El teorema de Stokes establece que la integral de línea de la componente tangencial de un campo vectorial alrededor de la frontera de una superficie puede calcularse evaluando la integral de superficie de la componente normal del rotacional del campo sobre la superficie. Se presenta un ejemplo de aplicación del teorema de Stokes para calcular la tasa de flujo de gases que escapan de un globo aerostático.

1. TEOREMA DE
STOKES

2. Las dos formas vectoriales del
teorema de Green, el teorema de la
divergencia
En el plano y el teorema de Stokes
pueden generalizarse a tres
dimensiones.
a continuación se expone una breve
introducción sobre el teorema de
Stokes.

3. TEOREMA DE STOKES.
SEAN M,N, Y R FUNCIONES DE TRES
VARIABLES X,Y Y Z, Y SUPONGA QUE
TIENEN PRIMERAS DERIVADAS
PARCIALES CONTINUAS EN UNA BOLA
ABIERTA B DE 𝑅3
. SEA S UNA
SUPERFICIE SUAVE A TROZOS QUE ES
LA FRONTERA DE S.

4. SI
F(X,Y,Z) = M(X,Y,Z)I + N(X,Y,Z)J+ R(X,Y,Z)K
Y SI N ES UN VECTOR NORMAL SALIENTE
UNITARIO DE S Y T ES UN VECTOR TANGENTE
UNITARIO DE C DONDE S UNIDADES ES LA
LONGITUD DE ARCO MEDIDA A PARTIR DE
UN PUNTO PARTICULAR 𝑝0 DE C HASTA P,
ENTONCES.
𝒄
𝑭. 𝑻 𝒅𝒅𝒔 =
𝑫
𝒓𝒐𝒕 𝑭. 𝑵 𝒅 𝝈

5. EL TEOREMA DE STOKES AFIRMA QUE LA
INTEGRAL DE LÍNEA DE LA COMPONENTE
TANGENCIAL DE UN CAMPO VECTORIAL F
ALREDEDOR DE LA FRONTERA C DE UNA
SUPERFICIE S PUEDE CALCULARSE EVALUANDO LA
INTEGRAL DE SUPERFICIE DE LA COMPONENTE
NORMAL DEL ROTACIONAL DE F SOBRE S.

6. OTRA FORMA DE LA ECUACIÓN DEL TEOREMA DE
STOKES SE OBTIENE AL ESCRIBIR DR EN LUGAR DE
T DS EN LA INTEGRAL DE LÍNEA DE LA IZQUIERDA ,
DE MODO QUE.
𝒄
𝑭. 𝒅𝑹 =
𝒔
𝒓𝒐𝒕 𝑭. 𝑵 𝒅𝝈

7. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE STOKES.
TOMADO DE ANDRÉS SOLOTAR HTTP://WWW.POL.UNA.PY/AAAI/DOC/RESUMEN.PDF
Este tipo de teoremas es útil para pasar de
una ecuación diferencial a una ecuación
integral. Este método se puede aplicar a
diversos ejemplos.

8. AL INTENTAR GENERALIZAR PARA MAYORES
DIMENSIONES LOS TEOREMAS DE GREEN Y
STOKES, QUE A SU VEZ GENERALIZAN EL
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO DE
NEWTON Y LEIBNIZ, SURGE EL PROBLEMA DE
ENCONTRAR OPERADORES QUE REEMPLACEN AL
ROTOR O A LA DIVERGENCIA. LA EXPRESIÓN DEL
ROTOR UTILIZA EL PRODUCTO VECTORIAL Y LOS
CUATERNIONES, QUE NO SON GENERALIZABLES.
EL CONTEXTO ADECUADO PARA UNA NUEVA
FORMULACIÓN ES EL DE LA GEOMETRÍA
DIFERENCIAL, Y EN PARTICULAR EL DE LAS
FORMAS DIFERENCIALES.

9. APLICACIÓN Y EJEMPLO
TOMADO DE HTTP://FERMINMAT.BLOGSPOT.COM.CO/2013/06/APLICACION-DEL-TEOREMA-DE-
STOKES-UN.HTML
Un globo aerostático tiene la forma esférica truncada mostrada en la
figura, los gases calientes escapan por la cubierta porosa con el campo
vectorial de velocidad.
V( x,y,z) = 𝛻 ∅ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∅ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −𝑦𝑖 + 𝑥 𝑗
Si R =4 , calcular la tasa de flujo del volumen de los gases que pasan a
través de la superficie.

10. Denominandose al flujo pedido como
𝜀 , 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠:
𝜀 =
𝑆
𝛻 𝜃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆
No se trata de una integral de superficie cualquiera, se trata realmente de
una aplicación
directa del teorema de Stokes, esta puntualización es fundamental para la
resolución del
Problema puesto que el teorema de Stokes puede ser aplicado a todas
superficies cuyo
Entorno sea el mismo, y en este caso no conocemos la superficie del globo
y en
Consecuencia no conocemos su parameetrizacion, pero si su contorno, por
lo que
se tiene que aplicar el teorema de Stokes.
𝜀 =
𝑆
𝛻 𝑥 𝜃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 =
𝑐
𝜃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑟

11. La parametrizacion es ;
{ x(t) = cos t { x(t) = -sen t
∀ 𝑡 ∈ [ 𝑜, 2 𝜋
{ y(t) = sen t { y (t) = cos t.
Por lo tanto
𝜀 =
0
2𝜋
𝑠𝑒𝑛 2 𝑡 𝑑𝑡 +
0
2𝜋
𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝜋

12. ELABORADO POR :
JOHN VICENTE PINEDA.
CALCULO MULTIVARIADO.
INGENIERIA EN INFORMATICA.