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DEFINICIONES

1.- Límite de una sucesión: Se dice que una sucesión { an } tiende a un límite L
se escribe n → ∞ an = L , si la diferencia entre an y L en valor absoluto es tan
           lim
pequeña como se desee cuando n es muy grande. Simbólicamente:
lim an = L si an − L < ε donde ε es tan pequeña como queramos cuando n es y
n →∞

grande.

2.- Límite de una función:
                                                    Una función y = f(x) tiende a un límite b
  Y=f(x)                                            cuando x tiende a a .
                                                    lim f ( x ) = b si para cada ε > 0 existe un δ
                                                    x→a

                                                    >0 tal que f ( x ) − b < ε cuando
    y    b
                                                    0< x−a <δ .             δ ∈R

                                           x
                                 a
                                 x

3.- Propiedades de límite de funciones reales:
a) Unicidad del límite.
Si lim f ( x ) = L ⇒ L es único
    x→a



b) Si lim f ( x ) = L y lim g ( x ) = K Entonces:
      x→a               x→a



1) lim[ f ( x ) + g ( x ) ] = L + K
   x→a
                                            2) lim[ f ( x ) * g ( x ) ] = L * K
                                               x→a



        f ( x) 
3) lim 
   x→a g ( x)
                 = L / K si g(x) ≠ 0 y K ≠ 0
               

4) lim[ c * f ( x ) ] = C * L donde c es una constante.
   x→a




5) lim     f ( x ) = lim f ( x ) si lim        f ( x)        Existe.
   x→a               x →a           x→ a



       sen
6) lim       =1
    x→0 x

4.- Propiedades de límite de sucesiones:
a) Si { an } es una sucesión convergente y n → ∞ an = L entonces L es único.
                                           lim
b) Si an es una sucesión convergente y converge a L


      bn es una sucesión convergente y converge a K .
Entonces:

{ an + bn }   converge a L + K ; { an * bn } converge a L * K ; { an / bn } converge a L / K
{ Can }       converge a CL si C es constante.

                  ∞ si a > 1                             n

c) Si lim { a } = 1 si a = 1
                 n                                1
      n →∞
                                         d) lim 1 +  = e
                  0 si [ a ] < 1
                                            n →∞
                                                  n
DEFINICIONES


-   Sucesión # reales
-   Sucesión Creciente
-   Sucesión Decreciente
-   Sucesión Acotada
-   Límite de una sucesión
-   Sucesión Convergente
-   Sucesión Divergente
-   Límite de una función
      Funciones reales de variable real   y= f(x,y)         x,y real    y = f(x)
-   Definición de límite
-   Infinito: límite a ∞
-   Formas indeterminadas



                                    Ejercicios:


       3x 2 + 7 x − 8                               4 x3 + 7 x 2 − 8
1. lim                                      2. lim
   x→∞   4x2 + 7                               x → ∞ 3x 2 − 2 x + 1




          x +1                                          x+2
3. lim                                      4. lim
    x→∞   x +1                                 x→∞      x+2

        x2 − 1                                      x 2 − 10 x + 21
5. lim                                      6. lim
   x →1 x − 1                                  x →3     x 3 − 27


       x2 − 4                                        x+2 −2
7. lim 3                                    8. lim
   x→2 x − 8                                   x→4 x − 4x + 4
                                                        2




              x+2 −3                                    x + 5 − 10
9. lim                                    10. lim
    x→7     x + 4 − 11                         x →5     x + 8 − 13


             x+3 − 6                                  x 2 − 10 x + 25
11. lim                                   12. lim
     x →3     x+6 −3                          x→5        x + 5 − 10
x 2 − 10 x + 16
13. lim
    x→2      x3 − 8

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Definiciones limite de unasucesión

  • 1. DEFINICIONES 1.- Límite de una sucesión: Se dice que una sucesión { an } tiende a un límite L se escribe n → ∞ an = L , si la diferencia entre an y L en valor absoluto es tan lim pequeña como se desee cuando n es muy grande. Simbólicamente: lim an = L si an − L < ε donde ε es tan pequeña como queramos cuando n es y n →∞ grande. 2.- Límite de una función: Una función y = f(x) tiende a un límite b Y=f(x) cuando x tiende a a . lim f ( x ) = b si para cada ε > 0 existe un δ x→a >0 tal que f ( x ) − b < ε cuando y b 0< x−a <δ . δ ∈R x a x 3.- Propiedades de límite de funciones reales: a) Unicidad del límite. Si lim f ( x ) = L ⇒ L es único x→a b) Si lim f ( x ) = L y lim g ( x ) = K Entonces: x→a x→a 1) lim[ f ( x ) + g ( x ) ] = L + K x→a 2) lim[ f ( x ) * g ( x ) ] = L * K x→a  f ( x)  3) lim  x→a g ( x)  = L / K si g(x) ≠ 0 y K ≠ 0   4) lim[ c * f ( x ) ] = C * L donde c es una constante. x→a 5) lim f ( x ) = lim f ( x ) si lim f ( x) Existe. x→a x →a x→ a sen 6) lim =1 x→0 x 4.- Propiedades de límite de sucesiones: a) Si { an } es una sucesión convergente y n → ∞ an = L entonces L es único. lim
  • 2. b) Si an es una sucesión convergente y converge a L bn es una sucesión convergente y converge a K . Entonces: { an + bn } converge a L + K ; { an * bn } converge a L * K ; { an / bn } converge a L / K { Can } converge a CL si C es constante. ∞ si a > 1 n c) Si lim { a } = 1 si a = 1 n  1 n →∞ d) lim 1 +  = e 0 si [ a ] < 1 n →∞  n
  • 3. DEFINICIONES - Sucesión # reales - Sucesión Creciente - Sucesión Decreciente - Sucesión Acotada - Límite de una sucesión - Sucesión Convergente - Sucesión Divergente - Límite de una función Funciones reales de variable real y= f(x,y) x,y real y = f(x) - Definición de límite - Infinito: límite a ∞ - Formas indeterminadas Ejercicios: 3x 2 + 7 x − 8 4 x3 + 7 x 2 − 8 1. lim 2. lim x→∞ 4x2 + 7 x → ∞ 3x 2 − 2 x + 1 x +1 x+2 3. lim 4. lim x→∞ x +1 x→∞ x+2 x2 − 1 x 2 − 10 x + 21 5. lim 6. lim x →1 x − 1 x →3 x 3 − 27 x2 − 4 x+2 −2 7. lim 3 8. lim x→2 x − 8 x→4 x − 4x + 4 2 x+2 −3 x + 5 − 10 9. lim 10. lim x→7 x + 4 − 11 x →5 x + 8 − 13 x+3 − 6 x 2 − 10 x + 25 11. lim 12. lim x →3 x+6 −3 x→5 x + 5 − 10
  • 4. x 2 − 10 x + 16 13. lim x→2 x3 − 8