Este documento describe el cálculo de integrales dobles y el Teorema de Green. Explica cómo calcular integrales dobles mediante la conversión en integrales iteradas, y cómo el Teorema de Green relaciona una integral curvilínea alrededor de una curva cerrada con una integral doble sobre la región delimitada por dicha curva. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar ambos conceptos.

1. 1
Integrales Dobles

2. Integrales dobles
De manera análoga a la definición de integral
definida en funciones escalares se puede definir
la integral doble para campos escalares de en
R.
Si el campo escalar es no negativo, la integral
doble se asociará al volumen definido por la
región D en el plano xy y la superficie
correspondiente que genera el campo escalar.
2
2
R

3. 3

4. Para calcular una integral doble hay que
convertirla en una integral iterada. La integral
iterada permite convertir la integral doble en
dos integrales que ya sabemos calcular.
Veamos como hacerlo en un ejemplo:
Queremos calcular la integral de
En el rectángulo D definido por:
4
yx)y,x(f 2

 5y2;3x0/R)y,x(D 2


5. 5
  











  dxdyyxdAyx
3
0
5
2
2
D
2
    2
189
2
3x7
3
0
dx2xdxx
2
252x
3
0
2
21
3
0
2
22 2


   














3
0
3
0
5
2
2
dx
2
2y2x
5y
2y
dxdyyx

6. Para otro tipo de regiones tenemos que tener
en cuenta como está definida.
Por ejemplo, la región del plano:
Se puede representar como:
6
 22
xy0;2x0/R)y,x(D 

7. Si queremos calcular
Considerando:
7
 dAyx
D
 
 22
xy0;2x0/R)y,x(D 
  













  dxdy)yx(dAyx
2
0
x
0D
2
      5
36
10
5x
4
x
2
0
dx
2
4xxdx
2
2y
xy
xy
0y
4
2
0
3
2
0
2






8. Aplicación
Si consideramos en una integral doble la función
f(x;y)=1 al calcularla obtenemos el área de la
región D :
8
)D(áreadA1
D



9. Ejemplo
9
 1xy1x;1x1/R)y,x(D 222

Si queremos calcular el área de la región D

10. Calculamos la integral doble
10














  


dxdy1dA1
1
1
1x
1xD
2
2
      3
16
x2
3
x2
1
1
dx2x2dxy
1xy
1xy
3
1
1
2
1
1
2
2






 

11. Teorema de Green
Establece la relación entre una integral
curvilínea alrededor de una curva cerrada simple
C y una integral doble sobre la región plana D,
acotada por C.
11

12. Definición (curva cerrada)
Si en una curva A coincide con B diremos que
la curva es cerrada.
Si está orientada tenemos dos posibilidades:
Orientación positiva (antihoraria) Orientación negativa (horaria)
12

13. Enunciado del Teorema de Green
Sea C una curva en el plano cerrada, simple,
suave a trozos y orientada positivamente. Sea D
la región acotada por C. Si P y Q son campos
escalares que tienen derivadas parciales
continuas en una región que contiene a D,
entonces vale que:
13
dA
y
P
x
Q
dy)y,x(Qdx)y,x(P
DC
 














14. Observación
 Se puede pensar el Teorema de Green como el
análogo de la Regla de Barrow para las
integrales dobles.
 El uso de este teorema puede facilitar el cálculo
de integrales curvilíneas.
 Veremos en un ejemplo como los valores de la
integral curvilínea y la integral doble
correspondiente coinciden.
14

15. Ejemplo
Queremos calcular
Donde C es la curva triangular que consiste en ir
a través de los segmentos de recta que van de
(0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) y de (0,1) a (0,0)
como muestra el dibujo:
15
 
C
4
dyxydxx

16. Calculemos la integral curvilínea
Necesitamos la parametrización de los tres
segmentos orientados de recta para pensar a la
curva cerrada como
16









1t0
0y
tx
C1









1t0
ty
t1x
C2









1t0
t1y
0x
C3
321 CCCC 

17. 17
5
1
dttxydydxx
1
05
t
1
0
4
C
4 5
1
 
  
1
0
4
C
4
dtt)t1(t1xydydxx
2
 
30
1
5
1
3
1
2
1
1
0
3
t
2
t
5
)t1( 325
 
0dt0xydydxx
1
0C
4
3
 

18. Si unimos los cálculos realizados
De esta forma la integral curvilínea sobre la
curva cerrada vale
18
 
321 C
4
C
4
C
4
C
4
xydydxxxydydxxxydydxxxydydxx
6
1
0
30
1
5
1
xydydxx
C
4

6
1

19. Calculemos ahora la integral utilizando integrales
dobles. La región D quedará definida por:
Como:
19
 x1y0;1x0/R)y,x(D 2












  

dx)dyy(dA)0y(dA
y
P
x
Q
D
1
0
x1
0D
 
6
1
6
3)x1(
dx
2
x1
dx
2
2y
1
0
1
0
21
0
x1
0















 

4
x)y,x(P  xy)y,x(Q 

20. Con los resultados obtenidos en las diapositivas
34 y 35 pudimos verificar que la integral
curvilínea propuesta y la integral doble generada
por el teorema de Green tienen el mismo valor.
20