examen uft 2016

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
FACULTAD DE INGENIERÍA
I EVALUACION DE ANALISIS NUMERICO (20 PUNTOS)
Apellidos y Nombres: Jheickson Romario Noguera Torin Cédula de Identidad 22313717
1- Halla los errores absolutos y los errores relativos de cada una de las cantidades
presentadas respectos a sus cantidades aproximadas.
Para la realización de este ejercicio puedes completar la tabla que aparece abajo.
Valor exacto Valor aproximado Error absoluto Error relativo
1 1,1 1-1.1=0.1 . 1
1
= 0.1 ≈ 0.1
2 2,1 2-2.1=0.1 . 1
2
= 0.05 ≈ 0.05
3 3,2 3-3.2=0.2 . 2
3
= 0.066
≈ 0.07
4 4,1 4-4.1=0.1 . 1
4
= 0.025
≈ 0.03
5 5,2 5-5.2=0.2 . 2
5
= 0.04 ≈ 0.04
6 6,3 6-6.3=0.3 . 3
6
= 0.05 ≈ 0.05
7 7,2 7-7.2=0.2 . 2
7
= 0.02857
≈ 0.03
8 8,1 8-8.1=0.1 . 1
8
= 0.0125
≈ 0.01

2. 9 9,2 9-9.2=0.2 . 2
9
= 0.02222
≈ 0.02
10 10,3 10.-10.3=0.3 . 3
10
= 0.03 ≈ 0.03
Valor: 6 puntos
2. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de
comenzando con y hasta que .
Solución
Si despejamos la 𝑥 del término lineal, vemos que la ecuación equivale a
𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
1 iteracion
𝑥0 = 0.52
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥1 = 𝑔( 𝑥0) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.52 = 0.503119
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.503119 − 0.52
0.503119
× 100%| = 3.3%
2 iteracion
𝑥1 = 0.503119
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

3. 𝑥2 = 𝑔( 𝑥1) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.503119 = 0.517839
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.5178390 − 0.503119
0.517839
× 100%| = 2.84%
3 iteracion
𝑥2 = 0.517839
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥3 = 𝑔( 𝑥2) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.517839 = 0.504995
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.504995 − 0.5178390
0.504995
× 100%| = 2.54%
4 iteracion
𝑥3 = 0.504995
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥4 = 𝑔( 𝑥3) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.504995 = 0.516196
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.516196 − 0.504995
0.516196
× 100%| = 2.1%
5 iteracion
𝑥4 = 0.516196
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥5 = 𝑔( 𝑥4) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.516196 = 0.506424
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.506424 − 0.516196
0.506424
× 100%| = 1.9%

4. 6 iteracion
𝑥5 = 0.506424
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥6 = 𝑔( 𝑥5) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.506424 = 0.514946
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.514946 − 0.506424
0.514946
× 100%| = 1.6%
7 iteracion
𝑥7 = 0.514946
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥7 = 𝑔( 𝑥6) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.514946 = 0.507512
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.507512 − 0.514946
0.507512
× 100%| = 1.4%
8 iteracion
𝑥7 = 𝑔( 𝑥6) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.514946 = 0.507512
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥8 = 𝑔( 𝑥7) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.507512 = 0.513995
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.513995 − 0.507512
0.513995
× 100%| = 1.2%
9 iteracion
𝑥8 = 0.513995
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥9 = 𝑔( 𝑥8) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.513995 = 0.508340
Con un error aproximado de

5. | 𝜖 𝑟| = |
0.508340 − 0.513995
0.508340
× 100%| = 1.1%
10 iteracion
𝑥9 = 0.508340
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
𝑥10 = 𝑔( 𝑥9) = 1 − 𝑠𝑒𝑛 0.508340 = 0.513272
Con un error aproximado de
| 𝜖 𝑟| = |
0.513272 − 0.508340
0.513272
× 100%| = 0.9%
Ahora comoaca el error esde 0.9% paramoslas iteracionesparamosentoncesluegode 10
iteracionesobtenemosunabuenaaproximaciónde laraíz de la función,eneste caso
𝑥10 = 0.513272 con un error de 0.9%.
Esto lopodemosapreciarenun buenzoomde la graficade la funcióndada
Y haciendounzoom lobastante grande se puede apreciarhaciadonde se aproxima

6. 3. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de ,
comenzando con y hasta que .
Solución
En este caso, tenemos que
𝑓̇( 𝑥) = −sen 𝑥 − 1
De aquí tenemos que:
𝑥𝑖+1 = 𝑥 𝑖 −
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑖 − 𝑥 𝑖
−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑖 − 1
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 +
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑖 − 𝑥 𝑖
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑖
, 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≠ 0
Comenzamos con 𝑥0 = 1 y obtenemos la primera interracion:
𝑥1 = 𝑥0 +
𝑐𝑜𝑠𝑥0 − 𝑥0
𝑠𝑒𝑛𝑥0 + 1
𝑥1 = 1 +
𝑐𝑜𝑠1 − 1
𝑠𝑒𝑛1 + 1
= 0.750363
En este caso, el error aproximado es,

7. | 𝜖 𝑟| = |
0.750363 − 1
0750363
× 100%| = 33.2%
2 interacción
𝑥1 = 0.750363
𝑥2 = 0.750363 +
𝑐𝑜𝑠0.750363 − 0.750363
𝑠𝑒𝑛0.750363 + 1
= 0.739112
el error aproximado es,
| 𝜖 𝑟| = |
0.739112 − 0.750363
0.739112
× 100%| = 1.5%
3 interacción
𝑥2 = 0.739112
𝑥3 = 0.739112 +
𝑐𝑜𝑠0.739112 − 0.739112
𝑠0.739112 + 1
= 0.739085
el error aproximado es,
| 𝜖 𝑟| = |
0.739085 − 0.739112
0.739085
× 100%| = 0.0036%
4 interacción
𝑥3 = 0.739085
𝑥3 = 0.739085 +
𝑐𝑜𝑠0.739085 − 0.739085
𝑠𝑒𝑛0.739085 + 1
= 0.73908513
el error aproximado es,

8. | 𝜖 𝑟| = |
0.73908513 − 0.739085
0.73908513
× 100%| = 1𝑥10−5%
Veamosuntablade las4 iteracciones
Iteración Aproximación a la raiz Error aproximado
𝑥0 1
𝑥1 0.750363 3.3%
𝑥2 0.739112 1.5%
𝑥3 0.739085 2𝑥10−6%
𝑥4 0.73908513 1𝑥10−5%
Por lotanto la aproximaciónes0.73908513 con 4 iteracionesel cual lopodemosapreciarenlas
graficassisgueintes
En estagrafica estala funciónoriginal yconla gráfica de la derivada
En estasegundagraficase apreciala exactitud de lasiteraciones

9. Valor: 7 puntos/cada una (2 y 3)