1) El documento presenta la resolución de dos ejercicios de cálculo. En el primero se resuelve una ecuación logarítmica utilizando propiedades de logaritmos y la fórmula cuadrática. En el segundo se calcula la suma de los valores de z que satisfacen una ecuación dada. 2) Se resuelve un problema que involucra días de la semana y años, determinando que el día 100 del año N-1 fue jueves. 3) Se presentan las posibles funciones f que cumplen con una ecuación dada

1. Taller de recuperación de cálculo
Anthony Tafur Blanco
Andrea Ortiz Atehortua
Juan David Velázquez
Laura Vanesa Luna Perez
José Manuel Causil
Calculo 1
Primer semestre
Ingeniería de sistemas
Universidad de córdoba sede lorica

2. 1) Resolver parax
𝒍𝒐𝒈 𝒙 𝟏𝟎+ 𝟐𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝒙 𝟏𝟎 + 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟗𝟎𝒙 𝟕𝟎 = 𝟎
 Utilizando la propiedad del cambio de basetenemos

𝒍𝒏 𝟏𝟎
𝒍𝒏 𝒙
+
𝒍𝒏 𝟏𝟎𝟎
𝒍𝒏𝟏𝟎𝒙
+
𝒍𝒏 𝟕𝟎
𝒍𝒏 𝟏𝟗𝟎𝒙
= 𝟎
 Utilizando la siguiente propiedad de la multiplicación de los logaritmos podemos
descomponer el ln10x y el ln190x

𝒍𝒏 𝟏𝟎
𝒍𝒏 𝒙
+
𝒍𝒏 𝟏𝟎𝟎
𝒍𝒏𝟏𝟎+𝒍𝒏𝒙
+
𝒍𝒏 𝟕𝟎
𝒍𝒏 𝟏𝟗𝟎+𝒍𝒏𝒙
= 𝟎
 Sumamos fracciones

(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐+𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝒙
𝒍𝒏𝟏𝟎 𝒍𝒏 𝒙+(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
+
𝒍𝒏 𝟕𝟎
𝒍𝒏 𝟏𝟗𝟎+𝒍𝒏𝒙
= 𝟎

(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎+(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
+𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
+𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟕𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
= 𝟎
 No queda nada dividiendo ya que este al estar dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y
se convierte en cero.
 Mediante la factorización buscamos los factores comunes en la ecuación
 (𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + (𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝟏𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
+ 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙 +
𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
+ 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝟕𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
= 𝟎
 Los factores comunes son lnx y (lnx)2
 ( 𝒍𝒏𝟏𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎 + 𝒍𝒏𝟕𝟎)( 𝒍𝒏𝒙) 𝟐
+ ((𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
+ 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎) 𝒍𝒏𝒙 +
(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 = 𝟎
 Nos queda una ecuación cuadrática de la forma ax2+bx+c=0 y para resolverla en términos de x
debemos usar la formula general cuadrática la cual es 𝒙 =
−𝒃±√ 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 Entonces tenemos que:
 x:lnx
 a: 𝒍𝒏𝟏𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎 + 𝒍𝒏𝟕𝟎 =ln(10.100.70)=ln(70000)= 11,15
 b:(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
+ 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎=51,32
 c:(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐
𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎=27,81
 reemplazando en la formula 𝒙 =
−𝒃±√ 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 𝒍𝒏𝒙 =
− 𝟓𝟏,𝟑𝟐±√(𝟓𝟏,𝟑𝟐) 𝟐−𝟒( 𝟏𝟏,𝟏𝟓)(𝟐𝟕,𝟖𝟏)
𝟐( 𝟏𝟏,𝟏𝟓)
= 𝒍𝒏𝒙 =
− 𝟓𝟏,𝟑𝟐±√𝟏𝟑𝟗𝟑.𝟒𝟏
𝟐𝟐.𝟑
 𝒍𝒏𝒙 =
− 𝟓𝟏,𝟑𝟐±𝟑𝟕.𝟑𝟐
𝟐𝟐.𝟑
=𝒍𝒏𝒙 =
− 𝟓𝟏,𝟑𝟐+𝟑𝟕.𝟑𝟐
𝟐𝟐.𝟑
y 𝒍𝒏𝒙 =
− 𝟓𝟏,𝟑𝟐−𝟑𝟕.𝟑𝟐
𝟐𝟐.𝟑
 = lnx1=-0.6 y lnx2= -3.9
 Usamos la fórmula de cancelación del logaritmo natural que es poniendo de
exponente a e:
 = 𝒆 𝒍𝒏𝒙𝟏
=𝒆−𝟎.𝟔
y 𝒆 𝒍𝒏𝒙𝟐
=𝒆−𝟑.𝟗
 = x1= 0,54 y x2= 0,02 Y esos son los valores que satisfacen a la
ecuación.

3. 2) Sea f una función de la forma f(
𝒙
𝟑
)= x2
+x+1 hallar la suma de los valores z para los cuales
f(3z)=7:
 x/3=3z
 x=9z
 f(
9𝑧
3
)=9z2
+9z+1
 f(3z)=81z2+9z+1
 entonces si f(3z)=7
 812+9z+1=7
 812
+9z-6=0
 3(272
+3z-2)=0
 272
+3z-2)=0
 Según la formula cuadrática tenemos
 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
donde a=27,b=3,c=-2
 𝑥 =
−3±15
54
 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 x1=
−18
54
y x2=
12
54

−18
54
+
12
54
=
−18+12
54
=
−6
54
=
−1
9
Forma b:
f(3z)=7:
 x/3=3z
 x=9z
 f(
9𝑧
𝟑
)=9z2+9z+1
 f(3z)=81z2
+9z+1
 entonces si f(3z)=7
 7=81z2+9z+1
 81z2
+9z+1-7=0
 81z2
+9z-6=0 a=81 , b=9 , c=-6.
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑎𝑛𝑜 𝑣𝑖𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶
 X1+X2 =
−𝑏
𝑎
entonces tenemos
−9
81
sacamos novena y queda
−1
9

4. 3) El día 300 dela año N es martes, el día 200 del año N+1 también es martes,
¿qué día de la semana será el día 100 del año N-1?
Como el día 300 del año N es martes y en día 200 del año N+1 también entonces
debió parar en una cantidad múltiplo de 7 días ahora hay dos opciones
265 días o 266 días
Pero 256 no es múltiplo de 7 y 266 si. Por tanto estamos en un año bisiesto lo que
implica que N-1 no es bisisesto, ni N tampoco, asi del dia 100 del año N-1 al dia 300
del año N hay 565 dias por lo tanto.
565=560+5= 7(80) +5
Asi 5 dias atrás, los dias de la semana coincidían y como en el dia 300 del año N es
martes, 5 dias attras era jueves por eso el dia 100 del año N-1 es o fue jueves.
4) Halle todas las funciones f: R+R+ tales que f(cf.(y)) + f(yf(x))= 2x
 Si y=1 y xE R
 f(xf(1) + f(f(x))= 2x (1)
 Si y E R y x=1
 f(f(y) + f(yf(1))=2 (2)
 luego de la ecuacion 2 tenemos, si y = x
 f(f(x))+f(xf(1))=2x =2 porque x=1
 f(f(1))+f(f(1))=2 entonces f(f(1)) = 1 pero como f(1)R+
,f(1)=1
5)
x+y+z=0
x2
+y2
+z2
=6
x3
+y3
+z3
= -3
 De la ecuación 1 tenemos:
z=-x-y
z2
=x2
+2xy+y2
z4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4
 de igual forma tenemos:
x+y+z=0
(x+y+z)2
=0
x2
+y2
+z2
+2xy+2xz+2yz=0
 de la ecuacion 2 tenemos que x2
+y2
+z2
es igual a 6
6+2xy+2xz+2yz=0

5. 2xy+2xz+2yz=-6
2(xy+xz+yz)=-6
xy+xz+yz=-3