Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en el espacio de tres dimensiones, incluyendo definiciones de vectores, operaciones como suma y producto escalar y vectorial, y aplicaciones a problemas de ingeniería. Se explica cómo calcular la velocidad resultante de un avión que se mueve a cierta velocidad y dirección en presencia de viento soplando a otra velocidad y dirección.

1. MATEMÁTICA BÁSICA
VECTORES EN EL ESPACIO, PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

2. Un avión se mueve a altitud constante y con influencia
despreciable del viento en dirección de 30 grados noroeste a
una velocidad de 500 millas/hora. Al llegar a cierto punto, el
avión encuentra un viento que sopla a 70 millas/hora en
dirección de 45 grados noreste.¿ Cual es la velocidad
resultante y su dirección?
CALCULO DE LA VELOCIDAD DE UN AVIÓN

3. • Ubicación de un punto en el espacio.
• Distancia entre dos puntos en el espacio.
RECORDAR

4. Al término de la sesión, el estudiante aplica las
propiedades y teoremas sobre vectores en la resolución
de problemas vinculados a la ingeniería, siguiendo un
proceso ordenado e interpretando los resultados.
LOGRO DE LA SESIÓN

5. Cualquier punto en el espacio se puede representar por una terna
ordenada de números reales:
𝑥, 𝑦, 𝑧
Así podemos describir cualquier punto P en 𝑅3 de una sola manera:
P= 𝑥, 𝑦, 𝑧
VECTORES EN EL ESPACIO (3 DIMENSIONES)

6. DEFINICION DE VECTOR EN EL ESPACIO
Definición: Un vector v en el espacio 𝑅3
es una terna ordenada
de números reales 𝑥, 𝑦, 𝑧 . Los números x, y y z se llaman
coordenadas o componentes del vector v.
El vector cero es el vector v=(0,0,0).
v

7. A
B
R = A+B
B
R = A+B
A
Método del triángulo
Adición de vectores
Método del
paralelogramo.
OPERACIONES CON VECTORES

8. Definición
El producto escalar o producto punto de
𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 𝑦 Ԧ𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 se define de la
siguiente forma:
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3
PROPIEDADES:
1. Conmutativa:
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒗 ⋅ 𝒖
2. Distributiva:
𝒖 ∙ 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 ⋅ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒘
3. Producto por un escalar: 𝒌 ∈ ℝ
𝒌𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒌 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖. 𝒌𝒗
PRODUCTO ESCALAR

9. 9
Encontrar el producto escalar entre los vectores en cada
caso:
1. Sean 𝑢 = 3, 5,1 𝑦 Ԧ𝑣 = 5, 2,2
Solución:
2. Sean 𝑢 = 5, −3, 4 𝑦 Ԧ𝑣 = 2, 3, 7
Solución:
3. Sean 𝑢 = 6, −2, 0 𝑦 Ԧ𝑣 = 0, −3, 8
Calcular: 𝑢 ∙ 4 Ԧ𝑣.
Solución:
EJEMPLOS

10. Se define la norma o longitud de un vector v=(x, y, z)
como:
𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Nota: Sea Ԧ𝑣 un vector de ℝ3, se cumple Ԧ𝑣 ∙ Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 2.
Ejemplos: si 𝑢 = 6, −2, 0 . Hallar 𝑢 .
PRODUCTO ESCALAR Y NORMA DE UN VECTOR

11. DEFINICIÓN(VECTORES PARALELOS). Dos vectores distintos de
cero, 𝑢 y Ԧ𝑣 son paralelos si y solo si existe algún escalar 𝑐 ≠ 0 tal que
𝑢 = 𝑐 Ԧ𝑣.
DEFINICIÓN (VECTORES ORTOGONALES). Los vectores 𝑢 y Ԧ𝑣 son
ortogonales si y solo si
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0
VECTORES PARALELOS Y VECTRES ORTOGONALES

12. PROYECCION ORTOGONAL
Si 𝑢 y Ԧ𝑣 son dos vectores distintos de cero, entonces la
proyección de 𝑢 en Ԧ𝑣 está dado por
u
v

13. TEOREMA : COSENO DEL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES
Sean 𝜃 el ángulo positivo mas pequeño entre dos vectores
𝑢 y Ԧ𝑣 diferentes de cero, se tiene:
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑢. 𝑣
𝑢 𝑣
Observación: 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 𝑢.𝑣
𝑢 𝑣

14. 14
DEFINICIÓN
Sean u, v ∈ ℝ3, tal que, u= 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 y v= 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 ,
entonces el producto vectorial o producto cruz u x v es el vector
que se define como:
u× v = 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1 𝑦2, 𝑧1 𝑥2 − 𝑥1 𝑧2, 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2
PRODUCTO VECTORIAL
u x v
u
v

15. EJEMPLO:
Calcular el producto vectorial de los vectores u= 2, −1,3 y v= 3,1, −1

16. TEOREMA
PRODUCTO VECTORIAL

17. TEOREMA
PRODUCTO VECTORIAL

18. EJEMPLO:
Encuentre el área del paralelogramo con vértices consecutivos P=(1,3,-2), Q=(2,1,4)
y R=(-3,1,6).

19. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
DEFINICIÓN
Ejemplo: Calcular el triple producto escalar de los vectores u=(2, -1, 0), v=(1, 0, 4) y
w=(-1, 3, 2) .

20. INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DEL TRIPLE PRODUCTO
ESCALAR
TEOREMA

21. EJEMPLO

22. Un avión se mueve a altitud constante y con influencia
despreciable del viento en dirección de 30 grados noroeste a
una velocidad de 500 millas/hora. Al llegar a cierto punto, el
avión encuentra un viento que sopla a 70 millas/hora en
dirección de 45 grados noreste.¿ Cual es la velocidad
resultante y su dirección?
CALCULO DE LA VELOCIDAD DE UN AVIÓN

23. SOLUCIÓN: CALCULO DE LA VELOCIDAD DE UN AVIÓN

24. SOLUCIÓN: CALCULO DE LA VELOCIDAD DE UN AVIÓN

25. EVALUACIÓN DE CLASE
Forman equipos de trabajos (máx. 5 integrantes) para medir el logro de la
sesión de clase, cuyos ítems (los mismos ejercicios y problemas para todos
los grupos) serán tomados de la hoja de trabajo.

26. Material elaborado para uso exclusivo del curso de
Matemática Básica para Ingeniería , 2019 – 1.
Universidad Privada del Norte