Teoria de máquinas y mecanismos

1. IV. Análisis de velocidad
Objetivos:
1. Definir que es velocidad lineal, rotacional, y relativa.
2. Usar métodos gráficos y analíticos para determinar la
velocidad de algún punto en un eslabón de un determinado
mecanismo.
3. Comprender como se construye la curva de velocidad a partir
de la curva de desplazamiento del ciclo completo de un
mecanismo.
PPT elaborado por Arturo
Arosemena
1
1. Introducción.
El análisis de velocidad es importante ya que asocia el
movimiento de un punto sobre un mecanismo con el tiempo.
2. Velocidad.
Como se comentó durante la clase anterior, la posición de un
determinado punto en un plano puede ser expresada por
medio de un vector 𝒓𝒊(𝒕) de la forma:
𝒓𝒊(𝒕) = )
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
La velocidad no es más que la derivada con respecto al
tiempo del vector posición:
𝑑 𝒓𝒊
𝑑𝑡
= 𝒓𝒊 = )
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
+
)
𝑟𝑖(𝑡 − sin )
𝜃𝑖(𝑡 , cos )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
𝜃𝑖(𝑡)
Aquí como se puede observar el vector velocidad
involucra dos términos.
El vector de velocidad lineal 𝑽𝒕 representa el
primero de ellos y es aquel que tiene la misma
dirección que el vector posición original:
𝑽𝒕 = )
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
El vector de velocidad rotacional o angular 𝑽𝒓, en
tanto, representa el segundo término y presenta
una dirección perpendicular al vector posición
original ( − sin 𝜃𝑖(𝑡) , cos 𝜃𝑖(𝑡) 𝑇
=
𝑽𝒓 = )
𝑟𝑖(𝑡 − sin )
𝜃𝑖(𝑡 , cos )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
𝜃𝑖(𝑡
Aquí como se puede ver que la magnitud del
vector de velocidad rotacional 𝑟𝑖(𝑡) 𝜃𝑖(𝑡) es
proporcional a la velocidad angular 𝜔𝑖 𝑡 =

2. IV. Análisis de velocidad
2
Velocidad relativa
2. Velocidad.
Recuerde las unidades en las cuales típicamente se
presenta la velocidad:
𝑆𝐼 →
m
s
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑙é𝑠 →
ft
s
En tanto que la velocidad angular 𝜔 𝑡 suele
presentar unidades de grados o radianes por unidad
de tiempo. Ocasionalmente también se puede
presentar en número de revoluciones por unidad de
tiempo.
1 rev = 2π rad
El movimiento relativo es aquel que consiste en la
diferencia de movimiento entre dos puntos.
La velocidad relativa es aquella asociada a dicho
movimiento relativo.
En este ejemplo la
velocidad relativa del
punto B con respecto al
punto A, sería aquella
velocidad que presenta el
punto B visto desde el
punto A.
𝑽𝑩 𝑨 = 𝑽𝑩 −> 𝑽𝑨

3. IV. Análisis de velocidad
3
3. Se determinan las incógnitas gráficamente a partir
del polígono resultante.
3. Análisis gráfico de velocidad.
Método de velocidades relativas
Recuerde que aun cuando emplee métodos gráficos
solo puede tener dos incógnitas.
Aquí se puede emplear puntualmente el siguiente
procedimiento:
1. Se dibujan los vectores de velocidad cuya
magnitud y dirección es conocida.
2. Se dibujan los vectores de velocidad relativa.
Tenga en cuenta que un vector de velocidad relativa
es perpendicular a la línea que une los dos puntos
involucrados en el movimiento relativo.

4. IV. Análisis de velocidad
4
La localización de los centros instantáneos en
primera instancia se logra a través de las siguientes
reglas:
3. Análisis gráfico de velocidad.
Método del centro instantáneo de rotación
El centro instantáneo de rotación es aquel punto en
torno al cual un eslabón, con independencia de la
complejidad de su movimiento, instantáneamente
aparenta estar en rotación pura.
Producto de que cada eslabón tiene un centro
instantáneo con cada uno de los otros eslabones, un
mecanismo en particular tendrá varios centros
instantáneos.
El número total de centros instantáneos se relaciona
con el número 𝑛 de eslabones de la siguiente manera:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑜𝑠 =
𝑛 𝑛 − 1
2
-Cuando dos eslabones están conectados por una
junta rotatoria, el centro instantáneo que relaciona a
esos dos eslabone está en la junta.
-El centro instantáneo de dos eslabones en contacto
rodante sin deslizamiento está localizado en el punto
de contacto.

5. IV. Análisis de velocidad
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3. Análisis gráfico de velocidad.
Método del centro instantáneo de rotación
-El centro instantáneo de dos eslabones en contacto
por medio de una junta de deslizamiento está en el
infinito, en una dirección perpendicular a la del
deslizamiento. Recuerde que un movimiento
deslizante puede ser visualizado como un
movimiento rodante en donde el radio desde el punto
de pivote es infinitamente largo.
-El centro instantáneo de dos eslabones que presentan
un movimiento deslizante general debe encontrarse a
lo largo de la línea normal a la dirección de contacto
deslizante.
En caso tal de que las reglas anteriores no le hayan
permitido encontrar todos los centros instantáneos
debe usar el teorema de Kennedy:
“Los tres centros instantáneos correspondientes con
tres cuerpos (eslabones) todos se encuentran sobre la
misma recta”. Es decir los centros instantáneos son
colineales.

6. IV. Análisis de velocidad
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3. Análisis gráfico de velocidad.
Método del centro instantáneo de rotación
Considere el siguiente ejemplo donde se dibuja el
diagrama de centros instantáneos y se encuentran
dichos centros.
Ahora bien, el análisis gráfico del método de centros
instantáneos se basa en tres principios:
I. La magnitud del vector velocidad rotacional de un
cuerpo rígido es proporcional a su velocidad angular
y a la distancia desde el punto pivote hasta un
determinado punto de interés en ese cuerpo.

7. IV. Análisis de velocidad
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3. Análisis gráfico de velocidad.
Método del centro instantáneo de rotación
II. El centro instantáneo que es común para dos
eslabones puede ser considerado se encuentra sobre
cualquier de los dos eslabones.
III. La velocidad absoluta de un punto, que sirve
como centro instantáneo de rotación, es siempre la
misma.
El método general en sí consiste en seguir los
siguientes pasos:
-Identificar el eslabón con la velocidad conocida, el
eslabón que contiene el punto cuya velocidad es
deseada, y el eslabón que constituye el marco de
referencia.
-Localizar el centro instantáneo correspondiente al
eslabón de velocidad conocida y al marco.
-Localizar el centro instantáneo correspondiente al
eslabón de velocidad conocida y al eslabón de
velocidad deseada.
-Determinar la velocidad del centro instantáneo
correspondiente al eslabón de velocidad conocida y al
eslabón de velocidad deseada. Esto último se hace al
escalar la velocidad conocida.
-Localizar el centro instantáneo correspondiente al
eslabón que contiene el punto cuya velocidad es
deseada y al marco de referencia.
-Determinar la velocidad deseada. Esto último se
hace al escalar la velocidad del centro instantáneo
recientemente determinada.
Para poder escalar las velocidades se deben definir
dos líneas.
La línea de centros (𝐿𝐶) es una línea que se dibuja
desde el punto pivote del eslabón hasta el punto
donde inicia el vector conocido.
La línea de proporción (𝐿𝑃). Es una línea que se
dibuja desde el punto pivote hasta el punto donde
finaliza el vector conocido.

8. IV. Análisis de velocidad
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3. Análisis gráfico de velocidad.
Método del centro instantáneo de rotación
Para facilitar la comprensión del método considere el
siguiente ejemplo, en donde se conoce la magnitud
del vector velocidad rotacional del eslabón 2 en el
punto correspondiente a la junta B (punto que
también corresponde al centro instantáneo (23)).

9. IV. Análisis de velocidad
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4. Análisis analítico de velocidad.
Método de triangulo empleando el concepto de
velocidad relativas
Al igual que en el análisis de posición, una vez se han
dibujado los polígonos correspondientes a los
vectores de las velocidades absolutas y relativas se
puede emplear el método del triángulo para dar
solución al problema, siempre y cuando solo se
tengan dos incógnitas. Vea ejemplos 6.9 y 6.10 del
libro de texto.
Método de triangulo empleando el concepto del
centro instantáneo de rotación
Los centros instantáneos pueden ser determinados a
través de la construcción de polígonos constituidos de
triángulos rectos y oblicuos. El análisis de velocidad
respectivo también puede llevarse a cavo empleando
el método de triángulos. Para más detalles vea el
ejemplo 6.16 de su libro de texto.
Método de las ecuaciones de laso cerrado
𝑖=1
𝑛
𝒓𝒊 = 0
𝑑
𝑑𝑡
𝑖=1
𝑛
𝒓𝒊 =
𝑖=1
𝑛
𝒓𝒊 = 0
Por lo tanto:
𝑖=1
𝑛
)
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
Donde 𝑛 es el número total de vectores.
a) Primer caso: se desconoce la magnitud del vector
de velocidad lineal 𝑟𝑗(𝑡) y la velocidad angular
𝜔𝑗 𝑡 correspondientes al vector posición 𝑟𝑗(𝑡).

10. IV. Análisis de velocidad
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4. Análisis analítico de velocidad.
Método de las ecuaciones de laso cerrado
𝑟𝑗(𝑡 cos𝜃𝑗(𝑡 , sin𝜃𝑗(𝑡
𝑇
+ 𝑟𝑗 𝑡 − sin 𝜃𝑗 𝑡 , cos 𝜃𝑗 𝑡
𝑇
𝜃𝑗 𝑡 =
−
𝑖=1,𝑖≠𝑗
𝑛
)
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
Sea:
𝒃 = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦
𝑇
=
−
𝑖=1,𝑖≠𝑗
𝑛
)
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
𝑟𝑗(𝑡 cos𝜃𝑗(𝑡 , sin𝜃𝑗(𝑡
𝑇
+ 𝑟𝑗 𝑡 − sin 𝜃𝑗 𝑡 , cos 𝜃𝑗 𝑡
𝑇
𝜃𝑗 𝑡 = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦
𝑇
Sí se multiplica la expresión anterior por un vector
unitario perpendicular al vector de velocidad lineal,
−sin 𝜃𝑗(𝑡) , cos 𝜃𝑗(𝑡)
𝑇
, se tendrá que:
𝑟𝑗 𝑡 𝜃𝑗 𝑡 = −𝑏𝑥 sin 𝜃𝑗 𝑡 + 𝑏𝑦 cos𝜃𝑗(𝑡
𝜃𝑗 𝑡 = −
𝑏𝑥 sin 𝜃𝑗 𝑡 + 𝑏𝑦 cos𝜃𝑗(𝑡
𝑟𝑗 𝑡
Donde 𝑟𝑗 𝑡 , 𝜃𝑗 fueron encontrados durante el
análisis de posición.
De forma similar, si se multiplicará por un vector
unitario perpendicular al vector de velocidad angular,
cos 𝜃𝑗(𝑡) , sin 𝜃𝑗(𝑡)
𝑇
, se tendrá que:
𝑟𝑗(𝑡 = 𝑏𝑥 cos 𝜃𝑗 𝑡 + 𝑏𝑦 sin𝜃𝑗(𝑡
b) Segundo caso: se desconoce la magnitud del vector
de velocidad lineal 𝑟𝑗(𝑡) correspondiente al vector
posición 𝑟𝑗(𝑡) y la velocidad angular 𝜔𝑘 𝑡
correspondiente al vector posición 𝑟𝑘(𝑡).

11. IV. Análisis de velocidad
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4. Análisis analítico de velocidad.
Método de las ecuaciones de laso cerrado
𝑟𝑗(𝑡 cos𝜃𝑗(𝑡 , sin𝜃𝑗(𝑡
𝑇
+
𝑟𝑗 𝑡 − sin 𝜃𝑗 𝑡 , cos 𝜃𝑗 𝑡
𝑇
𝜃𝑗 𝑡 +
)
𝑟𝑘(𝑡 cos )
𝜃𝑘(𝑡 , sin )
𝜃𝑘(𝑡 𝑇
+
𝑟𝑘 𝑡 − sin 𝜃𝑘 𝑡 , cos 𝜃𝑘 𝑡 𝑇
𝜃𝑘 𝑡 =
−
𝑖=1,𝑖≠𝑗,𝑖≠𝑘,𝑗≠𝑘
𝑛
)
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
Sea:
𝒃 = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦
𝑇
=
−
𝑖=1,𝑖≠𝑗,𝑖≠𝑘,𝑗≠𝑘
𝑛
)
𝑟𝑖(𝑡 cos )
𝜃𝑖(𝑡 , sin )
𝜃𝑖(𝑡 𝑇
𝑟
𝑗(𝑡 cos𝜃𝑗(𝑡 , sin𝜃𝑗(𝑡
𝑇
+ 𝑟𝑗 𝑡 − sin 𝜃𝑗 𝑡 , cos 𝜃𝑗 𝑡
𝑇
𝜃𝑗 𝑡
+ )
𝑟𝑘(𝑡 cos )
𝜃𝑘(𝑡 , sin )
𝜃𝑘(𝑡 𝑇
+ 𝑟𝑘 𝑡 − sin 𝜃𝑘 𝑡 , cos 𝜃𝑘 𝑡 𝑇
𝜃𝑘 𝑡 = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦
𝑇
Sí la expresión anterior se multiplica por un vector
unitario perpendicular al vector de velocidad lineal
𝑟𝑗(𝑡) cos 𝜃𝑗(𝑡) , sin 𝜃𝑗(𝑡)
𝑇
,
−sin 𝜃𝑗(𝑡) , cos 𝜃𝑗(𝑡)
𝑇
, se tendrá:
𝑟𝑗 𝑡 𝜃𝑗 𝑡
+ )
𝑟𝑘(𝑡 −sin𝜃𝑗(𝑡 cos )
𝜃𝑘(𝑡 + cos𝜃𝑗(𝑡 sin )
𝜃𝑘(𝑡
+ 𝑟𝑘 𝑡 sin𝜃𝑗(𝑡 sin 𝜃𝑘 𝑡
𝑟𝑗 𝑡 𝜃𝑗 𝑡 + )
𝑟𝑘(𝑡 sin 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗
+ 𝑟𝑘 𝑡 cos 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗 𝜃𝑘 𝑡 =
−𝑏𝑥 sin 𝜃𝑗 𝑡 + 𝑏𝑦 cos𝜃𝑗(𝑡

12. IV. Análisis de velocidad
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4. Análisis analítico de velocidad.
Método de las ecuaciones de laso cerrado
𝜃𝑘 𝑡 =
−
𝑏𝑥 sin 𝜃𝑗 𝑡 + 𝑏𝑦 cos𝜃𝑗(𝑡 + 𝑟𝑗 𝑡 𝜃𝑗 𝑡 + )
𝑟𝑘(𝑡 sin 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗
𝑟𝑘 𝑡 cos 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗
Similarmente si se multiplica ahora por un vector
unitario perpendicular al vector de velocidad angular
𝑟𝑘 𝑡 − sin 𝜃𝑘 𝑡 , cos 𝜃𝑘 𝑡 𝑇
𝜃𝑘 𝑡 ,
cos 𝜃𝑘(𝑡) , sin 𝜃𝑘(𝑡) 𝑇
, se tendrá:
𝑟𝑗(𝑡 cos𝜃𝑗(𝑡 cos )
𝜃𝑘(𝑡 + sin𝜃𝑗(𝑡 sin )
𝜃𝑘(𝑡
+ 𝑟𝑗 𝑡 − sin 𝜃𝑗 𝑡 cos 𝜃𝑘 𝑡
𝑟𝑗(𝑡 cos 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗 + 𝑟𝑗 𝑡 sin 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗 𝜃𝑗 𝑡 + )
𝑟𝑘(𝑡
= 𝑏𝑥 cos )
𝜃𝑘(𝑡 + 𝑏𝑦 sin )
𝜃𝑘(𝑡
𝑟𝑗(𝑡 =
𝑏𝑥 cos )
𝜃𝑘(𝑡 + 𝑏𝑦 sin )
𝜃𝑘(𝑡 − 𝑟𝑗 𝑡 sin 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗 𝜃𝑗 𝑡 − )
𝑟𝑘(𝑡
cos 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗
c) Tercer caso: Se desconoce la magnitud de dos
vectores de velocidad lineal, 𝑟𝑗(𝑡) , 𝑟𝑘(𝑡) .
Aquí se seguirá un procedimiento similar al del
segundo caso.
𝑟
𝑗(𝑡 cos𝜃𝑗(𝑡 , sin𝜃𝑗(𝑡
𝑇
+ 𝑟𝑗 𝑡 − sin 𝜃𝑗 𝑡 , cos 𝜃𝑗 𝑡
𝑇
𝜃𝑗 𝑡
+ )
𝑟𝑘(𝑡 cos )
𝜃𝑘(𝑡 , sin )
𝜃𝑘(𝑡 𝑇
+ 𝑟𝑘 𝑡 − sin 𝜃𝑘 𝑡 , cos 𝜃𝑘 𝑡 𝑇
𝜃𝑘 𝑡 = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦
𝑇
Sí la expresión anterior se multiplica por un vector
unitario perpendicular al vector de velocidad lineal
𝑟𝑗(𝑡) cos 𝜃𝑗(𝑡) , sin 𝜃𝑗(𝑡)
𝑇
,
−sin 𝜃𝑗(𝑡) , cos 𝜃𝑗(𝑡)
𝑇
, se tendrá:

13. IV. Análisis de velocidad
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4. Análisis analítico de velocidad.
Método de las ecuaciones de laso cerrado
)
𝑟𝑘(𝑡 =
−𝑏𝑥 sin 𝜃𝑗 𝑡 + 𝑏𝑦 cos 𝜃𝑗 𝑡 − 𝑟𝑗 𝑡 𝜃𝑗 𝑡 − 𝑟𝑘 𝑡 cos 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗 𝜃𝑘 𝑡
sin 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗
Sí en tanto se multiplica por un vector unitario
perpendicular al vector
𝑟𝑘(𝑡) cos 𝜃𝑘(𝑡) , sin 𝜃𝑘(𝑡) 𝑇
,
− sin 𝜃𝑘(𝑡) , cos 𝜃𝑘(𝑡) 𝑇
, se tendrá:
𝑟𝑗(𝑡 =
−𝑏𝑥 sin 𝜃𝑘 𝑡 + 𝑏𝑦 cos 𝜃𝑘 𝑡 − 𝑟𝑘 𝑡 𝜃𝑘 𝑡 − 𝑟𝑗 𝑡 cos 𝜃𝑗 − 𝜃𝑘 𝜃𝑗 𝑡
sin 𝜃𝑗 − 𝜃𝑘
d) Cuarto caso: se desconocen las velocidades
angulares de dos vectores, 𝜃𝑗 𝑡 , 𝜃𝑘 𝑡 .
Como ya se pudo ver, la ecuación de laso cerrado tras
ser derivada será igual a:
𝑟
𝑗(𝑡 cos𝜃𝑗(𝑡 , sin𝜃𝑗(𝑡
𝑇
+ 𝑟𝑗 𝑡 − sin 𝜃𝑗 𝑡 , cos 𝜃𝑗 𝑡
𝑇
𝜃𝑗 𝑡
+ )
𝑟𝑘(𝑡 cos )
𝜃𝑘(𝑡 , sin )
𝜃𝑘(𝑡 𝑇
+ 𝑟𝑘 𝑡 − sin 𝜃𝑘 𝑡 , cos 𝜃𝑘 𝑡 𝑇
𝜃𝑘 𝑡 = 𝑏𝑥, 𝑏𝑦
𝑇
Si esta expresión se multiplica por el vector unitario
cos 𝜃𝑘 𝑡 , sin 𝜃𝑘 𝑡 𝑇
se tendrá:

14. IV. Análisis de velocidad
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4. Análisis analítico de velocidad.
Método de las ecuaciones de laso cerrado
𝜃𝑗 𝑡 =
𝑏𝑥 cos )
𝜃𝑘(𝑡 + 𝑏𝑦 sin )
𝜃𝑘(𝑡 − 𝑟𝑘 𝑡 − 𝑟𝑗(𝑡 cos 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗
𝑟𝑗 𝑡 sin 𝜃𝑘 − 𝜃𝑗
Si en tanto se multiplica por el vector unitario
cos𝜃𝑗 𝑡 , sin 𝜃𝑗 𝑡
𝑇
se tendrá:
𝜃𝑘 𝑡 =
𝑏𝑥 cos𝜃𝑗(𝑡 + 𝑏𝑦 sin𝜃𝑗(𝑡 − 𝑟𝑗 𝑡 − )
𝑟𝑘(𝑡 cos 𝜃𝑗 − 𝜃𝑘
𝑟𝑘 𝑡 sin 𝜃𝑗 − 𝜃𝑘
e) Quinto caso: este caso es similar al segundo caso.
Para más detalles vea el material de apoyo adjunto a
la presentación.
5. Curvas de velocidad.
Similar al análisis de posición, en muchas situaciones
no solo interesa conocer la velocidad instantánea en
una determinada fase sino que también se desea
conocer las distintas velocidades que experimentan
los eslabones a lo largo del ciclo de movimiento.
Esto último constituye el fin de los diagramas de
velocidad.
En primer lugar ha de comentarse que un diagrama
de posición o desplazamiento de un eslabón en
función de la posición de otro puede llevarse a un
diagrama de la posición o desplazamiento de dicho
eslabón pero ahora en función del tiempo.
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
≅
∆𝜃
∆𝑡
, 𝒓 =
𝑑𝒓
𝑑𝑡
≅
∆𝒓
∆𝑡

15. IV. Análisis de velocidad
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5. Curvas de velocidad.
También se debe recordar que la gráfica de velocidad puede
construirse de forma aproximada a partir del gráfico de
posición, al considerar la pendiente en los diferentes puntos.