El documento describe la distribución de Poisson, que modela el número de eventos aleatorios que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio. Explica cómo dividir un área en subáreas más pequeñas reduce el error en suponer que solo puede haber un defecto por subárea, y cómo al dividir indefinidamente la distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson, donde el parámetro λ representa el número esperado de defectos.

1. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES ¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 As, 2 Ases, etc. en cinco dados arrojados? La respuesta la dan los números combinatorios: son el factorial de m y de n respectivamente. La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n (agrupados de n en n). Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC,...etc., tenemos:

2. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Y las distintas combinaciones son: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto, ó (1-p) de tener un fallo. Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es: Esta probabilidad es un término del binomio siguiente: , donde p+q = 1

3. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Los términos de la suma son las probabilidades P(y), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.). Aplicando la fórmula al caso de 5 dados: Las probabilidades de no sacar ningún As o de sacar uno, dos, tres, cuatro o cinco, son: ¿Cuáles son los parámetros estadísticos de la variable aleatoria Y? La media es: ; la varianza es: , y, finalmente, la desviación standard resulta:

4. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES En la experiencia de arrojar 5 dados: Cómo interpretamos este resultado? Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 As que de sacar 2 o más ases. De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de ases que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83 La varianza de Y resulta ser y la desviación standard:

5. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Volvamos, ahora a nuestro jugador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más ases, ¿cuál es la probabilidad que tiene de ganar? Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (ases), es decir: Lo que significa una probabilidad de ganar de aproximadamente el 3,5 %.

6. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Para entender la Distribución de Poisson, vamos analizar un ejemplo detenidamente. Supongamos que se tiene una tabla rectangular de madera, de 1 metro por 1 metro, pintada con un recubrimiento sobre cuya superficie se presentan aleatoriamente pequeños defectos. Estos defectos podrían ser por ejemplo partículas muy pequeñas de pigmento que no fueron bien molidas al fabricar la pintura. Se desea calcular la probabilidad de que aparezcan estos defectos y para ello podríamos subdividir la superficie en zonas rectangulares mas pequeñas y de igual tamaño :

7. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Tenemos la superficie dividida en 4 zonas rectangulares de igual tamaño. Observamos que en algunas zonas aparece un defecto superficial y en otras no. Vamos a hacer las siguientes suposiciones: En cada zona sólo puede aparecer 1 defecto. Si la probabilidad de que aparezca un defecto en todo el área es p, la probabilidad de que aparezca un defecto en una zona es p/4. Entonces, utilizando la Distribución Binomial podemos calcular la probabilidad de que en nuestra superficie aparezcan 0, 1, 2, 3, 4 defectos: El promedio de defectos en la superficie total será:

8. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Pero sabemos que en realidad en cada zona podría aparecer más de 1 defecto. Esto hace inexacto nuestro cálculo. Podríamos hacer el cálculo más exacto si subdividimos las zonas: Dividimos cada zona en 4 y ahora tenemos 16 zonas. La probabilidad de tener 1 defecto en una zona es p/16 con lo que podemos entonces calcular la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ...., 16 defectos en el área total:

9. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Y el promedio de defectos en la superficie resulta ser el mismo que antes: Aún así podrían aparecer más defectos por zona, por lo que si dividimos nuevamente cada zona en 4 tendríamos 64 zonas y ahora la probabilidad de tener 1 defecto en una zona sería p/64 La probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ....., 64 defectos en la superficie total sería: Y nuevamente el promedio de defectos en la superficie es p.

10. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Lo que estamos haciendo es ir aumentando n al mismo tiempo que disminuye p en igual proporción y de ese modo, el promedio de defectos en la superficie total n.p se mantiene constante. Como vimos, al suponer que en cada subzona sólo puede haber 1 defecto o ningún defecto estamos cometiendo un error. Este error se hace cada vez menor, porque a medida que subdividimos el area total se hace menos probable que en una subzona aparezca más de un defecto. Si continuamos subdividiendo el área indefinidamente, la fórmula binomial nos dará la probabilidad de obtener 0, 1, 2, 3, ... n defectos, con n tendiendo a infinito. En el límite, la fórmula binomial tiende a la fórmula de Poisson: donde x es la variable aleatoria y el parámetro de la distribución de Poisson. En el límite, el producto de n por p , , es igual al parámetro de la distribución: 