1. “ Un problema necesariamente no se resuelve porque se dé la respuesta correcta . Un problema no se resuelve de verdad a menos que el aprendiz entienda lo que ha hecho y sepa por qué sus acciones eran apropiadas .” William A. Brownell , La Medida de Comprensión (1946) METAMODELOS COMPETENCIAS

2. Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad matemática y deben ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa primaria , puesto que constituyen la piedra angular de la educación matemática. En la resolución de un problema se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo que se va revisando durante la resolución, modificar el plan si es necesario, comprobar la solución si se ha encontrado…., hasta la comunicación de los resultados. ( real decreto por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la educación primaria ) Entendemos por problemas aritméticos a todos aquellos que en su enunciado presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución. ¿Qué entendemos por problemas aritméticos?, ¿cuándo se convierten en excusa para realizar más algoritmos?, ¿qué tratamiento escolar han tenido tradicionalmente?, ¿qué tipos existen?....

3. Durante muchos años y todavía en nuestros días, la mayor parte de los problemas matemáticos que se proponen en clase tienen como finalidad aplicar los contenidos o algoritmos que se han estudiado en la unidad didáctica de la que forman parte. A. Lo que han sido los problemas tradicionalmente en la escuela . Estas actividades no potencian la búsqueda de procedimientos de resolución, sino que, más bien al contrario, a menudo se presentan como baterías de problemas que los alumnos resuelven de forma mecánica. Generalmente se les pide que los trabajen de forma individual, no tienen por qué poner nada en común con nadie (salvo que el profesor les pregunte a ellos directamente), ni discutir o consensuar cuáles son los motivos que les llevan a utilizar tal o cual algoritmo, contenido, etc. Son los denominados problemas CONSISTENTES , aquellos cuyos términos (datos y preguntas) se presentan en el mismo orden que corresponde a la operación aritmética requerida para su resolución. Y así, si es de restar, primero aparece el minuendo y después el sustraendo; si es de dividir, primero aparece el dividendo y luego el divisor, etc…. Por lo que respecta a la pregunta, en este tipo de problemas, debe ir al final del texto y preguntar por la cantidad final. Con frecuencia se intenta localizar las cantidades y la palabra clave (más, menos, mayor que, más que, igual que...) que da lugar a una determinada operación. El alumnado no se implica en el proceso de resolución del problema y es un mero buscador de datos dentro del mismo, en muchos casos es capaz de dar una solución “correcta” sin saber de qué trata o si es o no pertinente.

4. En la mayor parte de los problemas presentes en los libros de texto aparecen los datos numéricos justos para responder a la pregunta. A. Lo que han sido los problemas tradicionalmente en la escuela . El alumnado no se implica emocionalmente con el problema. No se cuestiona si la pregunta del problema tiene relación directa con los datos, su único objetivo es dar una solución al mismo y ni siquiera se plantea si dicha solución es pertinente o no. Un ejemplo claro de lo que decimos es el típico problema: “Mi primo tiene ocho canicas verdes y cinco canicas rojas, ¿cuántos años tiene mi primo?”. En muchos casos los alumnos realizarán una operación aritmética con tal de dar una respuesta, sin plantearse que la pregunta, con los datos que se dan, no tiene respuesta. Difícilmente aparecen datos “superfluos”, es decir, que no tienen una intervención directa para responder la pregunta del problema. Además, en el primer y segundo ciclo de educación primaria, suelen aparecer agrupados según el tipo de algoritmos a aplicar: todos los problemas de sumar juntos, todos los de restar juntos. El alumnado suele resolverlos correctamente cuando así ocurre, pero tiene gran dificultad para su resolución cuando se presentan mezclados. Entonces aparece la típica pregunta: “seño, ¿éste es de sumar o de restar?”.

5. Puesto que los problemas matemáticos son las actividades más complejas que se le proponen al alumno al abordar esta área, es necesario ser consecuentes en su tratamiento. B. Nuestras propuestas de actuación ante los problemas . Enseñar a resolver problemas debe figurar entre las intenciones educativas del currículo escolar. Ha de ser algo que nos debemos proponer. No basta con que pongamos problemas matemáticos para que los alumnos los resuelvan, es necesario que les demos un tratamiento adecuado, analizando estrategias y técnicas de resolución, "verbalizando" el pensamiento y contrastándolo con el de otras personas. Debemos enseñarles procesos de resolución a través de buenos modelos, con ejemplos adecuados, dedicar un espacio en el horario escolar y conseguir un clima propicio en el aula, que favorezca la adquisición de las correspondientes destrezas y hábitos. Es cierto que cada problema tiene unas peculiaridades concretas, sin embargo hay un proceso común a la mayor parte de ellos que es el método de resolución y en la enseñanza del mismo es precisamente donde debemos insistir.

7. Estos cuatro pasos, que se conciben como una estructura metodológica, podrían aplicarse también a problemas incluso no matemáticos de la vida diaria. Es necesario verbalizar los procesos que se dan interiormente; de esta manera podremos conocer, por un lado, la forma de razonar y proceder, de actuar... de los alumnos y, por otro, tener acceso a una serie de lagunas o malas interpretaciones referidas a contenidos conceptuales o procedimentales, que a veces es difícil detectar. El fin del problema es el procedimiento de resolución , no el algoritmo. Es más, en la etapa de ejecución del plan, donde se deben aplicar los algoritmos necesarios para llegar a una solución, nosotros proponemos que las cantidades que aparezcan en los enunciados sean pequeñas para que los cálculos se puedan realizar mentalmente y, en el caso de que algún alumno manifieste serias dificultades de cálculo o en las cantidades presentes en el problema sean grandes, se use la calculadora .

9. ETAPAS DEL PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Comprensión del problema Concepción de un plan Ejecución del plan EL FIN DEL PROBLEMA ES EL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN, NO EL ALGORITMO Examinar la solución obtenida CALCULADORA

10. Comprensión del problema Implica entender tanto el texto como la situación que nos presenta el problema, diferenciar los distintos tipos de información que nos ofrece el enunciado y comprender qué debe hacerse con la información que nos es aportada.

11. Concepción de un plan Es la parte fundamental del proceso de resolución de problemas. Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál es la meta a la que se quiere llegar, es el momento de planificar las acciones que llevarán a ella. Es necesario abordar cuestiones como para qué sirven los datos que aparecen en el enunciado, qué puede calcularse a partir de ellos, qué operaciones utilizar y en qué orden se debe proceder.

12. Ejecución del plan Consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación. Es necesaria una comunicación y una justificación de las acciones seguidas: primero calculo…, después…, por último… hasta llegar a la solución. Esta fase concluye con una expresión clara y contextualizada de la respuesta obtenida.

15. Cada vez más docentes somos conscientes que el fin del problema es el procedimiento de resolución y no el algoritmo a aplicar. Por ello también trabajamos con una tipología de problemas basadas en el análisis global del significado del texto del problema (categoría semántica). Ése es nuestro caso

16. METAMODELOS COMPETENCIAS TIPOLOGIA DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA Problemas Aritméticos 1.- De primer nivel (Aplicación de una sola operación para su resolución) 1.1.- Aditivos- Sustractivos (Clasificación Semántica) 1.1.A.- De cambio 1.1.B.- De combinación 1.1.C.- De comparación 1.1.D.- De igualación 1.2 .- De multiplicación-división (Clasificación Semántica) 1.2.A.- Isomorfismo de medidas, de correspondencia o Razón 1.2.B.- De comparación multiplicativa o factor multiplicativo 1.2.C.- De producto cartesiano 2.- De segundo nivel o Problemas combinados Por la estructura del enunciado 2.1.- Combinados fraccionados 2.2.- Combinados compactos Por el tipo de operaciones a realizar 2.3.- Combinados puros 2.4.- Combinados mixtos Secuencia temporal y orden de datos 2.5.- Combinados directos 2.6.- Combinados indirectos 3.- De tercer nivel Son aquellos en los que los datos del enunciado vienen dados en forma de números decimales, fraccionarios o porcentuales

17. 6 7 13 CÁLCULO + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 + 7 = 13 - 6 = 13 - 7 = 6 + = 13 7 + = 13 13 - 7 = 13 - = 6 - = 6 7 - = 6 7

18. Cambio Se trata de problemas en los que se parte de una cantidad, a la que se añade o se le quita otra de la misma naturaleza. Son problemas que describen incrementos o disminuciones ( cambios ) en un estado inicial para producir un estado final. Son de los más usuales dentro del contexto escolar, al menos los tipos a,b,c y d Combinación Se trata de problemas en los que se tienen dos o más cantidades, las cuales se diferencian en alguna característica, y se quiere saber la cantidad total que se obtiene cuando se reúnen las anteriores, o cuando conociendo la total y una de aquellas, se quiere saber cuál es la otra. Son muy trabajados dentro del contexto escolar Comparación Esta categoría comprende aquellos problemas en los que se comparan dos cantidades. Los datos del problema son precisamente esas cantidades y la diferencia que existe entre ellas. De estas dos cantidades, una es la comparada y otra la que sirve de referente. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas. En muchos casos son problemas INCONSISTENTES Igualación La categoría de Igualación comprende los problemas que contienen dos cantidades diferentes, sobre una de las cuales se actúa aumentándola o disminuyéndola hasta hacerla igual a la otra. De estas dos cantidades, una es la cantidad a igualar y la otra es la cantidad referente. La transformación que se produce en una de dichas cantidades es la igualación. Este tipo de problemas aparecen poco en los libros de texto

20. Mi madre es taxista y se ha tenido que comprar un coche nuevo para su trabajo. Ayer el cuentakilómetros marcaba 248 kilómetros. Hoy ha ido y vuelto 3 veces a Sevilla y ha hecho 395 kilómetros más. ¿Cuánto marca ahora el cuentakilómetros del taxi? CAMBIO RETORNO + Km marcaba Km hizo a Sevilla Km marca ahora Km que marcaba = = Km marca ahora KKm recorrido con los 3 viajes a Sevilla Km que marca ahora el cuentakilómetros Km que marcaba

21. Mi abuelo Perico pesaba 96 kilos. El médico le dijo que tenía que adelgazar y en 5 meses ha perdido 24 kilos. ¿Cuántos kilos pesa ahora mi abuelo Perico? CAMBIO RETORNO Kilos que perdió Kilos que pesa ahora Kilos que pesaba mi abuelo Perico __ Kilos que pesaba = = Kilos que perdió Kilos que perdió = = Kilos que pesa ahora Kilos que pesaba

22. Jugábamos 5 niños en el patio cuando llegaron algunos niños más que querían jugar. Ahora estamos 18 niños jugando. ¿Cuántos niños llegaron? CAMBIO RETORNO 5 18 jugábamos llegaron estamos ahora niños jugábamos niños llegaron = Niños estamos jugando

23. Un avicultor se dedica a cuidar y recoger los huevos de sus gallinas. Un día llevó al mercado 471 huevos y 6 pollitos para vender. Volvió a su finca con 76 huevos y 2 pollitos. ¿Cuántos huevos vendió el avicultor ese día? CAMBIO RETORNO

24. En los últimos 30 minutos de carrera un piloto de motos ha recorrido una distancia de 126 kilómetros. Ahora lleva en total 243 kilómetros recorridos. ¿Cuántos kilómetros llevaba recorrido antes? CAMBIO RETORNO Km última media hora 243 Km lleva ahora Km lleva recorridos Km que lleva ahora Km última media hora =

25. En una cruenta batalla murieron 236 soldados, quedando vivos 521. ¿Cuántos soldados comenzaron la batalla? murieron quedaron vivos comenzaron la batalla =

27. En el frutero de mi casa hay 9 y 6 . ¿Cuántos plátanos más que naranjas hay en el COMP RETORNO plátanos naranjas plátanos más que naranjas hay - =

28. Para ir de mi casa al colegio tengo que recorrer 5 días por semana una distancia de 450 metros. En cambio mi primo, que tiene 2 años más que yo, sólo tiene que recorrer 375 metros. ¿Cuántos metros menos que yo tiene que recorrer mi primo para ir al colegio? COMP RETORNO ando yo anda mi primo recorre mi primo menos que yo = 450 metros ando yo 375 metros anda mi primo

29. En la clase de Educación física el maestro nos ha medido. Mi amigo Felipe ha medido 153 cm y mi amiga Laura 14 cm más que él. ¿Cuántos centímetros mide mi amiga Laura? COMP RETORNO 14 cm cm mide Felipe = = cm mide Laura

30. Carlos y Benito han estado corriendo durante 15 segundos. Carlos ha recorrido en ese tiempo 104 metros y Benito, que iba mucho más tranquilo, ha recorrido 15 metros menos que Carlos. ¿Cuántos metros ha recorrido Benito en ese tiempo?. COMP RETORNO =

31. El día de mi cumpleaños nos reunimos en mi casa 12 amigos. Mis padres prepararon bocadillos y 38 magdalenas. Pusieron 5 magdalenas más que bocadillos. ¿Cuántos bocadillos prepararon mis padres? COMP RETORNO = 5 bocadillos magdalenas

32. Mis abuelos son todavía muy jóvenes. No me acuerdo de la edad de él, pero mi abuela tiene 69 años. ¿Podrías decirme la edad de mi abuelo si mi abuela tiene 5 años menos que él? COMP RETORNO =

34. IGUALA RETORNO 500 litros 356 litros =

35. Tengo una cinta roja que mide 89 centímetros y otra cinta verde que mide 67 centímetros. ¿Cuántos centímetros de la cinta roja tendré que cortar para que las 2 cintas midan lo mismo? IGUALA RETORNO =

36. Entre los 24 alumnos de la clase estamos haciendo un concurso para ver quién golpea más veces un balón sin que se caiga. Hasta ahora el récord está en 354 golpes. A Roberto le faltaron 58 golpes para igualar el récord. ¿Cuántos golpes llegó a dar Roberto? IGUALA RETORNO = = 58 golpes para igualar Récord 354 golpes

37. Una de mis aficiones favoritas es la de coleccionar cromos. Ahora llevo 5 semanas completando una colección de animales acuáticos. Tengo 321 cromos y sólo me faltan 58 cromos para completar la colección. ¿Podrías decirme cuántos días tardaré en completar la colección de animales acuáticos? IGUALA RETORNO = =

38. IGUALA RETORNO = = Ayer le tocó fregar a mi hermano y hoy me ha tocado a mí. Han comido en casa mis 3 primos, así que el fregado es bastante grande. Hay 15 platos grandes y ya he lavado 6 de ellos. ¿Cuántos platos pequeños tengo que fregar si ahora me quedan los mismos platos grandes y pequeños por fregar? platos grandes a fregar platos grandes fregados platos pequeños a fregar

40. Estoy ayudando a mis padres a colocar, en 3 estanterías de madera, los libros que tenemos en casa. Hasta ahora hemos colocado en su sitio un total de 135 libros, aunque todavía tenemos por colocar otros 84. ¿Podrías decirme cuántos libros tenemos en casa?. COMBIN RETORNO + libros colocados libros por colocar libros que tenemos en casa libros colocados + libros por colocar = libros tenemos en casa

41. Invéntate el texto del problema siguiente COMBIN RETORNO asistieron al partido - personas mayores = menores asistieron al partido 2.578 1.899 - Personas mayores Menores de edad Personas que asistieron al partido -

42. Los resultados obtenidos aplicando el método de resolución y la tipología de problemas indicados anteriormente han sido bastantes satisfactorios en mi centro de trabajo, pero: ¿Era esto suficiente? Mucho nos temíamos que no. A pesar de que proponíamos situaciones cada vez más cercanas a los intereses del alumnado y de que la tipología de problemas era cada vez más variada, el alumno seguía sin ser protagonista activo en la invención-reconstrucción de las situaciones que intentaba resolver. Así que proponíamos situaciones problemáticas donde había datos superfluos, faltaba la pregunta del problema o éste no tenía solución con los datos dados, le dábamos expresiones matemáticas o soluciones de los problemas para que ellos se inventasen el enunciado, etc... La situación mejoró de manera significativa Pero lo que verdaderamente ha cambiado, para bien, nuestras prácticas docentes en cuanto al trabajo con problemas aritméticos con nuestros alumnos y alumnas ha sido el "descubrimiento de un libro: “ Técnicas creativas para la resolución de problemas matemáticos” del profesor José Antonio Fernández Bravo.

43. Cuánto más incompleta se presente una situación problemática, capaz de ser reconstruida por el alumno, mayor es la posibilidad que tiene de ser consciente de las relaciones que intervienen en su resolución. Las situaciones que se presentan de forma completa y terminada debilitan el aprendizaje, al ignorarse la dinámica de relaciones intelectuales que han intervenido en el proceso de su construcción. La invención de situaciones problemáticas permite al alumno descubrir el error y reconocerlo para evitarlo en la construcción de nuevos conocimientos. La concienciación del error es, para el alumno, reflexión, y para el profesor, disminución de la ignorancia que posee sobre lo que sus alumnos desconocen. Tal conocimiento adquiere un significado que da utilidad al medio en el que se desenvuelven las relaciones de enseñanza-aprendizaje. Una manera de ayudar a los estudiantes con la falta de sentido en la resolución de problemas es hacerles que escriban, compartan y resuelvan sus propios problemas. A través de experiencias de invención de problemas, los estudiantes son más conscientes de la estructura de los problemas, desarrollan pensamiento crítico y habilidades de pensamiento. La invención-reconstrucción de problemas se puede entender como reformulación de problemas, creación de un enunciado a partir de unas preguntas o expresiones numéricas dadas….

44. El estudio del libro vino a clarificar y sistematizar nuestro trabajo en el aula y trajo consigo el que creáramos situaciones de aprendizaje acordes con los distintos metamodelos que propone el profesor Fernández Bravo. Todo el alumnado de segundo y tercer ciclo de primaria, además de los problemas aritméticos mencionados en un principio, tiene un cuaderno donde trabajan los distintos metamodelos y modelos propuestos por el profesor. Como es lógico hicimos una adaptación a nuestras necesidades y elegimos los modelos matemáticos que más se ajustaban ellas. Comprobamos que la expresión oral y escrita, el respeto por las propuestas de los demás, el admitir otras soluciones distintas a las propias,... eran otros aspectos importantísimos que se trabajan con esta tipología de situaciones problemáticas. Pero, cuáles son esos metamodelos, qué se pretende con ellos, cómo los trabajamos, ... estas son cuestiones que desarrollaremos a continuación. METAMODELOS

45. PROBLEMAS SOCIALES O DE COMPETENCIAS Los metamodelos han cambiado nuestras prácticas docentes y esto ha hecho que ampliemos nuestro horizonte a la hora de proponer situaciones problemáticas a nuestros alumnos y alumnas. Nos preguntábamos si seríamos capaces de presentar a nuestros alumnos alguna situación problemática que englobase muchos de los contenidos matemáticos que impartimos durante los distintos cursos y que, además, estuviesen muy conectados con su realidad social o inquietudes. Es bajo esta perspectiva donde aparecen los problemas que proponemos a continuación. En ellos se parte de una situación bastante familiar para el alumnado y se sigue una "historia" que entrelazan los distintos contenidos de manera contextualizada. Entendemos que lo mejor es que veamos uno de estos problemas y que cada cual saque sus propias conclusiones. COMPETENCIAS

46. PROBLEMAS SOBRE COMPETENCIA MATEMÁTICA Fin de semana en Chipiona Visita a la granja escuela Las procesiones Programación de televisión El Equipo de Natación El Carnaval El Comedor escolar El Cumpleaños de Enrique La Boda El Apiretal