El documento explica el proceso de derivación implícita, donde una función está definida implícitamente por una ecuación en lugar de explícitamente. Se presentan tres ejemplos de derivar funciones implícitamente utilizando la regla de la cadena y resolviendo la ecuación resultante para obtener la derivada.

1. Derivación implícita
Si f = {(x,y) │y= 5x²-8x+3},
Entoncesla ecuación:y=5x²-8x+3 define explícitamentelafunciónf.sinembargo,notodaslas
funcionesestándefinidasexplícitamente.Porejemplosi tenemoslaecuación
X⁵-6x=4y⁶+y³-y (I)
no podemosresolverexplícitamenteparayen términosde x;laecuaciónI se cumple,estoes,de
modoque la ecuación:
X⁵3[f(x)]⁶+[f(x)]³-f(x)
es ciertapara todoslosvaloresde x enel dominiode f.eneste casola funciónf estádefinida
implícitamente porlaecuacióndada.
Suponiendoque laecuación(I) definaaypor lo menoscomouna funcióndiferenciable de x.
podemosencontrarladerivadade ycon respectoa x por el procesollamadodiferenciación
implícita.La ecuación(i) esuncaso especial que implicaaX y a Y puestoque puede expresarsede
modoque todoslos términosenx esténde otrolado.Este sirve comoel primerejemplopara
ilustrarel procesode diferenciaciónimplícita.
El primermiembrode (i) esunafunciónde X,y el segundo,unafunciónde y.seaf lafunción
definidaporel primermiembrode (i) yg, lafuncióndefinidaporel segundomiembro. Así:
F(X)=X⁵-6X Y G(X)= 4y⁶+y³-y
Donde y esuna funciónde x digamosy=f(x). Portanto(i) puede escribirse como:
F(x)=g (f(x))
Esta ecuaciónse cumple para todoslosvaloresde x en el dominiode f paralos que existag(f(x))
entonces,paratodoslosvaloresde x para cuales f sea diferenciable,tenemos:
DX(X⁵-6X)=Dx (4y⁶+y³-y)
La derivada en el primermiembrose encuentragráficamente,ytenemos:
Dx(x⁵-6x)=5x⁴
Encontramosla derivadade segundomiembrode laecuación(II) porlareglade lacadena
dándonos:dx (4y⁶+y³-y)=24y⁵
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+3y²
𝑑𝑦
𝑑𝑥
-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(IV)
Al sustituirlosvalores(III) y(IV) en(II) tenemos:
5x⁴-6 = (24y⁵+3y²-1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5𝑥4−6
24𝑦5+3𝑦²−1

2. Ejemplos
Diferenciarimplícitamente
3x⁴y²-7xy³=4-8y
Derivocada unode lostérminos:
3(x⁴y²)¹ - 7(xy³)¹ = (4)¹ - 8(y)¹
3[(x⁴)¹ y²+x⁴ (y²)¹] -7 [(x) ¹y³+x (y³) ¹] = (4)¹ -8(y)¹
3[4x³y²+2x⁴yy¹] - 7[y³+3xy²y¹] = -8y¹
Aplico propiedad distributiva
12x³y²+6x⁴yy¹-7y³-21xy²y¹=-8y¹
Aplicotérminossemejantes
6x⁴yy¹-21xy²y¹+8y¹=7y³-12x³y²
Saco factor comúny¹
y¹ (6x⁴y-21xy²+8) =7y³-12x³y²
Despejoy¹
𝑦¹ =
7y³−12x³y²
6x4y−21xy²+8
2) 4x²-9y²=1
Derivocada unode lostérminos
4(x²)¹ -9(y²)¹=(1)¹
8x-18yy¹= 0
Despejo y¹
18yy¹=8x
y¹=
4𝑥
9𝑦
3) y= cos (x-y)
Derivocada unode lostérminosyaplicolareglade la cadena:
(y¹) [Cos(x-y)]¹ (x-y¹)

3. Y¹- sen(x-y) (x-y¹)
Aplicopropiedaddistributiva
y¹= x sen8x-y)- y¹ sen8x-y)
Agrupotérminossemejantes
y¹+y¹ sen(x-y)=x sen(x-y)
Saco factor comúny¹
y¹ (1+sen(x-y)] =x sen(x-y)
Despejoy¹
y¹=
𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥−𝑦)
1+𝑠𝑒𝑛 (𝑥−𝑦)