Bloque 02 01_1_eso

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BLOQUE II Números y Álgebra.
UNIDAD 1 Los números naturales
Objetivos del bloque:
1. Divisibilidad de los números naturales. Criterios de divisibilidad. Números
primos y compuestos. Descomposición de un número en factores primos.
2. Múltiplos y divisores comunes a varios números. Máximo común divisor y
mínimo común múltiplo de dos o más números naturales de os cifras. Números
negativos. Significado y utilización.
3. Números enteros. Representación, ordenación en la recta numérica.
4. Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones y ordenación Números
decimales. Representación y ordenación.
5. Operaciones con números enteros.
6. Operaciones con fracciones.
7. Operaciones con decimales.
8. Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo
aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.
9. Potencias de números enteros con exponente natural. Cuadrados perfectos.
10. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas.
11. Jerarquía de las operaciones.
12. Resolución de problemas con números naturales, enteros, fraccionarios y
decimales.
13. Iniciación al lenguaje algebraico. Traducción de expresiones muy sencillas del
lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa.
14. Operaciones con expresiones algebraicas o simbólicas muy sencillas.
15. Ecuaciones. Resolución de ecuaciones sencillas.
Procedimiento:
1. Los apuntes como los ejercicios se deben realizar en el cuaderno de clase.
Ten en cuenta, que, dentro de la evaluación de esta unidad, hay una prueba
que se hace con los apuntes.
2. Utilizamos bolígrafo de color negro para los apuntes, de color verde, para los
títulos, azul, para los enunciados de los problemas y el lápiz para la resolución
de estos.

Evaluación:
Actitud en
clase
Cuaderno
Examen con
apuntes
Examen sin
apuntes
Nota Final
10% 20% 30% 40% 100%
Temario:
1. Introducción.
2. Un poco de historia.
3. Los números naturales.
4. Operaciones con los números naturales
5. Potencias y raíces con los números naturales
6. Ejercicios.
1. Introducción.
Un número, en ciencia, es una abstracción que representa una cantidad o una
magnitud. En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más
generalmente un elemento de un sistema numérico o un número ordinal que
representará una posición dentro de un orden de una serie determinada.
Cuestión 2.1.1.
Busca en el diccionario el significado de: abstracción, cantidad, y magnitud. Y pon un
ejemplo.
Cuestión 2.1.2. Curiosidades de los números
• El número de Kaprekar, busca información sobre este número, y haz la
comprobación.
• Los números triangulares. El primer número triangular es 1. El segundo
número triangular es 1+2=3. El tercer número triangular es 1+2+3=6 El décimo
número triangular es 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55. Sin utilizar la calculadora,
sabrías calcular el número 100 triangular. Porque crees que se les llama los
números triangulares.
2. Un poco de historia.
1. Los sistemas de numeración más antiguos.
Sistema egipcio:
El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta
millones, desde el inicio del uso de la escritura de jeroglíficos. A principios del tercer
milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema decimal desarrollado
(numeración de base 10). Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de

grandes números y también describir pequeñas cantidades en forma de fracciones
unitarias: las fracciones del Ojo de Horus. Las cantidades se representaban de una
forma muy larga. Éste es uno de los sistemas de numeración más antiguos.
Por tanto, para representar el número 276:
Sistema babilónico:
El sistema de numeración mesopotámica (también llamado numeración babilónica) es
un sistema de representación de los números en la escritura cuneiforme de varios
pueblos de Mesopotamia, entre ellos los sumerios, los acadios y los babilonios. Este
sistema apareció por primera vez alrededor de 1800-1900 a. C. También se acredita
como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un
dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se
quiere representar. Esto era un desarrollo extremadamente importante, porque,
antes del sistema lugar-valor los técnicos estaban obligados a utilizar símbolos
únicos para representar cada potencia de una base (diez, cien, mil, y así
sucesivamente), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables.
Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar
60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más
apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60.

Ilustración 1. De Josell7 - File:Babylonian_numerals.jpg, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9862983
Para representar el número 755:
Sistema fenicio:
La numeración fenicia es un sistema de numeración utilizado por los fenicios y
cartagineses que hacían uso del alfabeto fenicio. El tipo más común utilizaba
símbolos para representar los números, aunque también, por influencia helenística,
se utilizaron las letras del alfabeto. Ninguno de los dos sistemas era posicional.
Consistía en símbolos diferenciados para los valores de «1», «2», «3», «10», «20» y
«100». El signo de «1» era un simple trazo vertical; el resto de los números hasta el
9 se formaban mediante combinaciones de sumas de los tres primeros valores. El
símbolo de «10» era una línea horizontal, mientras que el símbolo de «20» podía
aparecer con diferentes variantes, entre las que se encontraba la combinación de
los símbolos de «10», aproximadamente en forma de Z. Cantidades mayores se
formaban agrupando la cantidad correspondiente de símbolos de «10» y de «20».
Había diversas variantes del símbolo de «100», y éste podía combinarse con el
número precedente con valor multiplicatorio, p. ej., la combinación de «4» y «100»
producía 400.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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19
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29
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58
59

Ilustración 2. https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_fenicia
Sistema maya:
Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (de base 20) de raíz mixta,
similar al de otras civilizaciones mesoamericanas. Los mayas idearon un sistema de
numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos
matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años,
y con la manera en que organizaban el calendario. Los mayas tenían tres modalidades
para representar gráficamente los números, del 1 al 19, así como del cero: un sistema
numérico de puntos y rayas; una numeración cefalomorfa «variantes de cabeza»; y
una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.

Ilustración 3. De Bryan Derksen - Image:Maya.png, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1404491
Sistema griego clásico:
Tenia dos sistemas: ático y jónico.
Ático: El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un
sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura adjunta para representar
esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el
principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números
hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 usaban las letras
correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pénte), diez (déka), cien (hekatón),
mil (khiloi), diez mil (myrías). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. Los
símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de
5, usando un principio multiplicativo.
Para representar el número 3737:
Jónico:

Cuestión 2.1.3.
• Observa los diferentes sistemas de numeración, a excepción de uno, todos
tienen algo en común. Averigua que es, y razona porque crees tú que se dio.
• Intenta escribir el número 1254 en los diferentes sistemas de numeración.
2. El sistema de numeración romano.
Sobre este sistema, vamos a prenderlo con más profundidad, ya que actualmente
esta vigente, para denominar los siglos, para capítulos, conferencias, reyes y papas,
etc.
Primero. Las letreas y su valor.
1 5 10 50 100 500 1000
I V X L C D M
Las reglas:
• Si a la derecha de una letra hay otra con igual o menor valor, el valor de ésta
se suma a la anterior.
o VI = 6 porque a la derecha de 5 (V) hay un 1 (I).
o II = 2 porque a la derecha de 1 (I) hay un 1 (I).
o CV = 105 porque a la derecha de 100 (C) hay un 5 (V).
• La letra I situada delante de la V o la X resta una unidad a V o a X
o IV = 4 porque la I delante V resta una unidad 1- 5 = 4
o IX = 9 porque la I delante X resta una unidad 1 - 10 =9
• La cifra X colocada delante de la L o la C resta diez unidades a L o a C.
o XL = 40
o XC = 90
• La cifra C situada delante de la D o la M resta cien unidades a D o a M
o CD = 400
o CM = 900
• Ningún símbolo puede repetirse más de tres veces seguidas.
o Incorrecto, IIII VVVV

o Correctos, II = 2; III = 3; XXX = 30; MM = 2000
• Los símbolos V, L y D no pueden escribirse dos veces seguidas ni dos veces
en el mismo número (pues ya tenemos símbolos para ello: "LL" sería C y "DD"
sería M).
• Por cada raya horizontal encima de un número, éste queda multiplicado por
mil.
o 𝑉𝑉� = 5.000
o 𝑉𝑉� = 5.000.000
o 𝐷𝐷� = 500.000
Con estas reglas ya podemos escribir las cifras decimales, en romano.
Cuestión 2.1.4.
• Cuál es el título de rey, del actual jefe de estado de nuestro país.
• Que nombre tenia el anterior papa al actual.
• Escribe en romano, los siglos 13, 21, 11, 4 i 15
• Escribir en el sistema de numeración decimal los siguientes números romanos:
o XV; XIX; CXV; CMXIX
o XCV; 𝑋𝑋𝑋𝑋��
• Escribir en el sistema de numeración romana, los siguientes números:
o 7, 9, 47 y 940
o 47.000
• En una hoja Excel, según modelo más abajo, escribe en romano los cien
primeros números.
3. Los números naturales
Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un
conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres
humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son
números naturales. Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como
un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de
este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.

Visualizar el siguiente video: https://youtu.be/KI8l1NOB-9k
1. Definición.
Idea Clave
En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar los elementos de ciertos conjuntos, como también en operaciones
elementales de cálculo. Son aquellos números naturales que sirven para contar
elementos. También nos pueden servir para ordenar y clasificar
ℕ = { 𝟎𝟎, 𝟏𝟏, 𝟐𝟐, 𝟑𝟑, 𝟒𝟒, 𝟓𝟓, 𝟔𝟔, 𝟕𝟕, 𝟖𝟖, 𝟗𝟗, . . . ∞}
Ortografía a la hora de escribir los números naturales.
Debemos tener en cuenta que si lo que queremos leer o escribir es un número cardinal
o ordinal. Los primeros nos sirven para contar y hacer cálculos, los segundo para
ordenar.
Cardinales:
1 uno, o un 6 seis
2 dos 7 siete
3 tres 8 ocho
4 cuatro 9 nueve
5 cinco 10 diez
• El 20 y 30, se leen y escriben: veinte y treinta.
• Si son mayores a 30 se construye así: decena + y + unidades: Por ejemplo 32
es treinta y dos, 92 noventa y dos, …
• Si son menores se fusiona, en una palabra: Por ejemplo 17 es diecisiete.
• Los nombres de los números del 11 al 15 tienen una construcción distinta,
derivan también del latín, pero la primera parte es la unidad y la segunda la
decena: once, doce, trece, catorce y quince.
• Ojo con el 16, lleva tilde, dieciséis
• Ojo con el 20, delante de sustantivo: veintiún, o veintiuna.
• Ojo con el 22 y 23, llevan tilde, veintidós y veintitrés como el 26 veintiséis
• Las centenas:
o 100 cien,
o 101, ciento uno o ciento un, o ciento una.
o Hasta el 200, son las mismas reglas, 156, ciento cincuenta y seis
o 200, doscientos, 300 trescientos, …
o 489, cuatrocientos ochenta y nueve, 322, trescientos veintidós
• Los millares
o 1000, mil; 1500, mil quinientos

o 2000, dos mil
o 15.000, quince mil
o 555.000 quinientos cincuenta y cinco mil.
• Los millones, un millón, dos millones, …
Ordinales, solo vamos a poner los de uso frecuente.
1 primero, primera, primer 16 hexadécimo, -ma décimo sexto
2 segundo, segunda 17 décimo séptimo
3 tercero, tercera 18 décimo octavo
4 cuarto, cuarta 19 décimo noveno o decimonono
5 quinto, quinta 20 vigésimo
6 sexto, sexta 21 vigésimo primero
7 séptimo, séptima 22 vigésimo segundo
8 octavo, octava 23 vigésimo tercero
9 noveno, novena 24 vigésimo cuarto
10 décimo, décima 25 vigésimo quinto
11 undécimo/a o decimoprimero 26 vigésimo sexto
12 duodécimo/ o decimosegundo 27 vigésimo séptimo
13 tredécimo/a decimotercero 28 vigésimo octavo
14 décimo cuarto 29 vigésimo noveno
15 décimo quinto 30 trigésimo
Cuestión 2.1.4.
Escribe las siguientes cifras en letras:
• 1.456.789; 3.452; 1005 y 445.899
Responde utilizando los cardinales:
• Hemos celebrado el 25 cumpleaños de mi hermana
• Mis padres llevan casados treinta años, van a celebrar su … aniversario.
• En el pueblo van a organizar 11 Fiesta de la Morcilla
Idea Clave
Lectura y escritura de números naturales: Primero se separan las cifras de tres
en tres empezando por la derecha (9.013.098.099.421; nueve billones trece mil
noventa y ocho millones noventa y nueve mil cuatrocientos veintiuno). Después se
leen de izquierda a derecha como si fuesen números de tres cifras. Se añaden las
palabras mil, millones, billones, trillones... donde corresponda.
Recuerda: que hasta el número treinta, se escribe en una sola palabra

2. Representación.
Representación.
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a
mayor. Para hacerlo, se señala un punto sobre la recta para determinar el número
cero. A continuación, se escriben a la derecha del cero los números naturales de
mayor a menor, cada uno a la misma distancia del anterior:
Ordenación de los números naturales.
Dados dos números naturales cualesquiera se cumplirán una de las siguientes
opciones:
• El primero es menor que el segundo: 4 < 5
• El primero es igual que el segundo: 10 = 10
• El primero es mayor que el segundo: 7 > 5
Idea Clave
Recuerda:
Cuestión 2.1.5.
• En una recta, tomamos como referencia 1cm de la regla, para hacer las
unidades, representa los siguientes números: 2, 4, 7 y 10
• Ordena de mayor a menor, los siguientes números: 8.888, 8, 888, 88 y 107
• Ordena de menor a mayor, los siguientes números: 4, 66, 1.200, 44 y 2.345
4. Operaciones con los números naturales
1. Descomponer números en sus órdenes de unidades.
Nuestro sistema de numeración se basa en el sistema de numeración decimal, 10
unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. De tal manera,
que los números con una sola cifra son todos unidades; los de dos cifras, la primera
corresponde a las decenas, y la segunda a las unidades; los de tres cifras, la primera

a las centenas, las segunda, a las decenas, y la última a las unidades; y asi
sucesivamente…
Centena
de
millón
Decena
de
millón
Unidad
de
millón
Centena
de
millar
Decena
de
millar
Unidad
de
millar
Centena Decena Unidad
C. de
millón
D. de
millón
U. de
millón
C. de
millar
D. de
millar
U. de
millar
C D U
Ejemplo, queremos descomponer el siguiente número 3.890.460 en orden de
unidades:
3.890.460. = 3 U. de millón + 8 C. de millar + 9 D. de millar + 0 U. de millar + 4 C + 6
D + 0 U = 3.000.000 + 800.000 + 90.000 + 400 + 60 = 3.890.460
Cuestión 2.1.6. Descompón los siguientes números en orden de unidades:
• 34.807.075 =
• 305.678.345 =
2. La suma y sus propiedades
Los números que se suman se llaman sumandos. Un paréntesis indica la suma que se
realiza primero. Ejemplos:
44 + 232 = 276
23 + (345 + 12) = 23 + 357 = 380
Propiedades de la suma:
a) Conmutativa. La alteración del orden de los sumandos no altera la suma.
a + b = b + a
3 + 4 = 4 +3
7 = 7
b) Asociativa. Se pueden asociar de cualquier modo los sumandos sin alterar la
suma.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
22 + 10 + 4 = (22 + 10) + 4 = 22 + (10 + 4)
36 = 32 + 4 = 22 + 14
36 = 36 = 36
c) Elemento neutro. El elemento neutro para la suma es 0.
a + 0 = a
45 + 0 = 45

3. La resta.
Los números que intervienen en una resta se llama minuendo, sustraendo y
diferencia: minuendo – sustraendo = diferencia.
12.456 – 10.001 = 2.455
Para saber si una resta, esta bien calculada, si al resultado -diferencia- le
sumamos el sustraendo, nos tiene que dar el minuendo.
4. La multiplicación y sus propiedades
La multiplicación de un número a, mayor que 1, por otro b es la suma de a
sumandos iguales al número b. Se expresa a x b o a · b; a y b se llaman factores.
2.345 x 22 = 51.590
Propiedades de la multiplicación:
a) Conmutativa.
a · b = b · a
12 · 123 = 123 · 12
1.476 = 1.476
b) Asociativa.
(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c
(2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 2 · 3 · 4
6 · 4 = 2 · 12 = 24
24 = 24 = 24
c) Distributiva.
a · (b + c) = a · b + a · c
10 · (22 + 5) = 10 · 22 + 10 · 5
10 · (27) = 220 + 50
270 = 270
d) Elemento de neutro. El número neutro para la multiplicación es el 1
1 · a = a / a · 1 = a
1 · 999 = 999 / 834 · 1 = 834

e) Elemento absorbente. Para los números naturales el elemento absorbente es
el 0.
0 · a = 0 / a · 0 = 0
0 · 45 = 0 / 123 · 0 = 0
5. La división.
La división es la operación contraria a la multiplicación y se expresa a : b o a /
b. a : b = c significa que a = b · c; a es el dividendo, b el divisor y c el cociente.
322 : 2 = 161
161 x 2 = 322
Muchas veces la división no es exacta. Por ejemplo, 45 : 8 no es una división
exacta porque 8 · 5 =40 y 8 · 6= 48; entonces 45 entre 8 tiene de cociente 5 y
de resto 45 – 40 = 5.
Dividendo = divisor · cociente + resto
45 = 8 · 5 + 5
Ilustración 4. Exacta.
Ilustración 5. No exacta.
Cuestión 2.1.7. Calcula las siguientes operaciones, sin calculadora.
• 4.567 + 333 + 11.084 + 32 =
• 8.999.333 – 23.456 =
• 34.568 x 29 =
• 54.816 : 12 =
6. La jerarquía de operaciones
El orden para realizar operaciones es:
1) Operaciones entre paréntesis
2) Multiplicaciones y divisiones
3) Sumas y restas

Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de
izquierda a derecha.
20.000 : 4 x (230 -30) = 20.000 : 4 x (200) = 1.000.000
7. Operaciones combinadas.
Ejemplos:
• 6 · 7+ 8 · 5 = 42 + 40 = 82
• (6 +3) · 5 = (9) · 5 = 9 · 5 = 45
• 16 + 6 · (6 + 16 · 2) = 16 + 6 · (6 + 32) = 16 + 6 · (38) = 16 + 6 · 38 = 16 + 228 =
244
Advertencia: solo las calculadoras científicas respetan la jerarquía de las
operaciones, las calculadoras estándar no, por eso importante, que cuando hagas
cálculos con la calculadora del ordenador, móvil, o table, hayas seleccionado la
calculadora científica.
5. Potencias y raíces con los números naturales.
1. Potencias.
Potencias de base y exponente natural.
Una potencia es una manera abreviada de expresar una multiplicación de factores
iguales. Por ejemplo, 24
es una potencia. Se lee "dos elevado a cuatro" y significa
2·2·2·2. La base es 2, que es el factor que se repite. El exponente es 4, que es el
número de veces que se repite la base. 24= 2 · 2 · 2 · 2 = 16.
an
= a · a · a · a · (n veces)
Observa, las potencias más sencillas son las que tienen como base 1 o 10:
• 110
= 1
• 15
= 1
• 103
= 10 · 10 · 10 = 1.000
• 107
= 10.000.000
Propiedades de las potencias:
Producto con la
misma base:
𝒂𝒂 𝒎𝒎
· 𝒂𝒂𝒏𝒏
= 𝒂𝒂 𝒎𝒎 + 𝒏𝒏 53
· 56
= 53+6
= 59
Cociente con la
misma base:
𝒂𝒂 𝒎𝒎
∶ 𝒂𝒂𝒏𝒏
= 𝒂𝒂 𝒎𝒎 − 𝒏𝒏 813
: 86
= 813-6
= 87
Potencia de una
potencia
(𝒂𝒂 𝒎𝒎)𝒏𝒏
= 𝒂𝒂 𝒎𝒎 · 𝒏𝒏 (53
)2
= 53 · 2
= 56

Producto y el
mismo exponente
𝒂𝒂𝒏𝒏
· 𝒃𝒃𝒏𝒏
= (𝒂𝒂 · 𝒃𝒃)𝒏𝒏 53
· 83
= (5 ·8)3
= 403
Cociente y el
mismo exponente
𝒂𝒂𝒏𝒏
∶ 𝒃𝒃𝒏𝒏
= (𝒂𝒂 ∶ 𝒃𝒃)𝒏𝒏 403
· 83
= (40 : 8)3
= 53
Exponente 0 𝒂𝒂𝟎𝟎
= 𝟏𝟏 50
= 1
Exponente 1 𝒂𝒂𝟏𝟏
= 𝒂𝒂 51
= 5
Cuestión 2.1.8. Calcula las siguientes operaciones, sin calculadora.
• 23
·24
·27
=
• 410
:45
=
• (34
)5
=
• 25
·75
=
• 146
:76
=
• 10000
=
• 10001
=
2. La raíz cuadrada
Raíz cuadrada exacta.
En cierta forma, podríamos afirmar, que la raíz cuadrada es lo contrario a la potencia
de elevar al cuadrado (a2
), de tal manera que la propiedad quedaría así:
𝟕𝟕𝟐𝟐
= 𝟒𝟒𝟒𝟒 → √𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟕𝟕
El símbolo √ se llama radical y el número que esta dentro se llama es el radicando.
Idea Clave
Si un número se eleva al cuadrado se obtiene un número cuadrado. Los números
cuadrados tienen una raíz cuadrada exacta.
Raíz cuadrada entera, calcular raíz cuadrada por tanteo.
No todas las raíces cuadradas son exactas, para que sean exactas, como ya hemos
dicho anteriormente se debe cumplir: a · a = a2
= b → √𝑏𝑏 = 𝑎𝑎. Cuando no se cumple
esta condición, por ejemplo la raíz cuadrada de 20, se calcula la raíz cuadrada entera
más un resto, veamos cómo se hace: el 20 se encuentra entre 42
y 52
(acordaros de
la propiedad an
·bn
=(a·b)n
; 42
·52
=202
), cogemos el cuadrado más cercano a 20, en este
caso 16 (42
), y calculo 20 -16 = 4, donde 4 es el resto. Esta forma de calcular la raíz
se llama por tanteo.
Cuestión 2.1.9. Calcula las siguientes raíces cuadradas, de los siguientes números,
por tanteo:
• 90

• 70
Raíces cuadradas
Visualiza este video, para entender cómo se resuelve una raíz cuadrada:
https://youtu.be/34qWUkcYiP4
También entra en el siguiente enlace:
https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada
Idea Clave
Prueba de la raíz cuadrada. Para que el resultado sea correcto, se tiene que
cumplir:
Radicando = (raíz entera)2
+ Resto
Ejemplo, la raíz cuadrada 89.224 es 298 y de resto 420:
89.224 = 2982
+ 420
89.224 = 88.804 + 420
89.224 = 89.224
Recuerda:
No es lo mismo el doble de a que su cuadrado:
• el doble de 3 es 6, dado que 3 x 2 = 6
• el cuadrado de 3 es 9, dado que 32
= 3 · 3 = 9
PRACTIQUEMOS CON LA CALCULADORA CIENTIFICA
• Cálculo de operaciones combinadas con paréntesis y corchetes, aplicándola
la jerarquía de las operaciones:
Primero conocer las siguientes teclas:
Borra el carácter a la izquierda del cursor.
Borra la pantalla.
Ejecuta la expresión.
Variable que guarda el último valor obtenido.
Desplazamiento del cursor.

Recorre las expresiones ejecutadas.
Ejemplo: (3 + 5 – 4 + 1) · 3 + 16 : 4 =
Tecleamos paréntesis de la calculadora (, y a continuación la expresión tal cual se
nos presenta en el ejercicio, teniendo en cuenta que hay que cerrar paréntesis
cuando corresponda. Si lo hemos hecho bien, el resultado es 19.
• Cálculo de potencias:
Vamos a utilizar dos tipos de teclas, si es para el calculo del cuadrado de un número
y si es para, potencia de un número, la tecla .
Ejemplos:
• Calcular el cuadrado de 100, introducimos el número 100 y a continuación la
tecla correspondiente, y resolvemos, el resultado debería ser: 10.000.
• Calcular el valor de 310
; tecleamos el 3, a continuación, la tecla
correspondiente, luego tecleamos 10, y resolvemos, resultado: 59.049.
• Cálculo de raíces cuadradas:
Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de 89.224. Tecleamos el símbolo de raíz cuadrada,
introducimos el número, y resolvemos. Fijaros que la calculadora, da como resultado
298,7038667; no aparece el resto. Si queremos saber el resto, de esta raíz
cuadrada, aplicamos la siguiente fórmula: Resto = Radicando – (raíz cuadrada
entera)2
; en nuestro caso: resto = 89.224 – (298)2
; resto = 89.224 – 88.804 = 420
PRACTIQUEMOS CON LA HOJA DE CALCULO EXCEL
• Operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Suma: si queremos sumar dos o más celdas, nos situamos en la celda donde queremos
que aparezca el resultado, luego nos situamos en la barra donde está el símbolo
ponemos un igual, elegimos la primera celda, donde hemos introducido las cantidades,
tecla + luego la siguiente celda, y así sucesivamente, y luego intro:

También se puede hacer horizontalmente:
Podemos darle formato y añadir cosas:
Resta: si queremos restar dos cantidades, el procedimiento es igual que la suma, pero
debemos seleccionar la tecla –

Multiplicación: mismo procedimiento que la suma, pero en lugar de la tecla +,
utilizamos la tecla *.
División: si queremos dividir las cantidades de dos celdas, el procedimiento es el
mismo, pero hay que utilizar /
• Cálculo de potencias:
Imaginemos que queremos calcular la potencia cubica o elevado a tres de los
siguientes números: 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Nos situamos en la celda C2, en la barra, escribimos =POTENCIA(B2;3), estaremos
indicando, que queremos que nos calcule la potencia cubica de 3, si luego bajos con
el cursor hacia abajo, desde la celda donde hemos calculado la potencia, hasta la C7,
nos calculadora las potencias cubicas de las cantidades solicitadas:
• Cálculo de raíces cuadradas:
Queremos calcular las raíces cuadradas de: 10.000; 225; 89.224 y 14.567.
Introducimos horizontalmente las cantidades, desde la celda B2 hasta la B5. Nos
situamos en la celda C2, y escribimos =RAIZ(B2) y les damos al intro. Desde esa
celda, nos desplazamos hacia abajo hasta la celda C5, y nos calculara las raíces
cuadradas de las cantidades introducidas:
Cómo podemos observar las dos
primeras son exactas, esto
significa que son raíces cuadradas
enteras, en cambio las dos
siguientes al dar decimales, no son
raíces cuadradas enteras, y
deberemos calcular el resto por
nuestra cuenta, si lo queremos saber.
6. Ejercicios.
1. Inventa un sistema de numeración, utilizando como símbolos lo Emoji, y
después escribe en tu sistema las siguientes cifras:
a. 100
b. 1000
c. 3450
2. Pasar las siguientes cifras en sistema decimal, al sistema de numeración
romana:
43 555

22 1023
89 8900
13 233
345 7890
44 444
55 5555
678 1890
11 212
24 89
896 2345
1234 5678
907 865
354 543
1020 2021
67 307
77 407
87 507
97 907
1000000
3. Pasar las siguientes cifras en sistema romano, al decimal:
MMDLXXXV CCI
XXXIV CCLXXXIII
CLXXIX CCI
LXXVIII MMXLVI
XXXII CDXXVI
CDLVI CXCIV
MDXLIX 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥��CCCXI
MCCLXX DCCCXLIV
DCCCXLIX
XXIV CDLVI
MDXLIX VII
4. Escribe en romano:
a. La fecha de tu nacimiento
b. Tu edad
5. Realiza las siguientes operaciones:
a. XXII + XVIII
b. XLIII – XXVI
c. VI · XII
d. XXVII : III

6. Ordena:
a. menor a mayor: I, V, II, IX, X,
b. mayor a menor: VII, VIII, III, IV, VI
7. Escribe las siguientes cifras en letras.
1.754 10.027 38 766
8.500 1.450.000 79 100
185 1.994 70.000 58
1.789 14.800 480.00 30.630.450
15.500 59.000 781 100.000
8. Escribe los siguientes cardinales en letras.
100º 15º 21º
3º 6º 9º
11º 13º 24º
2º 7º 14º
9. Representar gráficamente los siguientes números naturales, teniendo en
cuenta las indicaciones:
la unidad equivale a 1 cm de la regla 6, 8, 10, 0 i 4
5 unidades equivalen a 1 cm de la regla 15, 13, 25, 33 y 40
10 unidades equivalen a 1cm de la regla 99 y 87
100 unidades equivalen a 1cm de la regla 805 y 456
1000 unidades equivalen a 1 cm de la regla 1045
10. Ordena de mayor a menor los siguientes números naturales:
543, 78, 101, 56, 77, 21, 897, 342, 567
11. Ordena de menor a mayor los siguientes números naturales:
22, 142, 333, 4, 207, 11, 23, 456, 192
12. Del ejercicio 7, descompón en orden de unidades las dos primeras columnas.
13. Resuelve las siguientes operaciones.
a. 456.789 + 33.120 + 89.884 =
b. 56.894 – 11.299 =
c. 345.789 x 234 =
d. 56.780 : 322 =
14. Resuelve los siguientes problemas.
a. Ayer Luisa compró una camiseta de 15 euros y una mochila de 23 euros,
pero le hicieron un descuento y, en total, solo pagó 35 euros. ¿Cuánto
descuento le hicieron?
b. En el parque de atracciones, nos hemos montado en “La rueda loca”,
que es muy divertida. Nos ha dicho el vigilante que ha funcionado 40

veces y siempre llena, llevando 5 personas en cada viaje. Otra
atracción, “El dragón amarillo”, ha llevado 3 veces más niños que “La
rueda loca”. ¿Cuántos niños se han montado en “El dragón púrpura”?
c. En el siglo XVI, el pirata Barba Roja encontró un tesoro en una isla
desierta que tenía en total 3.000 monedas de oro repartidas por igual
en 3 cofres. Además, en cada cofre había también 200 monedas de
plata y 2 veces más monedas de bronce que de plata. ¿Cuántas
monedas había en total en cada cofre?
d. En el mes de enero, Felipe vendió 120 kg de manzanas, el doble de
naranjas y la mitad de los plátanos. ¿Cuántos kilos vendió en total de
estos tres tipos de fruta?
e. Micaela tiene un quiosco de prensa. Hoy ha vendido 90 periódicos, 35
revistas y 12 libros. Cada periódico lo ha vendido a 80 céntimos, cada
revista a 2 € y cada libro a 12 €. ¿Cuánto ha recaudado en total?
15. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a. 2 · (4 + 3) - 14 : 7 + (12 - 4) · 5 =
b. (2 + 3 + 5) : 2 + 7 · 2 - 3 · 4 =
c. 18 + (26 - 14 - 6) : 2 + (5 + 3) · 4 =
d. 24 : 6 + 11 - (8 - 6) + 21 =
e. 3 · (100 - 90) + 12 · (5 + 2) =
f. 7 · (26 : 2) - (6 : 3) · 6 + 4 =
g. 66 : (15 - 9) + 7 · (6 : 2) - 12 : 2 =
h. 7 · (4 + 8 - 5) : (12 - 5) + 7 · (8 - 6 + 1) =
i. (12 : 3 + 5) · 2 - (2 · 3) · 3 + (12 - 5) : 7 - (9 - 8) =
j. 12 · 3 - 124 : 4 - (180 : 9) : 5 =
k. (241 - 100 + 44) : 5 + 20 · 7 =
16. Escribe en forma de potencia los siguientes productos:
a. 5 · 5 =
b. 7 · 7 · 7 =
c. 9 · 9 · 9 · 9 =
d. 20 · 20 · 20 · 20 =
17. Escribe el número al que corresponden estas descomposiciones:
a. 3 · 105
+ 6 · 104
+ 9 · 103
+ 6 · 102
=
b. 5 · 108
+ 7 · 107
+ 2 · 106
+ 4 · 104
+ 2 · 10 =
18. Escribe en forma de producto y calcula el valor de cada potencia:
a. 25
=
b. 108
=
c. 56
=
d. 18
=
e. 100000
=
f. 33
=

19. Calcula las siguientes operaciones, teniendo en cuenta las propiedades de las
potencias:
a. 82
· 85
=
b. 126
· 128
=
c. 2319
·2316
2310
=
d. 57
: 53
=
e. 1310
: 135
=
f. 916
: 92
: 94
=
g. (46
)2
=
h. (1010
)4
=
i. (2618
)5
: (267
)2
=
j. 36
· 46
=
k. 109
· 129
· 59
=
l. 127
: 37
=
m. 7713
: 1113
=
20. Calcula las raíces de los siguientes números y haz la comprobación.
a. 678.989
b. 23.444
c. 7.567.001
d. 999
e. 1.450
21. Operaciones combinadas con potencias y raíces:
a. �12 + √9� ∶ √25 =
b. √100 + 62
+ (5 − 2) 𝑥𝑥 3 =
c. 52
+ √81 ∶ 3 − 7 =
d. 4 · 32
− 10 · 2 =
22. Realiza un trabajo de investigación, que realizaras en un documento Word, ya
te indicara el docente como entregarlo, sobre la historia de los números
naturales. Máximo sin portada, cinco hojas, tamaño letra 11.
23. EJERCICIOS CON CALCULADORA:
a. Resuelve con calculadora el ejercicio 15.
b. Resuelve con calculadora el ejercicio 17.
c. Resuelve con calculadora el ejercicio 19.
d. Resuelve con calculadora el ejercicio 21.
24. EJERCICIOS CON HOJA EXCEL: al documento para enviar, el archivo se
denominará Bloque_02_unidad_01 y vuestro nombre, tal como se ha explicado
anteriormente.
a. Hoja 1: Hacer una tabla de cuadrados de los primeros 20 números
según el modelo:

b. En la hoja 1, columna F, lo mismo, pero con los siguientes números: 10,
20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
c. En la hoja 2, calcular las raíces cuadradas de los resultados de las en
potencias cuadradas de la hoja 1.
d. En la hoja 3, hacer el calculo de cinco raíces, que no sean exactas.
e. En la hoja 4, debéis hacer tres sumas, tres restas, tres
multiplicaciones y tres divisiones.

Bloque 02 01_1_eso

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