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Calculo de una variable unicor
- 1. Taller de recuperaciónde cálculo Anthony Tafur Blanco Andrea Ortiz Atehortua Juan David Velázquez Laura Vanesa Luna Perez José Manuel Causil Calculo 1 Primer semestre Ingeniería de sistemas Universidad de córdoba sede lorica
- 2. 1) Resolver parax 𝒍𝒐𝒈𝒙 𝟏𝟎+ 𝟐𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟎𝒙 𝟏𝟎 + 𝒍𝒐𝒈 𝟏𝟗𝟎𝒙 𝟕𝟎 = 𝟎 Utilizando la propiedad del cambio de basetenemos 𝒍𝒏 𝟏𝟎 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒍𝒏 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒙 + 𝒍𝒏 𝟕𝟎 𝒍𝒏 𝟏𝟗𝟎𝒙 = 𝟎 Utilizando la siguiente propiedad de la multiplicación de los logaritmos podemos descomponer el ln10x y el ln190x 𝒍𝒏 𝟏𝟎 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒍𝒏 𝟏𝟎𝟎 𝒍𝒏𝟏𝟎+𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏 𝟕𝟎 𝒍𝒏 𝟏𝟗𝟎+𝒍𝒏𝒙 = 𝟎 Sumamos fracciones (𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐+𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝒙 𝒍𝒏𝟏𝟎 𝒍𝒏 𝒙+(𝒍𝒏𝒙) 𝟐 + 𝒍𝒏 𝟕𝟎 𝒍𝒏 𝟏𝟗𝟎+𝒍𝒏𝒙 = 𝟎 (𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎+(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐 +𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐 +𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎𝒍𝒏𝒙+𝒍𝒏𝟕𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐 = 𝟎 No queda nada dividiendo ya que este al estar dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y se convierte en cero. Mediante la factorización buscamos los factores comunes en la ecuación (𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + (𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝟏𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝟕𝟎(𝒍𝒏𝒙) 𝟐 = 𝟎 Los factores comunes son lnx y (lnx)2 ( 𝒍𝒏𝟏𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎 + 𝒍𝒏𝟕𝟎)( 𝒍𝒏𝒙) 𝟐 + ((𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎) 𝒍𝒏𝒙 + (𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 = 𝟎 Nos queda una ecuación cuadrática de la forma ax2+bx+c=0 y para resolverla en términos de x debemos usar la formula general cuadrática la cual es 𝒙 = −𝒃±√ 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Entonces tenemos que: x:lnx a: 𝒍𝒏𝟏𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎 + 𝒍𝒏𝟕𝟎 =ln(10.100.70)=ln(70000)= 11,15 b:(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎 + 𝒍𝒏𝟏𝟎𝒍𝒏𝟕𝟎=51,32 c:(𝒍𝒏𝟏𝟎) 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟗𝟎=27,81 reemplazando en la formula 𝒙 = −𝒃±√ 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝒍𝒏𝒙 = − 𝟓𝟏,𝟑𝟐±√(𝟓𝟏,𝟑𝟐) 𝟐−𝟒( 𝟏𝟏,𝟏𝟓)(𝟐𝟕,𝟖𝟏) 𝟐( 𝟏𝟏,𝟏𝟓) = 𝒍𝒏𝒙 = − 𝟓𝟏,𝟑𝟐±√𝟏𝟑𝟗𝟑.𝟒𝟏 𝟐𝟐.𝟑 𝒍𝒏𝒙 = − 𝟓𝟏,𝟑𝟐±𝟑𝟕.𝟑𝟐 𝟐𝟐.𝟑 =𝒍𝒏𝒙 = − 𝟓𝟏,𝟑𝟐+𝟑𝟕.𝟑𝟐 𝟐𝟐.𝟑 y 𝒍𝒏𝒙 = − 𝟓𝟏,𝟑𝟐−𝟑𝟕.𝟑𝟐 𝟐𝟐.𝟑 = lnx1=-0.6 y lnx2= -3.9 Usamos la fórmula de cancelación del logaritmo natural que es poniendo de exponente a e: = 𝒆 𝒍𝒏𝒙𝟏 =𝒆−𝟎.𝟔 y 𝒆 𝒍𝒏𝒙𝟐 =𝒆−𝟑.𝟗 = x1= 0,54 y x2= 0,02 Y esos son los valores que satisfacen a la ecuación.
- 3. 2) Sea funa función de la forma f( 𝒙 𝟑 )= x2 +x+1 hallar la suma de los valores z para los cuales f(3z)=7: x/3=3z x=9z f( 9𝑧 3 )=9z2 +9z+1 f(3z)=81z2+9z+1 entonces si f(3z)=7 812+9z+1=7 812 +9z-6=0 3(272 +3z-2)=0 272 +3z-2)=0 Según la formula cuadrática tenemos 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 donde a=27,b=3,c=-2 𝑥 = −3±15 54 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 x1= −18 54 y x2= 12 54 −18 54 + 12 54 = −18+12 54 = −6 54 = −1 9 Forma b: f(3z)=7: x/3=3z x=9z f( 9𝑧 𝟑 )=9z2+9z+1 f(3z)=81z2 +9z+1 entonces si f(3z)=7 7=81z2+9z+1 81z2 +9z+1-7=0 81z2 +9z-6=0 a=81 , b=9 , c=-6. 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑎𝑛𝑜 𝑣𝑖𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ X1+X2 = −𝑏 𝑎 entonces tenemos −9 81 sacamos novena y queda −1 9
- 4. 3) El día300 dela año N es martes, el día 200 del año N+1 también es martes, ¿qué día de la semana será el día 100 del año N-1? Como el día 300 del año N es martes y en día 200 del año N+1 también entonces debió parar en una cantidad múltiplo de 7 días ahora hay dos opciones 265 días o 266 días Pero 256 no es múltiplo de 7 y 266 si. Por tanto estamos en un año bisiesto lo que implica que N-1 no es bisisesto, ni N tampoco, asi del dia 100 del año N-1 al dia 300 del año N hay 565 dias por lo tanto. 565=560+5= 7(80) +5 Asi 5 dias atrás, los dias de la semana coincidían y como en el dia 300 del año N es martes, 5 dias attras era jueves por eso el dia 100 del año N-1 es o fue jueves. 4) Halle todas las funciones f: R+R+ tales que f(cf.(y)) + f(yf(x))= 2x Si y=1 y xE R f(xf(1) + f(f(x))= 2x (1) Si y E R y x=1 f(f(y) + f(yf(1))=2 (2) luego de la ecuacion 2 tenemos, si y = x f(f(x))+f(xf(1))=2x =2 porque x=1 f(f(1))+f(f(1))=2 entonces f(f(1)) = 1 pero como f(1)R+ ,f(1)=1 5) x+y+z=0 x2 +y2 +z2 =6 x3 +y3 +z3 = -3 De la ecuación 1 tenemos: z=-x-y z2 =x2 +2xy+y2 z4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4 de igual forma tenemos: x+y+z=0 (x+y+z)2 =0 x2 +y2 +z2 +2xy+2xz+2yz=0 de la ecuacion 2 tenemos que x2 +y2 +z2 es igual a 6 6+2xy+2xz+2yz=0
- 5.