El documento trata sobre métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Explica el método de Cramer para resolver sistemas lineales, y los métodos de Newton, Broyden y técnicas de descenso rápido para resolver sistemas no lineales de forma iterativa. También describe cómo el método de Newton se basa en encontrar un punto fijo iterativamente usando el Jacobiano, mientras que Broyden simplifica el cálculo del Jacobiano.

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Si la matriz A es no singular entonces su deterinanate cumple que det A z 0. El
métod del determinante aplica elconcepto dela REGLA DE CRAMER. Esta regla
realiza una sustitución especial talque un sistema Ax=B puede resolver como:
ª .a 11 .... b1 .... a 1n º
«a .... b2 ....a 2n »
1
xi det « 21 » (7.6)
D « .... .... .... .... .... »
« »
¬.a n 1 ... .... bn ....a nn ¼
donde D = det A y para cada solución Xi, se realiza una sustitución de la i-ésima
columna por el vector columna B.
Este método requiere de n! multiplicaciones/divisiones y de n!-1 sumas/restas, un
número de operaciones muy inferior al número de operaciones usuales de una
inversa.
7.4. SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES
La forma más general de representar un sistema de ecuaciones no lineales es:
f1(x1,....,xn)=0
f2(x1,....,xn)=0
.... (7.7)
fn(x1,....,xn)=0
donde cada función fi puede interpretarse como un mapeo de un vector x =
(x1,x2,....,xn)t del espacio n-dimensional Rn en la recta real R. De este modo el
sistema puede representarse como F tal que:
F(x1,....xn) = (f1(x1,....xn), f2(x1,….xn),...., fn(x1,....,xn))t ó, F(x)=0, ó
ª x 1,1 X 1, 2 .... x 1,n º
«x »
F « 2,1 x 2, 2 .... x 2,n » (7.8)
« .... .... .... .... »
« »
¬x n ,1 x n , 2 ..... x n ,n ¼
El índice fila representa la ecuación a la cual pertenece la x j-ésima variable
mientras el índice columna representa la variable en la i-ésima ecuación.
Un sistema de ecuaciones son lineales puede ser resuelto por métodos numéricos
que por lo general son generalización del método de newton para solución de
ecuaciones de una variable.
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7.4.1. Metodo de Newton
El método de Newton se basa en el concepto de la convergencia de un punto fijo,
que para este caso particular se puede hacer la analogía con un vector G. La
ecuación a resolver es: G(x) = x – J(x)-1 F(x), donde x es el vector representativo
de las variables (x1,....xn) y J es el Jacobiano de x. En un esquema iterativo esta
ecuación puede escribirse como: Xk(x) = xk-1 – J(x)-1(k-1) F(x)(k-1). Esta ecuación
resuelta de forma iterativa como el método clásico de Newton permite encontrar
una solución para F(x)=0 siempre y cuando se conozca un punto inicial y la
inversa de cada Jacobiano J(x)-1 exista. La técnica de solución que se sigue es
exactamente igual al caso de método de Newton clásico.
7.4.2. Metodo de Broyden
Este método es una generalización del método de la secante utilizado para
resolver ecuaciones de una sola variable y tiene la ventaja de menores
requerimientos en el número de cálculos.
Esta técnica calcula la primera iteración de la forma empleada pro el método de
Newton que se definió en el ítem anterior. Pero para la segunda iteración se tiene
que el principio del método de la secante simplifica el tedioso cálculo del
Jacobiano J mediante le cálculo de una Matriz A.
Para la primera iteración : X1(x) = x0 – J(x)-1(0) F(x)(0)
Para las demás iteraciones : Xk(x) = xk-1 – A(x)-1(k-1) F(x)(k-1) donde k=1,....,n; donde,
(y Ai 1S i ) t
Ai Ai 1 i 2
Si
Si ;
x (i 1) x (i ) Ai 1F (x (i ) )
yi F (x (i ) F (x (i 1) )
(i )
Si X x (i 1)
7.4.3. Técnicas de Descenso Rápido
La rapidez de convergencia es la ventaja más prominente de los método
Newtonianos, pero la desventaja radica en que se requiere siempre un punto
inicial para su solución, la cual influye de sobremanera en la velocidad de
convergencia del método
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La técnica de descenso rápido es una técnica auxiliar de los métodos newtonianos
que se utiliza para encontrar una aproximación inicial adecuada. Sea un sistema
de ecuaciones no lineales,
f1(x1,....,xn)=0
f2(x1,....,xn)=0
. ... (7.10)
fn(x1,....,xn)=0
se tiene una solución en x= (x1,....,xn)t y es allí donde una función G existe y se
cumple que:
G(x1,....,xn) = 6 [ fi (x1,….,xn)]2
El método consiste también en una estrategia iterativa que se resuelve basado en
la ecuación:
Xk(x) = xk-1 – D’G(x (k-1)) (7.11)
El método busca evaluar consecutivamente G partiendo de un punto arbitrario y
avanzar en la dirección que signifique un descenso en el valor G (en la dirección
opuesta al gradiente de G) hasta que se cumpla una tolerancia determinada.
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