Solución funciones 10mo Grado - Mined

Grafiquemos Funciones
520
Elaborado por: Marlon Espinoza, Primitivo Herrera, Armando Huete
Tutora: Dra. Gloria Parrilla
Función raíz cuadrada
Llamamos a 𝑓, función raíz cuadrada si 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥.
Para hacer un bosquejo de la gráfica de esta función, primero observemos que 𝑥
no puede ser negativo, esto es, el dominio de 𝑓 es el intervalo [0;+∞). ¿Por
qué? Esto es porque la raíz cuadrada de un número negativo no es real.
Ubiquemos los puntos que corresponden a los pares de la tabla de la izquierda y
unámoslos con una curva suave.
𝑥 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥
0 0
1 1
4 2
Son características de la función raíz cuadrada las siguientes:
1. El rango de 𝑓 es el intervalo [0;+∞).
2. Es una función creciente en todo su dominio. Luego es una función
monótona creciente.
3. Es inyectiva porque si 𝑥 ≠ 𝑦, entonces √ 𝑥 ≠ √ 𝑦. Por ejemplo, 9 ≠ 25 y
√9 = 3 ≠ 5 = √25.
4. Considerada como una función de [0;+∞) a [0; +∞), 𝑓 es
sobreyectiva.
5. Por 3. y 4. 𝑓 tiene inversa, 𝑓−1
∶ [0;+∞) → [0;+∞) definida por
𝑓−1( 𝑥) = 𝑥2
(Figura siguiente). Compruébelo.
1
2
1 2 3 4 5 6
𝑥
𝑦
(0;0)
(1;1)
(4;2)
𝑓( 𝑥) = √𝑥

521
Comprobemos que efectivamente esta es la inversa. Para ello debemos probar
que 𝑓(𝑓−1( 𝑥)) = 𝑥 y 𝑓−1
(𝑓( 𝑥)) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ [0; +∞). Tenemos que
𝑓(𝑓−1( 𝑥)) = 𝑓( 𝑥2) = √𝑥2 = 𝑥,
y
𝑓−1
(𝑓( 𝑥)) = 𝑓−1
(√ 𝑥) = (√ 𝑥)
2
= 𝑥.
Por tanto, 𝑓−1
∶ [0;+∞) → [0;+∞) definida por 𝑓−1( 𝑥) = 𝑥2
es la inversa de 𝑓.
Calcule √3 ∙ √5. ¿Qué valor de 𝑥 cumple 𝑓 ( 𝑥) = √3 ∙ √5?
Utilizando las propiedades de los radicales se tiene que √3 ∙ √5 = √(3)(5) =
√15, así el valor de 𝑥 que cumple 𝑓 ( 𝑥) = √3 ∙ √5, es 15, pues 𝑓 (15) =
√15 = √3 ∙ √5.
Encuentre el inverso de √11, √4, √2014, √
25
36
, √
1
4
, √25, √36, y √144.
¿Cuáles son las preimágenes, mediante 𝑓, de los valores anteriores? ¿Para
cuáles de los números anteriores su inverso es un número entero? ¿Para
cuáles es un número racional no entero?
Los inversos de estos valores son respectivamente:
1
√11
,
1
2
,
1
√2 014
,
6
5
, 2,
1
5
,
1
6
y
1
12
.
Solución
Solución
1
2
1 2 3 4
𝑥
𝑦
(0;0)
(1;1)
(4;2)
𝑓( 𝑥) = √ 𝑥
3
4
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
(2;4)

522
Como 𝑓 (11) = √11, 𝑓 (4) = √4, 𝑓 (2 014) = √2 014, 𝑓 (
25
36
) = √25
36
,
𝑓 (
1
4
) = √1
4
, 𝑓 (25) = √25, 𝑓 (36) = √36 y 𝑓 (144) = √144, entonces las
preimágenes respectivas son: 11, 4, 2 014,
25
36
,
1
4
, 25, 36 y 144.
De los valores dados en el ejercicio, el único que tiene como inverso un
número entero es √1
4
, mientras que √4, √
25
36
, √25, √36 y √144 tienen
inverso racional no entero.
Verifique la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de números
reales.
√
2
3
(√
3
2
+ √
8
27
) = √
2
3
∙ √
3
2
+ √
2
3
∙ √
8
27
.
Tenemos que √ 8
27
= √ 8
27
∙
3
3
= √ 22
∙6
92 =
2
9 √6 y √3
2
= √3
2
∙
2
2
=
1
2 √6, por lo
cual
√
2
3
(√
3
2
+ √
8
27
) = √
2
3
(
1
2
√6 +
2
9
√6 ) = √
2
3
∙
13√6
18
= √
12
3
∙
13
18
= 2 ∙
13
18
=
13
9
.
Por otro lado,
√
2
3
∙ √
3
2
+ √
2
3
∙ √
8
27
= √
2
3
∙
3
2
+ √
2
3
∙
8
27
= 1 + √
16
81
= 1 +
4
9
=
13
9
.
En consecuencia, podemos ver que se verifica la propiedad distributiva del
producto respecto a la suma de números reales.
¿El resultado anterior es un número natural?¿Qué imagen tiene mediante 𝑓?
El resultado anterior no es un número natural y su imagen mediante 𝑓 es
𝑓 (
13
9
) = √13
9
=
√13
3
.
Utilice 𝑓 para encontrar las preimágenes de √
2
3
, √
3
2
y √
8
27
.
Solución
Solución

523
Las preimágenes son respectivamente:
2
3
,
3
2
y
8
27
.
Considerando el ejemplo de la página 263, responda las siguientes preguntas:
¿Cuál es el dominio de 𝑓1? ¿Cuál es su rango?
Como 𝑥 − 2 ≥ 0, entonces 𝑥 ≥ 2, de lo cual resulta que el dominio de 𝑓1 es
el conjunto de los números reales mayores o iguales a 2. Además, el rango
está formado por aquellos valores reales no negativos, es decir [0;+∞).
¿𝑓1 es monótona? ¿Tiene inversa? ¿Cuál es?
𝑓1 es monótona creciente, ya que es creciente en todo su dominio. Al ser esta
función biyectiva, resulta que ella tiene inversa, y es 𝑓1
−1
: [2; +∞) →[2;+∞)
dada por 𝑓1
−1
( 𝑥) = 𝑥2
+ 2. Efectivamente esta es la inversa, pues
𝑓(𝑓−1( 𝑥)) = 𝑓( 𝑥2
+ 2) = √𝑥2 + 2 − 2 = √𝑥2 = 𝑥,
y
𝑓−1
(𝑓( 𝑥)) = 𝑓−1
(√ 𝑥 − 2) = (√ 𝑥 − 2)
2
+ 2 = 𝑥 − 2 + 2 = 𝑥,
En la página 264 se pide completar una tabla, para ello primeramente hagamos
los siguientes cálculos:
( 𝑓1 + 𝑓)(4) = 𝑓1(4) + 𝑓(4) = √4 − 2 + √4 = 2 + √2,
( 𝑓1 − 𝑓)(
25
9
) = 𝑓1 (
25
9
) − 𝑓(
25
9
) = √25
9
− 2 − √25
9
= √7
9
−
5
3
=
√7
3
−
5
3
=
√7−5
3
,
( 𝑓1 ∙ 𝑓)(6) = 𝑓1(6) ∙ 𝑓(6) = √6 − 2 ∙ √6 = 2√6,
(
𝑓1
𝑓
) (16) =
𝑓1(16)
𝑓(16)
=
√16 − 2
√16
=
√14
4
,
(
𝑓
𝑓1
) (66) =
𝑓(66)
𝑓1(66)
=
√66
√64
=
√66
8
,
( 𝑓 − 𝑓1)(11) = 𝑓(11)− 𝑓1(11) = √11 − √11 − 2 = √11 − √9 = √11 − 3.
La tabla completa es
( 𝑓1 + 𝑓)(4) = 𝟐 + √𝟐
Solución
Solución
Solución

524
( 𝑓1 − 𝑓)(
25
9
) =
√ 𝟕 − 𝟓
𝟑
( 𝑓1 ∙ 𝑓)(6) = 𝟐√𝟔
(
𝑓1
𝑓
) (16) =
√ 𝟏𝟒
𝟒
(
𝑓
𝑓1
) (66) =
√ 𝟔𝟔
𝟖
( 𝑓 − 𝑓1)(11) = √𝟏𝟏 − 𝟑
Los valores en negrilla completan la tabla.
Calcule ( 𝑓 + 𝑓1)( 𝑥), ( 𝑓 − 𝑓1)( 𝑥), ( 𝑓 ∙ 𝑓1)( 𝑥), (
𝑓
𝑓1
) ( 𝑥).
Se tiene que
( 𝑓 + 𝑓1)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) + 𝑓1( 𝑥) = √ 𝑥 + √ 𝑥 − 2,
( 𝑓 − 𝑓1)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) − 𝑓1( 𝑥) = √ 𝑥 − √ 𝑥 − 2,
( 𝑓 ∙ 𝑓1)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) ∙ 𝑓1( 𝑥) = √ 𝑥 ∙ √ 𝑥 − 2 = √𝑥2 − 2𝑥,
(
𝑓
𝑓1
) ( 𝑥) =
𝑓( 𝑥)
𝑓1( 𝑥)
=
√ 𝑥
√ 𝑥 − 2
= √
𝑥
𝑥 − 2
.
Determine dominio y rango de 𝑓 + 𝑓1, 𝑓 − 𝑓1, 𝑓 ∙ 𝑓1 y
𝑓
𝑓1
.
Recordemos que el dominio de la suma, diferencia y producto de dos
funciones es la intersección de los dominios respectivos de estas, por tal
motivo el dominio de 𝑓 + 𝑓1, 𝑓 − 𝑓1 y 𝑓 ∙ 𝑓1 es [2;+∞). Por otro lado, el
dominio de
𝑓
𝑓1
, es la intersección de los dominios de cada una de las
funciones, menos los valores que hacen cero a 𝑓1, así su dominio es (2;+∞).
𝑅𝑎𝑛( 𝑓 + 𝑓1) = [√2;+∞), ya que esta es una función creciente y tiene su valor
mínimo en 𝑥 = 2.
Puesto que √ 𝑥 ≥ √ 𝑥 − 2 para cualquier 𝑥, así pues √ 𝑥 − √ 𝑥 − 2 ≥ 0 y como
esta función es decreciente y tiene como máximo 𝑦 = √2, entonces 𝑅𝑎𝑛( 𝑓 −
𝑓1) = (0; √2].
Solución
Solución

525
Como el menor elemento del dominio de 𝑓 ∙ 𝑓1 es 𝑥 = 2 y además ( 𝑓 ∙
𝑓1)(2) = 0, ocurre que 𝑅𝑎𝑛( 𝑓 ∙ 𝑓1) = [0;+∞).
Por otro lado, si damos valores a 𝑥 muy cercanos a 2, podremos ver que
(
𝑓
𝑓1
) (𝑥) tiende a infinito, mientras que si 𝑥 es muy grande entonces
(
𝑓
𝑓1
) (𝑥) tiende a 1. En consecuencia, 𝑅𝑎𝑛 (
𝑓
𝑓1
) = [1;+∞).
¿Para qué valores de 𝑥,
𝑓
𝑓1
no está definida?
Esta función no está definida para los valores que están en el intervalo
(−∞;2].
Compruebe lo aprendido
Si
𝑓( 𝑥) = {
𝑥2
+ 2𝑥 si 𝑥 ≥ 1
−𝑥3
, si 𝑥 < 1
determine 𝑓(1), 𝑓(0), 𝑓(√2) y 𝑓(−2). Haga la gráfica de 𝑓.
Dado que 1 y √2 son mayores o iguales que 1, entonces
𝑓(1) = 12
+ 2(1) = 3 y 𝑓(√2) = (√2)
2
+ 2(√2) = 2 + 2√2.
Por otra parte, como 0 y −2 son menores que 1, tenemos
𝑓(0) = −03
= 0 y 𝑓(−2) = −(−2)3
= −(−8) = 8.
Esta es una función definida por partes. Para 𝑥 ≥ 1, la gráfica de 𝑓 es una
parte de una parábola cuyo vértice es el punto con abscisa −
𝑏
2𝑎
= −
2
2(1)
=
−1 y ordenada 𝑓 (−
𝑏
2𝑎
) = 𝑓(−1) = −1, es decir (−1; −1), pasa por el
origen (0; 0) y el otro intercepto con 𝑥 es el punto (−2;0). Si 𝑥 < 1, la
gráfica es una porción de la función dada por 𝑦 = −𝑥3
. La gráfica que resulta
es
Solución
Solución

526
Si
𝑓( 𝑥) = {
−10 si 𝑥 < 0
0, si 𝑥 = 0
10, si 𝑥 > 0
halle 𝑓(−1), 𝑓(0), 𝑓(√10) y 𝑓(−2). ¿Cuál es el rango y el dominio de la
función? Trace la gráfica de 𝑓.
De acuerdo a la ley de asignación de 𝑓, tenemos que 𝑓(−1) = −10, 𝑓(−2) =
−10, 𝑓(0) = 0 y 𝑓(√10) = 10. El dominio es ℝ y el rango {−10, 0, 10}. La
gráfica de 𝑓 es
Solución
−1−2 1 2
−
3
2
3
2
3
7
2
6
15
2
(1; 3)
(1; −
3
2
)
𝑥
𝑦
2 4 6 8 10−2−4−6−8−10
2
4
6
8
10
−2
−4
−6
−8
𝑥
𝑦

527
Encuentre el dominio de la función dada y trace su gráfica.
a. 𝑓( 𝑥) = √2𝑥 + 3
b. 𝑓( 𝑥) = √15 − 5𝑥
a. El dominio de 𝑓 lo encontramos al resolver la desigualdad 2𝑥 + 3 ≥ 0,
resultando que 𝑥 ≥ −
3
2
, así el dominio es [−
3
2
;+∞). Dando algunos
valores a 𝑥 obtenemos
b. El dominio es el conjunto de todos los 𝑥 tales que 15 − 5𝑥 ≥ 0, es decir
que 𝑥 ≤ 3. Por lo anterior el dominio es (−∞;3]. Dando algunos valores
del dominio a 𝑥, obtenemos la gráfica
Solución
(3; 3)
−1 21 3 4
−1
1
2
3
4
𝑦
𝑥
(0; √3)
(−
3
2
; 0)
𝑓( 𝑥) = √2𝑥 + 3
4
1 2 3−1−2−3−4
1
2
3
5
6
𝑦
𝑥(3;0)
(0; √15)
(−2;5)
𝑓( 𝑥) = √15 − 5𝑥

528
Encuentre el dominio de 𝑓 y bosqueje su gráfica.
a. 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 − 4 + 5
b. 𝑓( 𝑥) = √7 − 3𝑥 − 2
a. El dominio de 𝑓 está conformado por todos los 𝑥 tales que 𝑥 − 4 ≥ 0, es
decir 𝑥 ≥ 4. La grafica de 𝑓 la obtenemos trasladando la gráfica de 𝑦 =
√ 𝑥 − 4 5 unidades hacia arriba. Así resulta la siguiente gráfica
b. El dominio se encuentra al resolver la desigualdad 7 − 3𝑥 ≥ 0, que al
hacerlo resulta 𝑥 ≤
7
3
, por lo cual el dominio es (−∞;
7
3
]. La gráfica la
obtenemos al trasladar la gráfica de 𝑦 = √7 − 3𝑥. Efectuando dicho
traslado y dando a 𝑥 algunos valores del dominio de 𝑓 obtenemos
Solución
2 4 6 8 10
2
4
6
8
10
𝑓( 𝑥) = √𝑥 − 4 + 5
(4; 5)
(6; 5 + √2)
(8; 7)
𝑦
𝑥
1 2−1−2−3−4
−1
−2
1
2
3
4
𝑦
𝑥
𝑓( 𝑥) = √7 − 3𝑥 − 2
(
7
3
;−2)
(2; −1)
(1; 0)
(−3; 2)

529
Encuentre dominio, rango y grafique.
a. 𝑦 = | 𝑥| + 2
b. 𝑦 = −| 𝑥| + 3
c. 𝑦 = −|2𝑥 − 1|
d. 𝑔(𝑥) = |2𝑥| − 3
e. 𝑦 = 2[ 𝑥]
f. 𝑓( 𝑥) = [ 𝑥] + 1
a. El dominio es ℝ. El vértice de las funciones dadas por 𝑦 = 𝑎| 𝑥| + 𝑏, 𝑎,
𝑏 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 0 es el punto (0; 𝑏), por lo cual el vértice de 𝑦 = | 𝑥| + 2 es
(0;2), y como la gráfica abre hacia arriba el rango es [2; +∞), además no
hay interceptos con el eje 𝑥. La gráfica resultante es
b. El dominio de esta función es ℝ. Por lo mencionado en el ejercicio anterior
el punto (0; 3) es el vértice, y como la gráfica abre hacia abajo, (ya que
𝑦 = −| 𝑥| lo hace) y el vértice está por arriba del eje 𝑥, resulta que el rango
es (−∞;3] y la gráfica corta a dicho eje. Para encontrar estos interceptos,
hagamos 𝑦 = 0, así tenemos −| 𝑥| + 3 = 0, es decir que −| 𝑥| = −3, de lo
cual | 𝑥| = 3. Luego, aplicando la definición de valor absoluto se obtiene
que 𝑥 = −3 o 𝑥 = 3. En consecuencia, los interceptos con 𝑥 son los
puntos (−3;0) y (3;0). Con estos datos, podemos trazar la siguiente
gráfica
2
Solución
−4 1 2 3 4−1−2−3
1
3
4
5
𝑦
𝑥
(0; 2)
(1; 3)(−1; 3)
𝑦 = | 𝑥| + 2

530
c. Tenemos que −|2𝑥 − 1| = −2 |𝑥 −
1
2
|, así que 𝑦 = −2|𝑥 −
1
2
|. Las
funciones dadas por 𝑦 = 𝑎| 𝑥 − ℎ|, tienen como vértice el punto (ℎ; 0) y si
𝑎 < 0 la gráfica abre hacia abajo. Por lo anterior, el vértice de 𝑦 =
−2|𝑥 −
1
2
| es (
1
2
; 0), su gráfica abre hacia abajo e intercepta al eje 𝑦 en
(0;−1). Por tanto, el dominio es ℝ, el rango (−∞;
1
2
] y la gráfica que
obtenemos con esta información es
d. El miembro derecho de la igualdad 𝑔(𝑥) = |2𝑥| − 3, lo podemos escribir
como 2| 𝑥| − 3, así que 𝑔( 𝑥) = 2| 𝑥| − 3, por lo cual el vértice es el punto
(0;−3) que se encuentra por debajo del eje 𝑥 y agregando a esto el
hecho que la gráfica abre hacia arriba, deducimos que hay interceptos de
esta gráfica con el eje 𝑥. Haciendo 𝑔( 𝑥) = 0, tenemos 2| 𝑥| − 3 = 0, de
3
2
1 2 3 4−1−2−3−4
1
−1
𝑦
𝑥
(0; 3)
(3; 0)(−3; 0)
𝑦 = −| 𝑥| + 3
−2
−1
𝑦 = −|2𝑥 − 1|
1 2−1−2
−2
−3
𝑦
𝑥
(0; −1) (1; −1)
(
1
2
; 0)

531
donde resulta que | 𝑥| =
3
2
, es decir que 𝑥 = −
3
2
o 𝑥 =
3
2
. Luego, los
interceptos con 𝑥 son los puntos (−
3
2
;0) y (
3
2
; 0).
Por tanto, la gráfica obtenida es
El dominio es ℝ y el rango [−3;+∞).
e. La gráfica de la función dada por 𝑦 = 2[ 𝑥] la podemos obtener a partir de
la gráfica de 𝑦 = [ 𝑥], multiplicando por un factor de 2 unidades la
ordenada de cada punto perteneciente a la gráfica de 𝑦 = [ 𝑥]. Así
obtenemos
1
1 2 3 4
2
3
4
5
−2
−3
−1
−2 −1−3−4
𝑦
𝑥
(0; −3)
(−
3
2
; 0) (
3
2
; 0)
𝑔(𝑥) = |2𝑥| − 3
1 2
1
2
3
4
−1−2
−1
−2
𝑦
𝑥

532
El dominio es ℝ y el rango el conjunto de números enteros pares, pues al
ser [ 𝑥] un entero cualquiera, entonces 2[ 𝑥] es cualquier entero par.
f. La gráfica de 𝑓 la podemos obtener a partir de la gráfica de 𝑦 = [ 𝑥] por
un traslado vertical de 1 unidad hacia arriba. Por ser una función por
partes, cada trazo de esta se traslada una unidad hacia arriba.
Aplique los conocimientos adquiridos
Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 con las siguientes leyes de asignación 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥
y 𝑔( 𝑥) = [ 𝑥].
a. Calcule 𝑔(𝑛) si 𝑛 = 𝑓(9).
b. Si 𝑚 = 𝑔(−0,001), ¿existe 𝑓( 𝑚)?
c. Calcule 𝑓(3), 𝑔(−5,03).
d. Encuentre valores 𝑥1 y 𝑥2 tales que 𝑓(𝑥1)∙ 𝑔(𝑥2) sea:
 Un número irracional.
 Un número racional no entero.
 Un número natural.
 Un entero negativo.
e. ¿A qué tipo de intervalo de números reales debe pertenecer 𝑥2 para que
𝑓( 𝑥1)+ 𝑔(𝑥2) sea positivo, si 𝑓(𝑥1) ≠ 0?
a. 𝑔( 𝑛) = 𝑔(𝑓(9)) = 𝑔(√9) = 𝑔(3) = [3] = 3.Solución
1 2 3 4−1−2−3−4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4 𝑦
𝑥

533
b. No existe en ℝ, porque 𝑓( 𝑚) = 𝑓(𝑔(−0,001)) = 𝑓([−0,001]) = 𝑓(−1) =
√−1 , pero la raíz cuadrada de un número negativo no es real.
c. Tenemos que 𝑓(3) = √3 y 𝑔(−5,03) = [−5,03] = −6.
d. Para el primer caso tomemos 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = 1, así tenemos 𝑓(2)∙
𝑔(1) = √2 ∙ [1] = √2 ∙ 1 = √2.
En el segundo caso 𝑥1 =
1
4
y 𝑥2 = 1,5, así tenemos 𝑓 (
1
4
) ∙ 𝑔(1,5) = √1
4
∙
[1,5] =
1
2
∙ 1 =
1
2
.
Para dar solución al tercer caso, si consideramos 𝑥1 = 4 y 𝑥2 = 1
vemos que 𝑓(4) ∙ 𝑔(1) = √4 ∙ [1] = 2 ∙ 1 = 2.
Supongamos que 𝑥1 = 9 y 𝑥2 = −1,5, entonces 𝑓(9)∙ 𝑔(−1,5) = √9 ∙
[−1,5] = (3)(−2) = −6. Los valores dados a 𝑥1 y 𝑥2 satisfacen lo
pedido en el cuarto caso.
e. Si 𝑛 < 𝑓( 𝑥1) ≤ 𝑛 + 1 donde 𝑛 es un entero no negativo, entonces 𝑥2 ≥
−𝑛. Esto se debe a que si 𝑥2 < −𝑛 y supongamos que 𝑛 = 0, 𝑥1 =
1
4
y
𝑥2 = −0,5 tendríamos que 𝑓 (
1
4
) + 𝑔(−0,5) = √1
4
+ [−0,5] =
1
2
+ (−1) =
−
1
2
< 0, es decir que se contradice el hecho de que 𝑓( 𝑥1)+ 𝑔(𝑥2) sea
positivo.
Por tanto, 𝑥2 ∈ [−𝑛; +∞).
La tabla de la derecha muestra algunos valores de una función 𝑓. Si 𝑓 es
una función valor absoluto de la forma 𝑓( 𝑥) = 𝑛| 𝑥| + 𝑠, 𝑛, 𝑠 ∈ ℝ.
𝑥 𝑓(𝑥)
−2 8
−1 𝑎
0 1
1 𝑏
2 𝑐
d. Determine la ley de asignación para 𝑓, dominio, rango y esboce su gráfica.
a. ¿Cuál es el valor de 𝑐3
, 𝑓(0) + 𝑐3
y (𝑎 + 𝑏)( 𝑎 ∙ 𝑏),
este último resultado en función de 𝑎?
b. Con la información dada en la tabla ¿puede encontrar
𝑎 + 𝑏 + 𝑐? ¿Y 𝑎 + 𝑐? ¿Y 𝑏 + 𝑐?
c. ¿Son iguales
𝑎
𝑏
y
𝑏
𝑎
? ¿Por qué?

534
a. Como 𝑓(0) = 𝑛|0| + 𝑠 = 𝑠 y en la tabla vemos que 𝑓(0) = 1, resulta que
𝑠 = 1, luego la ley de asignación de 𝑓 nos queda 𝑓( 𝑥) = 𝑛| 𝑥| + 1. Por otro
lado, 𝑓(−2) = 𝑛|−2| + 1 = 2𝑛 + 1, pero en la tabla se nos dice que
𝑓(−2) = 8, por lo cual 2𝑛 + 1 = 8, es decir 𝑛 =
7
2
. Resulta que la función
𝑓 está dada por 𝑓( 𝑥) =
7
2
| 𝑥| + 1.
Utilizando la información de la tabla y la ley de asignación de 𝑓, tenemos
que
𝑐3
= [ 𝑓(2)]3
= (
7
2
|2| + 1)
3
= 83
= 512,
𝑓(0) + 𝑐3
= 1 + 512 = 513,
𝑏 = 𝑓(1) =
7
2
|1| + 1 =
9
2
,
( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 ∙ 𝑏) = (𝑎 +
9
2
) (𝑎 ∙
9
2
) =
9
2
𝑎2
+
81
4
𝑎.
b. Ya encontramos en el inciso anterior los valores de 𝑏 y 𝑐, así 𝑏 + 𝑐 =
9
2
+ 8 =
25
2
. Por otro lado,
𝑎 = 𝑓(−1) =
7
2
|−1| + 1 =
9
2
,
de lo cual
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =
9
2
+
9
2
+ 8 = 17,
𝑎 + 𝑏 =
9
2
+
9
2
= 9.
c. Son iguales, ya que 𝑎 = 𝑏, así que
𝑎
𝑏
= 1 =
𝑏
𝑎
.
d. La ley de asignación de 𝑓 es 𝑓( 𝑥) =
7
2
| 𝑥| + 1. La gráfica abre hacia arriba
y tiene como vértice el punto (0; 1) el cual está por encima del eje 𝑥, por
lo cual no hay interceptos con dicho eje y el rango es [1;+∞). La gráfica
resultante es
Solución

535
Sean ℎ y 𝑔 definidas por ℎ( 𝑥) = [ 𝑥] y 𝑔( 𝑥) = √ 𝑥 respectivamente. Si la
función 𝑓 está definida por 𝑓( 𝑥) = 𝑔(3𝑥) + 1 + ℎ(𝑥).
a. Encuentre 𝑓(𝑥).
b. Encuentre la ley de asignación de 𝑔 + 𝑓, y dominio de 𝑔 + ℎ.
a. La ley de asignación de 𝑓 es
𝑓( 𝑥) = 𝑔(3𝑥) + 1 + ℎ(𝑥)
= √3𝑥 + 1 + [3𝑥].
b. La ley de asignación de 𝑔 + 𝑓 es
( 𝑔 + 𝑓)( 𝑥) = 𝑔( 𝑥) + 𝑓( 𝑥)
= √ 𝑥 + √3𝑥 + 1 + [3𝑥]
= (1 + √3)√ 𝑥 + 1 + [3𝑥].
Por otra parte, tenemos que 𝐷𝑜𝑚( 𝑔) = [0; +∞) y 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ, así que
el dominio de 𝑔 + ℎ es 𝐷𝑜𝑚( 𝑔) ∩ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = [0;+∞).
Solución
1
1 2−1−2
2
3
4
𝑦
𝑥
(1;
9
2
)(−1;
9
2
)
(0; 1)
𝑓( 𝑥) =
7
2
| 𝑥| + 1

536
Funciones racionales
Recuerde, reflexione y concluya
¿Qué es un número racional?
Es un número de la forma
𝑎
𝑏
, donde 𝑎 y 𝑏 son números enteros y 𝑏 ≠ 0.
Por ejemplo,
5
4
es un número racional porque 5 y 4 son números enteros y
4 ≠ 0.
¿Hay números no racionales que se pueden escribir en la forma
𝑎
𝑏
, con 𝑎 y
𝑏 elementos de un conjunto numérico?
Sí, por ejemplo
√2
√3
,
𝜋
√5
, etc.
¿Si 𝑥 =
𝑎
𝑏
, con 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ∗
, podemos afirmar que 𝑥 es un número
racional?
No. Por ejemplo
𝜋
1
no es racional y tenemos que 𝜋 ∈ ℝ y 1 ∈ ℝ∗
.
¿Son iguales las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por 𝑓( 𝑥) =
𝑥2
−9
𝑥−3
y 𝑔( 𝑥) = 𝑥 +
3?
Estas funciones no son iguales, pues sus dominios son diferentes, es decir
𝐷𝑜𝑚( 𝑓) = ℝ − {3} ≠ ℝ = 𝐷𝑜𝑚(𝑔).
Dé 5 ejemplos de polinomios con coeficientes reales.
 𝜋𝑥2
+ 2𝑥 − 3
 𝑥9
−
2
3
𝑥5
+ √7
 √6
5
𝑥4
−
3
7
𝑥6
+
3
2
𝑥7
− 4√5
 −10𝑥11
−
2
9
𝑥6
+
3
11
𝑥2
+ √10𝑥 + 1
 8𝑥10
− 𝑒𝑥5
+ 12𝑥3
+ 𝑥
¿Es
1
2
+ 𝑥
2
− 3 un polinomio con coeficientes racionales?
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

537
Si, pues
1
2
+ 𝑥
2
− 3 = 𝑥
2
−
5
2
y −
5
2
y 1 son números racionales.
Divida 𝑥2
+ 5𝑥 − 6 entre 𝑥 + 6 usando división sintética.
Por el método de Ruffini tenemos que
1 5 −6 −6
−6 6
1 −1 0
En consecuencia, el cociente es 𝑥 − 1 y el residuo 0.
Factorice la expresión 3𝑥2
+ 9𝑥 + 4.
Tenemos que esta expresión no es factorizable, ya que no se puede expresar
como el producto de polinomios no constantes con coeficientes reales.
En el ejemplo de la página 269, ¿cuál es el dominio de la función 𝑓? ¿y el
rango?
Como 𝑓 está dada por 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
, entonces 𝐷𝑜𝑚( 𝑓) = ℝ∗
pues 𝑥 no puede
ser cero, y el rango ℝ∗
ya que al ser 𝑥 ≠ 0,
1
𝑥
nunca es cero.
Dibuje la gráfica de 𝑔( 𝑥) = −
1
𝑥
. ¿Tienen 𝑓 y 𝑔 el mismo dominio? ¿Es 𝑔
simétrica respecto al origen?
La gráfica de 𝑔 es una reflexión de la gráfica de 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
a través del eje 𝑥.
Así obtenemos
Una asíntota de una curva es una recta tal que la distancia entre
esta y la curva tiende a cero cuando ellas tienden a infinito.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

538
𝑓 y 𝑔 tienen el mismo dominio, y 𝑔 es simétrica respecto al origen, ya que si
el punto ( 𝑥; 𝑦) está en la gráfica de 𝑔, también lo está (−𝑥; −𝑦).
¿Cuál es el dominio de la función 𝑔 del ejemplo de la página 270? ¿Y el
rango?
La función 𝑔 está dada por 𝑔( 𝑥) =
3𝑥+1
𝑥
, y su gráfica es
Podemos observar que 𝑥 no toma el valor cero, por lo cual el dominio es ℝ∗
y el rango ℝ − {3}.
Solución
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
𝑥
𝑦
𝑔( 𝑥) = −
1
𝑥

539
Dibuje la gráfica de la función ℎ con ley de asignación ℎ( 𝑥) =
3𝑥−1
𝑥
.
Tenemos que 0 no forma parte del dominio de la función ℎ. Además ℎ( 𝑥) =
3𝑥−1
𝑥
= −
1
𝑥
+ 3, lo cual quiere decir que podemos obtener la gráfica de ℎ
trasladando la gráfica de 𝑦 = −
1
𝑥
, 3 unidades hacia arriba. Así obtenemos la
gráfica
¿Tienen ℎ y 𝑔 el mismo dominio? ¿Son ℎ y 𝑔 simétricas respecto al
origen?
Amabas funciones tienen como dominio ℝ∗
y no son simétricas respecto al
origen porque por ejemplo (1; 2) está en la gráfica de ℎ, pero (−1; −2) no
es punto de dicha gráfica. El punto (1;4) pertenece a la gráfica de 𝑔 y
(−1;−4) no pertenece a esta gráfica.
Dé la ley de asignación de una función cuya gráfica se obtenga por traslación
vertical de la gráfica de 𝑔, 3 unidades hacia abajo. Identifique su asíntota,
¿con que coincide?
Dicha función está dada por 𝑦 =
3𝑥+1
𝑥
− 3 =
3𝑥+1−3𝑥
𝑥
=
1
𝑥
, su asíntota es la
recta 𝑦 = 0 y coincide con el eje 𝑥.
Solución
Solución
Solución
1 2 3−1−2−3
1
2
3
4
5
−1
𝑦
𝑥
ℎ( 𝑥) =
3𝑥 − 1
𝑥

540
¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical que aparece en la gráfica de 𝑔?
¿Y la asíntota horizontal?
La función 𝑔 de la cual se habla es la del ejemplo de la página 272 y su
gráfica es
La recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la gráfica de una función
𝑓 si 𝑓(𝑥) tiende a +∞ o −∞ cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 por la
derecha o por la izquierda.
Un polinomio en una variable 𝑥 es una expresión de la forma
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ,
donde 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛−1, …, 𝑎1, 𝑎0 ∈ ℝ.
Una función polinomial es simplemente, una función cuya regla
de asignación está regida por un polinomio.
Sean 𝑔 y ℎ funciones polinomiales con ℎ(𝑥) ≠ 0. Entonces la
función dada por
𝑓( 𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
=
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯+ 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
es una función racional.
𝑔( 𝑥) =
1
𝑥 − 3
Solución

541
Podemos observar en la gráfica que la asíntota vertical está dada por la
ecuación 𝑥 = −3 y la horizontal por 𝑦 = 0.
Cuál es el dominio de 𝑔? ¿y el rango?
El único valor que hace cero al denominador es 3, así el dominio es ℝ − {3}
y como 𝑦 = 0 es asíntota horizontal, el rango es ℝ − {0}.
¿Es 𝑔 creciente o decreciente? ¿En qué intervalos?
En la gráfica podemos ver que 𝑔 es decreciente en los intervalos (−∞;3) y
(3;+∞).
¿Tiene esta función valor máximo? ¿Y mínimo?
Dado que 𝑔 es decreciente, esta función no tiene máximo ni mínimo.
¿Para qué intervalos la función 𝑔 tiene trazo continuo?
En los intervalos (−∞;3) y (3;+∞).
Dé la ley de asignación de una función cuya gráfica se obtenga por traslación
horizontal de la gráfica de ℎ( 𝑥) =
2
𝑥−3
, 2 unidades hacia la izquierda.
Identifique sus asíntotas.
Tal función está dada por
𝑦 = ℎ( 𝑥 + 2) =
2
𝑥 + 2 − 3
=
2
𝑥 − 1
.
Asíntota vertical es la recta 𝑥 = 1 y asíntota horizontal la recta 𝑦 = 0.
En el ejemplo de la página 274 se gráfica la función dada por ℎ( 𝑥) = 2 +
1
𝑥−1
. ¿Cuántos movimientos fueron necesarios para llegar a la gráfica de
ℎ( 𝑥) = 2 +
1
𝑥−1
a partir de la gráfica de 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
? Trace en su cuaderno la
gráfica que resulta de cada movimiento geométrico, acompañándolo de su
respectiva función expresada en forma algebraica.
Primeramente realizamos un traslado horizontal de la gráfica de 𝑦 =
1
𝑥
, 1
unidad a la derecha, luego la gráfica obtenida se traslada verticalmente 2
unidades hacia arriba. Veamos esto gráficamente
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

542
1 2 3 4−1−2−3−4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
𝑦
𝑥
𝑦 =
1
𝑥
1 2 3 4−1−2−3−4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
𝑦
𝑥
𝑦 =
1
𝑥 − 1
1 2 3 4−1−2−3−4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
𝑦
𝑥
ℎ(𝑥) = 2 +
1
𝑥 − 1

543
Escriba la carta de identidad de la función anterior.
Dominio: (−∞;1) ∪ (1;+∞).
Rango: (−∞;2) ∪ (2; +∞).
La gráfica tiene trazo continuo para 𝑥 ≠ 1.
ℎ(−𝑥) = 2 +
1
− 𝑥−1
≠ −2 +
1
− 𝑥+1
= −ℎ(𝑥), por lo cual ℎ no es impar.
ℎ(−𝑥) = 2 +
1
− 𝑥−1
≠ 2 +
1
𝑥−1
= ℎ(𝑥), es decir que ℎ no es par.
Decreciente en (−∞;1) y (1;+∞).
No tiene máximo ni mínimo.
Asíntota horizontal 𝑦 = 2.
Asíntota vertical 𝑥 = 1.
ℎ( 𝑥) → −∞ cuando 𝑥 tiende a 1 por la izquierda.
ℎ( 𝑥) → 2 cuando 𝑥 → +∞.
Intercepto con el eje 𝑦 es el punto (0;1).
Intercepto con el eje 𝑥 es el punto (
1
2
; 0).
Considerando el ejemplo de la página 275 responda las siguientes preguntas.
¿Cuál es el dominio de ℎ? ¿Cuál es el rango?
La función está dada por ℎ( 𝑥) =
3𝑥−2
𝑥−1
y su gráfica
es la de la derecha. Podemos observar que el dominio
está formado por los valores diferentes de 1, es decir
ℝ − {1}.
Por otra parte, vemos que la recta 𝑦 = 3 es asíntota
horizontal de la gráfica, por lo cual el rango es ℝ − {3}.
Solución
Solución

544
¿Dónde se encuentra ahora la asíntota horizontal? ¿Y la vertical? ¿Cuáles son
sus ecuaciones?
La asíntota vertical se encuentra 1 unidad a la derecha del eje 𝑦, y está
dada por la ecuación 𝑥 = 1 y la horizontal se encuentra 3 unidades hacia
arriba del eje 𝑥, y su ecuación es 𝑦 = 3.
¿Qué le ocurre a ℎ(𝑥) si 𝑥 crece mucho (𝑥 → ∞)? ¿Si decrece (𝑥 → −∞)?
Ya sea que 𝑥 → ∞ o 𝑥 → −∞, ℎ(𝑥) → 3, lo que se puede observar en la
gráfica que aparece en la página anterior.
¿En qué intervalos ℎ es decreciente?
ℎ decrece en los intervalos (−∞;1) y (1;+∞).
No posee máximo ni mínimo.
¿Para qué valores la función ℎ tiene trazo continuo?
ℎ tiene trazo continuo para todo 𝑥 ≠ 1.
Calcule ℎ(0), ℎ(0,5), ℎ (
11
3
), ℎ(−10),
2 015
23
+ 2ℎ (
11
3
), −ℎ (
11
3
),
ℎ(0,5)
ℎ(
11
3
)
,
ℎ(0,7)
ℎ(
241
101
)
,
ℎ(0,5)
ℎ(
11
3
)
+ (
ℎ(0,5)
ℎ(
11
3
)
∙
ℎ(0,7)
ℎ(
241
101
)
) +
ℎ(52)
ℎ(17)
.
Tenemos que
ℎ(0) =
3(0)−2
0−1
=
−2
−1
= 2,
ℎ(0,5) =
3(0,5)−2
0,5−1
=
1,5−2
−0,5
=
−0,5
−0,5
= 1,
ℎ (
11
3
) =
3(
11
3
)−2
11
3
−1
=
11−2
8
3
=
9
8
3
=
27
8
,
ℎ(−10) =
3(−10)−2
−10−1
=
−30−2
−11
=
32
11
,
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

545
2 015
23
+ 2ℎ (
11
3
) =
2 015
23
+ 2 (
27
8
) =
2 015
23
+
27
4
=
8 060+621
92
=
8 681
92
.
Como ℎ (
11
3
) =
27
8
, entonces −ℎ (
11
3
) = −
27
8
,
ℎ(0,5)
ℎ(
11
3
)
=
1
27
8
=
8
27
,
ℎ(0,7)
ℎ(
241
101
)
=
−
1
3
521
140
= −
140
1 563
,
ℎ(0,5)
ℎ(
11
3
)
+ (
ℎ(0,5)
ℎ(
11
3
)
∙
ℎ(0,7)
ℎ(
241
101
)
) +
ℎ(52)
ℎ(17)
=
8
27
+ [
8
27
∙ (−
140
1 563
)] +
352
357
=
6 306 280
5 021 919
.
Encuentre los interceptos de la gráfica de ℎ con los ejes coordenados. ¿Son
números enteros? ¿Números primos?
En la gráfica podemos ver que el intercepto con el eje 𝑦 es el punto (0;2).
Para encontrar el intercepto con el eje 𝑥, hagamos 3𝑥 − 2 = 0 y resolviendo
esta ecuación obtenemos 𝑥 =
2
3
, así el punto (
2
3
;0) es dicho intercepto.
Podemos observar que la ordenada del intercepto con 𝑦 es un número entero
primo, pero la abscisa del intercepto con 𝑥 no es un entero, por lo cual no es
un número primo.
Considérese el ejemplo de la página 277 para contestar las siguientes
preguntas.
¿Cuál es el rango de 𝑓?
La gráfica de
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
(con 𝑐 ≠ 0 y 𝑑 ≠ 𝑐) tiene dos asíntotas:
a. La asíntota vertical es la recta, 𝑥 = −
𝑑
𝑐
.
b. La asíntota horizontal es la recta 𝑦 =
𝑎
𝑐
.
Solución

546
En este ejemplo la función 𝑓 está dada por 𝑓( 𝑥) =
2𝑥2−1
𝑥2+5
, así que el rango
está formado por todos los valores que no son raíces del denominador, es
decir ℝ − {−√5,√5}.
¿La gráfica de 𝑓 tiene asíntota vertical?
La gráfica de esta función es
Podemos observar que la gráfica no tiene asíntotas verticales.
¿Qué le ocurre a 𝑓(𝑥) si 𝑥 crece mucho? ¿Si decrece?
Si 𝑥 crece o decrece mucho, en la gráfica podemos observar que 𝑓(𝑥)
tiende a 2.
¿En qué intervalo 𝑓 es decreciente? ¿Y creciente?
En el intervalo (−∞;0) 𝑓 es decreciente, y en (0;+∞) es creciente.
Tiene valor mínimo 𝑦 = −
1
5
, pero no tiene máximo.
¿En qué intervalos la función 𝑓 tiene trazo continuo?
𝑓 es continua en todo ℝ.
Calcule
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
5 10 15−5−10−15
1
2
𝑦
𝑥
𝑓( 𝑥) =
2𝑥2
− 1
𝑥2 + 5

547
a. 𝑓(0) b. 𝑓(3,35) c. 𝑓 (
101
111
)
d. 𝑓(9,7) e.
2 013
23
+ 2𝑓(0) f.
𝑓(0,75)
𝑓(
15
7
)
g.
𝑓(3,35)
𝑓(
101
111
)
h.
𝑓(0,5)
𝑓(
121
13
)
+
𝑓(9,7)
𝑓(
341
101
)
i. [
𝑓(5,5)
𝑓(
61
3
)
∙
𝑓(13,7)
𝑓(
41
101
)
] +
𝑓(196)
𝑓(17)
a. 𝑓(0) =
2(0)
2
−1
(0)
2
+5
= −
1
5
.
b. 𝑓(3,35) =
2(3,35)
2
−1
(3,35)
2
+5
≈ 1,3219.
c. 𝑓 (
101
111
) =
2(
101
111
)
2
−1
(
101
111
)
2
+5
≈ 0,1125.
d. 𝑓(9,7) =
2(9,7)
2
−1
(9,7)
2
+5
≈ 1,8889.
e.
2 013
23
+ 2𝑓(0) =
2 013
23
+ 2 (−
1
5
) = 87,1217.
f.
𝑓(0,75)
𝑓(
15
7
)
=
2(0,75)2
−1
(0,75)2+5
2(
15
7
)
2
−1
(
15
7
)
2
+5
≈
0,0224
0,8531
≈ 0,0262
g.
𝑓(3,35)
𝑓(
101
111
)
≈
1,3219
0,1125
≈ 11,7502.
h.
𝑓(0,5)
𝑓(
121
13
)
+
𝑓(9,7)
𝑓(
341
101
)
=
2(0,5)2
−1
(0,5)2+5
2(
121
13
)
2
−1
(
121
13
)
2
+5
+
2(9,7)2
−1
(9,7)2+5
2(
341
101
)
2
−1
(
341
101
)
2
+5
≈
−0,0952
1,8799
+
1,8889
1,3292
≈ 0,0506 + 1,421 = 1,4716.
Solución

548
¿Es [
𝑓(5,5)
𝑓(
61
3
)
+
𝑓(196)
𝑓(17)
][
𝑓(13,7)
𝑓(
41
101
)
+
𝑓(196)
𝑓(17)
] igual a [
𝑓(5,5)
𝑓(
61
3
)
∙
𝑓(13,7)
𝑓(
41
101
)
] +
𝑓(196)
𝑓(17)
?
No, ya que la suma no es distributiva respecto al producto. Verifiquemos esto
haciendo los cálculos respectivos
[
𝑓(5,5)
𝑓(
61
3
)
+
𝑓(196)
𝑓(17)
][
𝑓(13,7)
𝑓(
41
101
)
+
𝑓(196)
𝑓(17)
] ≈ −26,142
≠ −11,782 ≈ [
𝑓(5,5)
𝑓(
61
3
)
∙
𝑓(13,7)
𝑓(
41
101
)
] +
𝑓(196)
𝑓(17)
.
¿Cuál de los cálculos anteriores corresponde al intercepto de la gráfica de 𝑓
con el eje 𝑦? ¿Es un número racional? ¿Y si es entero es compuesto?
El primer cálculo, es decir 𝑓(0) = −
1
5
. Es un número racional no entero, y por
lo tanto no es compuesto.
En general decimos que:
Dé ejemplo de una función racional definida por 𝑓( 𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
con 𝑔(𝑥) y
ℎ(𝑥) polinomios lineales y encuentre interceptos con los ejes, además
examine otras características de 𝑓.
Consideremos la función dada por 𝑓( 𝑥) =
3𝑥−17
𝑥−6
(en este caso 𝑔( 𝑥) = 3𝑥 −
17 y ℎ( 𝑥) = 𝑥 − 6). Hagamos la división entre los polinomios 3𝑥 − 17 y 𝑥 −
6.
El dominio de la función racional 𝑓( 𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
es el conjunto de
todos los números reales que no son raíces de ℎ(𝑥).
Los interceptos de la gráfica de la función racional definida por
𝑓( 𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
con el eje 𝑥 son todas las raíces del numerador
𝑔(𝑥) que no lo son del denominador ℎ(𝑥).
El intercepto con el eje 𝑦 sucede con 𝑓(0), cuando esté definido.
Solución
Solución
Solución

549
3𝑥 − 17 𝑥 − 6
−3𝑥 + 18 3
1
Luego,
3𝑥+4
𝑥−6
= 3 +
1
𝑥−6
= 𝑘(𝑥 − 6) + 3, siendo 𝑘 la función recíproca.
De nuevo podemos observar que la gráfica de la función recíproca ha sido
trasladada, en esta ocasión 6 unidades horizontalmente a la derecha, luego
3 unidades hacia arriba. La gráfica es
Las características son:
 Dominio: (−∞;6) ∪ (6;+∞).
 Rango: (−∞;3) ∪ (3; +∞).
 No es par ni impar, porque 𝑓( 𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) y −𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥).
 Decreciente en (−∞;6) y (6; +∞).
 No tiene máximo ni mínimo.
 Asíntota horizontal: 𝑦 = 3.
 Asíntota vertical: 𝑥 = 6.
 𝑓(𝑥) → 3 cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞.
 Intercepto con el eje 𝑦 es el punto ( 0;
17
6
), ya que 𝑓(0) =
3(0)−17
0−6
=
17
6
.
 Intercepto con el eje 𝑥 es el punto (
17
3
; 0), puesto que la raíz de la
ecuación
3𝑥−17
𝑥−6
= 0, es la raíz de 3𝑥 − 17 = 0, y esta es 𝑥 =
17
3
.
Veamos los criterios generales para encontrar asíntotas horizontales:
42 6 8 10 12 14−2
2
4
6
8
−2
−4
𝑥
𝑦
𝑓( 𝑥) =
3𝑥 − 17
𝑥 − 6

550
La función 𝑓( 𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
tiene una asíntota vertical para 𝑥 = 𝑐, donde 𝑐 es una
raíz de ℎ(𝑥), pero no de 𝑔(𝑥).
Compruebe lo aprendido
Para las funciones dadas calcule los valores indicados
a. 𝑓: ℝ − {−
3
2
, 3} → ℝ
𝑥 ↦
2
2𝑥2
−𝑥−6
𝑓(5), 4𝑓(0), 𝑓(0), 𝑓(12),
𝑓(4)−𝑓(6)
𝑓(4)
b. ℎ: ℝ − {5,
2
3
} → ℝ
𝑥 ↦
2
( 𝑥−5)(3𝑥−2)
ℎ(1), ℎ (
1
3
), ℎ(6),
ℎ(0)−ℎ(1)
3ℎ(−4)
c. 𝑘: ℝ → ℝ
𝑥 ↦ −
5
2𝑥2
+2
1
2
𝑘(1),
1
3
𝑘(−2),
1
5
𝑘(−1), 𝑘(12), −2𝑘(3) − 3𝑘(2)
a. 𝑓(5) =
2
2(5)
2
−5−6
=
2
50−11
=
2
39
,
4𝑓(0) = 4[
2
2(0)
2
−0−6
] = 4 [
2
0−6
] = −
4
3
,
𝑓(0) =
2
2(0)
2
−0−6
=
2
0−6
= −
1
3
,
𝑓(12) =
2
2(12)
2
−12−6
=
2
288−18
=
2
270
=
1
135
,
Sea 𝑓( 𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
=
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + ⋯ + 𝑏0
una función racional cuyo
numerador tiene grado 𝑛 y cuyo denominador tiene grado 𝑚.
Si 𝑛 = 𝑚, la recta
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
es una asíntota horizontal.
Si 𝑛 < 𝑚, entonces 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal.
Si 𝑛 > 𝑚, entonces no hay asíntota horizontal.
Solución

551
𝑓(4)−𝑓(6)
𝑓(4)
=
2
2(4)2−4−6
−
2
2(6)2−6−6
2
2(4)2−4−6
=
2
32−10
−
2
72−12
2
32−10
=
19
330
2
20
=
19
33
.
b. ℎ(1) =
2
(1−5)[3(1)−2]
=
2
(−4)(1)
= −
1
2
,
ℎ (
1
3
) =
2
(
1
3
−5)[3(
1
3
)−2]
=
2
(−14
3
)(−1)
=
3
7
,
ℎ(6) =
2
(6−5)[3(6)−2]
=
2
(1)(16)
=
1
8
,
ℎ(0)−ℎ(1)
3ℎ(−4)
=
1
5
−(−1
2
)
1
21
=
7
10
1
21
=
147
10
.
c.
1
2
𝑘(1) =
1
2
(−
5
2(1)
2
+2
) =
1
2
(−
5
4
) = −
5
8
,
1
3
𝑘(−2) =
1
3
(−
5
2(−2)
2
+2
) =
1
3
(−
5
10
) = −
1
6
,
1
5
𝑘(−1) =
1
5
(−
5
2(−1)
2
+2
) =
1
5
(−
5
4
) = −
1
4
,
𝑘(12) = (−
5
2(12)
2
+2
) = (−
5
290
) = −
1
58
,
−2𝑘(3) − 3𝑘(2) = −2 (−
5
2(3)
2
+2
) − 3 (−
5
2(2)
2
+2
) =
1
2
+
3
2
= 2.
Ejercicios Complementarios
1. Encuentre dominio, rango y trace la gráfica de cada una de las funciones
definidas por
a. 𝑓( 𝑥) = 1 + √ 𝑥
b. 𝑔( 𝑥) = −2| 𝑥| + 6
c. 𝑟( 𝑥) = [ 𝑥] − 3
d. 𝑔( 𝑥) =
2𝑥−1
𝑥+3
e. 𝑡( 𝑥) = 2√ 𝑥

552
a. El dominio de 𝑓 es [0;+∞) y como la gráfica de 𝑓 se obtiene de
trasladar la gráfica de 𝑦 = √ 𝑥, 1 unidad hacia arriba, entonces el rango es
[1;+∞). Así la gráfica resultante es
b. El dominio es ℝ, mientras que el rango es el intervalo (−∞;6]. La gráfica
abre hacia abajo y los interceptos con el eje 𝑥 los obtenemos al resolver
−2| 𝑥| + 6 = 0, es decir | 𝑥| = 3, esto es 𝑥 = 3 o 𝑥 = −3. Así los
interceptos con 𝑥 son (−3;0) y (3; 0). El vértice es (0; 6). Luego se
obtiene la gráfica
c. El dominio es ℝ, mientras que el rango es ℤ. La gráfica se obtiene de
trasladar la de 𝑦 = [𝑥], 3 unidades verticalmente hacia abajo. La gráfica
resultante es
2 4 6
2
4
6
𝑥
𝑦
𝑓( 𝑥) = 1 + √ 𝑥
Solución
2−2
2
4
6
𝑥
𝑦
𝑔( 𝑥) = −2| 𝑥| + 6
−2
(−3; 0) (3; 0)

553
d. Con el objetivo de encontrar una expresión más fácil para la ley de
asignación de 𝑔, hagamos la división entre los polinomios 2𝑥 − 1 y 𝑥 + 3.
2𝑥 − 1 𝑥 + 3
−2𝑥 − 6 2
−7
Luego,
2𝑥−1
𝑥+3
= 2 +
−7
𝑥+3
= −7𝑘(𝑥 + 3) + 2, siendo 𝑘( 𝑥) = −
1
𝑥
la función
recíproca.
En consecuencia, la gráfica de 𝑔 la obtenemos multiplicando la ordenada
de cada punto de la gráfica de 𝑘 por 7, y luego trasladando la gráfica
que se obtuvo con lo anterior 2 unidades hacia arriba. En consecuencia, la
recta 𝑦 = 2 es asíntota horizontal y podemos ver fácilmente que la recta
𝑥 = −3 es asíntota vertical.
Con la información anterior, podemos deducir que el dominio de 𝑔 es
(−∞;−3) ∪ (3; +∞) y el rango (−∞;2) ∪ (2; +∞). La gráfica resultante es
1 2 3 4 5−1−2
1
2
3
𝑥
𝑦
−1
−2
−3
−4
𝑟( 𝑥) = [ 𝑥] − 3
2
2
4
6
8
−2
−4
−2−4−6−8 𝑥
𝑦
𝑔( 𝑥) =
2𝑥 − 1
𝑥 + 3

554
e. El dominio de la función dada por 𝑡( 𝑥) = 2√ 𝑥 es ℝ y el rango [0;+∞).
Los puntos de la gráfica de 𝑡 los obtenemos multiplicando la ordenada de
cada punto en la gráfica de 𝑦 = √ 𝑥 por 2. Por ejemplo, (1; 1) son las
coordenadas de un punto de en la gráfica de 𝑦 = √ 𝑥, luego (1;2) son las
coordenadas de un punto en la gráfica de 𝑡. Así obtenemos
2. Dé un ejemplo de un intervalo de números reales al que pertenezca 𝑥2 para
que 𝑓( 𝑥1) + 𝑔( 𝑥2) sea positivo y con 𝑓( 𝑥1) ≠ 0. Debe considerar las
funciones dadas por 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 y 𝑔( 𝑥) = [ 𝑥].
Supongamos que 0 < 𝑓( 𝑥1) ≤ 1, entonces para que 𝑓( 𝑥1)+ 𝑔( 𝑥2) sea
positivo 𝑥2 debe pertenecer al intervalo [0;+∞).
3. Escriba en la raya la letra que corresponde a la gráfica de cada ecuación.
1. ________ 𝑠( 𝑥) =
4𝑥
2+𝑥2
2. ________ 𝑔( 𝑥) =
𝑥−3
𝑥+3
3. ________ 𝑟( 𝑥) =
7𝑥
𝑥+2
4. ________ 𝑓( 𝑥) = −
3
𝑥2 + 5
5. ________ ℎ( 𝑥) =
5𝑥
1−𝑥3
6. ________ 𝑡( 𝑥) =
6
𝑥+2
7. ________ 𝑛( 𝑥) =
−2
8−𝑥2
1 2 3
1
2
3
𝑥
𝑦
𝑡( 𝑥) = 2√ 𝑥
Solución

555
a.
b.
c.
d.
2 4 6
2
4
6
−2−4−6
−2
−4
𝑥
𝑦
2 4 6−2−4−6−8−10
2
4
6
−2
−4
−6
𝑥
𝑦
𝑥
2 4 6
2
4
6
−2−4−6
−2
−4
𝑦
𝑥 = −2√2 𝑥 = 2√2
𝑦 = 5
𝑥 = −2

556
e.
f.
g.
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
−5−10−15−20−25−30
−5
−10
−15
𝑥
𝑦
3
6
3 6−3−6−9−12
−3
−6
𝑥
𝑦
2 4 6
2
−2−4−6
−2
−4
𝑥
𝑦
𝑥 = −2
𝑦 = 7
𝑥 = 1
𝑥 = −3 𝑦 = 1

557
a. La gráfica tiene dos asíntotas verticales (𝑥 = ±2√2) y, de las funciones
dadas, la única que tiene dos asíntotas verticales es la dada por 𝑛( 𝑥) =
−2
8−𝑥2, así dicha gráfica corresponde a la función 𝑛.
b. Podemos observar que esta gráfica se obtuvo de trasladar la gráfica de la
función recíproca, 2 unidades horizontalmente a la izquierda (asíntota 𝑥 =
−2). Observe que es el único traslado, por lo cual corresponde a la función
dada por 𝑡( 𝑥) =
6
𝑥+2
.
c. Esta gráfica tiene como asíntota vertical la recta 𝑥 = 0 y asíntota
horizontal 𝑦 = 5, puesto que de las funciones que se nos dan la única que
cumple con estas dos condiciones es la que tiene ley de asignación 𝑓( 𝑥) =
−
3
𝑥2 + 5, resulta que su gráfica es la de este inciso.
d. Las asíntotas están dadas por las ecuaciones 𝑥 = −2 y 𝑦 = 7, por lo
cual la función correspondiente a esta gráfica está dada por 𝑟( 𝑥) =
7𝑥
𝑥+2
.
e. La asíntota que se muestra en la gráfica está dada por 𝑥 = 1, así que
corresponde a la función con ley de asignación ℎ( 𝑥) =
5𝑥
1−𝑥3.
f. En esta gráfica la asíntota vertical es la recta dada por 𝑥 = −3 y de las
funciones que nos quedan la única que tiene a dicha recta como asíntota
es la dada por 𝑔( 𝑥) =
𝑥−3
𝑥+3
, por lo que esta es la gráfica que corresponde
a dicha función.
g. Esta es la gráfica de 𝑠( 𝑥) =
4𝑥
2+𝑥2, pues es la única función a la cual no
hemos encontrado su correspondiente gráfica.
2,5 5 7,5−5 −2,5−7,5
1,5
3
−1,5
−3
−4,5
𝑥
𝑦
Solución

558
En consecuencia, tenemos que
1. g 𝑠( 𝑥) =
4𝑥
2+𝑥2
2. f 𝑔( 𝑥) =
𝑥−3
𝑥+3
3. d 𝑟( 𝑥) =
7𝑥
𝑥+2
4. c 𝑓( 𝑥) = −
3
𝑥2 + 5
5. e ℎ( 𝑥) =
5𝑥
1−𝑥3
6. b 𝑡( 𝑥) =
6
𝑥+2
7. a 𝑛( 𝑥) =
−2
8−𝑥2
4. Para los ejercicios del a. al g. encuentre las ecuaciones de las asíntotas
horizontales y verticales si existen y compare con la gráfica correspondiente
para cada ecuación.
En el ejercicio anterior se detalla.
5. Grafique la función ℎ dada por
{
| 𝑥| si 𝑥 < −4
1
𝑥
si −4 ≤ 𝑥 < 0
√ 𝑥 si 𝑥 ≥ 0
Podemos observar que esta es una función por partes y las ramas de su
gráfica corresponden a partes de las gráficas de 𝑦 = | 𝑥|, 𝑦 =
1
𝑥
y 𝑦 = √ 𝑥,
así tomando en cuenta las condiciones que se no dan en el ejercicio,
obtenemos la siguiente gráfica
Solución
Solución

559
Realice la prueba de la recta vertical para asegurarse de que trazó
correctamente la gráfica.
Recuerde que esta prueba consiste en trazar rectas verticales y estas no
pueden cortar a la gráfica en dos puntos.
Podemos observar que las rectas que trazamos no cortan a la gráfica en
más de un punto.
¿Cuáles son los interceptos de la gráfica de ℎ con los ejes coordenados?
¿Cuál es el dominio y rango de ℎ?
El único intercepto con los ejes es el punto (0;0), esto se puede observar
en la gráfica. También podemos obtenerlo algebraicamente, haciendo 𝑥 =
0 para calcular el intercepto con 𝑦 y de manera análoga asignándole el
𝑥
2 4 6−2−4−6
2
4
6
−2
−4
−6
𝑦
Solución
Solución
𝑥
2 4 6−2−4−6
2
4
6
−2
−4
−6
𝑦

560
valor 0 a 𝑦 para determinar el intercepto con 𝑥. Por otro lado, el dominio
es (−∞;−4) ∪ [−4;0) ∪ [0;+∞) = ℝ y el rango (−∞;0) ∪ [0;+∞) = ℝ.
Calcule
ℎ(2+5)−ℎ(2)
𝑠
, 𝑠 > 0
ℎ( 𝑥)−ℎ(−3)
𝑥+3
, −4 < 𝑥 < 0
Tenemos que
ℎ(2+5)−ℎ(2)
𝑠
=
√7−√2
𝑠
,
ℎ( 𝑥)−ℎ(−3)
𝑥+3
=
1
𝑥
−
1
−3
𝑥+3
=
1
𝑥
+
1
3
𝑥+3
=
𝑥+3
3𝑥
𝑥+3
=
1
3𝑥
.
6. Sea 𝑔 la función definida por 𝑔( 𝑥) = √ 𝑥 + 5. Trace la gráfica y encuentre
dominio y rango de 𝑔.
Determine mediante 𝑔, las preimágenes de 3, 11, 20 y 31.
¿Existe 𝑔(−6)? Justifique su respuesta.
A partir de la gráfica de 𝑔 trace las de ℎ( 𝑥) = −√ 𝑥 + 5 y 𝑓( 𝑥) =
−√ 𝑥 + 5 + 3.
Encuentre la ley de asignación para las funciones 𝑔 + 𝑓, ℎ + 𝑔, 𝑓 − ℎ y
ℎ − 𝑔. ¿Cuáles de estas funciones coinciden? Trace sus gráficas.
Calcule
(ℎ+𝑔)(2 014)
( 𝑔+𝑓)(2 015)
,
(𝑔+𝑓)(2 016)
( 𝑓+ℎ)(2 020)
, [
(𝑔+ℎ)(2 017)
( 𝑓−ℎ)(2 050)
]
2
.
¿Coincide la función 𝑔 + 𝑓 con la definida por 𝑠( 𝑡) = 3, ∀𝑡 ∈ ℝ?
La gráfica de 𝑔 se obtiene trasladando la gráfica de la función dada por 𝑦 =
√ 𝑥, 5 unidades horizontalmente a la izquierda. Luego, el dominio es
[−5;+∞) y el rango [0; +∞). Su gráfica es
Solución
Solución

561
Tenemos que
𝑔( 𝑥) = √ 𝑥 + 5 = 3 ⟹ 𝑥 + 5 = 32
⟹ 𝑥 = 4,
𝑔( 𝑥) = √ 𝑥 + 5 = 11 ⟹ 𝑥 + 5 = 112
⟹ 𝑥 = 116,
𝑔( 𝑥) = √ 𝑥 + 5 = 20 ⟹ 𝑥 + 5 = 202
⟹ 𝑥 = 395,
𝑔( 𝑥) = √ 𝑥 + 5 = 31 ⟹ 𝑥 + 5 = 312
⟹ 𝑥 = 956.
En consecuencia, las preimágenes de 3, 11, 20 y 31 mediante 𝑔 son
respectivamente 4, 116, 395 y 956.
𝑔(−6) = √−6+ 5 = √−1, pero √−1 no es real, así que 𝑔(−6) no existe
en ℝ.
La gráfica de ℎ la obtenemos mediante una reflexión a través del eje 𝑥
de la gráfica de 𝑔, y la de 𝑓 se obtiene trasladando la de ℎ, 3 unidades
hacia arriba. En consecuencia,
2 4 6
2
−2−4
𝑥
𝑦
(−5; 0)
(0; √5)
𝑔( 𝑥) = √𝑥 + 5

562
Se tiene que
( 𝑔 + 𝑓)( 𝑥) = 𝑔( 𝑥) + 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥 + 5 + (−√ 𝑥 + 5 + 3) = 3,
(ℎ + 𝑔)( 𝑥) = ℎ( 𝑥) + 𝑔( 𝑥) = −√ 𝑥 + 5 + √ 𝑥 + 5 = 0,
( 𝑓 − ℎ)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥)− ℎ( 𝑥) = −√ 𝑥 + 5 + 3 − (−√ 𝑥 + 5) = 3,
(ℎ − 𝑔)( 𝑥) = ℎ( 𝑥) − 𝑔( 𝑥) = −√ 𝑥 + 5 − √ 𝑥 + 5 = −2√ 𝑥 + 5.
Dado que el dominio de todas las funciones consideradas en este inciso es
[−5;+∞), y observando las leyes de asignación obtenidas anteriormente
entonces 𝑔 + 𝑓 = 𝑓 − ℎ.
Las gráficas de estas funciones son
2 4 6
−2
−2−4
𝑥
𝑦
(−5; 0)
(0; −√5)
ℎ( 𝑥) = −√𝑥 + 5
2 4 6
2
−2−4
𝑥
𝑦
(−5; 3)
(0; √5 + 3)
𝑓( 𝑥) = −√𝑥 + 5 + 3

563
Tenemos que
(ℎ+𝑔)(2 014)
( 𝑔+𝑓)(2 015)
=
0
3
= 0,
(𝑔+𝑓)(2 016)
( 𝑓+ℎ)(2 020)
=
3
−2√2 020+5+3
=
3
−2√2 025+3
=
3
−2(45)+3
= −
1
29
,
[
(𝑔+ℎ)(2 017)
( 𝑓−ℎ)(2 050)
]
2
= (
0
3
)
2
= 02
= 0.
La función 𝑠 no coincide con 𝑔 + 𝑓 porque, aunque tengan la misma ley
de asignación sus dominios son diferentes, pues 𝐷𝑜𝑚 𝑠 = ℝ ≠
[−5;+∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔 + 𝑓).
2 4 6−2−4
−2
−4
−6
𝑥
𝑦
(−5; 0)
(0; −2√5)
(ℎ − 𝑔)(𝑥) − 2√𝑥 + 5
1 2
1
2
3
𝑥
𝑦
−1−2
( 𝑔 + 𝑓)( 𝑥) = 3 = ( 𝑓 − ℎ)( 𝑥)
(ℎ + 𝑔)( 𝑥) = 0
−3−4−5

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