaciones de este apéndice y la ecuación 5.10. Algunos casos son muestran a continuación: 𝐹1 = 𝑃𝑎𝑏 𝑙2 (𝑎 + 𝑏 2 ) 𝐹2 = 𝑃 [ 𝑏 𝑙 − 𝑎𝑏 𝑙3 (𝑎 + 𝑏 2 )] 𝐹3 = 𝑃 [ 𝑎 𝑙 + 𝑎𝑏 𝑙3 (𝑎 + 𝑏 2 )] 𝐹1 = 𝑞𝑙2 8 𝐹2 = 3𝑞𝑙 8 𝐹3 = 5𝑞𝑙 8 𝐹1 = 𝑞𝑙2 15 𝐹2 = 𝑞𝑙 10 𝐹3 = 2𝑞𝑙 5 𝐹1 = 3𝐸𝐼𝛼 2ℎ (𝑡𝑖𝑛𝑓 − 𝑡𝑠𝑢𝑝) 𝐹2 = −𝐹3 = −3𝐸𝐼 2ℎ𝑙 𝛼(𝑡𝑖𝑛𝑓 − 𝑡𝑠𝑢𝑝) 𝛼: coeficiente de expansión térmica Aumento de temperatura Tinf Tsup q por unidad de longitud q por unidad de longitud
- 9. 389 Apéndice C Fuerzas de extremo originadas por un desplazamiento unitario en el extremo de un miembro prismático En la tabla que sigue las fuerzas en los extremos de los miembros debidas a una traslación o una rotación unitaria de un extremo. Las direcciones positivas para las fuerzas son hacia arriba y en el sentido horario. Se desprecian las deformaciones producidas por las fuerzas axiales y cortantes. La rigidez a la flexión EI y a la torsión GJ son constantes. Viga Fuerza 𝐹1 = 𝐹2 = 6𝐸𝐼 𝑙2 𝐹3 = −𝐹4 = 12𝐸𝐼 𝑙3 𝐹1 = 4𝐸𝐼 𝑙 𝐹2 = 2𝐸𝐼 𝑙 𝐹3 = −𝐹4 = 6𝐸𝐼 𝑙2 𝐹1 = 3𝐸𝐼 𝑙2 𝐹2 = −𝐹3 = 3𝐸𝐼 𝑙3
- 10. 390 Viga Fuerza 𝐹1 = 3𝐸𝐼 𝑙 𝐹2 = −𝐹3 = 3𝐸𝐼 𝑙2 𝐹1 = −𝐹2 = 2𝐸𝐼 𝑙 𝐹1 = 𝐹2 = 6𝐸𝐼 𝑙 𝐹4 = −𝐹3 = 12𝐸𝐼 𝑙2 𝐹1 = −𝐹2 = 𝐺𝐽 𝑙 Se desprecia el efecto de la combadura Ángulo de torsión
- 11. 391 Apéndice D Áreas y centroides de figuras geométricas Figura Área Centroide 𝑎 × 𝑙 𝑥̅ = 𝑙 2 𝑦 ̅ = 𝑎 2 (𝑎1 + 𝑎2) 2 × 𝑙 𝑥̅ = 𝑙 3 (𝑎1 + 2𝑎2) (𝑎1 + 𝑎2) 𝑦 ̅ = (𝑎1 2 + 𝑎1𝑎2 + 𝑎2 2) 3(𝑎1 + 𝑎2) 𝑎 × 𝑙 2 𝑥̅ = 𝑙 3 (𝛼𝑙 + 𝑙) 𝑦 ̅ = 𝑎 3 Parábola de 2º grado 2 3 𝑎 × 𝑙 𝑥̅ = 𝑙 2 𝑦 ̅ = 2 5 𝑎
- 12. 392 Figura Área Centroide Parábola de 2º grado 1 3 𝑎 × 𝑙 𝑥̅ = 3 4 𝑙 𝑦 ̅ = 3 10 𝑎 Parábola de 2º grado 2 3 𝑎 × 𝑙 𝑥̅ = 5 8 𝑙 𝑦 ̅ = 2 5 𝑎 Parábola de 3º grado 1 4 𝑎 × 𝑙 𝑥̅ = 4 5 𝑙 𝑦 ̅ = 2 7 𝑎
- 13. 393 Apéndice E Constante de torsión Si un elemento circular de sección constante y longitud 𝑙se somete a un momento de torsión constante 𝑇, el ángulo de torsión entre los dos extremos del elemento es 𝜑 = 𝑇𝑙 𝐺𝐽 (E-1) Donde 𝐺 es el módulo de rigidez y 𝐽 el momento polar de inercia Cuando la sección transversal del elemento no es circular, no se verifica la hipótesis de las secciones planas y ocurrirá combadura producida por desplazamientos longitudinales de puntos en la sección transversal. No obstante la ecuación E-1 se puede usar con buena exactitud para secciones transversale no circulares, pero 𝐽 se debe tomar como la constante de torsión apropiada. A continuación se enumeran las constantes de torsión para varias formas de sección transversal. Sección Constante de torsión J 𝐽 = 𝜋𝑟4 2 𝐽 = 0.1406𝑏4
- 14. 394 Sección Constante de torsión 𝐽 = 𝜋(𝑟2 4 − 𝑟1 4) 2 𝐽 = 𝑐𝑏3 [ 1 3 − 0.21 𝑏 𝑐 (1 − 𝑏4 12𝑐4 )] 𝐽 = 𝑏4 √3 80 Sección cerrada 𝐽 = 4𝑎2 ∫ 𝑑𝑠 𝑙 Donde 𝑎 es el área encerrada por una línea que atraviesa el centro del espesor y la integral se extiende sobre la circunferencia 𝐽 = 2𝑡1𝑡2(𝑏1 − 𝑡2)2 (𝑏2 − 𝑡1)2 𝑏1𝑡2 + 𝑏2𝑡1 − 𝑡2 2 − 𝑡1 2
- 15. 395 Sección Constante de torsión 𝐽 = 𝑏1𝑡1 3 + 𝑏2𝑡2 3 +𝑏3𝑡3 3 3 𝐽 = 𝑏1𝑡1 3 + 𝑏2𝑡2 3 3 Sección abierta compuesta por rectángulos 𝐽 = 1 3 ∑ 𝑏1𝑡𝑖 3
- 16. 396 Apéndice F Evaluación de integrales para el cálculo del desplazamiento por el método de las fuerzas virtuales El desplazamiento 𝐷𝑗 en cualquier punto y en cualquier dirección sometida a un sistema de fuerzas {𝐹} de una estructura se calcula con el método del trabajo virtual usando la siguiente ecuación. 𝐷𝑗 = ∫ 𝑛𝑗𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑠 + ∫ 𝑚𝑗𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑠 + ∫ 𝑣𝑗𝑉 𝐺𝐴𝑟 𝑑𝑠 + ∫ 𝑡𝑗𝑇 𝐸𝐼 𝑑𝑠 (F-2) donde: 𝑁. 𝑀, 𝑉 y 𝑇 son las fuerzas internas en cualquier sección debidas al sistema de fuerzas {𝐹} y 𝑛𝑗, 𝑚𝑗, 𝑣𝑗 y 𝑡𝑗 Son las fuerzas internas en cualquier sección debidas a una fuerza virtual unitaria 𝛿𝑄 = 1 La dificultad en la determinación de los desplazamientos consiste en la necesidad de determinar las funciones analíticas de las fuerzas internas debidas a la carga real y a la carga unitaria. Consideraremos aquí como se puede simplificar la operación de integración. Esta simplificación tiene su fundamento teórico en el hecho de que los diagramas de las fuerzas internas correspondientes las fuerzas virtuales en tramos rectos resultan ser lineales. Supongamos que en el tramo de longitud l se necesita calcular la integral del producto de dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑙 0 (F-3) con la condición de que, por lo menos, una de las funciones sea lineal. Si 𝑔(𝑥) es la función lineal
- 17. 397 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 y la ecuación (F-2) puede escribirse como 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥). (𝑚𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 𝑙 0 = 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑙 0 + 𝑚 ∫ 𝑥𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 La primera de estas integrales representa el área limitada por la curva 𝑓(𝑥) (figura F-1), es decir, el área bajo la curva de 𝑓(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑙 0 = 𝐴𝑓(𝑥) Figura F-1 La segunda integral representa el primer momento de esta área respecto al eje 𝑦1, es decir, ∫ 𝑥. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 = 𝐴𝑓(𝑥)𝑥̅ Siendo 𝑥̅ la coordenada del centroide de 𝐴𝑓(𝑥) . Así pues obtenemos 𝐼 = 𝑏𝐴𝑓(𝑥) + 𝑚𝐴𝑓(𝑥)𝑥̅ = 𝐴𝑓(𝑥)(𝑏 + 𝑚𝑥̅) 𝐶. 𝐺 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥̅ 𝑏 + 𝑚𝑥̅ 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑙 O O
- 18. 398 pero, 𝑏 + 𝑚𝑥̅ = 𝑔(𝑥̅) Representa el valor de la función lineal para una abscisa correspondiente al centroide del área 𝐴𝑓(𝑥). por lo tanto 𝐼 = 𝐴𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥̅) (F-3) La integral es igual al producto del área del diagrama de 𝑓(𝑥) por la ordenada del de la función lineal 𝑔(𝑥) bajo el centroide del primer diagrama. Si ambos diagramas, los de 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥), son lineales, entonces, el producto es conmutativo, es decir, el resultado no se altera, si se multiplica el área del primer diagrama por la ordenada del segundo o el área del segundo por la ordenada del primero. En todos los términos de las ecuaciones del trabajo virtual figura el producto de dos funciones. Por lo tanto, se puede aplicar el método de multiplicación de diagramas: ∫ 𝑛 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑙 = 𝑙 0 𝐴𝑁𝑛 ̅ ∫ 𝑚 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑙 = 𝑙 0 𝐴𝑀𝑚 ̅ ∫ 𝑣 𝑉 𝐺𝐴𝑟 𝑑𝑙 = 𝑙 0 𝐴𝑉𝑣̅ ∫ 𝑡 𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑙 = 𝑙 0 𝐴𝑇𝑡̅ donde 𝐴𝑁, 𝐴𝑀, 𝐴𝑉, y 𝐴𝑇son las áreas de los diagramas 𝑁 𝐸𝐴 , 𝑀 𝐸𝐼 , 𝑉 𝐺𝐴𝑟 , y 𝑇 𝐺𝐽 respectivamente, y 𝑛 ̅, 𝑚 ̅, 𝑣̅, y 𝑡̅ son, respectivamente, los valores de 𝑛, 𝑚, 𝑣 𝑦 𝑡 en el centroide de cada una de las áreas 𝐴 consideradas arriba. El signo positivo del producto se obtiene cuando el diagramas de N, M,V y T son del mismo signo que las ordenadas 𝑛 ̅, 𝑚 ̅, 𝑣̅, y 𝑡̅, es decir cuando ellos están colocados en el mismo lado del miembro
- 19. 399 En casi todos los casos los diagramas de 𝑛, 𝑚, 𝑣 𝑦 𝑡 son lineales o se pueden dividir en partes de tal forma que la ordenada sea una línea recta, en esta condiciones el método de multiplicación de diagramas es eficaz. No obstante, en estructuras con miembros curvos, los diagramas no son rectos, pero una barra curva se puede aproximar con varias partes rectas sobre las cuales se puede considerar recto el diagrama de las fuerzas internas debido a la carga virtual. Evaluemos la Integral ∫ 𝑚𝑗 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑙 𝑙 0 en un miembro de longitud 𝑙 con rigidez 𝐸𝐼 constante en donde ambos diagramas sean lineales (véase la figura F-2). Usando la ecuación (F-3) deducimos una fórmula para multiplicar diagramas lineales. Figura F-2 𝐴𝑀𝑚 ̅ = 𝑀1𝑙 2𝐸𝐼 ( 2 3 𝑚1 + 1 3 𝑚2) + 𝑀2𝑙 2𝐸𝐼 ( 1 3 𝑚1 + 2 3 𝑚2) 𝐴𝑀𝑚 ̅ = 𝑙 6𝐸𝐼 [𝑀1𝑚2 + 2(𝑀1𝑚1 + 𝑀2𝑚2) + 𝑀2𝑚1] (F-4) Similarmente se puede deducir una fórmula para el caso en que el diagrama de 𝑀 (figura F-3a) represente una parábola de segundo grado, este se puede dibujar por partes (figura F-3b) y multiplicarlo por del diagrama de 𝑚, así se tiene 𝐴𝑀𝑚 ̅ = 𝑀1𝑙 2𝐸𝐼 ( 2 3 𝑚1 + 1 3 𝑚3) + 𝑀3𝑙 2𝐸𝐼 ( 1 3 𝑚1 + 2 3 𝑚3) + 2𝑙 3𝐸𝐼 (𝑀2 − 𝑀1 + 𝑀3 2 ) 𝑚2 = 𝑙 6𝐸𝐼 [2𝑀1𝑚1 + 𝑀1𝑚3 + 𝑀3𝑚1 + 2𝑀3𝑚3 + 4𝑀2𝑚2 − 2(𝑀1 + 𝑀3)𝑚2] = 𝑙 6𝐸𝐼 [2𝑀1𝑚1 + 4𝑀2𝑚2 + 2𝑀3𝑚3 + 𝑀1𝑚3 + 𝑀3𝑚1 − (𝑀1 + 𝑀3)(𝑚1 + 𝑚3)]
- 20. 400 𝐴𝑀𝑚 ̅ = 𝑙 6𝐸𝐼 (𝑀1𝑚1 + 4𝑀2𝑚2 + 𝑀3𝑚3) (F-5) Figura F-3. Usando las ecuaciones F-3, F-4 y F-5, en la tabla F-1 se han calculado los valores de la integral ∫ 𝑚𝑀𝑑𝑙 para diferentes diagramas de 𝑀 y 𝑚 que se necesitan en el cálculo de los desplazamientos de estructuras compuestas por barras por trabajo virtual. Las mismas tablas se pueden usar para la evaluación de las integrales ∫ 𝑛𝑁𝑑𝑙,∫ 𝑣𝑉𝑑𝑙 𝑦 ∫ 𝑡𝑇𝑑𝑙, o para la integral sobre una longitud 𝑙 de dos funciones cualesquiera que varían de la manera que se indica en los diagramas en la parte superior y en el margen izquierdo de la tabla Tabla F-1 (b) (c) (a)
- 21. 401 𝑎𝑏𝑙 1 2 𝑎𝑏𝑙 1 2 𝑎𝑏𝑙 𝑎𝑙 2 (𝑏1 + 𝑏2) 1 2 𝑎𝑏𝑙 𝑏𝑙 2 (𝑎1 + 𝑎2) 𝑏𝑙 6 (𝑎1 + 2𝑎2) 𝑏𝑙 6 (2𝑎1 + 𝑎2) 𝑙 6 (2𝑎1𝑏1 + 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1 + 2𝑎2𝑏2) 𝑏𝑙 6 [(1 + 𝛽)𝑎1 + (1 + 𝛼)𝑎2] 1 2 𝑎𝑏𝑙 𝑎𝑏𝑙 6 (1 + 𝛼) 𝑎𝑏𝑙 6 (1 + 𝛽) 𝑎𝑙 6 [(1 + 𝛽)𝑏1 + (1 + 𝛼)𝑏2] 1 3 𝑎𝑏𝑙 2 3 𝑎𝑏𝑙 1 3 𝑎𝑏𝑙 1 3 𝑎𝑏𝑙 1 3 𝑎𝑙(𝑏1 + 𝑏2) 𝑎𝑏𝑙 3 (1 + 𝛼𝛽) 1 3 𝑎𝑏𝑙 1 4 𝑎𝑏𝑙 1 12 𝑎𝑏𝑙 𝑎𝑙 12 (𝑏1 + 3𝑏2) 𝑎𝑏𝑙 12 (1 + 𝛼 + 𝛼2) 2 3 𝑎𝑏𝑙 5 12 𝑎𝑏𝑙 1 4 𝑎𝑏𝑙 𝑎𝑙 12 (3𝑏1 + 5𝑏2) 𝑎𝑏𝑙 12 (5 − 𝛽 − 𝛽2) • Parábola de segundo grado 𝑎1 𝑎2 𝑎 𝑙 𝑙
- 22. 402 Apéndice G Deflexiones de una viga simple de EI constante solicitada por momentos de extremo unitarios Los valores de las deflexiones que se presentan a continuación son útiles en el cálculo de las ordenadas de influencia. La deflexión y debida a momentos de extremo 𝑀𝐴𝐵 = 1 y 𝑀𝐵𝐴 = 0 (figura F-1a) está dado por la ecuación 6. 𝑦 = 𝑙2 6𝐸𝐼 (2𝜉 − 3𝜉2 + 𝜉3) (G-4) Donde 𝜉 = 𝑥 𝑙 , es la distancia desde el extremo izquierdo, y 𝑙 es la longitud de la viga. Los valores de las deflexiones para diferentes valores de 𝑥 𝑙 se dan en la tabla G-1 (a) (b) Figura F-1. Deflexiones de una viga simple sometida a momentos unitarios en sus extremos B MBA=1 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 A A B MAB=1
- 23. 403 Tabla G-1 Deflexiones debidas a un momento unitario en el sentido horario en el extremo izquierdo 𝜉 = 𝑥 𝑙 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Multiplicador 𝑦 0 285 480 595 640 625 560 455 320 165 0 10−4 𝑙2 𝐸𝐼 Tabla G-2 Deflexiones debidas a un momento unitario en el sentido horario en el extremo derecho 𝜉 = 𝑥 𝑙 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Multiplica- dor 𝑦 0 -165 -320 -455 -560 -625 -640 -595 -480 -285 0 10−4 𝑙2 𝐸𝐼 La deflexión 𝒚 debida al momento de extremo 𝑀𝐵𝐴 = 1 y 𝑀𝐴𝐵 = 0 (véase figura la G-1b) está dado por 𝑦 = − 𝑙2 6𝐸𝐼 (𝜉 − 𝜉3) (G-5) Los valores de las deflexiones para diferentes valores de 𝜉 = 𝑥 𝑙 se dan en la tabla G-2