Este documento presenta tres ejercicios sobre funciones continuas y discontinuas entre espacios métricos. El primer ejercicio prueba propiedades equivalentes de continuidad de funciones. El segundo ejercicio determina si ciertas funciones específicas son continuas o no. El tercer ejercicio analiza la continuidad de tres funciones definidas en el intervalo [0,1].

1. Pr´actico de Word
Rocio Fern´andez
Ejercicio 1. Sea (X, d) e (Y, d ) espacios m´etricos y sea f : X → Y . Probar
que:
i) f es continua en x0 ∈ X si y solo si para toda sucesi´on (xn)n∈N ⊂ X tal
que xn → xo ,la sucesi´on (f(xn))n∈N ⊂ Y converge a f(xo)
ii) Son equivalentes:
1. f es continua
2. para todo G ⊂ Y abierto, f−1
(G) es abierto en X
3. para todo F ⊂ Y cerrado, f−1
(F) es cerrado en X
Ejercicio 2. Decidir cu´ales de las siguientes funciones son continuas:
i) f : (R2
, d) → (R, ||), f(x, y) = x2
+ y2
, donde d representa la m´etrica
eucl´ıdea.
ii) idR2 : (R2
, δ) → (R2
, δ∝), la funci´on identidad,donde δ representa la m´etri-
ca discreta.
iii) idR2 : (R2
, δ∝) → (R2
, δ), la funci´on identidad, donde δ representa la
m´etrica discreta.
iv) i : (E, d) → (X, d), la inclusi´on donde E ⊂ X
Ejercicio 3. Sean f, g, h : [0, 1] → R definidas por
f(x) =
0 si x /∈ Q
1 si x ∈ Q
g(x) = x.f(x);
h(x) =



0 si x /∈ Q
1 n si x = m ncon(m : n) = 1
1 si x = 0
Probar que:
i) f es discontinua en todo punto.
ii) g solo es continua en x = 0
iii) h es continua en [0, 1] − Q
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