Las cadenas de Markov son modelos probabilísticos que predicen la evolución y comportamiento a corto y largo plazo de sistemas. George usa una cadena de Markov para predecir las participaciones de mercado futuras de tres escuelas técnicas (Bradley School, International Technology y Career Academy) basándose en las tasas históricas de retención de estudiantes y cambios entre escuelas. Multiplicando las participaciones actuales por la matriz de probabilidad de transición, se calculan las participaciones de equilibrio para cada escuela.

1. CADENAS DE MARKOV

2. Definición
•Las cadenas de markov son modelos probabilísticos
que se usan para predecir la evolución y el
comportamiento a corto y a largo plazo de
determinados sistemas. Ejemplos: reparto del
mercado entre marcas; dinámica de las averías de
máquinas para decidir política de mantenimiento;
evolución de una enfermedad,…

3. 1. George Walls, presidente de Bradley School, está preocupado por la matrícula
decreciente. Bradley School es una escuela técnica que se especializa en
capacitar a programadores y operadores de computadoras. Con el paso de los
años, ha habido mucha competencia entre Bradley School, International
Technology y Career Academy. Las tres compiten por brindar educación en las
áreas de programación, operación de computadora y habilidades secretariales
básicas.
Para entender mejor cuál de estas escuelas está surgiendo como líder, George
decidió realizar una encuesta, en la cual observó el número de estudiantes que
se cambiaban de una escuela a otra durante sus carreras académicas. En
promedio, Bradley School puede retener al 65% de los estudiantes inscritos
originalmente. De los estudiantes inscritos originales, 20% se cambian a Career
Academy y 15% a International Technology.

4. Career Academy tiene la tasa de retención más alta: 90% de sus
estudiantes permanecen en Career Academy el programa académico
completo. George estima que cerca de la mitad de los estudiantes que
dejan Career Academy se van a Bradley School, y la otra mitad a
International Technology. Esta puede retener al 80% de sus estudiantes
después de que se inscriben. De los estudiantes inscritos originales,
10% se cambian a Career Academy y el otro 10% se unen a Bradley
School.
Actualmente, Bradley School tiene 40% del mercado. Career Academy,
una escuela mucho más nueva, tiene 35% del mercado. El porcentaje
restante, 25%, consiste en estudiantes de International Technology.
George desea determinar la participación en el mercado de Bradley
para el siguiente año. ¿Cuáles son las participaciones de mercado en
equilibrio para Bradley School, International Technology y Career
Academy?

5. Solución
Los datos de este problema se resumen como sigue:
Participación inicial del estado 1 = 0.40, Bradley School
Participación inicial del estado 2 = 0.35, Career Academy
Participación inicial del estado 3 = 0.25, International Technology

6. Los valores de la matriz de transición son:

7. Para que George determine el mercado para Bradley School
en el siguiente año, debe multiplicar las participaciones en el
mercado actuales por la matriz de probabilidades de
transición. La estructura general de estos cálculos es:

8. Entonces, las participaciones en el mercado para Bradley School,
International Technology y Career Academy se calculan multiplicando
las participaciones actuales por la matriz de probabilidades de
transición como se indica. El resultado es una nueva matriz (vector) con
tres números, donde cada uno representa la participación en el
mercado para cada una de las escuelas. Los cálculos detallados son los
siguientes:

9. Ahora, George desea calcular las participaciones de mercado en equilibrio para
las tres escuelas. En condiciones de equilibrio, la participación en el mercado
futuro es igual a las participaciones en el mercado existentes o actuales,
multiplicadas por la matriz de probabilidades de transición. Si la variable X
representa las diferentes participaciones en el mercado para las tres escuelas, es
posible desarrollar una relación general que nos permita calcular las
participaciones en el mercado de estado estable o de equilibrio.
Sean:

10. El siguiente paso es efectuar las multiplicaciones adecuadas en el lado
derecho de la ecuación. Hacerlo nos permite obtener tres ecuaciones
con tres valores X desconocidos. Además, sabemos que la suma de las
participaciones en el mercado para un periodo dado debe ser 1.
Entonces, generamos cuatro ecuaciones que se resumen como sigue:

11. Puesto que tenemos cuatro ecuaciones y tan solo tres incógnitas, eliminamos
una de las primeras tres ecuaciones para tener tres ecuaciones con tres
incógnitas. Estas ecuaciones se resuelven usando procedimientos algebraicos
estándar para obtener los valores de las participaciones en el mercado en
equilibrio para las tres escuelas. Los resultados de estos cálculos se muestran
en la siguiente tabla:

12. Ejemplo 2. Suponga que toda la industria de
refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi
Cola. Cuando una persona ha comprado Coca
Cola hay una probabilidad de 90% de que siga
comprándola la vez siguiente. Si una persona
compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez
siguiente. Se pide:

13. a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál
es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos
compras a partir de hoy?
b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola.
¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas
tres compras a partir de ahora?
c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca
Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué
fracción de los compradores estará tomando Coca Cola?.

18. EJERCICIOS
1. El departamento de estudios de mercado de una
fábrica estima que el 20% de la gente que compra un
producto un mes, no lo comprará el mes siguiente.
Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo
adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000
individuos, 100 compraron el producto el primer mes.
¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de
dos meses?

19. 2. En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman,
2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman
más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de
probabilidad de que un no fumador comience a fumar un
paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase
a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un
paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen
el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete
diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de
probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a
fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de
cada clase el próximo mes?

20. 3. Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C.
Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la
misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día
siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando
un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al
día siguiente es 0.4, la de tener que viajar a B es 0.4 y la de tener que
ir a A es 0.2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de
un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día
siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con
probabilidad 0.2. Por último si el agente comercial trabaja todo un
día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con
una probabilidad 0.1, irá a B con una probabilidad de 0.3 y a C con
una probabilidad de 0.6.

21. a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de
que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días?
b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente
comercial está en cada una de las tres ciudades?

22. 4. En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2,
S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro.
El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al
S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas.
Cada mes el S1 retiene el 90% de sus clientes y
pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2
solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el
resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el
50% que va al S1 y el 10% va al S2.

23. a. Establecer la matriz de transición
b. ¿Cuál es la proporción de clientes para los
supermercados el 1 de noviembre?
c. Hallar el vector de probabilidad estable.