Calculo II

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A
UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
Ingeniería de Telecomunicaciones
SEGUNDO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
CALCULO II
Elaborado por:
Ing. José Jaime Barrancos Quiroz
Gestión Académica II/2007
U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A
1

UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y
Competitividad al servicio de la sociedad.
.
Estimado (a) estudiante;
El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes,
quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza
para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para
que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos.
Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.
Aprobado por: Fecha: julio de 2007
2

SYLLABUS
I.- DETALLE DE LA ASIGNATURA
Asignatura: CALCULO II
Código: MAT 112A
Requisito: MAT 102A
Carga Horaria: 100 horas
Horas teóricas 80 horas
Horas practicas 20 horas
Créditos: 10
II. OBJETIVOS GENERALES DE LA
ASIGNATURA.
• El objetivo de la materia es estudiar las
funciones reales de n-variables, sus
propiedades básicas y los fundamentos de
derivación, diferenciación e integración, así
como sus aplicaciones en el problema de
optimización.
• Aplicar las definiciones y propiedades de la
geometría analítica, funciones, límites,
derivadas e integrales en la solución de
problemas.
• Aplicar métodos y técnicas de derivación e
integración en la solución de funciones
reales de variable real.
• Analizar y utilizar técnicas de Cálculo de
varias variables para resolver problemas en
diferentes áreas aplicados a la ingeniería.
III.- PROGRAMA ANALITICO DE LA
ASIGNATURA.
UNIDAD I: GEOMETRIA ANALITICA DEL
ESPACIO
TEMA 1. Geometría Analítica.
1.1. Vectores: Operaciones, Producto
Escalar y Vectorial, Aplicaciones.
1.2. Coordenadas Cartesianas. Distancia
entre Dos Puntos, División de un
Segmento.
1.3. Cosenos Directores.
1.4. La recta: Ecuación Vectorial,
Paramétrica, Cartesiana y Simétrica.
1.5. El plano: Ecuación Vectorial y Punto -
Normal.
1.6. Ecuación General y Reducida del Plano.
1.7. Nociones de Cuádricas.
UNIDAD II: DERIVADAS DE FUNCIONES
DE VARIAS VARIABLES
TEMA 2. Funciones de Varias
Variables.
2.1. Funciones de varias variables.
2.1.1. Dominio.
2.1.2. Límite.
TEMA 3. Derivadas.
3.1. Derivadas Parciales, Definición analítica y
geométrica.
3.2. Derivación Implícita.
3.3. Derivadas Totales, Regla de la Cadena.
3.4. Derivadas Parciales de Orden Superior.
3.5. Diferenciales.
3.6. Jacobianos, Propiedades, Aplicación.
3.7. Aplicaciones de las Derivadas Parciales:
Máximos y Mínimos de Funciones de dos
Variables.
3.8. Máximos y Mínimos de Funciones de Tres
Variables.
3.9. Aplicaciones de Máximos y Mínimos.
UNIDAD III: INTEGRALES MULTIPLES,
SUCESIONES Y SERIES
TEMA 4. Integrales.
4.1. Integrales Múltiples, Definición, Teoremas.
4.2. Integrales Dobles, Teoremas.
4.3. Cálculo de Integrales Dobles.
3

4.4. Integrales Triples, Teoremas.
4.5. Cálculo de Integrales Triples.
4.6. Aplicaciones de Integrales Dobles en
Cálculo de Áreas.
4.7. Aplicaciones de Integrales Dobles en
Física.
4.8. Cálculo de Volúmenes por Integrales
dobles.
Triples en Coordenadas Cartesianas.
Triples en Coordenadas Cilíndricas.
Triples en Coordenadas Esféricas.
TEMA 5. Series numéricas y
funcionales
Sucesiones, Límites de sucesiones.
5.1. Series, Teoremas, Criterios de
convergencia.
5.2. Serie “P”, Serie Geométrica.
5.3. Series de Potencias: Series de
Taylor y Mc – Laurin.
IV.- ACTIVIDADES A REALIZAR EN LA
COMUNIDAD.
Consideramos que la formación de nuestros
estudiantes esta basada en tres pilares:
Académico, Investigativo y la Interacción con la
comunidad, denominando a esta triada el
aprendizaje productivo, que implica el
desarrollo de procesos cognitivos superiores y
complejos que son superiores a los meramente
de repetición memorística (conductivista),
aplicación de formulas y algoritmos prefabrica-
dos para la solución del problema.
El enfoque que daremos es la construcción
(constructivismo) del conocimiento combinando
el trabajo de aula y laboratorio (Universidad)
con el trabajo de campo (comunidad) en
condiciones que estarán estructuradas por la
naturaleza y características de cada proyecto y
materia.
El trabajo social comunitario de la Universidad
esta dirigido a los sectores más deprimidos de
la sociedad y esta destinado a la:
• Investigación e identificación de los
problemas más acuciantes de las
comunidades más pobres.
• Elaboración de proyectos de desarrollo
comunitario para dar solución a los
problemas detectados, considerando una
gestión financiera con instituciones
nacionales e internacionales que apoyan
con recursos.
• Implementación de los respectivos
proyectos.
La ejecución de diferentes programas de
interacción social y la elaboración e
implementación de proyectos de desarrollo
comunitario derivados de dichos programas
confiere a los estudiantes, quienes son, sin
dudas, los más beneficiados con esta iniciativa,
la posibilidad de:
• Desarrollar sus prácticas pre-profesionales
en condiciones reales y tutorados por sus
docentes con procesos académicos de
enseñanza y aprendizaje de verdadera
“aula abierta”.
• Trabajar en equipos, habituándose a ser
parte integral de un todo que funciona
como unidad, desarrollando un lenguaje
común, criterios y opiniones comunes y
planteándose metas y objetivos comunes
para dar soluciones en común a los
problemas.
• Realizar investigaciones multidisciplinarias
en un momento histórico en que la ciencia
atraviesa una etapa de diferenciación y en
que los avances tecnológicos conllevan la
aparición de nuevas y más delimitadas
especialidades.
• Desarrollar una mentalidad, crítica y
solidaria, con plena conciencia de nuestra
realidad nacional.
El trabajo a realizar en esta asignatura es de
apoyo a iniciativas que requieran mayor
compromiso con las sociedades deprimidas,
donde la relación materia – problema social sea
más directo y un desempeño mas visible .
i.- Tipo de asignatura para el trabajo social
4

Directamente vinculada
ii.- Resumen de los resultados del
diagnóstico realizado para la detección
de los problemas a resolver en la
comunidad.
De acuerdo a información obtenida por los
estudiantes de nuestra Universidad, las
unidades educativas públicas en colegios
secundarios del departamento tienen un
déficit en la enseñanza de las matemáticas y
un índice alto de reprobación, especialmente
reflejado en el ingreso a la universidad.
iii.- Nombre del proyecto
Elaborar una base de datos con los
proyectos de desarrollo sostenible
requeridos por los sectores mas
deprimidos.
iv.- Contribución de la asignatura al
proyecto
Se realizara el levantamiento de la
información, considerando grupos focales,
de funcionarios de la Prefectura del Dpto.,
Alcaldías, Organizaciones Sociales para
recuperar las necesidades de la población
mas necesitada y traducirlo en un proyecto
de grado, que aportara a la Base de Datos
que la universidad tendrá para orientar los
proyectos de las diferentes carreras.
v.- Actividades a realizar durante el
semestre para la implementación de los
proyectos.
Detallamos en el cuadro adjunto
V.- EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
• PROCESUAL O FORMATIVA.
En todo el semestre se realizarán preguntas
escritas, exposiciones de temas, trabajos
prácticos, Work Papers, DIF’s, además las
actividades planeadas para los respectivos
trabajos sociales. Estas evaluaciones tendrán
una calificación entre 0 - 50 puntos.
• PROCESO DE APRENDIZAJE O
SUMATIVA.
Se realizarán dos evaluaciones parciales con
contenidos teóricos y prácticos.
El examen final consistirá en la defensa de un
proyecto que se realizará a lo largo de todo el
semestre.
Cada uno de estos exámenes tendrá una
calificación entre 0 - 50 puntos.
1° evaluación parcial
Fecha 7ma semana
Nota 33.3%
2° evaluación parcial
Trabajo a realizar por
los estudiantes
Localidad, aula o
laboratorio
Incidencia social Fecha
Directamente vinculado Colegios secunda-
rios fiscales (est.)
Investigación grupo focal Antes del 1er parcial
Directamente vinculado Colegios secunda-
rios fiscales. (prof)
Investigación grupo focal Antes del 2do parcial
Directamente vinculado Aula Informe de conclusiones Antes del Ex. Final
5
Nombre del proyecto: Apoyo a iniciativas de la carreraNombre del proyecto: Apoyo a iniciativas de la carrera

Fecha 14va semana
Nota 33.3%
Examen final
Fecha 21mo semana
Nota 33.3%
VI.- BIBLIOGRAFIA.
BIBLIOGRAFÍA BASICA.
• AYRES, FRANK Y ELLIOT
MENDELSON. Schaum. Cálculo
Diferencial e Integral. Editorial McGraw
Hill. México 1997. (515.33 Ay74, 515.33 Ay74
c.2)
• CHUNGARA CASTRO, VÍCTOR. Apuntes
y problemas de Cálculo II. Bolivia 2005.
(515.35 C47 t.2)
• DEMIDOVICH, 5000 problemas de
análisis matemático, Moscú, Editorial MIR,
1980. (515 D39)
• LARSON, ROLAND E. Cálculo. Editorial
McGraw-Hill Interamericana. México,
1999. (515.15 L32, 515.15 L32 c.2)
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
• Piskunov, “Calculo diferencial e integral”,
Editorial Mir, Moscú, 1983.
Apuntes
6

VII. PLAN CALENDARIO
SEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS OBSERVACIONES
30 de julio al 4 de agosto
Avance de materia Tema 1: 1.1 a 1.2
6 al 11 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.3 a 1.4
13 al 18 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.5 a 1.6
20 al 25 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.7
27 de agosto al 1 de sept Avance de materia Tema 2: 2.1
3 al 8 de septiembre Avance de materia Tema 2: 3.1 a 3.3
10 al 15 de septiembre Avance de materia Tema 3: 3.4
10 al 15 de septiembre Primera Evaluación
1 al 6 de octubre Avance de materia Tema 3: 3.9
8 al 13 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.1 a 4:2
15 al 20 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.3 a 4:4
22 al 27 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.5 a 4.6
29 de oct al 3 de nov Avance de materia Tema 4: 4.7 a 4.8
29 de oct al 3 de nov Segunda Evaluación
5 al 10 de noviembre Avance de materia Tema 4: 4.9 a 4.10
12 al 17 de noviembre Avance de materia Tema 4: 4.11
19 al 24 de noviembre Avance de materia Tema 5: 5.1 a 5.2
26 de nov al 1 de dic Avance de materia Tema 5: 5.3
3 al 8 de diciembre Avance de materia Tema 5: 5.4
10 al 15 de diciembre Evaluación final
17 al 21 de diciembre Evaluación del 2do
turno
17 al 21 de diciembre Presentación de Notas
7

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TITULO: Funciones y Limites de Varias Variables
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa
Una manera de visualizar una función es por
medio de una gráfica. La gráfica de una función
de una variable, por lo general, es una curva en
el plano. Sin embargo, no toda curva del plano
es la representación de una función. Para que
una curva represente una función no puede
tener dos puntos en la misma vertical (criterio
de la recta vertical), ya que para que una
correspondencia entre dos magnitudes sea
función, la imagen tiene que ser única.
FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Una
función de varias variables es una
correspondencia entre más de dos magnitudes.
En este caso, las imágenes también serian
números reales, pero los originales no serian
números individuales, sino parejas o ternas de
números reales. Es decir, para poder dar el
resultado de la función necesitamos tener
varios datos. En consecuencia, los valores de la
función (las imágenes), que serian números
reales, dependen (son función) de mas de una
variable.
Ejemplo: Si expresamos el área de un triangulo
en función de la base y de la altura, tendremos
una función de dos variables.
En general será:
( ) ( )yxfzzyxf
Df
,,:
: 2
=→
ℜ→ℜ⊆
El volumen depende de r y de h. Por eso se
puede escribir
V(r,h) =  r2
h.
Es decir, como una función de dos variables r y
h. V : (r,h)  r2
h
DEFINICIÓN DE FUNCION: Sea D un conjunto
de pares ordenados de números reales. Si a
cada par ordenado (x, y) de D le corresponde
un numero real f(x, y), entonces se dice que f
es función de x e y. El conjunto D es el dominio
de f y el correspondiente conjunto de valores de
8
bhA
2
1
=
( )hbfA ,=⇒
hrV 2
π=

f(x, y) es el recorrido de f. Para la función dada
por z = f(x, y), a x e y se les llaman variables
independientes, y a z variable dependiente.
Ejemplo. La ecuación de la esfera x2
+ y2
+ z2
=
r2
no representa (globalmente) una función, ya
que si le damos valores a dos de las variables
obtenemos dos valores de la tercera, lo que
viola el concepto de función.
2222222
yxrzrzyx ++±=⇒=++
No es función pero si
separamos en dos
funciones
222
yxrz +++=
Si es función
222
yxrz ++−=
Si es función
FUNCIONES VECTORIALES. Una función se
dice que es vectorial cuando el resultado no es
un número, sino un vector, es decir, una pareja
de números o una terna de números.
Ejemplo. Si las ecuaciones paramétricas de una
recta son las siguientes:





+=
+=
−=
tz
ty
tx
1
32
1
para cada valor del parámetro tiempo t,
obtenemos las tres coordenadas del punto de
situación (x, y, z).
En general, tendremos
( )





+=
+=
−=
→
ℜ→ℜ⊆
tz
ty
tx
zyxtf
Df
1
32
1
,,:
: 3
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS
VARIABLES: El dominio de una función se
define como el conjunto de puntos que tienen
imagen. En la práctica el dominio de una
función de varias variables, normalmente, viene
determinado por el contexto del problema. Por
eso, para definir las funciones es usual dar
simplemente la fórmula z = f(x,y), sin especificar
el dominio D.
DOMINIO IMPLÍCITO EN LA FÓRMULA:
Cuando no se dispone de un contexto de
aplicación, también es usual definir las
funciones dando simplemente la regla z = f(x),
sin especificar el dominio D. En tal caso se
entiende que el dominio viene implícito en la
propia formula, y queda determinado por todos
aquellos valores para los cuales tiene sentido
aplicar la fórmula que define la función. O sea,
el dominio esta formado por todos aquellos
valores tales que al sustituirlos en la fórmula y
realizadas las operaciones indicadas se obtiene
un valor numérico y no una operación
imposible. Es decir, se entiende que el dominio
de la función f es el mayor subconjunto D de Rn
para el cual la regla f(x) tiene sentido (si el
dominio es mas pequeño hay que indicarlo).
El dominio de una función de dos variables f(x,
y) será una región del plano, y el dominio de
una función de tres variables f(x, y, z) una
región del espacio. Y vendría determinado por
la propia formula (dominio implícito), o bien, por
una restricción arbitraria que nosotros
impongamos.
Se llama Rango o Recorrido de una función al
conjunto de elementos que son imagen. En
general, nos ocuparemos del Dominio y sólo en
casos particulares nos ocuparemos del
Recorrido.
Ejemplos: definir gráficamente el dominio de
función de las siguientes funciones:
9
222
2
1
1
yx
x
xy
yx
z
−−
−
+
−
=
2
yx
y
z
−
=

Es interesante señalar que a las funciones de
varias variables se les puede aplicar también
los métodos del Cálculo Diferencial e Integral,
con algunas modificaciones.
LIMITES DE FUNCIONES EN VARIAS
VARIABLES
Para calcular lim f (x, y) cuando (x, y) --> (xo, yo)
se calculan:
1. Límites sucesivos o reiterados (primero
calculamos el límite cuando x tiende a xo y
después cuando y tiende a yo o al revés)
2. Límites direccionales a través de las rectas
que pasan por el punto (xo, yo). y = yo + m (x -
xo)
Estos límites direccionales deben ser
independientes del valor de m (y coincidir con
los límites sucesivos o reiterados calculados
anteriormente)
3. Comprobamos el resultado mediante el
cambio a polares: x = xo + r cos θ , y = yo + r
sen θ
CUESTIONARIO WORK PAPER # 2
1. Calcular el dominio de
las siguientes funciones y representarlo
geométricamente.
a) 22
yx4z −−=
b)
x
yx9
z
22
−−
=
c)
y
y2x3
z
22
−
=
d) 2
xy
y
z
−
=
e)
x
yx9
z
22
−−
=
f) 22
11 yxz −+−=
g)
4
)xyln(
z =
h)
4
12
22
2
−+
−
=
yx
yx
z
2. Graficar las siguientes
Funciones:
a) 12
−= xZ
b) ( )1−= ysenZ
c) ( )2cos += xZ
d) 2
4 xZ −=
e) 22
−= yZ
f) 123 −−= yxZ
g)
1
2
22
++
=
yx
Z
h) 369 22
−−= yxZ
3. Calcular los siguientes
límites de varias variables.
a)
yx
yx
yx +
−
→
22
)0,0(),(
lim
b) )73(lim 2
)1,2(),(
yx
yx
+
→
c)
y
xysen
yx
)(
lim
)0,3(),( →
d) ( ) 





⋅+
→ 2
23
)2,0()y,x( y
x
senyxlim
e) ( )








+
++
→
2y2x
1
22
)0,0()y,x(
yx1lim
f)
9xy3
xy
lim
)0,0()y,x(
+−→
g)
x
)3,()y,x( x
y
1lim 





+
∞→
h)
12
)1(
lim
)0,1(),( −
−
→ xy
y
yx
esen
10

d)
( ) 4yx
8yx2xy
Lim 22
33
1,2r −
−+−
→
→
i)
( )
( )
( )6xy3arctan
2xyarcsen
Lim
1,2r −
−
→
→
j)
24
2
0
0lim
xy
xy
y
x
+→
→
11

WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
TITULO: Funciones en Varias Variables
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDA ETAPA
SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL
ESPACIO.- Es un sistema de coordenadas de
tres dimensiones formado por la intersección
de tres rectas perpendiculares entre sí, donde
cada recta pertenece a los números reales.
Un sistema de coordenadas en el espacio está
formado por ocho octantes y cada octante se
forma por 3 planos que son xzyzxy ,,
12

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- La
distancia formada por una línea de segmentos
entre dos puntos se calcula a partir del
teorema de Pitágoras.
PUNTO MEDIO DE DIVISION.- Sea una línea
de segmentos formada por dos puntos
cualquiera, para encontrar los puntos medios
de división mediante una relación de distancias
“r” dada por las siguientes ecuaciones:
La relación “r” dependerá de cuantas partas
iguales se va a dividir la línea de segmentos.
La recta.- Es el lugar geométrico de puntos
que satisfacen simultáneamente a dos
ecuaciones lineales en tres variables de la
forma:
Ecuación General de la recta en el espacio.
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx −
=
−
=
−
Ecuación Cartesiana de la recta
aPP t0
→→→
+=
Ecuación Vectorial de recta





+=
+=
+=
30
20
10
tazz
tayy
taxx
Ecuación Parametrica de la recta
Distancia de un punto hacia una recta: La
distancia mínima que existe desde un punto
X
y
P0
P1
z
X
y
z
P0
P1
P.
P.2
1
=r
2=r
X
y
z
P0
P
.
.→
a



=+++
=+++
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111
13
xy
xz








+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
r
rzz
z
r
ryy
y
r
rxx
x
zyxP
1
1
1
),,(
21
21
21
2
01
2
01
2
01 )()()( zzyyxxd −+−+−=

hacia una recta cualquiera es igual a la
distancia de la línea de segmento
perpendicular a la recta y el punto, esta
distancia esta definida por la siguiente
ecuación:
El plano.- Es el lugar geométrico de puntos
que satisfacen a una ecuación lineal en tres
variables de la forma:
Ecuación general del plano en el espacio.
( ) ( ) ( ) 0zzCyyBxxA 000
=−+−+−
Ecuación Punto Normal.
0NPP 0 =




 −
→→→

Ecuación Vectorial del plano.
Distancia de un punto hacia un plano: La
distancia mínima que existe desde un punto
hacia una plano cualquiera es igual a la
distancia de la línea de segmento
perpendicular al plano y el punto, esta
distancia esta definida por la siguiente
ecuación:
SUPERFICIES CUADRICAS: Son figuras
geométricas ubicadas en el espacio las cuales
están representadas por la siguiente ecuación
general:
0222
=+++++++++ KIzHyGxFyzExzDxyCzByAx
Entre estas figuras geométricas tenemos: la
esfera, el elipsoide, Hiperboloide de una hoja,
Hiperboloide de dos hojas, paraboloide
circular, paraboloide elíptico, paraboloide
hiperbólico, cono, cilindro elíptico, cilindro
circular cilindro hiperbólico, etc.
LA ESFERA: Es el lugar geométrico de puntos
en el espacio que se mueve de tal manera que
su distancia a un punto fijo es siempre
constante. El punto fijo se llama centro y la
distancia radio. Su ecuación es muy parecida a
la de la circunferencia, esta es:
( ) ( ) ( ) 2222
Rjzkyhx =−+−+− , donde R es el
radio y (h, k, j) es el centro del cual hablamos,
la forma general de la ecuación de la esfera es
: 0222
=++++++ JKIzHyGxCzByAx , en
donde A = B = C = 1.
X
y
z
P0
Pe
.
.
→
a
d
→
→→→






−
=
a
axpp
d
e 0
X
y
N
z
P0
X
y
N
z
P0 d
Pe
14
→
→→→






−
=
N
Npp
d
e 0
0DzCyBxA =+++
→
→→→





 −
=
N
Npp
d
0e 

EL ELIPSOIDE: Es el lugar geométrico de
puntos en el espacio que cumple la siguiente
ecuación:
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
c
jz
b
ky
a
hx
Donde a, b c son los semiejes del elipsoide y
(h, k, j) es el centro, la forma general de la
ecuación del elipsoide es:
0222
=++++++ JKIzHyGxCzByAx , en
donde BA ≠ ó CA ≠ ó CB ≠ .
HIPRBOLOIDE DE UNA HOJA: Es el lugar
geométrico de puntos en el espacio que
cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
−
c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje X
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
+
−
−
−
c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Y
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
−
−
+
−
c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Z
Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el
centro, la forma general de la ecuación del
hiperboloide de una hoja es:
0222
=++++++ JKIzHyGxCzByAx
En donde 0;0;0 >>< CBA ó
0;0;0 ><> CBA ó 0;0;0 <>> CBA .
HIPRBOLOIDE DE DOS HOJA: Es el lugar
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
−
−
−
−
c
jz
b
ky
a
hx
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
−
−
+
−
−
c
jz
b
ky
a
hx
( ) ( ) ( ) 12
2
2
2
2
2
=
−
+
−
−
−
−
c
jz
b
ky
a
hx
vértice, la forma general de la ecuación del
hiperboloide de dos hojas es :
0222
En donde 0;0;0 <<> CBA ó
0;0;0 <>< CBA ó 0;0;0 ><< CBA .
15

PARABOLOIDE CIRCULAR O ELIPTICO: Es
el lugar geométrico de puntos en el espacio
que cumple la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )
a
hx
c
jz
b
ky −
±=
−
+
−
2
2
2
2
Se proyecta en el eje X; b=c circular, b ≠ c
elíptico
( ) ( ) ( )
b
ky
c
jz
a
hx −
±=
−
+
−
2
2
2
2
Se proyecta en el eje Y; a=c circular, a ≠ c
elíptico
( ) ( ) ( )
c
jz
b
ky
a
hx −
±=
−
+
−
2
2
2
2
Se proyecta en el eje Z; a=b circular, a ≠ b
elíptico
vértice del paraboloide, la forma general de la
ecuación del paraboloide circular o elíptico es:
0222
En donde 0;0;0 >>= CBA ó
0;0;0 >=> CBA ó 0;0;0 =>> CBA .
PARABOLOIDE HIPERBOLICO: Es el lugar
( ) ( ) ( )
a
hx
c
jz
b
ky −
±=
−
−
−
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
b
ky
c
jz
a
hx −
±=
−
−
−
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
c
jz
b
ky
a
hx −
±=
−
−
−
2
2
2
2
vértice del paraboloide, la forma general de la
ecuación del paraboloide hiperbólico es:
0222
En donde 0;0;0 <>= CBA ó
0;0;0 <=> CBA ó 0;0;0 =<> CBA .
CONO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar
( ) ( ) ( ) 02
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
c
jz
b
ky
a
hx
elíptico
( ) ( ) ( ) 02
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Y; b=c circular, b ≠ c
elíptico
( ) ( ) ( ) 02
2
2
2
2
2
=
−
+
−
+
−
c
jz
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Z; b=c circular, b ≠ c
elíptico
16

CILINDRO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el
lugar geométrico de puntos en el espacio que
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
c
jz
b
ky
elíptico
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
c
jz
a
hx
Se proyecta en el eje Y; a=c circular, a ≠ c
elíptico
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
Se proyecta en el eje Z; a=b circular, a ≠ b
elíptico
CILINDRO HIPERBOLICO: Es el lugar
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
c
jz
b
ky
→ Se proyecta en el eje
X
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
c
jz
a
hx
Y
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
Z
CILINDRO PARABOLICO: Es el lugar
( ) ( )
c
jz
b
ky −
±=
−
2
2
X
( ) ( )
c
jz
a
hx −
±=
−
2
2
Y
( ) ( )
b
ky
a
hx −
±=
−
2
2
Z.
CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1
1) Vectores: Dado los siguientes vectores:
A = (2, 4, 5) B = (-5, -4, 3)
C = (1, 2, -4) D = (4, -3, -5)
Realizar las siguientes operaciones
vectoriales y graficarlas:
a) A + B C + D
b) B – C A – D
c) A ° B C ° D
d) B x C A x D
2) Geometría Analítica: Encontrar la distancia
que existe en los siguientes puntos y
graficarlos
a) P0(3, -3, 6); P1(5, -4, 2)
b) P0(-2, 4, 5); P1(-4, -3, 1)
3) Si los puntos dados son vértices de un
triangulo, demostrar que:
a) P0(4, 2, 4); P1(10, 2, -2); P2 (2, 0, -4);
determinan un triangulo equilátero.
b) P0(3, -1, 2); P1(0, -4, 2); P2 (-3, 2, 1);
determinan a un triangulo isósceles
4) Una línea de segmento esta formado por
los puntos:
17

a) P0(-1, 8, 5); P1(9, -7, 0); dividir la línea
de segmento en 3 partes
b) P0(-2, -1, 3); P1(7, 6, -3); dividir la línea
de segmento en 3 partes
5) La recta, graficar:
a) Dado el punto P0 (4, -2, 5) y la dirección
el vector A = (3, 1, 2); hallar la ecuación
vectorial, parametrica y cartesiana.
b) Dado los puntos P0 (5, -2, 1); P1(3, 1,
-4); encontrar la ecuación cartesiana, el
vector dirección, la ecuación
paramétrica y vectorial.
c) Calcular la ecuación general de la recta
L1, que pasa poel punto Po(4, -5, 2) y
es perpendicular a la recta L2: P0(5, 3,
1); P1(-3, 1, 4)
d) El punto Pe(1, -2, 4) hacia la recta
2
4
6
42
5
2 zyx −
=
−
=
−
e) La recta L1:
2
4
8
42
5
2 zyx −
=
−
=
−
y L2:
5
1
4
12
6
3 zyx −
=
−
=
−
6) El Plano, graficar:
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por
el punto P0(4, -2, 3) y su normal es N(2, -4,
3)
b) Pasa por el punto P0(-5,2,4) y el paralela al
plano 5x - 3y + 6z – 2 =0
c) El plano esta sobre las dos rectas L1:
2
3
6
4
5
2 −
=
−
=
− zyx
L2:
2
2
6
1
5
3 −
=
−
=
− zyx
d) Calcular la distancia que existe del punto
Pe(2, -1,4) al plano 3x - 2y + 5z – 4 =0
e) Calcular la distancia que existe del plano
3x -2y + 5z -4=0 al otro plano 3x -2y + 5z
+ 6=0
7) Cuádricas, graficar:
a) Hallar la ecuación de la esfera que tiene
su centro (4,-3, 5) y su radio es 3
b) Hallar la ecuación de la esfera que tiene
diámetro en los puntos P0(2, 4, -1); P1(-4,
2, 3)
c) Hallar la ecuación de la esfera que tiene
su centro (1,-4, 5) y tangente a 5y -3x +
2z - 4=0
d) Hallar la ecuación del elipsoide que tiene
su centro en (3, -1, 4) y los semiejes: 4; 2;
1.
e) Hallar la ecuación de la superficie cónica,
y efectuar su representación grafica.
( )0,1,1;2;922
−==+ vxzy
8) Reconocer y graficar las siguientes
superficies:
a) 0197y90x32z36y9x 222
=−+−++
b) 036z9y4x36 222
=−++
c) 04zy4x4 222
=−+−
d) 016z4yx4 222
=−−−
e) 0zyx 22
=−+
f) 036z9yx4 222
=−+−
g) 4x2
- y + 9z2
– 36 = 0
h) 03z1y6x8zy3x2 222
=−−+−++
i) ( ) ( )22
1y1xz −−−=
j) 01z4x2zyx 222
=+−+++
k) 012z12y4z3x4 22
=++−+
l)
222
y12z4x3 =+
m) 9yx 22
=+
n) 1z2y2x 222
=−−
o) ( ) 222
zy5x4 +=−
p)
22
zy4x −−=
q) z48y2x 22
−=+
18

WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
TITULO: Derivadas
FECHA DE ENTREGA:
19

PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa
DERIVADAS PARCIALES: Las derivadas
parciales de funciones de varias variables se
denotan y define analíticamente por el
siguiente límite:
Sea la función: ( )yxfz ,=
( ) ( )
h
yxfyhxf
x
z
h
,,
lim
0
−+
=
∂
∂
→
Derivada parcial de la función con respecto a x
( ) ( )
h
yxfhyxf
y
z
h
,,
lim
0
−+
=
∂
∂
→
Derivada parcial de la función con respecto a y
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS
DERVADAS PARCIALES: geométricamente
las derivadas parciales son las pendientes de
las rectas tangentes en los planos XZ, YZ,
estas rectas tangentes permiten encontrar el
plano tangente a la función en el punto
P(x0,y0,z0).
x
z
m1
∂
∂
= ;
y
z
m2
∂
∂
=
REGLA DE LA CADENA: Esta regla se utiliza
cuando las funciones son compuestas y sus
derivadas parciales están definidas por el
siguiente análisis:
Sea ( )vufz ,= y
( )
( )


=
=
yxfv
yxfu
,
,
entonces las
derivadas parciales serán:
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
DERIVADAS PARCIALES Y
DIFERENCIALES DE ÓRDENES
SUPERIORES.
Se llaman derivadas parciales de segundo
orden de la función z = f(x,y) a las derivadas
parciales de las derivadas parciales de primer
orden.
Se usan las siguientes notaciones:
(se empieza derivando por la variable que está
más cerca de la función)
Si las derivadas parciales son continuas,
entonces las derivadas cruzadas son iguales.
Si las derivadas parciales son continuas,
entonces las derivadas cruzadas son iguales.
20
)

Igual se definen las derivadas parciales de
tercer orden y de órdenes superiores.
Si las derivadas parciales son continuas
entonces no dependen del orden en que se
realicen, sino del número de veces que se
derive respecto de cada una de las variables
(aunque el resultado final sea igual, el cálculo
puede resultar más complicado en un orden
que en otro).
Se llama diferencial de segundo orden de una
función a la diferencial de su diferencial total:
Análogamente se define la diferencial de tercer
orden.
Se siguen unas reglas parecidas a las
potencias:
DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS. La
derivada de la función implícita
definida mediante la ecuación
puede calcularse: o bien despejando la y, o
bien, mediante la siguiente fórmula:
, siempre que
Las derivadas de orden superior de una función
implícita se pueden calcular mediante la
derivación sucesiva de la fórmula anterior,
considerando y como función de x.
Las derivadas parciales de una función
implícita de dos variables definida
mediante la ecuación puede
calcularse mediante las fórmulas:
; , siempre que
Dada la ecuación Si el punto
cumple la ecuación , la
función F tiene derivadas parciales continuas
en un entorno de y
entonces la ecuación define una
función explícita en un entorno de
con
Dada la ecuación Si el punto
cumple la ecuación ,
la función F tiene derivadas parciales continuas
en un entorno de y
entonces la ecuación define una
función explícita en un entorno de
dicho punto.
Calcula y', siendo
Tenemos:
Por lo tanto:
1. Hallar las derivadas parciales
a) 





−
+
=
yx
yx
lnz
b) ( )22
yx
ez +−
=
21

c) ( )yx2arctanz −=
d)
xy2
y8x
z
33
+
=
e)
xcosseny
yxz +=
f) ( )3
22
y2x4lnz −=
g) 





=
y
x
tgz
2
h) ( )yxsen.xz +=
2. Demostrar las siguientes
ecuaciones:
a) 0
y
z
y
x
z
x =
∂
∂
+
∂
∂
; si:
yx2
yx2
Z
−
+
=
b) 0
y
z
y2
x
z
x =
∂
∂
−
∂
∂
Si la función es: ( )yxarctanyxlnZ 22
+=
c) Z
y
z
y
x
z
x =
∂
∂
+
∂
∂
; si :
yx
xy
Z
+
=
d) 0
z
u
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Si la función es: ( )( )( )xzzyyxU −−−=
3. Calcular las derivadas
parciales de las siguientes funciones
implícitas:
a)
x2
xy
zln
z
ylnx
y
ex
+=+
b)
0y3)xz2ln(e 2yz
=−+
c)
1xcoszzcosyycosx =++
d) z
ezyx =++
e) 33
3 axyzz =−
4. Calcular las derivadas
parciales de orden superior:
a)
zyx
u
∂∂∂
∂3
si
xyz
eu =
b)
yx
u
∂∂
∂
.2
3
si
senxysenyxu 33
+=
c) 3
3
x
u
∂
∂
si
2222322
yyx4yx3xyxy2xu +−−+++=
d)
xy
z2
∂∂
∂
si
22
yx1z +−=
e)
xy
z2
∂∂
∂
si
( ) ( )xy2arctanyxlnxz −+=
f)
xy
z2
∂∂
∂
si
22
xy
yx
e
z
+
=
ecuaciones:
a) 02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
x
z
si:






=
x
y
Z arctan
b) 04 2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
z
y
z
si:
)2cos()2(
yxeZ yx
−= −
c)
02 2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
z
y
xy
z
xy
x
z
x
Si la función es: 





=
x
y
xZ ln
d)
02 4
4
22
4
4
4
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
z
yx
z
x
z
Si la función es: yxeZ x
cos=
e) 2
2
x
u
∂
∂
+ 2
2
y
u
∂
∂
= 0
Si la función es: ( ) ( )( )22
byaxlnu −+−=
22

f)
xy
u
yx
u 22
∂∂
∂
=
∂∂
∂
si:
y
x
u arccos=
g)
0
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Si la función es: ( ) 2
1
222
zyxu
−
++=
6. Calcular las derivadas parciales
de las funciones compuestas:
a)
t
z
∂
∂
; para la función
y
x
Z =
Donde tyex t
ln; ==
b)
t
z
∂
∂
; para la función 







=
y2
x
lnZ
Donde 1;3 22
+== tytx
c)
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂
; ; para la función v
uZ =
Donde xyv
y
x
u == ;
d)
y
u
;
x
u
∂
∂
∂
∂
; si: ( )tfu = donde t = x + y
e)
y
u
;
x
u
∂
∂
∂
∂
; si: ( )tfu = donde
y
x
t =
f)
y
u
;
x
u
∂
∂
∂
∂
; si: ( )222
zyxfu ++=
g)
y
u
;
x
u
∂
∂
∂
∂
; si: 





=
z
y
,
y
x
fu
h)
y
u
;
x
u
∂
∂
∂
∂
; si: 





=
y
x
,xfu
ecuaciones:
a) 2
11
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
+
∂
∂
si: )( 22
yxyfZ −=
b) ( ) xyz
y
z
xy
x
z
yx =
∂
∂
+
∂
∂
− 22
Si la función es:










=








2
2
2 y
x
y
yefeZ
c) 02
22
=
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
∂
∂
x
z
y
z
yx
z
x
z
Si la función es: ( )( )ygxfZ +=
d) y 0=
∂
∂
−
∂
∂
y
z
x
x
z
si:
( )22
yxz += ϕ
e) 022
=+
∂
∂
−
∂
∂
y
y
z
xy
x
z
x si
( )xy
x
y
z ϕ+=
3
2
f) 1
y
z
ysec
x
z
xsec =
∂
∂
+
∂
∂
Si ( )yxfyz sinsinsin −+=
8. Determinar los diferenciales
totales de las siguientes funciones:
a)
yx
yx
Z
+
−
= 2
2
2
b) 




 −
=
xy
yx
Z
2
2
arctan
c) 22
ln yxu +=
d) Hallar )1.1.1(df , si:
( )
y
XZ
z,y,xf =
e) Cuanto variara la diagonal y el área de un
rectángulo de lados x = 6m e y = 8m, si el
primer lado se aumenta en 2 mm y el
segundo se disminuye en 5 mm?
f) El ángulo central de un sector

60=α
aumento

1=∆α ¿cuanto hay que
disminuir el radio del sector R=20 cm, para
que su área no varié?
9. Calcular los puntos extremos de
la función:
a) yxz += si 1=+ yx
b) 22
yxz += si 1=+
b
y
a
x
c) xyxxyz −−= 22
24
d) 21y8x4yxz 22
+−−+=
e)
322
xyyxxy8z −−=
f) 22
yxy6x26z −−++−=
23

g)
22
y4xy4xz +−=
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES
TITULO: Aplicación de las Integrales Simples
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa
24

INTEGRALES SIMPLES: Estas integrales se
subdividen en integrales definidas, curvilíneas,
de revolución, etc.
INTEGRALES DEFINIDAS: Sea una función
continua definida en [a,b] .Supongamos que
dividimos este intervalo en n subintervalos :
[a,x1] , [x1,x2] , [x2,x3] ..........., [xn-2,xn-1] , [xn-1,b]
Podríamos calcular la suma de todas las áreas
de los rectángulos superiores e inferiores y
obtendríamos:
Ssup(f) = M1(x1-x0)+ M2(x2-x1)+ M3(x3-
x2)+................... Mn(xn-xn-1) siendo M1 , M2 , etc
los máximos de f en cada uno de los intervalos
.
Sinf(f) = m1(x1-x0)+ m2(x2-x1)+ m3(x3-
x2)+................... mn(xn-xn-1) siendo m1 , m2 , etc
los mínimos de f en cada uno de los
intervalos .
Lógicamente Sinf < Área de f(x) < Ssup
Cuando n tiende a infinito es decir , cuando
aumenta el número de subintervalos
entonces :
∫===
∞→∞→
b
a
supninfn
dx)x(f)x(fdeÁreaSlimSlim
La función está por debajo del eje x la amplitud
de los intervalos sigue siendo + pero las Mi y
las mi son por lo que la suma dará una
cantidad negativa y por tanto el área será
negativa.
En este caso se debe tomar el valor absoluto,
si una curva cruza el eje x tendrá una parte
positiva y otra negativa. Si queremos calcular
el área total debemos de calcular los puntos de
corte con el eje X y calcular el área de la parte
de arriba y la de abajo. El área total será la
suma de todas las áreas en valor absoluto.
Regla de Barrow: Sea S(x) y F(x) dos
primitivas de f(x) que se diferencian
lógicamente en una constante.
S(x) = ∫
x
a
dx)x(f =F(x)+C
Si x=a entonces S(a) = 0 = F(a) +C luego F(a)
= -C por lo tanto:
S(x) = ∫
x
a
dx)x(f =F(x) + C = F(x) -F(a) ⇒
∫
x
a
dx)x(f =F(x)-F(a)
Si calculamos toda el área encerrada en el
intervalo [a,b] : ∫
b
a
dx)x(f =F(b)-F(a)
INTEGRALES CURVILÍNEAS: Son integrales
que permiten calcular la longitud de curva que
sigue una función, entre las aplicaciones de
estas integrales tenemos el calculo de
perímetros de figuras geométricas.
INTEGRALES DE REVOLUCIÓN: Son
integrales cuyas funciones giran alrededor del
eje x o y, al girar sobre estos ejes siguiendo el
perímetro de una circunferencia generan
figuras sólidas las cuales podemos calcular su
superficie o volumen de dichos cuerpos.
25
voluciondeVolumendxyV
b
a
Re2
→= ∫π
( ) voluciondeSuperficiedxyyS
b
a
Re12
2'
→+⋅= ∫π
( )∫ += dxyL
2'
1
b
a

CUESTIONARIO WORK PAPERS
# 4
1. Calcular, en unidades cuadradas, las áreas
de las regiones , limitados por las curvas
que se indican :
a) ( )∫−
−
1
1
32
2 dxxx
b) ∫
e
xdx
1
ln
c) dxx∫ +
8
1
31
2. Calcular las siguientes integrales
curvilíneas:
a) Calcular el perímetro formado por la
circunferencia 0922
=−+ yx
b) Calcular la línea formado por la curva
)2ln( += xy en el intervalo 51 ≤≤− x
c) Calcular la línea formado por la parábola
02482 2
=+− yx entre el rango 53 ≤≤ y
3. Calcular, en unidades cuadradas, las áreas
de las regiones:
a. Calcular el área formado por la
elipse 03649 22
=−+ yx
b. Calcular el área formado por las
curvas 1−= x
ey ; 32
−= x
ey ; 0=x
c. Calcular el área formado por las
curvas 2
1
1
x
y
+
= ;
2
2
x
y =
4. Calcular, en unidades cuadradas, las
superficies y volumen de revolución:
a) Calcular el área de la superficie del cilindro
generado por la recta 3=y al girar
alrededor del eje x entre los rangos
61 ≤≤ x
b) Calcular el área de la superficie del cono
generado por la recta 22 −= xy al girar
alrededor del eje x entre los rangos
61 ≤≤ x .
c) Calcular el área de la superficie del
elipsoide generado por la elipse
164 22
=+ yx al girar alrededor del eje x.
d) Calcular el volumen “elipsoide” del sólido
de revolución que forma la elipse
164 22
=+ yx cuando gira alrededor del eje
x
e) Calcular el volumen “cono” del sólido de
revolución que forma la recta xy
2
3
=
cuando gira alrededor del eje x entre los
rangos 41 ≤≤ x .
f) Calcular el volumen generado al girar
alrededor del eje x la parábola 22
=+ yx
cuando gira entre los rangos 21 ≤≤− x
26

WORK PAPER # 5
TITULO: Integrales Dobles
FECHA DE ENTREGA:
INTEGRALES DOBLES: Son integrales
cuyas funciones dependen de dos variables
independientes, estas integrales permiten
realzar el calculo de aras, volúmenes, centro de
masa, momento de inercia, etc.
27

Para resolver una integral doble se resuelve
por medio del cálculo de dos integrales
simples reiteradas.
Teorema 1: Sea
{ }∆ = ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / ,x y a x b c y d2
. Si f(x,y)
es integrable en ∆ , entonces:
La demostración de este teorema se apoya
en las definiciones de las integrales simple y
doble que aparecen, como límites de las
correspondientes sumas de Riemann.
Una vez deducida la ecuación se tendrá la
siguiente ecuación: K f x y dx dy=∫∫ ( , )
∆
,
para resolver esta integral doble recurrimos a
las integrales reiteradas:
dx f x y dy dy f x y dx
a
b
c
d
c
d
a
b
∫ ∫ ∫ ∫=( , ) ( , )
es decir que la integral será:
f x y dx dy dy f x y dx dx f x y dy
c
d
a
b
a
b
c
d
( , ) ( , ) ( , )= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫∆
Teorema 2: Sea
{ }R x y a x b x y x= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / , ( ) ( )2
1 2ϕ ϕ
Se trata de una región R como la mostrada
en la figura, siendo rectificables las curvas
Γ Γ1 2y . Se supone por tanto que la región es tal,
que cualquier recta x = cte, con a x b≤ ≤ ,
corta a la frontera de R únicamente en dos
puntos, o en un segmento.
Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:
f x y dx dy dx f x y dy
x
x
a
b
R
( , ) ( , )
( )
( )
= ∫∫∫∫ ϕ
ϕ
1
2
Teorema 3: Sea:
{ }R x y c y d y x y= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / , ( ) ( )2
1 2ψ ψ
Ahora se trata de una región R como la
mostrada en la figura próxima, donde Γ Γ1 2y son
rectificables. Cualquier recta y = cte con
c y d≤ ≤ , corta a la frontera de R únicamente en
dos puntos, o en un segmento.
Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:
f x y dx dy dy f x y dx
y
y
c
d
R
( , ) ( , )
( )
( )
= ∫∫∫∫ ψ
ψ
1
2
COORDENADAS POLARES: Las coordenadas
polares se utilizan para facilitar la integración de
aquellas funciones circulares, elípticas,
parabólicas o hiperbólicas. Para utilizar las
coordenadas polares se debe realizar n cambio
de variable en la función y la región R utilizando
las siguientes relaciones. En este caso es
Φ :
cos
,
x r
y rsen
conr
=
=



≥ ≤ ≤
θ
θ
θ π0 0 2
Entonces Φ es biyección entre [ )A = ℜ ×+
0 2, π
y { }ℜ −2 0 0, siendo además Φ continuamente
diferenciable y cumpliendo:
28

J r
r
r
rΦ Φ( , )
cos sen
sen cos
=
−
= >
θ θ
θ θ
0
No hay biyección si se añade el (0,0), que
corresponde a r = 0 y cualquier θ. Pero no
influye en la integración. Por tanto:
Si R es una región del plano XY, y f(x,y) es
continua en R entonces :
[ ]f x y dx dy f r rsen r dr d
R R
( , ) cos ,*∫∫ ∫∫= θ θ θ
CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES
PLANAS: Para realizar el calculo de areas
utilizando las integrales dobles se debe
considerar la definición de la integral doble
de la función z = f(x,y) = 1 en la región R
acotada, es : µ( )R dx dy
R
=∫∫ , en efecto,
basta reducir este problema a calcular el
valor numérico ( y expresarlo luego en
unidades de área, no de volumen ) del
volumen del sólido comprendido entre la
superficie de ecuación z = f(x,y) = 1 y la
región R.
CALCULO DE VOLÚMENES: Se inició el
estudio de la integral doble con un ejemplo
que motivaba dicho concepto. De lo visto en
el ejemplo y de la posterior definición de
integral doble, se deduce que si R es una
región cerrada y acotada en el plano XY y
f(x,y) es no negativa en R e integrable en R,
entonces la f x y dx dy
R
( , )∫∫ representa el
volumen del sólido cilíndrico W limitado por
R, la superficie Σ del espacio de ecuación z
= f(x,y) y la superficie cilíndrica de
generatrices paralelas al eje OZ y directriz la
frontera Γ de R.
De manera análoga, si f(x,y) no cumple
f x y( , ) ≥ 0 en R, pero es integrable sobre R,
entonces el volumen de W es :
V W f x y dx dy
R
( ) ( , )=∫∫
O, si se trata de un sólido W, como el mostrado
en la Figura más próxima, entonces:
V W f x y f x y dx dy
R
( ) ( , ) ( , )= −∫∫ 2 1
APLICACIONES A LA FISICA: Se considera
una región plana R, en la cual está distribuida de
manera continua una masa con densidad
superficial δ( , )x y . En la realidad física se
trataría de una lámina L delgada, que ocupa la
región R y en la que no se considera su grosor.
29

Masa de la lámina: Se efectúa una partición
de R en subregiones R k Nk ( ,...., )=1 . En
cada Rk , se escoge un punto ( , )x yk k .
Considerando la densidad en Rk, como
constante e igual a δ( , )x yk k , una
aproximación a la masa de la lámina L sería :
δ µ( , ) ( )x y Rk k
k
N
k
=
∑1
.
Se trata de una suma de Riemann de la
función continua δ( , )x y en R.
La masa de la lámina L será el límite de las
sumas de Riemann, cuando tiende a cero el
diámetro d(P) de la partición P, es decir :
M L lim x y R
d P
k k
k
N
k( ) ( , ) ( )
( )
=
→
=
∑0
1
δ µ . Luego:
M L x y dx dy
R
( ) ( , )=∫∫ δ
Momentos de inercia de L: El momento de
inercia de un punto material P de masa m,
respecto a una recta r, o un punto P0 es el
producto de la masa por el cuadrado de la
distancia de P a la recta o al punto. Y el
momento de inercia de un conjunto de puntos
materiales respecto a r o P0, es la suma de
los momentos de inercia de los diversos
puntos del conjunto.
Por tanto, con un razonamiento análogo al
utilizado para la masa de la lámina L, se
tendría para los momentos de inercia I(L) de
L:
Momento de Inercia respecto al eje OX :
I L yx R
( ) =∫∫
2
δ(x, y) dx dy
Momento de Inercia respecto al eje OY :
I L xy R
( ) =∫∫
2
δ(x, y) dx dy
Momento de Inercia respecto al origen :
I L x y
R0
2 2
( ) ( )= +∫∫ δ(x, y) dx dy
Momentos estáticos respecto a los ejes: El
momento estático M Px ( ) (respectivamente
M Py ( ) ) de un punto material P(x,y) de una
masa m , respecto al eje OX (respecto OY) es el
producto de la masa por su distancia al eje OX
(respecto OY) , es decir : Mx (P) = my , My
(P) = mx.
Con un razonamiento como los anteriores se
obtendría para los momentos estáticos de la
lámina L :
M L yx R
( ) =∫∫ δ(x, y) dx dy
M L xy R
( ) =∫∫ δ(x, y) dx dy
Centro de gravedad: Partiendo de la expresión
de las coordenadas del centro de gravedad de
un sistema S de puntos materiales P x yi i i( , ) ( i
= 1,...,n ) , con masa respectivas mi :
x S
x m
m
M S
M S
G
i i
i
n
i
i
n
y
( )
( )
( )
= ==
=
∑
∑
1
1
y S
y m
m
M S
M S
G
i i
i
n
i
i
n
x
( )
( )
( )
= ==
=
∑
∑
1
1
1. Utilizando integrales dobles calcular el área
representada por:
a)
32
; xyxy ==
b) 9;9 22
−=−= xyxy
c) 24
34; xyxy −==
D) xxseny −== 2
xy;)(π
30

e) Calcular el área de una parte del plano
azyx =++ que esta cortada por el
cilindro axy =2
y el plano ax = .
f) Calcular el área de una parte de la
superficie del cilindro 222
azx =+ que
esta cortado por el cilindro ( )xaay −=2
.
g) Calcular el área de una parte de la esfera
2222
2azyx =++ que esta dentro del
cono 222
zyx =+ .
2. Hallar el valor numérico de las siguientes
integrales
a) ∫∫ +
3
0
2
1
)81( dxdyxy
b) dxdyxxyyx )( 32
5
3
2
4
2
−+∫∫
C) ( ) dxdyyI ∫ ∫ 





−=
3
0
2
0
2
1 4
D) dxdyysenxI
x
∫ ∫ 





=
π
0 0
1
E) ( ) dxdyyxI
x
x
∫ ∫ 







+=
1
0
22
1
2
F) ( ) dxdyxeI
x
y
∫ ∫ 





=
1
0 0
1
G) ∫∫ +=
G
xaI 22
1
3. Aplicaciones de las integrales dobles:
a) Una placa delgada de espesor uniforme y
densidad δ = k cubre la región limitada por
la elipse
x
a
y
b
2
2
2
2
1+ = . Hallar el momento de
inercia de la placa, respecto al origen.
b) Se tiene una lamina cuyo área esta acotada
por las funciones
0;1;;2
==== xxxyxy cuya
densidad es 2. Calcular el centro de masa y
momento de inercia.
c) Hállese la masa y la densidad media de un
cuerpo limitado por las superficies
azyx =−+ 22
, 0=z , az = . ( )0a , si la
densidad en cada punto es proporcional a la
coordenada z y en el plano z = a es igual a
0γ .
d) Calcular el centro de masas de un cuerpo
homogéneo limitados por las superficies,
( )22
2
xy
a
h
z −= , ( )ohoa  , z = 0 , y = 0
e) Hállese las coordenadas del centro de masa
de un cuerpo homogéneo, limitado por las
superficies
2
2
x
a
b
y = , ( )yb
b
h
z −= , z = 0.
( )ohoboa  ,, .
f) Volumen del sólido acotado W, limitado por
el paraboloide 22
1 yxz −−= y el plano
XY.
31

WORK PAPER # 6
TITULO: Integrales Triples
FECHA DE ENTREGA:
INTEGRAL TRIPLE
Es una generalización del concepto de integral
doble.
• Se considera ahora una función f(x,y,z)
definida y acotada en una región R cerrada y
acotada del espacio. Se efectúa una partición
P de R en las subregiones elementales Rk
(k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha
indicado. Sea P el conjunto de tales particiones
de R.
• Actuando de forma análoga a la vista para
las integrales dobles, tras la elección de un
punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las
sumas de Riemann de f(x,y,z) en R,
correspondientes a las diversas particiones P
de R y a las funciones de elección e:
S P eR ( , )
( ) ( )≅
=
∑f x y z V Rk k k k
k
N
, ,
1
32

• Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable
en R si existe el limite dirigido de las sumas de
Riemann anteriores. En este caso, dicho limite
recibe el nombre de integral triple de f(x,y,z)
en R.
Se escribe: lim
( )δ P →0 ( ) ( )f x y z V Rk k k k
k
N
, ,
=
∑1
=∫f x y z dV
R
( , , )
Si se hubiese considerado la partición en
intervalos se escribiría:
S P eR ( , )
( )≅
===
∑∑∑ f x y z x y zk k k
k
p
j
m
i j k
i
n
, ,
111
∆ ∆ ∆
Y el límite antes citado suele designarse como:
f x y z dxdydz
R
( , , )∫∫∫
Puede demostrarse que, de forma análoga al
caso de las integrales dobles, se verifica:
a) Si f(x,y,z) es continua en una región R del
espacio, cerrada y acotada, entonces f es
integrable en R.
b) También es f(x,y,z) integrable en R si,
siendo acotada en tal región, es continua en la
misma excepto a lo sumo en un conjunto A de
puntos de medida nula, por ejemplo el conjunto
de puntos de una superficie de área finita (Un
conjunto A del espacio se dice de medida nula,
si puede ser recubierto con un conjunto finito o
numerable de intervalos del espacio, cuya
suma de volúmenes sea tan pequeña como se
quiera).
1. Calcular las siguientes integrales triples:
a) ∫∫ ∫
− −−1
0
2 3
0
3
y
y
yx
dzdxdy b)
∫ ∫ ∫−
−
−−
a ax
ax
yax
yax
dzdydxx
3
0
4
4
2
2
2
c) ∫ ∫ ∫
Π
Π
Π





2
6
2
1 0
2
cosx
xy
dzdydx
y
z
y
xz
2. Calcular el volumen del sólido limitado por
arriba por el paraboloide 22
4 yxz −−= y
por debajo por el plano xz 24 −=
3. Determine el volumen que forma la
superficie: xyz 22
−= sobre la región del
plano xy.
4. Calcular el área de la región limitado por:
5y-3x-25=0, 5y+3x-25=0; y=x2
+2.
5. Calcular el volumen limitado por las
siguientes superficie x2
+y2
=a2
, x2
+z2
=a2
;
en coordenadas cartesianos.
6. Calcular el volumen limitado por las
siguientes superficie x2
+y2
=25, x+y+z=8; en
coordinas rectangular y graficar.
7. Hállese el volumen del solidó en el primer
octante limitado por el paraboloide
22
yxz += , el cilindro 422
=+ yx y los
plano coordenados.
8. Volumen de la región acotada en el primer
octante por los planos x z+ = 1 e
y z+ =2 2.
9. Volumen de la región limitada por la
superficie cilíndrica y z2 2
4 16+ = y los
planos x = 0 , x y+ = 4.
10. Volumen del sólido limitado superiormente
por la esfera x y z a2 2 2 2
2+ + = e
33

inferiormente por el paraboloide
az x y= +2 2
.
11. Volumen de la región W determinada por :
( ){ }W x y z R z x y x y= ∈ ≤ ≤ − − + ≥, , / ,3 2 2 2 2
0 9 1
34

DIF´S # 1
UNIDAD OTEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: La Recta y El plano
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa
La Recta se forma por la intersección de dos
planos en el espacio tridimensional.
Para esto tome como puntos de análisis los
siguientes:
• Definición de cada uno
• Ecuaciones
• Caso de Rectas paralelas y
perpendiculares
• Caso de Planos paralelos y
perpendiculares
• Aplicaciones.
CONCLUSIONES
(Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA
35

DIF´S # 2
UNIDAD OTEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA
TITULO: Superficies Cuadricas
FECHA DE ENTREGA:
Las ecuaciones F (x, y, z ) = 0 que son de
grado superior a uno y por consiguiente son
superficies no planas, se llaman superficies
cuadricas.
Investigue lo siguiente:
• Ejemplo de cada una de las
superficies cuadricas describiendo sus
ecuaciones, sus aplicaciones y graficas.
Además de la bibliografía de la materia puede
usar:
http://www.biologia.edu.ar/matematica/cuadri
cas_archivos/frame.htm#slide0001.htm
CONCLUSIONES
36

37

DIF´S # 3
UNIDAD OTEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TITULO: Funciones
FECHA DE ENTREGA:
Usando bibliografía y/o internet responda las
siguientes preguntas:
a) Como se realiza la composición de
funciones en le espacio tridimensional.
De dos ejemplos resueltos.
b) Como se efectúa el cálculo del dominio
de una función primitiva con varias
variables.
c) Como se resuelve o calcula un límite de
funciones en varias variables.
CONCLUSIONES
(deberán sintetizar la opinión del grupo):
38

39

DIF´S # 4
FECHA DE ENTREGA:
Usando bibliografía y/o internet responda las
siguientes preguntas:
a) Porque estudiamos a la integral triple y
no solamente la integral doble.
b) Que aplicaciones podemos efectuar
con la integral triple.
c) Desde el punto de vista geométrico
que diferencia existe entre la integral
doble y triple
CONCLUSIONES
40

41

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