Bloque 02 04_1_eso

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BLOQUE II Números y Álgebra.
UNIDAD 4 Los números racionales. Operaciones con números racionales.
Objetivos del bloque:
1. Divisibilidad de los números naturales. Criterios de divisibilidad. Números
primos y compuestos. Descomposición de un número en factores primos.
2. Múltiplos y divisores comunes a varios números. Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo de dos o más números naturalesde os cifras. Números
negativos. Significado y utilización.
3. Números enteros. Representación, ordenación en la recta numérica.
4. Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones y ordenación Números
decimales. Representación y ordenación.
5. Operaciones con números enteros.
6. Operaciones con fracciones.
7. Operaciones con decimales.
8. Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo
aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.
9. Potencias de números enteros con exponente natural. Cuadrados perfectos.
10. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas.
11. Jerarquía de las operaciones.
12. Resolución de problemas con números naturales, enteros, fraccionarios y
decimales.
13. Iniciaciónal lenguajealgebraico. Traduccióndeexpresiones muy sencillas del
lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
14. Operaciones con expresiones algebraicas o simbólicas muy sencillas.
15. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones sencillas.
Procedimiento:
1. Los apuntes como los ejercicios se deben realizar en el cuaderno de clase.
Ten en cuenta, que, dentro de la evaluación de esta unidad, hay una prueba
que se hace con los apuntes.
2. Utilizamos bolígrafo de color negro para los apuntes, de color verde, para los
títulos, azul, para los enunciados de los problemas y el lápiz para la resolución
de estos.

Evaluación:
Actitud en
clase
Cuaderno
Examen con
apuntes
Examen sin
apuntes
Nota Final
10% 20% 30% 40% 100%
Temario:
1. Concepto de fracción.
2. Fracciones equivalentes. Reducción y ampliación de fracciones.
3. Fracciones mixtas.
4. Sumas y restas de fracciones.
5. Multiplicaciones y divisiones de fracciones.
6. Operaciones combinadas.
7. Potencia y raíces de fracciones.
8. Problemas con fracciones.
1. Concepto de fracción.
En la vida cotidiana solemos utilizar las siguientes expresiones:
 Dame la mitad de esta sandia.
 Me he comprado un décimo de la lotería de Navidad.
 Quiero tres cuartos de azúcar.
 Falta un cuarto de hora, para que llegue el tren.
Todas estas expresiones hacen referencia a “fracciones”,esdecir de “untodo”tomo
una “parte”, por ejemplo: “falta un cuarto de hora…” del “todo” que es una hora;
indico una “parte” los 15 minutos o cuarto.
Mira este video: https://youtu.be/IvYK2UaFrAU
Una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir
que representa un cociente no efectuado de números.
𝒂
𝒃
Idea Clave
Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisora entre
ambos (barra horizontal u oblicua). En una fracción a/b, b es el denominador

expresa la cantidad de partes iguales que representan la unidad, y el numerador a
indica cuántas de ellas se toman.
ℚ = {
𝒂
𝒃
. . . ∞}
Ilustración 1. Tomado de De canuoislupusarctos - I eyidited Image:PieChartFraction threeFourths
oneFourth.svg by User:Ezra_Katz, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2489602
Según la imagen anterior, de cuatro partes que forman la unidad, elegimos una:
𝟑
𝟒
+
𝟏
𝟒
= 𝟏
Tipos de fracciones:
a) Fracción propia o impropia.
Una fracción propia es aquella en la que, si el numerador y el denominador son
positivos, el numerador es menor que el denominado:
𝟏
𝟑
,
𝟓
𝟖
,
𝟑
𝟒
Por el contrario, una fracción impropia será la fracción en donde el numerador es
mayor que el denominador, por ejemplo:
𝟓
𝟑
,
𝟏𝟓
𝟖
,
𝟔
𝟒
b) Fracción mixta.
Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia,
en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir
unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.
Un ejemplo, debo tomar para una receta una cucharita y media de azúcar…

Veamos cómo se convierte una fracción impropia, en número mixto o fracción mixta:
𝟑
𝟐
=
𝟏
𝟏
+
𝟏
𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐
Cuál es la idea, si tengo 3/2, significa que de dos partes que se divide la unidad, yo
tomo 3, lo que deduzco,que debo tener 2 unidades,ambas divididas en 2 partes, sino
sería imposible:
Por tanto, 3/2, es lo mismo que: 1
1
2
donde 1 es una unidad, y ½ es otra unidad, que
solo tomo una parte.
c) Fracción inversa.
Una fracción inversa es una fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se
han invertido el numerador y el denominador, es decir, la fracción inversa de una
fracción a/b es b/a. Como ejemplo:
𝟕
𝟗
→
𝟗
𝟕
Cuestión 2.4.1. Resuelve los siguientes ejercicios:
 Escribe en fracción la parte coloreada:
 Clasifica las siguientes fracciones en propia e impropias.
2/3, 5/6, 7/9, 8/5, 5/2, 5/12, 3/4, 7/5
 Convierte las fracciones impropias del apartado anterior en número mixto.
 Indica la fracción inversa de las fracciones del primer apartado.
2. Fracciones equivalentes. Reducción y ampliación de fracciones.
Fracciones equivalentes:
Decimos que dos fracciones son equivalentes (o iguales) cuando representan al
mismo número o unidad, por ejemplo:
6
8
=
9
12
0,75 = 0,75

Lo que hemos hecho ha sido dividir el numerador por el denominador, de la primera
fracción, y lo mismo con la segunda, si dan el mismo resultado, podemos decir que
son equivalentes. Otra forma de poder averiguar si dos fracciones son equivalentes,
es realizando una multiplicación cruzada, es decir, multiplicar el numerador de la
primera por el denominador de la segunda, y el numerador de la segunda por el
denominador de la primera, si dan el mismo resultado, son fracciones equivalentes:
6
8
=
9
12
→ 6 · 12 = 8 · 9 → 72 = 72
Cuando queremos indicar que dos fracciones no son equivalentes utilizamos el
siguiente signo: ≠
3
4
≠
1
5
→ 15 ≠ 4
Reducción de fracciones:
Qué significa reducir o simplificar una fracción, significa hacer la fracción lo más
simple posible. ¿Por qué decir cuatro octavos, si realmente es la mitad?
4
8
=
1
2
¿Cómo se puede simplificar o reducir una fracción? Hayvarios métodos, uno de ellos
es dividir numeradory denominadorpordivisores comunes, hasta que ya no se pueda:
En el casoanteriorhemos llegadoa la fracción2/9,yya no podemosseguir dividiendo
más, entonces decimos que 2/9 es una fracción irreducible.
Ampliación de fracciones:
Para ampliar una fracción basta con multiplicar el numerador y el denominador por
un mismo número, por ejemplo, vamos a ampliar la fracción siguiente, multiplicando
por 5:
2
3
=
10
15
La fracción obtenida al ampliar siempre será equivalente a la primera fracción.

Idea Clave
Para obtener fracciones equivalentes, basta con multiplicar o dividir por un mismo
número el numerador y denominador de una fracción.
3. Fracciones mixtas.
En el punto 1 de esta unidad,ya hemos visto el significadode fracciónmixta. En este
apartado vamos a ver, como podemos convertir una fracción impropia a fracción
mixta y viceversa.
Pasar una fracción impropia a mixta:
Para convertir una fracción impropia en mixta, seguimos los siguientes pasos:
 Divide el numerador entre el denominador.
 Escribe el cociente como un número entero.
 Después escribe el resto encima del denominador.
Veamos un ejemplo; tomemos la fracción impropia 15/8:
 15 : 8 = 1 y resto 5
1
5
8
Pasar una fracción mixta a impropia:
Para convertir una fracción mixta en impropia, seguimos los siguientes pasos:
 Multiplica la parte entera por el denominador.
 Súmalo al numerador.
 Después escribe el resultado encima del denominador.
Veamos un ejemplo, queremos convertir la siguiente fracción mixta en impropia:
3
2
5
 3 x 5 = 15
 15 + 2 = 17
17
5
4. Suma y resta de fracciones.
Suma
Para sumar fracciones es necesario que tengan todo el mismo denominador.
a) Con el mismo numerador.

Si ya tienen igual denominador se pueden sumar directamente. El denominador será
el mismo y el numerador será la suma de los numeradores.
8
15
+
4
15
=
12
15
Una vez tengamos el resultado,siempre se debe simplificar hasta llegar a la fracción
irreducible:
8
15
+
4
15
=
12
15
=
4
5
b) Con denominador diferentes.
Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es
decir, se cambian por otras equivalentes a ellas, pero con el mismo denominador
todas, y ya se pueden sumar.
2
5
+
1
3
=
2 · 3
15
+
1 · 5
15
=
6
15
+
5
15
=
11
15
Otro ejemplo:
4
3
+
2
7
+
3
21
=
4 · 7
21
+
2 · 3
21
+
3
21
=
28
21
+
6
21
+
3
21
=
37
21
Resta
a) Con el mismo numerador.
El procedimiento es igual al de la suma:
8
15
−
4
15
=
4
15
b) Con denominador diferentes.
El procedimiento es igual al de la suma:
2
5
−
1
3
=
2 · 3
15
−
1 · 5
15
=
6
15
−
5
15
=
1
15
4
3
−
2
7
−
3
21
=
4 · 7
21
−
2 · 3
21
−
3
21
=
28
21
−
6
21
−
3
21
=
19
21
Operaciones combinadas con sumas y restas y paréntesis:
Ejemplo:
(
4
5
−
8
11
) +
2
3
= (
44
55
−
40
55
) +
2
3
=
4
55
+
2
3
=
12
165
+
110
165
=
122
165
Recordar

Un número entero es lo mismo que una fracción con la unidad como denominador y
con el propio entero como numerador:
4 −
1
5
=
4
1
−
3
5
=
20
5
−
3
5
=
17
5
Ejemplo:
(1 −
1
8
) + (
3
5
−
1
2
) = (
40
40
−
5
40
) + (
24
40
−
20
40
) =
35
40
+
4
40
=
39
40
5. Multiplicación y división de fracciones.
Multiplicación
Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se
multiplican directamente.
4
5
·
3
6
=
12
30
=
6
15
=
2
5
Recordar
La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la
fracción unidad. Para calcular la fracción inversa de una fracción, basta con
cambiar el numerador por el denominador, veamos un ejemplo:
3
4
→
4
3
→
3
4
·
4
3
=
12
12
= 1
División
Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la
inversa de la segunda fracción.
Veamos un ejemplo:
4
5
∶
3
6
=
4 · 6
5 · 3
=
24
15
=
8
5
6. Operaciones combinadas.
Veamos varios ejemplos de operaciones combinadas con fracciones, aplicaremos la
jerarquía de las operaciones, que se han explicado en unidades anteriores:
(3 +
1
4
) − (2 +
1
6
) = (
36
12
+
3
12
) − (
24
12
+
2
12
) =
39
12
−
26
12
=
13
12

1
2
∶ (
1
4
+
1
3
) =
1
2
∶ (
3
12
+
4
12
) =
1
2
∶
7
12
=
12
14
=
6
7
(
3
4
+
1
2
) ∶ (
5
3
−
1
6
) = (
9
12
+
6
12
) ∶ (
20
12
−
2
12
) =
15
12
∶
18
12
=
180
216
=
90
108
=
45
54
=
15
18
=
5
6
7. Potencias y raíces con fracciones.
Hay que repasar las potencias y raíces en los números naturales y enteros.
a) Potencias
Producto con la
misma base:
𝒂 𝒎
· 𝒂 𝒏
= 𝒂 𝒎 + 𝒏
53
· 56
= 53+6
= 59
Cociente con la
misma base:
𝒂 𝒎
∶ 𝒂 𝒏
= 𝒂 𝒎 − 𝒏
813
: 86
= 813-6
= 87
Potencia de una
potencia
( 𝒂 𝒎) 𝒏
= 𝒂 𝒎 · 𝒏
(53
)2
= 53 · 2
= 56
Producto y el
mismo exponente
𝒂 𝒏
· 𝒃 𝒏
= ( 𝒂 · 𝒃) 𝒏
53
· 83
= (5 ·8)3
= 403
Cociente y el
mismo exponente
𝒂 𝒏
∶ 𝒃 𝒏
= ( 𝒂 ∶ 𝒃) 𝒏
403
· 83
= (40 : 8)3
= 53
Exponente 0 𝒂 𝟎
= 𝟏 50
= 1
Exponente 1 𝒂 𝟏
= 𝒂 51
= 5
(
1
2
)
2
· (
1
2
)
3
= (
1
2
)
5
(
1
2
)
12
: (
1
2
)
3
= (
1
2
)
9
((
1
2
)
2
)
3
= (
1
2
)
6
(
1
2
)
3
· (
3
4
)
3
= (
1
2
·
3
4
)
3
= (
3
8
)
3
(
1
2
)
3
: (
3
4
)
3
= (
1
2
:
3
4
)
3
= (
4
6
)
3
(
1
2
)
0
= 1
(
1
2
)
1
=
1
2
b) Raíz cuadrada exacta.

(
7
8
)
2
=
49
81
→ √
49
81
=
7
8
8. Problemas con fracciones.
Veamos varios ejemplos:
Ejemplo 1. Queremos hacer una tarta de cumpleaños, según la receta, la tarta se
debe hacer con: 1/3 de azúcar de un paquete de 750 gr; ¾ de un kilo de harina; 3/5
de margarina de una barra de 200 gr. ¿Qué cantidades necesitaremos de cada
ingrediente para elaborar la tarta?
Lo primero, pasaremos todas las cantidades a gramos:
 azúcar, 750 gr.
 harina, 1 kg → 1.000 gr.
 margarina, 200 gr.
Segundo calculamos las cantidades necesarias de cada ingrediente:
1
3
𝑑𝑒 750 =
750
3
= 250 𝑔𝑟
3
4
𝑑𝑒 1000 =
3 · 1000
4
= 750 𝑔𝑟
3
5
𝑑𝑒 200 =
3 · 200
5
= 120 𝑔𝑟
Por tanto, necesitamos: 250 gr de azúcar, 750 gr de harina y 120 gr margarina.
Ejemplo 2. Calcular la mitad de una cuarta parte.
1
2
·
1
4
=
1
8
Ejemplo 3. Una cuerda de 80 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6
partes de la cuerda. ¿Cuántos metros mide cada trozo?
5
6
𝑑𝑒 80 =
5 · 80
6
=
400
6
= 66,67
80 − 66,67 = 13,33
 primer trozo, 66,67
 segundo trozo, 13,33
Otra forma de poder resolverlo es calculando 1/6 de 80, que da 13,33, y luego
restarlo a 80, y tendremos la longitud de cada trozo

EJERCICIOS:
1. Escribe la fracción de la parte coloreada:
2. Clasifica las siguientes fracciones en propias e impropias:
3. Calcula el número mixto de las siguientes fracciones:
𝟏𝟓
𝟒
𝟐𝟏
𝟓
𝟏𝟏
𝟒
𝟏𝟓
𝟖
𝟓
𝟒
𝟓
𝟑
𝟏𝟗
𝟖
𝟏𝟐
𝟓
𝟏𝟓
𝟔
𝟖
𝟑
𝟏𝟓
𝟏𝟒
𝟏𝟐
𝟕
𝟏𝟓
𝟗
𝟔
𝟓
𝟏𝟔
𝟑
4. Halla la fracción inversa:
14/5; 2/3; 5/8; 7/10; 9/2; 1/5; 5/6; 9/10; 8/7
5. Cómo se escribe:
a. 3/2
b. 3/3
c. 4/5
d. 5/6
e. 4/7
f. 3/8

g. 4/9
h. 3/10
6. Reduce las siguientes fracciones, e indica cuales son equivalentes y por qué:
6
10
;
12
28
;
90
150
;
27
18
;
66
110
;
24
56
7. Indica que valor debe tomar la x, para que las fracciones sean equivalentes:
5
9
=
𝑋
45
60
10
=
12
𝑋
12
34
=
660
𝑋
8. Simplifica las siguientes fracciones:
10
35
3
6
4
24
100
1000
5
25
40
45
14
18
12
18
30
40
8
20
24
27
4
16
9. Convertir las siguientes fracciones mixtas en impropias:
10. Convertir las siguientes fracciones impropias en mixtas:

11. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con fracciones:

12. Resuelve las siguientes potencias:
13. Calcula las raíces cuadras:
√
49
100
√
36
81
√
25
121

14. La profesora de geografía mandó ejercicios para practicar, a Luisa le encanta
hacer ejercicios de geografía y realizó enseguida las cinco séptimas partes de ellos,
lo que corresponde a 20 ejercicios. ¿Cuántos ejercicios mando la profesora?
15. En un instituto de 500 alumnos, las tres cuartas partes de los alumnos hacen
deportes colectivos,y de ellos la quinta partejueganal baloncesto. ¿Cuántosalumnos
juegan al baloncesto? ¿Cuántos alumnos hay que no hacen deportes colectivos?
16. ¿Cuántas botellas de ¾ de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?
17. Dos hermanos se reparten las canicas de un bote. El primero se lleva 3/8 del
total, mientras que el segundo obtiene los 55 restantes. ¿Cuántas contenía el bote?
18. De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero 1/6 del total
y después ¾ del total. ¿Cuántos litros quedan?

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