UNIDAD 6 CIRCUNERENCIA (1).pdf

UNIDAD 6. CIRCUNFERENCIA
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un punto O
en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se
llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O;
r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del
plano , tales que OP = r.
RADIO: Segmento que une el centro con un punto
de la circunferencia, por ejemplo: OA, OB , OC ,
OD, OE y OF .
CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos
de la circunferencia, por ejemplo: AB , CD .
DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia, por ejemplo: CD .
ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el
centro de la circunferencia, por ejemplo: EOF
 .
ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado
por dos puntos de ella, por ejemplo: AB . Si son
extremos de un diámetro, los arcos se llaman
semicircunferencias, por ejemplo: CAD y CED .
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que
tienen el mismo centro.
TEOREMA: En una circunferencia, todos los
radios son congruentes; todos los diámetros son
congruentes; el diámetro es el doble del radio y el
diámetro es la mayor cuerda.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO
Y UNA CIRCUNFERENCIA
En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:
1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.
2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.
3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA
CIRCUNFERENCIA
TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y
dado un punto P en su plano, entonces los extremos
del diámetro AB , contenido en la recta OP , son
los puntos de la circunferencia que están a la menor
y a la mayor distancia del punto dado.
La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia
entre P y el extremo de dicho diámetro que esté
más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.
TEOREMA: (L.G. ra)
Dada una C(O; r) y dada una distancia a, (0 < a < r),
el lugar geométrico de los puntos situados a una
distancia a de la C(O; r) está formado por las
circunferencias C(O; r  a).
Unidad seis circunferencia, Página 1 de 60

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN
PUNTO DADO
TEOREMA: Por un punto
dado A pasan infinitas
circunferencias.
Para cada real positivo r,
el lugar geométrico de los
centros de éstas es la
C(A; r).
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS
PUNTOS DADOS
TEOREMA: Por dos puntos
dados A y B, pasan infinitas
circunferencias.
El lugar geométrico de los
centros de éstas es la mediatriz
del segmento AB y el radio
mínimo es AB/2.
TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa
ninguna circunferencia.
COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia
no pueden ser colineales. Intuitivamente “la
circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR
TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS
TEOREMA: Por tres
puntos A, B y C no alineados,
pasa una y sólo una
circunferencia que tiene por
centro el circuncentro del
ABC.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA
Y UNA CIRCUNFERENCIA
1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia
si no tiene puntos comunes con ella.
2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia
si tiene exactamente un punto común con ella,
llamado punto de tangencia.
3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si
tiene exactamente dos puntos comunes con ella.
TEOREMA: Si una recta es tangente a una
circunferencia entonces es perpendicular al radio
que llega al punto de tangencia.
TEOREMA: Dadas una
recta y una circunferencia
de radio r, si d es la
distancia del centro a la
recta, entonces:
1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo
si d < r.
2. La recta es tangente a la circunferencia si y
sólo si d = r.
3. La recta es exterior a la circunferencia si y
sólo si d > r.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS
CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias son :
1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una
de ellas son exteriores a la otra.
2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un
punto común y los demás puntos de cada una de
ellas son exteriores a la otra.
3. SECANTES: Si tienen exactamente dos
puntos comunes.
4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un
punto común y los demás puntos de una de ellas
son interiores a la otra, entonces la primera es
tangente interior a la segunda.
5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y
todo los puntos de una de ellas son interiores a
la otra, entonces la primera es interior a la
segunda.
TEOREMA: Si dos circunferencias no
concéntricas tienen un punto común exterior a la
recta de los centros entonces son secantes y
recíprocamente.
TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes
entonces la línea de sus centros es la mediatriz de
su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos
centrales subtendidos por la cuerda.
TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes
entonces los centros y su punto de tangencia son
colineales y recíprocamente.
TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y
C(O’; r’), entonces ellas son:
1. Exteriores  OO’ > r + r’
2. Tangentes exteriores  OO’ = r + r’
3. Secantes   r  r ’< OO’ < r + r’
4. Tangentes interiores  OO’ = r  r’
5. Interiores  OO’ <  r  r ’

ARCOS Y CUERDAS
CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos
circunferencias son congruentes si sus radios tienen
igual medida.
ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma
circunferencia o de circunferencias congruentes
son congruentes si subtienden ángulos centrales
congruentes.
ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma
circunferencia o de circunferencias congruentes
son desiguales si subtienden ángulos centrales
desiguales y será mayor el que subtienda mayor
ángulo central.
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida
angular de un arco es la medida del ángulo central
que subtiende.
TEOREMA: En una misma circunferencia o en
circunferencias congruentes:
1. Dos ángulos centrales son congruentes sii
subtienden cuerdas congruentes.
2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden
arcos congruentes.
3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende
un arco menor y un ángulo central menor y
recíprocamente.
4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro
y recíprocamente.
5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más
próxima al centro y recíprocamente.
PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO
PERPENDICULAR A UNA CUERDA
TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda
secante a ella cumple dos de las siguientes
propiedades entonces las cumple todas:
1. Es diámetro.
2. Es perpendicular a la cuerda.
3. Pasa por el punto medio de la cuerda.
4. Pasa por el punto medio del arco menor.
5. Pasa por el punto medio del arco mayor.
6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda
subtiende.
ARCOS Y PARALELAS
TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos
entre dos rectas paralelas son congruentes.
TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una
circunferencia dos cuerdas o dos arcos son
congruentes entonces sus extremos determinan un
par de rectas paralelas.

ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA
CIRCUNFERENCIA
1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un
punto de la circunferencia y sus lados son dos
semirrectas secantes a la circunferencia, por
ejemplo el ABC
 .
2. ÁNGULO SEMIINSCRITO:El vértice es un
punto de la circunferencia y sus lados son dos
semirrectas una tangente y la otra secante a la
circunferencia, por ejemplo el DEF
 .
3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es
punto interior a la circunferencia y sus lados
son dos semirrectas secantes a la
circunferencia, por ejemplo el GHK
 .
4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es
punto exterior a la circunferencia y sus lados
son semirrectas tangentes y/o secantes a la
circunferencia, por ejemplo el LMR
 , el
LMN
 y el NMP
 ,
TEOREMA: En una circunferencia, en medidas
angulares:
1. Un ángulo inscrito mide la mitad del arco
comprendido entre sus lados, por ejemplo
(INSCRITO)
ABC AC 2
  .
2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco
comprendido entre sus lados, por ejemplo
(SEMIINSCRITO)
DEF DE 2
  .
3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco
comprendido entre sus lados y el arco
comprendido entre las prolongaciones de ellos,
por ejemplo (INTERIOR)
GHK (GK K'G') 2
   .
4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia de
los arcos mayor y menor comprendidos entre
sus lados, por ejemplo :
(EXTERIOR)
LMR (LNR LN'R) 2
   ,
(EXTERIOR)
LMN (LN LN') 2
   ,
(EXTERIOR)
NMP (NP N'P') 2
  
COROLARIOS:
1. Todos los ángulos inscritos que subtienden el
mismo arco son congruentes.
2. Todos los ángulos inscritos en una
semicircunferencia son rectos.
ARCO CAPAZ (LG)
TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un
ángulo , 0° <  < 180°, entonces existen dos arcos
de extremos A y B, (sobre circunferencias
congruentes y simétricas con respecto a la recta
AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los
puntos A y B, forman el lugar geométrico de los
puntos P del plano, para los cuales APB= .

ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un
 , 0° <  < 180°, el “Arco capaz del segmento
AB bajo el ”, es cada uno de los arcos a los que
se refiere el teorema anterior.
TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo
90° es la semicircunferencia que le tiene por
diámetro
PROPIEDADES DE LAS RECTAS
TANGENTES DESDE UN PUNTO
EXTERIOR
TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos
tangentes a una circunferencia trazados desde un
punto P exterior a ella, (A y B puntos de tangencia)
entonces:
1. Las tangentes son congruentes PA = PB.
2. OP es bisectriz del AOB y del APB.
3. AOB=Pexterior del cuadrilátero PAOB.
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS TANGENTES
TEOREMA: Las rectas tangentes a una C(O; r)
trazadas desde un punto P exterior a ella, pasan por
los puntos de intersección entre ella y la
circunferencia de diámetro OP.
TEOREMA: Las rectas tangentes comunes a dos
circunferencias de distinto radio, no tangentes
interiores y no interiores, son paralelas a las rectas
tangentes trazadas desde el centro de la menor, a
la circunferencia concéntrica con la mayor y de
radio igual a la diferencia o a la suma de los radios.
CUADRILÁTEROS INSCRITOS Y
CIRCUNSCRITOS
TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está
inscrito en una circunferencia entonces sus ángulos
opuestos son suplementarios y recíprocamente si un
cuadrilátero convexo tiene un par de ángulos
opuestos suplementarios entonces es inscriptible en
una circunferencia.
TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está
circunscrito a una circunferencia entonces las
sumas de las medidas de sus lados opuestos son
iguales y recíprocamente si en un cuadrilátero
convexo las sumas de las medidas de sus lados
opuestos son iguales entonces es circunscriptible a
una circunferencia.

CRUCIRAMA CIRCUNFERENCIA
(Elaboró: Carlos Alberto Ríos Villa)
1 2
3 4
5
6
7
8 9
10
11
12
13
14
15
16
17 18 19
20
21
22
23 24 25
26 27
28 29
30
31
32

HORIZONTALES
1 CON ESTE TEOREMA PODEMOS SACAR MUCHAS CONCLUSIONES CON
MUY POCA INFORMACIÓN, POR EJEMPLO LA RESPUESTA ANTERIOR
3 PORCIÓN DE CIRCUNFERENCIA
5 SOLO CON TENER CUATRO LADOS Y QUE LA SUMA DE LOS OPUESTOS
SEA IGUAL, ESTE POLÍGONO LO SERÁ
6 CORRESPONDE CON LA MEDIDA DEL ARCO
7 TODO EL QUE TENGA CUATRO LADOS Y SU ÁNGULOS OPUESTOS SEAN
COMPLEMENTARIOS, PODRÁ SERLO
8 MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR
11 LOS SEGMENTOS TANGENTES TRAZADOS DESDE UN PUNTO
EXPERIOR DE LA CIRCUNFERENCIA RESULTAN SER ASÍ
12 ESTA FORMADO POR UNA TANGENTE Y UNA SECANTE Y SU VÉRTICE
ES UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA
13 RECTA QUE CORTA A LA CIRCUNFERENCIA EN DOS PUNTOS
14 LA MITAD DE UNA CIRCUNFERENCIA
15 LA DEFINICIÓN DE BISECTRIZ COMO LUGAR GEOMETRICO JUSTIFICA
PORQUE ESTE PUNTO ESTA A LA MISMA DISTANCIA DE LOS LADOS
DEL TRIÁNGULO Y POR ESO HACIENDO CENTRO EN ÉL SE PUEDE
TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS TRES LADOS EL
TRIÁNGULO
16 SU MEDIDA SE CALCULA COMO LA SEMIDIFERENCIA DE LOS ARCOS
QUE INTERCEPTA
17 MEDIDA DEL ÁNGULO SEMIINSCRITO O INSCRITO
19 SI TRAZAMOS CUERDAS POR LOS EXTREMOS DE DOS ARCOS IGUALES,
TERMINARAN SIENDO..........
21 ESTE LUGAR GEOMETRICO RESULTA PORQUE LOS ANGULOS
INSCRITOS EN ÁNGULOS IGUALES SON IGUALES.
22 ESTÁ FORMADO POR DOS CUERDAS SECANTES EN UN PUNTO
INTERIOR DE LA CIRCUNFERENCIA
25 ESTE ÁNGULO TIENE VÉRTICE EN EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA
Y EL ARCO QUE INTERCEPTA TIENE SU MISMA MEDIDA
26 CIRCUNFERENCIAS CON EL MISMO CENTRO
27 ASÍ SON LOS ÁNGULOS INSCRITOS O SEMIINSCRITOS EN EL MISMO
ARCO O EN ARCOS CONGRUENTES
28 ESTAN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA
29 EN UNA CIRCUNFERENCIA O EN CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES A
CUERDAS IGUALES ............
30 LA DEFINICIÓN DE MEDIATRIZ COMO LUGAR GEOMETRICO JUSTIFICA
PORQUE ESTE PUNTO ESTA A LA MISMA DISTANCIA DE LOS VERTICES
DEL TRIÁNGULO Y POR ESO HACIENDO CENTRO EN ÉL SE PUEDE
TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR ELLOS
31 NUMERO DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR TRES PUNTOS NO
COLINEALES
32 SI SE TIENE UNA CUERDA QUE NO ES DIAMETRO Y UN DIAMETRO QUE
PASA POR EL PUNTO MEDIO DE DICHA CUERDA, ENTONCES EL
DIAMETRO ES .............. DE LA CUERDA
VERTICALES
1 TOCA A LA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO
2 ASÍ SE PUEDE CALCULAR LA MEDIDA DE UN
ÁNGULO EXTERIOR
4 SEMENTO QUE UNE DOS PUNTOS DE UNA
CIRCUNFERENCIA
9 SEGMENTO QUE VA DEL CENTRO A UN
PUNTO CUALQUIERA DE LA
CIRCUNFERENCIA
10 LA MAYOR DE LAS CUERDAS, ADEMÁS
EQUIVALE A DOS RADIOS
15 ESTAS PORCIONES DE CIRCUNFERENCIAS
LO SON SI ESTAN FORMADOS POR
CUERDAS PARALELAS
18 ESTE ANGULO ÁNGULO TIENE VÉRTICE EN
UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS
LADOS SON DOS SECANTES
20 EL SEGMENTO QUE UNE LOS CENTROS
RESULTA SERLO PARA EL QUE UNE LOS
PUNTOS DONDE SON SECANTES DOS
CIRCUNFERENCIAS, SILO SON.
23 ASÍ ES TODO RADIO TRAZADO AL PUNTO
DE TANGENCIA ENTRE UNA RECTA Y UNA
CIRCUNFERENCIA
24 A MAYOR DISTANCIA DEL CENTRO ............

TOMADO DE : http://www.sectormatematica.cl/Novedades/Circunferencia_y_Circulos.pdf
Profesor Guillermo Camacho

UNIDAD 6
CIRCUNFERENCIA
Para afrontar la solución de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes
tener presente los diferentes elementos presentes en la circunferencia como centro,
radio, diámetro, cuerda, arco, ángulos en la circunferencia. En la solución de los
ejercicios es necesario recordar los siguientes aspectos:
1. circunferencia y sus elementos
2. posiciones relativas entre la circunferencia y una recta
3. posiciones relativas entre dos circunferencias
4. propiedades del diámetro perpendicular a una cuerda
5. Teoremas y corolarios sobre la relación entre cuerdas, arcos y ángulos centrales
6. Teoremas y corolarios sobre los ángulos en la circunferencia
7. Teoremas sobre el arco capaz
8. teoremas sobre cuadriláteros inscritos y circunscritos
Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.

1. En una C(O; r) se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se prolonga
a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan y
que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC=OGC.
GRAFICA 65
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )
5
6
7
8
9 =
10
11 =
12
13
14
AB OC AB AB
CE
CD

2. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa
por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan y . Demostrar que la recta
que une el punto medio del radio con el punto medio de es perpendicular a la recta que
une el punto medio con el punto medio de .
GRAFICA 66
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8
9
DB DC
AB DC
AC DB

3. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una
cuerda y en la C(O';r') la cuerda . Probar que .
GRAFICA 67
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 +2
13
14
15
16
AM 
AN AM OM O'N

4. Por el punto medio O de un segmento se traza una recta cualquiera ; se toma B'
simétrico de B con respecto a y se traza  con el punto N sobre . Probar
que es tangente a la circunferencia de diámetro .
GRAFICA 68
⃡ , ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
AFIRMACION RAZON
1 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ⃡
3
4
5 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
6
7 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
8
9
10 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
11 ̅̅̅̅
5. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la
mayor en C y D. Demostrar que = y = .
GRAFICA 69
AB XY
XY B'N OB' XY
NB AB
AC BD AD BC

AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. En una C(O; r) se trazan dos radios y y una cuerda perpendicular a la bisectriz
del AOB; corta a en F y a en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB.
GRAFICA 70
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ̅̅̅ ̅̅̅
4
5 ̅̅̅ ̅̅̅
6
7 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
8 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
9
10 ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅
11 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
OA OB MN
MN OA OB

7. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de
y se traza la perpendicular a en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C.
Demostrar que AB=AC.
GRAFICA 71
Determina la hipótesis y la tesis
AFIRMACION RAZON
1 ̅̅̅̅̅
2
3 ̅̅̅̅
4
5
6 ̅̅̅̅
7 ̅̅̅̅
8
8. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es
perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.
GRAFICA 72
OO'
AM

Tracemos pasando por P, ya que por P pasa una única cuerda perpendicular en dicho
punto, Tracemos cualquier otra cuerda que pase por P en este caso . Desde O podemos
trazar donde se estara formando el ∆ rectángulo ∆ OMP donde es decir
que la cuerda esta mas cerca al centro que a la cuerda por lo tanto por corolario
sabemos que la mayor de dos cuerdas desiguales es la más próxima al centro y
recíprocamente. Por lo tanto
Ahora realízalo utilizando afirmación - razón.
9. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares y y en el mismo sentido con
respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son
perpendiculares.
GRAFICA 73
Observemos que al prolongar los segmentos se cortan en un punto P por lo tanto
es un ángulo exterior cuya medida es la semidiferencia entre los arcos ̂ y ̂ ,
sabemos que radios y además luego tenemos dos triángulos
congruentes por el teorema LLL, . Continuando tenemos que
lo que implica que con donde ̂
⋀ ̂ ̂ por ser ángulos centrales; por lo tanto:
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ por resta de arcos
Operaciones entre reales
Propiedad asociativa
Por lo tanto
OA OB

10. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.
GRAFICA 74
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
11. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas y perpendiculares a un diámetro ; se trazan
y . Probar que la recta que une los puntos medios de y es perpendicular al
diámetro .
GRAFICA 75
AFIRMACION RAZON
1 CC'
2 CC'D'D es trapecio
3 base media
4
CC' DD' AB
CD C'D' CD C'D'
AB

5
6
7
8
12. En un ABC acutángulo se traza las alturas y . Probar que la circunferencia de
diámetro pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64°, calcular el ADE.
GRAFICA 76
determina la tesis
Si tomamos como diámetro entonces la circunferencia de diámetro es todos los
puntos que forman un ángulo de 90° tomando como extremos A y B por arco capaz; por lo
tanto E a dicha circunferencia y por lo tanto D a dicha circunferencia ya
que .
Realiza la segunda parte
13. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna
posición.
GRAFICA 77
determina la hipótesis y la tesis
Si dejamos como lado fijo el segmento podemos trazar la semi-circunferencia con
AD BE
AB

diámetro que pasara por I. si desplazamos I hasta el puntoI′ sobre la circunferencia
AI B=90 por lo tanto si prolongamos AI′ y BI′ hasta C′ y D′ respectivamente tal que
AI′=C′I y BI′=I′D′ se forma siempre un rombo de lados iguales . De acuerdo a lo anterior
el lugar geométrico estará siempre en la semicircunferencia de radio AB
14. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes y
. Probar que .
GRAFICA 78
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ⃡ ̅̅̅̅̅ ⃡
6
7
8
9
10
11
12
13
14
BAC
B'AC' BB' CC'

15. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que es
el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B,
I y C.
GRAFICA 79
1. Determina la hipótesis y la tesis
2. Argumenta las afirmaciones
Si es el lado del cuadrado inscrito entonces el ángulo desde el centro de la
circunferencia ( ) tendría que medir 90 CIB=180 -( donde (2 ∆ABC
inscrito
16. Por un extremo A de un diámetro de una C(O; r) se traza una cuerda ; y por el extremo
B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la
cuerda en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y
FH=HD.
GRAFICA 80
BC
AB AC
BC

AFIRMACION RAZON
1 inscrito
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 )
12
17. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal hace con los
lados y ángulos de 45° y con la diagonal un ángulo de 70°.
GRAFICA 81
AFIRMACION RAZON
AB AD BD
AC

18. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito
ABCD, cuyos lados , , y , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.
Demostrar que AD+BC=DC+AB.
GRAFICA 82
Sabemos que los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior son congruentes es
decir :
por suma de segmentos tenemos:
( ) ( )
si tenemos presente el primer paso y sustituimos obtenemos:
=
Si agrupamos.
+ ( ) )
Obtenemos

EJERCICIOS UNIDAD 6- CIRCUNFERENCIA
1. Un ABC está inscrito en una C(O; r); sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que
une el punto medio N de con el punto medio P de es paralela a la recta que une O con
el punto medio Q de . Demostrar que OPNQ es un paralelogramo.
Grafica 68
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina la
hipótesis y la tesis
2. Dada la siguiente explicación al problema
organizarla de tal forma que se determine
claramente la afirmación y su
correspondiente razón.
AFIRMACION RAZON
01 En ΔAHB tenemos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
02 En ΔAHC tenemos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
03 O es el ortocentro del ΔABC ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son parte de la mediat.
04 ̅̅̅̅ ⊥ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ⊥ ̅̅̅̅ por ③
05 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dos líneas perpendiculares a una misma recta
06 QOPN es paralelogramo por ⑤
AH AB
AC

2. En una C(O;r) un diámetro y una cuerda forman un ángulo de 30°; se traza la tangente
en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el ACD es
isósceles.
Grafica 69
1.De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema
determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada
paso.
AFIRMACION RAZON
01 Trazamos OC=OA=R
02 ΔAOC isósceles
03 ∢OAC= ∢OCA=30°
04 ∢OCD 90°
05 ∢COD 60°
06 ∢OCD+∢COD+∢ODC 90°
07 ∢ODC 90°-∢OCD-∢COD 30°
08 ΔACD isósceles
AB AC

3. En una semicircunferencia de radio dado R inscribir una circunferencia de radio dado r. ¿ Cuál
condición deben cumplir los radios R y r para que exista una única solución?, ¿Para dos
soluciones?.
Grafica 70
Observa la gráfica y argumenta tu
respuesta
Grafica 71
Observa la gráfica y argumenta tu
respuesta
4. En una C(O;r) se trazan por los extremos de un diámetro dos cuerdas paralelas y
. Probar que ACO=BDO.
Grafica 72
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢CAO ∢OBD
02 OA=OB=OC=OD=R
03 ΔOAC, ΔOBD isósceles
04 ∢CAO ∢ACO
∢OBD ∢ODB
05 ∢ACO ∢ ODB
AB AC BD

5. Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza una cuerda
. Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas.
Grafica 73
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 O-A-O’ colineales
02 B-A-C colineales
03 O A
̅̅̅̅̅ OC
̅̅̅̅ R
04 ΔAOC isósceles
05 ∢O’AC ∢O’CA
06 OA=OB=R
07 ΔOAB isósceles
08 ∢OAB ∢OBA
09 ∢OAB ∢O’AC
10 ∢OBA ∢O’CA
11 OB
̅̅̅̅ ⊥ ⃡ O C
̅̅̅̅̅ ⊥ m
⃡
12 ∢OBP ∢O’CQ 90°
13 ∢OBP- ∢OBA ∢O’CQ-∢O’CA
14 ∢PBA ∢ACQ
15 ∢PBA ∢ACQ A.I
16 ⃡ m
⃡
BAC

6. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros
y . Demostrar que C, B y D están alineados.
Grafica 74
paso.
AFIRMACION RAZON
01 AC AD diámetros
02 ∢ABC 90°
03 ∢ABD =90°
04 ∢CBA+∢DBA 180°
05 ∢CBD 180°
06 C-B-D
AC AD

7. En una C(O;r) se traza una cuerda y se toman los puntos medios M del arco mayor y N del arco
menor . Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la
circunferencia en D y F; se traza que corta a en H. Demostrar que:
a. El punto I está sobre la recta .
b. DH=HF.
Grafica 75
paso.
AFIRMACION RAZON
01 A
̂ B
̂ AB
̂ menor
02 A
̂ B
̂ AB
̂ mayor
03 A
̂ + A
̂ B
̂ + B
̂ 180°
04 ̅̅̅̅̅ diámetro
05 ̅̅̅̅̅ biseca AB
̂
06 ̅̅̅̅̅ biseca AB
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ⊥ AB
̅̅̅̅
07 Δ PA Δ PB
08 AM=BM
09 Δ AB isósceles
10 ∢ AB ∢MBA
11 ∢ AD ∢DAB ∢ABF ∢FB ∢ ∢ AB ∢ BA
12 1
2
D
̂
1
2
DB
̂
1
2
AF
̂
1
2
F
̂
1
4
B
̂
1
4
A
̂
13
D
̂ DB
̂ AF
̂ F
̂
1
2
D
̂
1
2
A
̂
14 ̅̅̅̅̅ biseca FD
̂
15 ̅̅̅̅̅ biseca FD
̂ ̅̅̅̅̅ ⊥ FD
̅̅̅̅
16 P
̅̅̅̅ altura Δ AB
17 P
̅̅̅̅ bisectriz
18 Es incentro
19 I ̅̅̅̅̅

8. Se trazan dos circunferencias concéntricas. Demostrar que todas las cuerdas de la mayor que
son tangentes a la menor son iguales.
Grafica 76
AFIRMACION RAZON
01
OP
̅̅̅̅ ⊥ AB
̅̅̅̅ QD
̅̅̅̅ ⊥ CD
̅̅̅̅
02
OP
̅̅̅̅ =OQ
̅̅̅̅ R’
03
AO=BO=CO=DO=R
04
ΔAOP ΔBOP ΔCOQ ΔDOQ
05
AP=BP=CQ=DQ
06
AP
̅̅̅̅ + PB
̅̅̅̅ = CQ
̅̅̅̅ + DQ
̅̅̅̅
07
AB
̅̅̅̅ CD
̅̅̅̅

9. En una C(O;r) se tienen un diámetro y una cuerda cualquiera ; De A se traza la cuerda
perpendicular a la dirección de y de B se traza la cuerda perpendicular a ;
y prolongados cortan a o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH
y HC=DG.
Grafica 77
tesis
2. Dada las afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 AG ⊥ GH FH ⊥GH
02 ̂ ̂
03 ̂ 180°
04 ̂ ̂ ̂ ̂
05 ̂ ̂
06 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
07 ∢AEB recto
08 ∢BEF 90°
09 EGHB rectángulo
10 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
AB CD
AE CD BF CD
AE BF CD

10. Considerar un cuarto de circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales
AM=BN; estas cuerdas se cortan en el punto C. Demostrar que .
Grafica 78
tesis
AFIRMACION RAZON
01 AO=OB=R
02 A
̅̅̅̅̅ A
̅̅̅̅
03 A
̂ A
̂
04 AB
̂ A
̂ AB
̂ A
̂
05 B
̂ A
̂
06 ∢ AB B
̂ ∢ BA= A
̂
07 ∢ AB ∢ BA
08 ΔACB isósceles
09 AC=CB
10 ΔCAO ΔCOB
11 ∢AOC ∢BOC
12 CO
̅̅̅̅ bisectriz
13 CO
̅̅̅̅ altura
14 CO
̅̅̅̅⊥AB
̅̅̅̅
OC AB


11. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r) se trazan dos cuerdas cualesquiera y ;
después las cuerdas y . Demostrar que .
Grafica 79
paso.
AFIRMACION RAZON
01 A
̅̅̅̅ B
̅̅̅̅̅ A
̂ B
̂ A + B ’+ ’
02 A
̅̅̅̅̅ B
̅̅̅̅̅ ̂ + A
̂ + ’B
03 A
̂ + ̂ + ̂ + A
̂ B̂ + ̂ + ̂ + B
̂
04 A
̂ + A
̂ B̂ + B
̂
05 ̂ ̂
06 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
AM AN
BM' AM BN' AN MN' M'N

12. Se hace pasar una circunferencia por los puntos medios de los tres lados de un triángulo
rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es la diferencia de los arcos
exteriores a los catetos.
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada la siguiente explicación al problema organizarla de tal forma que se determine claramente
la afirmación y su correspondiente razón.
Grafica 80
Observemos cuidadosamente la gráfica, si C y A son puntos medios CA RP, si A y F son
puntos medios AF CR y como ∢R=90° entonces RFAC es un rectángulo por lo tanto O
equidista de A y R ya que la circunferencia pasa por los vértices del rectángulo, por lo tanto
D=E=F
Grafica 81
BA
̅̅̅̅ CF
̅
̅
̅
̅ CB
̂ AF
̂
CA
̅̅̅̅ EF
̅
̅
̅
̅ CD
̂ AF
̂
CF
̅
̅
̅
̅ diámetro CD
̂ + DF
̂ CB
̂ + BA
̂ + AF
̂
CD
̂ + DF
̂ CB
̂ AF
̂ AB
̂
DF
̂ CB
̂ AB
̂

13. En una semicircunferencia de diámetro se traza una cuerda tal que el BAC=20° y se
traza la tangente Calcular el valor del ADX y el del BDY.
Grafica 82
AFIRMACION RAZON
01 ∢ADB=90°
02 BC
̂=40°
03 AD
̂ + DC
̂=140°
04 AD
̂ DC
̂=70°
05 0° =35°
06 (110°)=55°
AB AC
XDY AC

14. Construir un triángulo rectángulo si se conocen la hipotenusa y un cateto.
Grafica 83
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
2. Dada la siguiente explicación al problema
organizarla de tal forma que se determine
claramente la afirmación y su correspondiente
razón.
Para realizarlo trazamos dos circunferencias
01
C(O,R) donde R= AB= hipotenusa
02
C(B,R’) donde R’= longitud del cateto
03
∢ADB=90° en C(O,R)

15. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que
se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.
Grafica 84
AFIRMACION RAZON
01 1
2
(DB
̂ + AF
̂)
1
2
FC
̂ + CD
̂
02 1
2
DB
̂
1
2
CD
̂ 2 DB
̂ CD
̂
03 1
2
AF
̂
1
2
FC
̂ 2 AF
̂ FC
̂
04 1
2
2 + 2 +
05 1
2
2 + 2 +
06
07 ΔIDB isósceles
08 ID=DB

16. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las alturas y que se cortan en H;
se prolonga hasta que corte a la circunferencia en M. Demostrar que HD=DM.
Grafica 85
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢B A ∢BCA AB
̂
02 ∢ BC ∢ AC C
̂
03 + 90°
04 + 90°
05
06 BD lado común
07 ∢ADB ∢BD 90°
08 ΔBDH ΔBD
09 DH
̅̅̅̅ D
̅̅̅̅̅
AD BF
AD

17. Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos
A, B, C, D y E, tales que los arcos , , y midan respectivamente 90°, 60°, 45° y
105°. Encontrar:
a. La medida del arco .
b. El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.
c. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas y .
d. El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas y .
e. El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente .
Grafica 86
de cada paso.
a AB
̂ BC
̂ CD
̂ DE
̂ EA
̂ 360°
b Aplicar ∢ inscrito
c Aplicar ∢ interior
d Aplicar ∢exterior
e Aplicar ∢semi-inscrito
AB BC CD DE
EA
EB AD
ED BC
FBT

GEOMETRÍA C.A.V.A
COMPLEMENTO A LOS EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA
(extraídos del texto geometría euclidiana de Rodolfo Londoño U. de A. por Carlos A. Ríos)
Para cada uno de los gráficos siguientes encuentre los ángulos y arcos pedidos.
1.
2.
3.
4.
5.
EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS

GEOMETRÍA C.A.V.A
6.
7.
8.
9.
10.
11.

GEOMETRÍA C.A.V.A
12.
13.
14.
15.
16.

Circunferencia
1. Si se sabe que α = 35º y β = 45º, ¿cuál
es la medida del ángulo x de la figura?
2. El arco AC de la figura mide 94º y el arco
BC mide 108º. ¿Cuál es la medida del ángulo
ACB?
3. Los segmentos AP y BP son tangentes a la
circunferencia en A y B respectivamente, y el
ángulo APB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo
AOB?
4. Si el arco AC = 86º y el arco BD mide
144º, ¿cuánto mide el ángulo APD?
5. ¿Cuáles son los valores de x e y en la
figura?
BD y DA, están en la razón 1:2:3,
respectivamente. ¿Cuál es el valor de x?
7. En la figura, AB es diámetro de la
circunferencia y α = 58º. ¿Cuál es el valor de
x?
8. En la figura, AD es diámetro de la
circunferencia y los arcos AB, BC, CD y DE
son congruentes. ¿Cuál es la medida del
ángulo BAE?
circunferencia y es paralela a CD. El arco CD
mide 106º. ¿Cuánto mide el ángulo BAD?
10. La recta PQ es tangente a la
circunferencia de centro O en el punto A y el
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11. La recta PT es tangente a la
circunferencia en el punto T, y las cuerdas AT
y BT son congruentes. ¿Cuál es la medida del
arco AT?
12. ¿Cuál es la medida del ángulo PAC de la
figura si la recta PQ es tangente a la
circunferencia en el punto A, el ángulo ACB
mide 65º y el arco CB mide 30º?
13. Los arcos AC y DB de la figura miden
144º y 76º, respectivamente. ¿Cuál es la
medida del ángulo APC?
14. Los arcos AC y DB de la figura miden
108º y 62º, respectivamente. ¿Cuáles son los
valores de x e y?
16. La recta PC es tangente a la
circunferencia de centro O en el punto C. El
ángulo AOB mide 126º y AC congruente con
BC. ¿Cuál es la medida del ángulo ACP?
17. El ángulo APD de la figura mide 75º y el
arco BD mide 95º. ¿Cuál es la medida del
arco AC?
18. El ángulo ADC de la figura mide 64º y el
ángulo APC mide 34º. ¿Cuánto mide el arco
BD?
19. El cuadrilátero ABCD está inscrito en la
circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo ADC?
20. En la figura, el arco AB mide 150º y el
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21. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB de la
figura?
22. ¿Cuál es el valor de x en la figura?
23. Los arcos AB y CD de la figura miden
124º y 66º, respectivamente. ¿Cuál es la
medida del ángulo AQB?
24. En la figura, determinar la medida del
arco AB y el valor de β.
26. Según los datos de la figura, ¿cuál es el
valor de α?
27. El ángulo APC mide 38º y el arco AC mide
145º. ¿Cuál es la medida del arco BD?
28. La cuerda CD es diámetro de la
circunferencia. El arco AB mide 115º y el arco
BD mide 12º. Determinar la medida del arco
AC y del ángulo BPD.
29. La cuerda AB es diámetro de la
circunferencia. El arco AC mide 128º. ¿Cuál
es el valor de x?
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circunferencia en A. ¿Cuánto miden los arcos
AC y CB respectivamente?
31. En la figura, PA y PB son tangentes a la
circunferencia en los puntos A y B,
respectivamente. Si el arco ACB mide 210º,
¿cuánto mide el ángulo APB?
32. En la figura, las cuerdas AD y BC se
interceptan en el punto P; los arcos AC y DB
miden 200º y 104º, respectivamente.
¿Cuánto mide el ángulo APB?
33. En la figura, la recta PB es tangente a la
circunferencia en el punto B, y el ángulo ABP
mide 84º. ¿Cuánto mide el arco ACB?
34. Las cuerdas AB y CD se interceptan en el
punto P. El ángulo APD mide 115º y el arco
AC mide 82º. ¿Cuánto mide el arco BD?
circunferencia en el punto B y el ángulo ACB
mide 76º. ¿Cuánto mide el ángulo PBC si el
triángulo ABC es isósceles de base AB?
36. La cuerda AB es diámetro de la
circunferencia. Si el arco BD mide 78º y el
ángulo DPB mide 56º, ¿cuánto mide el arco
BC?
circunferencia en el punto B y el arco ACB
mide el doble que el arco AB. ¿Cuánto mide
el ángulo ABP?
38. Según los lados de la figura, ¿cuáles son
los valores de x e y?
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valor de x?
40. Según los datos de la figura, ¿cuáles son
los valores de x e y?
41. Según los datos de la figura, ¿cuánto
mide el arco AB?
valor de x?
43. En la figura, AB es paralela con CD, el
ángulo APB mide 115º y el arco DB mide 78º.
¿Cuánto mide el ángulo ADC?
44. En la figura, el ángulo CPD mide 41º y el
ángulo ADC mide 63º. ¿Cuánto mide el arco
CD?
45. En la figura, PA y PB son tangentes a la
circunferencia en A y B, respectivamente. Si
el ángulo ACB mide 70º, ¿cuánto mide el
ángulo BPA?
46. En la figura, el arco AB mide 132º y el
ángulo APB mide 21º. ¿Cuál es la medida del
ángulo CAD?
47. En la figura, la cuerda AD es diámetro de
la circunferencia y el ángulo BCD mide33º.
¿Cuánto mide el ángulo PAB?
circunferencia y M es punto medio de CD. Si
el ángulo ABD mide 31º, ¿cuánto mide el
arco BC?
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valor de x?
mide el arco AB?
51. Si T es punto de tangencia, según los
datos de la figura, ¿cuáles son los valores de
α y β respectivamente?
52. Según los datos de la figura, si O es
centro de la circunferencia, ¿cuál es el valor
de x?
53. Las cuerdas AB y CD son paralelas y el
arco BD mide 88º. ¿Cuál es el valor de x?
miden x e y, respectivamente?
circunferencia. Si el ángulo BDC mide 53º,
¿cuánto mide el arco AC?
56. En la figura. la recta PS es tangente a la
circunferencia en S, ¿cuál es el valor de x?
57. Las rectas PA y QB son tangentes a la
circunferencia en A y B, respectivamente. El
ángulo PAC mide 60º y el arco BC mide 110º.
¿Cuánto mide el ángulo ABQ?
58. En la figura, los arcos AB, BC y CA son
tales que se cumple que los arcos AB, BC y
CA, están en razón 1:2:3. Si AP y BP son
tangentes a la circunferencia en A y B,
respectivamente, ¿Cuánto mide el ángulo
APB?
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GEOMETRÍA C.A.V.A
EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA
1. En una C(O; r) se trazan un diámetro AB
y un radio OC perpendicular a AB ; se
prolonga AB a cada lado y en el exterior
de la circunferencia en longitudes iguales
AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a
la circunferencia en F y G. Probar que:
OFC=OGC.
2. Un ABC está inscrito en una C(O; r); sus
alturas se cortan en H. Demostrar que la
recta que une el punto medio N de AH con
el punto medio P de AB es paralela a la
recta que une O con el punto medio Q de
AC . Demostrar que OPNQ es un
paralelogramo.
3. Desde el vértice A de un ABC equilátero,
se traza el arco menor de la
circunferencia que pasa por B y C; se
toma sobre este arco el punto D y se
trazan DB y DC . Demostrar que la recta
que une el punto medio del radio AB con el
punto medio de DC es perpendicular a la
recta que une el punto medio AC con el
punto medio de DB .
4. En una C(O;r) un diámetro AB y una
cuerda AC forman un ángulo de 30°; se
traza la tangente en el punto C que corta
al diámetro prolongado en el punto D.
Demostrar que el ACD es isósceles.
5. En una semicircunferencia de radio dado R
inscribir una circunferencia de radio dado
r. ¿ Cuál condición deben cumplir los
radios R y r para que exista una única
solución?, ¿Para dos soluciones?.
6. En una C(O;r) se trazan por los extremos
de un diámetro AB dos cuerdas paralelas
AC y BD . Probar que ACO=BDO.
7. Por el punto medio O de un segmento AB
se traza una recta cualquiera XY


; se toma
B' simétrico de B con respecto a XY


y se
traza B'N  OB' con el punto N sobre
XY


. Probar que NB es tangente a la
circunferencia de diámetro AB .
8. Por el punto de contacto A de dos
circunferencias tangentes exteriores se
traza una cuerda BAC . Demostrar que las
tangentes en B y en C son paralelas.
9. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r')
tangentes en un punto A; se trazan en la
C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la
cuerda 
AN AM . Probar que OM O'N
 .
10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son
secantes en A y B; por A se trazan los
diámetros AC y AD . Demostrar que C,
B y D están alineados.
11. Se traza una cuerda que corta a dos
circunferencias concéntricas, a la menor
en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar
que AC =BD y AD =BC .
12. En una C(O;r) se traza una cuerda AB y se
toman los puntos medios M del arco mayor

AB y N del arco menor 
AB . Se trazan las
bisectrices de los ángulos MAB y MBA que
se cortan en I y cortan a la circunferencia
en D y F; se traza DF que corta a MN en
H. Demostrar que:
a. El punto I está sobre la recta MN


.
b. DH=HF.
13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y
OB y una cuerda MN perpendicular a la
bisectriz del AOB; MN corta a OA en F
y a OB en G. Demostrar que: MF=NG y
FA=GB.

GEOMETRÍA C.A.V.A
14. Se trazan dos circunferencias
concéntricas. Demostrar que todas las
cuerdas de la mayor que son tangentes a la
menor son iguales.
15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se
cortan en A; se une A con el punto medio
M de OO' y se traza la perpendicular a
AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la
C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC.
16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y
una cuerda cualquiera CD ; De A se traza
la cuerda AE perpendicular a la dirección
de CD y de B se traza la cuerda BF
perpendicular a CD ; AE y BF
prolongados cortan a CD o a sus
prolongaciones en G y H. Demostrar que:
EG=BH y HC=DG.
17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa
por un punto interior a una circunferencia
es perpendicular al diámetro que pasa por
dicho punto.
18. Considerar un cuarto de circunferencia
AOB. Desde los puntos A y B se trazan
cuerdas iguales AM=BN; estas cuerdas se
cortan en el punto C. Demostrar que
OC AB
 .
19. En una C(O; r) se trazan dos radios
perpendiculares OA y OB y en el mismo
sentido con respecto a los radios se trazan
dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar
que ellas son perpendiculares.
20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB
sobre la que se toma un punto D que se une
con un punto cualquiera C de la
circunferencia. Por los puntos medios de
AD y CD se levantan perpendiculares que
se cortan en M. Demostrar que OM AC
 .
21. Probar que todo trapecio inscrito en una
circunferencia es isósceles.
22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r)
se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y
AN ; después las cuerdas BM' AM
 y
BN' AN
 . Demostrar que MN' M'N
 .
23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC' y
DD' perpendiculares a un diámetro AB ;
se trazan CD y C'D'. Probar que la recta
que une los puntos medios de CD y C'D'
es perpendicular al diámetro AB .
24. Se hace pasar una circunferencia por los
puntos medios de los tres lados de un
triángulo rectángulo. Demostrar que el
arco exterior a la hipotenusa es la
diferencia de los arcos exteriores a los
catetos.
25. En un ABC acutángulo se traza las alturas
AD y BE . Probar que la circunferencia
de diámetro AB pasa por los pies D y E de
las alturas. Si el BAC=64°, calcular el
ADE.
26. En una semicircunferencia de diámetro
AB se traza una cuerda AC tal que el
BAC=20° y se traza la tangente
XDY AC
 Calcular el valor del ADX y el
del BDY.
27. Dos circunferencias son tangentes
exteriores en un punto A. Se trazan las
secantes BAC y B'AC'. Probar que
BB' CC'
 .
28. Construir un triángulo rectángulo si se
conocen la hipotenusa y un cateto.
29. Hallar el lugar geométrico del centro de un
rombo si uno de sus lados está fijo en
alguna posición.
30. En un ABC inscrito en una circunferencia
se trazan las bisectrices de los ángulos A
y B que se cortan en I y cortan a la
circunferencia en D y F. Demostrar que
DI=DB.

GEOMETRÍA C.A.V.A
31. Sea I el centro de la circunferencia
inscrita en un ABC, rectángulo en A.
Probar que BC es el lado del cuadrado que
se puede inscribir en la circunferencia que
pasa por los tres puntos B, I y C.
32. En un ABC inscrito en una circunferencia
se trazan las alturas AD y BF que se
cortan en H; se prolonga AD hasta que
corte a la circunferencia en M. Demostrar
que HD=DM.
33. Por un extremo A de un diámetro AB de
una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por
el extremo B se traza la tangente a la
circunferencia. Se traza la bisectriz del
CAB que corta a la cuerda BC en F, a la
circunferencia en H y a la tangente en D.
Demostrar que BD=BF y FH=HD.
34. Sobre una circunferencia se toman
consecutivos y en un mismo sentido de
rotación los puntos A, B, C, D y E, tales
que los arcos 
AB , 
BC , 
CD y 
DE midan
respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°.
Encontrar:
a. La medida del arco 
EA .
b. El valor de los ángulos ABC, BCD,
CDE, DEA, EAB.
c. El valor de los ángulos que se forman
en el punto H, intersección de las
cuerdas EB y AD .
d. El valor de los ángulos que se forman
en el punto I, intersección de las
cuerdas ED y BC .
e. El valor de los ángulos que se forman
en el punto B, al trazar la recta
tangente FBT .
35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero
inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace
con los lados AB y AD ángulos de 45° y
con la diagonal BD un ángulo de 70°.
36. Construir un triángulo equilátero
conociendo el radio del círculo:
a. Inscrito.
b. Circunscrito.
37. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en
una circunferencia, y el cuadrilátero
circunscrito ABCD, cuyos lados AB , BC ,
CD y DA, son tangentes a la
circunferencia respectivamente en N, P, R
y M.
a. Demostrar que AD+BC=DC+AB.
b. Si los arcos 
MN , 
MR miden 110° y
120° y el MIN=95°, siendo I el
punto donde concurren las diagonales
del MNPR, calcular los ángulos de los
dos cuadriláteros.

TALLER N°7- CIRCUNFERENCIA
01 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que
AB=BD, AE pasa por el centro de la circunferencia
02 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que EG=GB
y CD=CB
03 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que CE=EF
y BC//GF y BF diámetro

04
Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que
BD=GD con BE diámetro
05 Se tiene una circunferencia se traza el diámetro , se traza la cuerda
la cual se prolonga hasta cortar en el punto tal que y
– – . Demostrar que .
06 Considerar un cuarto de circunferencia . Desde los puntos y se trazan
las cuerdas iguales ; estas cuerdas se cortan en . Demostrar que el
segmento es perpendicular a el segmento
07 Por el punto de contacto de dos circunferencias tangentes exteriores se
trazan las cuerdas y a cada una de las circunferencias, siendo
(colineales). Demostrar que las tangentes en y en son paralelas.
SUGERENCIA: Trace la recta ⃗ tangente a las circunferencias en el punto de
contacto
08 En una semicircunferencia de diámetro se traza una cuerda tal que el
y se traza la tangente ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Calcular el valor del y el del
.
09 En una se tiene un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD. De A se traza
la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF
perpendicular a CD; AE y BF prolongados intersectan a CD o a sus prolongaciones
en G y H. Demostrar que EG=BH y HC=DG.
10 Dos circunferencias y son secantes en y ; por se trazan
los diámetros y . Demostrar que , y están alineados.
11 Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en

y y a la mayor en y . Demostrar que = y = .
12 En una se trazan por los extremos de un diámetro dos cuerdas paralelas
y . Probar que .
13 En una un diámetro y una cuerda forman un ángulo de 30°; se traza
la tangente en el punto que corta al diámetro prolongado en el punto .
Demostrar que el es isósceles.
14
En una se traza una cuerda AB sobre la cual se toma un punto D que se une
con un punto cualquiera C de la circunferencia. Se trazan las mediatrices de AD y
CD que se interceptan en M. demostrar que OM es perpendicular a AC.
15 En una se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se
prolonga a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales
; se trazan y que cortan a la circunferencia en y . Probar que:
16 En un inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos
y que se cortan en y cortan a la circunferencia en y . Demostrar
es isósceles.
17 Dadas
, ,
( , ) y ( , )
C O r C O r tangentes exteriores en A , se traza DB tangente
común a ellas con D sobre la ( , )
C O r y B sobre la
, ,
( , )
C O r . Demostrar
que . (Sugerencia: trace una tangente común por ).
18 Demostrar que el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero es
un tercio de la altura del triángulo.
19 Probar que la suma de las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo es
igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia
inscrita.
20 Se tienen dos circunferencias tangentes interiores en A, demostrar que si se
traza en la mayor una cuerda BC tangente a la menor en D, la recta AD es
bisectriz del .
AC BD AD BC

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