Este documento presenta diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) transformar ecuaciones no homogéneas a homogéneas mediante sustitución de variables, 2) criterios para que una ecuación sea exacta y su solución, 3) uso de factores integrantes para reducir ecuaciones a formas exactas, 4) resolución de ecuaciones diferenciales lineales y de Bernoulli. Ilustra los conceptos con varios ejemplos resueltos.

1. 1Módulo de Ecuaciones Diferenciales (4)MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

2. Observación:Otra forma de transformar a una ecuación homogénea, las ED que no son Homogéneas, es mediante la sustitución de la variable:Ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a ya variable y; el grado , a la derivada MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

3. Ejemplo: resolver la ecuación diferencialSeaReemplazando en la Ecuación Diferencial se tiene:Luego: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

4. Para que la ecuación diferencial dada sea homogénea debe cumplirse:Donde la ED: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

5. Cambiamos de variable: tallerMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

6. Ecuaciones Diferenciales EXACTASMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

7. Diferencial TotalSi es una función diferenciable enEntonces la diferencial total de , es la función, cuyo valor está dado por: Diferencial Exacta:Una expresión de la forma: se denomina Exacta si existe una funciónTal que: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

8. Definición de una EDO ExactaConsideremos la ecuación Si existe una función tal que:Diremos que la ecuación es una Ecuación Diferencial Exacta.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

9. Teorema: Criterio para EDO ExactaLa condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencialsea exacta es que cumpla la condición de Euler:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

10. Solución de una EDO ExactaAplicamos la siguiente igualdad:La solución general está dada de la forma: Puesto que es exacta si es la diferencial total de MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

11. Ejemplo:Establecemos el criterio de exactitud:Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta.ii) Entonces MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

12. Suponemos que: La función f(x,y) se puede obtener integrando respecto a x, dejando a y como constante: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

13. se puede determinar g(y) derivando este resultado respecto a y e igualando a: Resultando: Igualando: Para obtener g(y) Integramos: Reemplazamos en la ecuación * y resulta:Finalmente aplicamos el teorema de la solución resultante:Obteniendo la solución general: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

14. ED exactasEjemplo: Es exacta puesto queIntegrando respecto a xEs decir, Derivando respecto a yDe dondeFinalmente la solución general esMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

15. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A EXACTASSi en la ecuación:La ecuación No es exacta Entonces se busca un factor integrante u(x,y); de manera que al multiplicar por la ecuación diferencial, ésta se convierta en una ecuación diferencial exacta. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga15

16. Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH José Juan Rincón PasayeEDOS Reducibles a ExactasFactor IntegranteEntonces se dice que es m(x,y) un factor integrante. Y en esta nueva ecuación la condición de Euler se cumple y toma la forma:Una vez obtenida la nueva expresión, se resuelve la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

17. Reglas para obtener los factores de integración u(x,y)MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

18. Ejemplo caso a)No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta. Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).La función más fácil de integrar es N(x,y)=1, por tanto el factor integrante debe ser u(x), que lo calculamos con la expresión:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

19. En nuestro caso sería:Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x):MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

20. Ejemplo caso b)Resolver:No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta. Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).La función más fácil de integrar es M(x,y)=y2, por tanto el factor integrante debe ser u(y), que lo calculamos con la expresión:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

21. En nuestro caso sería:Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(y):MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

22. Ejemplo caso c)ResolverLa ecuación dada es homogénea, entonces el factor de integración se calcula mediante:Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x,y):MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

23. Ejemplo caso d)Resolver:No cumple la condición de Euler, por lo tanto la EDO No es exacta. Entonces buscamos un factor integrante u(x,y).MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

24. En nuestro caso sería:Para convertirla en exacta multiplicamos la EDO por u(x,y):MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

25. Factor IntegranteEjemplo: Para la siguiente EDEntoncesPor lo tantoAsí obtenemos la ecuación diferencial exacta:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

26. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer OrdenMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

27. ED Lineales de 1er ordenSon de la formaPara solucionarlas tomamos en cuenta lo siguiente:Si q(x)=0, la ecuación resulta:Que es una ecuación lineal homogénea de variable separable, por lo tanto su solución es:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

28. ED Lineales de 1er ordenii) Si la ecuación es lineal no homogénea y no es exacta, que admite un factor integrante de la forma Multiplicando este factor por la ecuación diferencial, la convertimos en exacta y la resolvemos con el método ya estudiado ó aplicando la expresión siguiente, que es la Solución General de la ecuación diferencial.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

29. La solución total de la ecuación diferencial será igual a:Cumpliéndose el principio de superposición, puesto que la solución total se la puede expresar como una suma de soluciones:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

30. Ejemplo:i) El factor integrante es: Multiplicando a la ecuación tenemos:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

31. ii)MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis PugaMSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

32. ED Lineales de 1er ordenEjemplo:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

33. 33MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

34. Ecuación Diferencial de BernoulliUna ecuación de la forma:Se denomina diferencial de Bernoulli, si dividimos a esta para P0 (x), obteniéndose:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

35. OBSERVACIONES:Si n = 0, entonces la ecuación es lineal de primer orden:Si n = 1, entonces la ecuación es lineal homogénea de primer orden.Si n  0 y n  1, entonces tenemos que:Es la ecuación de Bernoulli.MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

36. RESOLUCIÓN:Multiplicamos a la ecuación por , es decir: ii) A la ecuación diferencial anterior se multiplica por (1-n) es decir:iii) Realizamos un cambio de variable: y calculamos su diferencial con respecto de x, tenemos:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

37. RESOLUCIÓN:iv) Se reemplaza la expresión del literal iii) en la expresión del literal ii) y obtenemos:Que es una ecuación diferencial lineal en z de primer orden.v) Solucionamos dicha ecuación.vi) Sustituimos en la ecuación encontrada y expresamos la solución.Ejemplo: MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

38. RESOLUCIÓN:Multiplicamos por y se obtiene:ii) Multiplicamos por se obtieneLa solución general es:MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga

39. MSc. Santiago Cañizares MSc. Luis Puga