Estadística

1. ESTADÍSTICA
Clase 3
Guayaquil, mayo de 2015
Wendy Plata Alarcón
wplata@espol.edu.ec

2. Guayaquil, mayo de 2015
Distribución Empírica de una Muestra
Estadística para Ingenierías2
 La Distribución Empírica de una Muestra Aleatoria de
tamaño n, tomada de una población X es definida
como:









  1,...,2,1,
;1
;
;0
)(ˆ
)1(
)(
)(
)1(
nkx
xX
Xx
xX
n
k
xF k
n
k

3. Guayaquil, mayo de 2015
Distribución Empírica: ejemplo
Estadística para Ingenierías3
X(1) = 4 X(11) = 7
X(2) = 5 X(12) = 7
X(3) = 5 X(13) = 8
X(4) = 5 X(14) = 9
X(5) = 6 X(15) = 9
X(6) = 6 X(16) = 10
X(7) = 7 X(17) = 10
X(8) = 7 X(18) = 10
X(9) = 7 X(19) = 10
X(10) = 7 X(20) = 10





















10;1
109;20/15
98;20/13
87;20/12
76;20/6
65;20/4
54;20/1
4;0
)(ˆ
X
X
X
X
X
X
X
X
xF

4. Guayaquil, mayo de 2015
Distribución Empírica de una Muestra:
ilustración
Estadística para Ingenierías4
Distribución Empírica
Calificaciones de Matemáticas – Estudiantes de Octavo Año de Educación Básica
Calificaciones de Matemáticas
DistribuciónEmpírica

5. Guayaquil, mayo de 2015
Código R para Graficar Distribución Empírica
Estadística para Ingenierías5
datos<-c(4,5,5,5,6,6,7,7,7,7,7,7,8,9,9,10,10,10,10,10)
ECDF=ecdf(datos)
plot(ECDF,col="red",lwd=3,xlab="datos",ylab="")
points(datos,rep(0,n),col="blue",pch=20,cex=2)
segments(datos,rep(0,n),datos,sapply(datos,ECDF),col="b
lue",lwd=3)

6. Guayaquil, mayo de 2015
Medidas deTendencia Central
Estadística para Ingenierías6
 Media Aritmética: promedio de los n datos contenidos
en la Muestra.
 Mediana o Segundo Cuartil Q2: es el valor de X tal que
el cincuenta por ciento de las observaciones en la
Muestra son menores o iguales que Q2.
 Moda: es el valor observado que más se repite en la
Muestra.
 




n
1i
in21
n
X
n
X...XX
x

7. Guayaquil, mayo de 2015
Medidas deTendencia Central:
ejemplo
Estadística para Ingenierías7
 Calcular la Media Aritmética, Mediana y Moda de las
calificaciones de Matemáticas obtenidas por los
estudiantes de Octavo Año. X(1) = 4 X(11) = 7
X(2) = 5 X(12) = 7
X(3) = 5 X(13) = 8
X(4) = 5 X(14) = 9
X(5) = 6 X(15) = 9
X(6) = 6 X(16) = 10
X(7) = 7 X(17) = 10
X(8) = 7 X(18) = 10
X(9) = 7 X(19) = 10
X(10) = 7 X(20) = 10
Media Aritmética:
  45.7
20
149
20
10...65554
x 


Mediana = 7
Moda = 7

8. Guayaquil, mayo de 2015
Medidas de Dispersión
Estadística para Ingenierías8
 Varianza Muestral (s2): medida de dispersión de una
variable X respecto a su Media Aritmética y que es
igual a:
 Este valor no puede ser negativo y será cero cuando y
sólo cuando, todas las observaciones adopten el
mismo valor.




n
1i
2
i2
1n
)xX(
s

9. Guayaquil, mayo de 2015
Medidas de Dispersión
Estadística para Ingenierías9
 Desviación Estándar: o Desviación Típica de una
Muestra se la denota por “s” y se la define igual a la
raíz cuadrada positiva de la Varianza, esto es:
 Error Estándar de la Media: mide la dispersión de
y se define como:




n
1i
2
i
1n
)xX(
s
x
n
s
sMedialadeEstándarError x 

10. Guayaquil, mayo de 2015
Medidas de Dispersión: ejemplo
Estadística para Ingenierías10
 Calcular la Varianza Muestral, Desviación Estándar y el Error
Estándar de la Media de las calificaciones de Matemáticas
obtenidas por los estudiantes de Octavo Año.
 Varianza Muestral:
 Desviación Estándar:
 Error Estándar de la Media
X(1) = 4 X(11) = 7
X(2) = 5 X(12) = 7
X(3) = 5 X(13) = 8
X(4) = 5 X(14) = 9
X(5) = 6 X(15) = 9
X(6) = 6 X(16) = 10
X(7) = 7 X(17) = 10
X(8) = 7 X(18) = 10
X(9) = 7 X(19) = 10
X(10) = 7 X(20) = 10
84.3
19
95.72
s
120
)45.710(...)45.75()45.74(
s
2
222
2




96.184.3s 
44.0
20
96.1
sx 

11. Guayaquil, mayo de 2015
Media yVarianza de Datos Agrupados
Estadística para Ingenierías11
 La Media Aritmética de los datos agrupados es igual a:
 Donde,
 Yi es la i-ésima Marca de Clase; y,
 fi es la Frecuencia Absoluta de esa clase.
 En tanto que la Varianza de los datos agrupados es igual a:
.


k
1i
ii
n
Yf
x




k
1i
2
ii2
1n
)xY(f
s

12. Guayaquil, mayo de 2015
Media yVarianza de Datos Agrupados:
ejemplo
Estadística para Ingenierías12
 Calcular la Media y Varianza Muestral para las
calificaciones de Matemáticas de los estudiantes de
Octavo Año.
Ordinal Clase
Marca de
Clase
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Absoluta
Acumulada
Frecuencia
Relativa
Acumulada
1 [4,5) 4.5 1 0.05 1 0.05
2 [5,6) 5.5 3 0.15 4 0.20
3 [6,7) 6.5 2 0.10 6 0.30
4 [7,8) 7.5 6 0.30 12 0.60
5 [8,9) 8.5 1 0.05 13 0.65
6 [9,10] 9.5 7 0.35 20 1.00

13. Guayaquil, mayo de 2015
Media yVarianza de Datos Agrupados:
ejemplo
Estadística para Ingenierías13
 Media Aritmética
70.7x
20
)5.9*7()5.8*1()5.7*6()5.6*2()5.5*3()5.4*1(
x
n
Yf
n
Yf
x
6
1i
ii
k
1i
ii



  

14. Guayaquil, mayo de 2015
Media yVarianza de Datos Agrupados:
ejemplo
Estadística para Ingenierías14
 Varianza Muestral
69.2s
19
20.51
s
19
))7.75.9(*7(...))7.75.5(*3())7.75.4(*1(
s
1n
)xY(f
1n
)xY(f
s
2
2
222
2
6
1i
2
ii
k
1i
2
ii2









  

15. Guayaquil, mayo de 2015
Referencias
Estadística para Ingenierías15
 Zurita, G. (2010), “Probabilidad y Estadística:
Fundamentos y Aplicaciones”, Segunda Edición,
Escuela Superior Politécnica del Litoral, Instituto de
Ciencias Matemáticas, Guayaquil-Ecuador.