El documento aborda el curso de Cálculo II en Ciencias de la Computación, enfocado en desarrollar habilidades matemáticas para la resolución de problemas a través de técnicas de integración y análisis de series. Se detallan diferentes métodos de integración y la caracterización de sucesiones y series, incluyendo la convergencia de estas últimas y sus aplicaciones. También se incluye información sobre la serie de Taylor y la serie de Fourier como herramientas clave en el aprendizaje de las matemáticas aplicadas.

1. ESCUELA : PONENTE : BIMESTRE : CÁLCULO II CICLO : CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN II BIMESTRE Ing. María del Carmen Cabrera Loayza Octubre – Febrero 2007

2. OBJETIVO GENERAL Descubrir, desarrollar, fortalecer habilidades operativas, metodológicas, creativas para comprender y aplicar el CI, las EDO y las Series. En resumen: Desarrollar la habilidad del razonamiento matemático, para aplicar correctamente las herramientas del Cálculo a la resolución de problemas y construcción de modelos.

3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Utilizar otras técnicas de integración: PP, ST, FP Conocer y evaluar integrales impropias Caracterizar y tabular sucesiones Analizar Series (CV o DV) Utilizar la serie de Taylor para aproximar funciones reales Analizar las series de Fourier

4. CONTENIDOS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 5.1 Integración por partes 5.2 Integración mediante fracciones parciales 5.3 Sustituciones trigonométricas FORMAS INDETERMINADAS 6.1 Límites infinitos 6.2 Integrales Impropias

5. SERIES 7.1 Sucesiones 7.2 Series Infinitas (CV, DV) 7.3 Convergencia (Criterios) 7.4 Serie de Taylor 7.5 Series de Fourier

6. Capítulo 5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

7. 5.1 INTEGRACIÓN POR PARTES Método que surge de la formula de la derivada de un producto:

8. Ejemplo 1:

9. Nota: Para elegir la función u(x), se sugiere el orden: L OGARÍTMICA, I NVERSA TRIGONOMÉTRICA, A LGEBRAICA, E XPONENCIAL Ejemplo 2: u = x, du = dx dv = dx, v =

10. Ejemplo 3:

11. Algunos Ejemplos para usar la Fórmula:

12. Caso Especial: Doble integración por partes Ejemplo 4: (1)

13. (2)

14. Reemplazando (2) en (1), se tiene:

15. 5.2 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES SIMPLES (PARCIALES) Integrar funciones Racionales (cociente de polinomios) Descomponer una fracción compleja en la suma de dos o más fracciones simples CASO 1: Funciones de la forma Grado P(x) > Grado Q(x)

16. Ejemplo: Donde:

17. Caso 2: , Grado P(x) < Grado Q(x) Se hace la descomposición: Donde constantes reales.

18. Ejemplo 1: Igualando numeradores:

19. Se forma un sistema de ecuaciones lineales: Resolviendo se obtiene:

20. Caso 2’: Q(x) tiene raíces repetidas Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

21. Caso 2’’: Q(x) tiene raíces complejas distintas. Q(x) posee factores cuadráticos de la forma: Entonces: Ejemplo: Se obtiene: A=2, B=-2, C=7.

22. Luego: Se obtiene:

23. 5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIONES TRIGONOMÉRICAS Integrar funciones Irracionales (Radicales) Utilizar identidades trigonométricas Algunos Ejemplos:

24. Tres casos fundamentales: a: constante real. Ejemplo 1: Resolver la integral (1) (2) (3)

26. Ejemplo 2: Resolver la integral Utilizando la identidad:

27. Puesto que: =

28. Capítulo 6 INTEGRALES IMPROPIAS

29. 6.1 LÍMITES INFINITOS ¿Qué significan las siguientes expresiones? X: toma valores próximos a 2 (der. o izq.) f(x): toma valores positivos muy grandes X: toma grandes f(x): se aproxima a 5

30. Gráfica de Límites Infinitos

31. Algunos Ejemplos Ejemplo 1:

32. Ejemplo 2:

33. Ejemplo 3:

34. Ejemplo 4:

35. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: CASO 2: f(x) no es acotada en algún punto de [a,b] (tiene asíntotas verticales)

36. 6.1 INTEGRALES IMPROPIAS CASO 1: INTERVALO NO ACOTADO

37. CASO 2: FUNCIÓN NO ACOTADA

38. INTEGRALES CONVERGENTES Si existe el límite INTEGRALES DIVERGENTES Si limite es infinito (+/-) INTEGRALES OSCILANTES Si no existe limite

39. Algunos Ejemplos Ejemplo 1: Esquematizar la región.

40. Ejemplo 2:

41. Ejemplo 3:

42. Ejemplo 4:

43. Ejemplo 5:

44. Capítulo 7 SERIES INFINITAS

45. 7.1 SUCESIONES Aplicaciones de los naturales en los reales: a: N  R n  a n Ejemplo: número e ¡¡¡ Una sucesión converge si tiene límite !!!

46. Sucesiones Monótonas Ejemplo: Analizar la monotonía de la sucesión Paso 1 Paso 2  La sucesión es monótona

47. 7.2 SERIES INFINITAS Sumas parciales N-ésima suma parcial ¡¡¡ Si la n-ésima suma parcial tiene límite la serie converge !!!

48. 7.3 CONVERGENCIA EJEMPLOS Serie armónica divergente Serie geométrica

49. PROPIEDADES CRITERIOS DE CV Adición: Producto por escalar:

50. Criterio del cociente

51. Criterio de la raíz

52. Criterio de la INTEGRAL

53. 7.4 SERIE DE TAYLOR Polinomio de Taylor: Residuo de Taylor: La serie de Taylor se rebautizará &quot;serie de Maclaurin&quot; para x = 0

54. ALGUNAS SERIES BÁSICAS de Maclaurin

55. 7.5 SERIE DE FOURIER

56. mail: [email_address] skype: ma.krmita Telefono: 2570275 ext 2222