1. 231
10.4 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico
En este tipo de ecuaciones el dominio está abierto en uno de los bordes Para aplicar el
método de diferencias finitas usaremos un ejemplo particular para posteriormente interpretar
los resultados obtenidos.
Ejemplo. Ecuación de la onda en una dimensión: u(x, t):
2 2
2
2 2
u u
c
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
Suponer que u es una función que depende de x, t en donde u representa el desplazamiento
vertical de la cuerda en función de la posición horizontal x, y el tiempo t, mientras que c es una
constante. L es la longitud de la cuerda
Suponer que los extremos de la cuerda están sujetos y que la longitud es L = 1
u = u(x, t), 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0
u(0, t) = 0, t ≥ 0
u(1, t) = 0, t ≥ 0
Inicialmente la cuerda es estirada desplazando su punto central una distancia de 0.25
u(x, 0) =
0.5x, 0 x 0.5
0.5(x 1), 0.5 x 1
− < ≤

− < <
Al soltar la cuerda desde la posición inicial, su velocidad inicial es cero
u(x,0)
0
t
∂
=
∂
10.4.1 Un esquema de diferencias finitas explícito
Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u
u(xi, tj) = ui, j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, ...
Elegimos las siguientes aproximaciones de diferencias finitas para las derivadas:
2
i,j i 1,j i,j i 1,j 2
2 2
u u 2u u
O( x)
x ( x)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
2
i,j i,j 1 i,j i,j 1 2
2 2
u u 2u u
O( t)
t ( t)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
i,j 1 i,j i,j 1
2
u 2u u
( t)
+ −− +
∆
+ O(∆x)
2
= c
2 i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
+ O(∆t)
2
Se obtiene la ecuación de diferencias:
i,j 1 i,j i,j 1
2
u 2u u
( t)
+ −− +
∆
= c
2 i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
Cuyo error de truncamiento es E = O(∆x)
2
+ O(∆t)
2
Esta ecuación se puede expresar de la siguiente forma:
i,j 1 i,j i,j 1u 2u u+ −− + =
2 2
2
c ( t)
( x)
∆
∆
( i 1,j i,j i 1,ju 2u u+ −− + )
Mediante un análisis se demuestra que si
2 2
2
c ( t)
( x)
∆
∆
= 1, entonces la solución calculada con el
método de diferencias finitas es estable.

2. 232
Para el ejemplo, suponer que c = 2, ∆x = 0.2, entonces de la condición anterior se tiene:
2 2
2
2 ( t)
(0.2)
∆
= 1 ⇒ ∆t = 0.1
Esta sustitución anterior permite además simplificar:
i,j 1 i,j 1u u+ −+ = i 1,j i 1,ju u+ −+
La ecuación incluye cuatro puntos dispuestos en un rombo.
La solución progresa en la dirección t por lo que despejamos el punto en el vértice superior.
i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, . . . (1)
Se puede notar observando el gráfico que para obtener cada nuevo punto de la solución se
requieren conocer dos niveles previos de la solución
Describimos el dominio de u mediante una malla con puntos en dos dimensiones en la cual el
eje horizontal representa la posición xi mientras que el eje vertical representa tiempo tj. En
esta malla se representan los datos en los bordes y los puntos interiores que deben ser
calculados
Siguiendo una estrategia usada anteriormente, expresamos el dato adicional
u(x,0)
0
t
∂
=
∂
mediante una fórmula de diferencias central:
i,0 i,1 i, 1u u u
0
t 2( t)
−∂ −
= =
∂ ∆
⇒ ui,-1 = ui,1 (2)
Esta ecuación incluye el punto ficticio ui,-1 Conviene entonces evaluar la ecuación (1) cuando
t = 0:
j = 0: i,1u = i 1,0 i 1,0 i, 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4
Sustituyendo en esta ecuación el resultado (2) se elimina el punto ficticio ui,-1
i,1u = i 1,0 i 1,0 i,1u u u+ −+ −
i,1u = i 1,0 i 1,0
1
(u u )
2
+ −+ , i = 1, 2, 3, 4 (3)
La ecuación (3) debe aplicarse únicamente cuando t = 0, para encontrar ui,j en el nivel j=1

3. 233
j = 0, i = 1: 1,1 2,0 0,0
1 1
u (u u ) ( 0.2 0) 0.1
2 2
= + = − + =−
i = 2: 2,1 3,0 1,0
1 1
u (u u ) ( 0.2 ( 0.1)) 0.15
2 2
= + = − + − =−
i = 3: 3,1 4,0 2,0
1 1
u (u u ) ( 0.1 ( 0.2)) 0.15
2 2
= + = − + − =−
i = 4: 4,1 5,0 3,0
1 1
u (u u ) (0 ( 0.2)) 0.1
2 2
= + = + − =−
Los valores calculados son colocados en la malla:
Ahora se tienen dos niveles con puntos conocidos. A partir de aquí se debe usar únicamente la
ecuación (1) como un esquema explícito para calcular directamente cada punto en los
siguientes niveles j, cada uno a una distancia ∆t = 0.1
i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, . . .
j = 1, i = 1: 1,2 2,1 0,1 1,0u u u u 0.15 0 ( 0.1) 0.05= + − =− + − − =−
i = 2: 2,2 3,1 1,1 2,0u u u u 0.15 ( 0.1) ( 0.2) 0.05= + − =− + − − − =−
i = 3: 3,2 4,1 2,1 3,0u u u u 0.1 ( 0.15) ( 0.2) 0.05= + − =− + − − − =−
i = 4: 4,2 5,1 3,1 4,0u u u u 0 ( 0.15) ( 0.1) 0.05= + − = + − − − =−
j = 2, i = 1: 1,3 2,2 0,2 1,1u u u u 0.05 0 ( 0.1) 0.05= + − =− + − − =
i = 2: 2,3 3,2 1,2 2,1u u u u 0.05 ( 0.05) ( 0.15) 0.05= + − =− + − − − =
i = 3: 3,3 4,2 2,2 3,1u u u u 0.05 ( 0.05) ( 0.15) 0.05= + − =− + − − − =
i = 4: 4,3 5,2 3,2 4,1u u u u 0 ( 0.05) ( 0.1) 0.05= + − = + − − − =
j = 3, i = 1: 1,4 2,3 0,3 1,2u u u u 0.05 0 ( 0.05) 0.1= + − = + − − =
i = 2: 2,4 3,3 1,3 2,2u u u u 0.05 0.05 ( 0.05) 0.15= + − = + − − =
i = 3: 3,4 4,3 2,3 3,2u u u u 0.05 0.05 ( 0.05) 0.15= + − = + − − =
i = 4: 4,4 5,3 3,3 4,2u u u u 0 0.05 ( 0.05) 0.1= + − = + − − =
etc.

4. 234
10.4.2 Instrumentación computacional
La siguiente instrumentación del método de diferencias finitas permite resolver problemas de
tipo similar al ejemplo anterior: extremos fijos, estiramiento central, velocidad inicial nula y
parámetro
2 2
2
c ( t)
( x)
∆
∆
= 1 cuya ecuación de diferencias es:
i,1u = i 1,0 i 1,0
1
(u u )
2
+ −+ , i = 1, 2, 3, . . . , m-1 (Para el primer nivel j = 1)
i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − i = 1, 2, 3, . . . , m-1 (Para los siguientes niveles j = 2, 3, 4, ...)
El esquema de cálculo utilizado es explícito. Cada punto es calculado directamente mediante
funciones que entregan la solución calculada y un programa que contiene los datos y muestra
gráficamente la solución. Se puede visualizar el movimiento de la cuerda incluyendo en el
programa los comandos pause y clf. En la ejecución presione alguna tecla para visualizar el
movimiento.
% Método de Diferencias Finitas explícito para una EDP Hiperbólica
% con parametro c^2 dt^2/dx^2 = 1
% Extremos fijos, estiramiento central y velocidad inicial cero
clf;
m=11; % Número de puntos en x
n=50; % Número de niveles en t
c=2; % dato especificado
dx=0.1;
dt=sqrt(dx^2/2^2); % incrementos
L=1; % longitud
clear x U0 U1 Uj;
U0(1)=0; % Extremos fijos
U0(m)=0;
x=0;
for i=2:m-1 % Posición inicial de la cuerda
x=x+dx;
if x<L/2;
U0(i)=-0.5*x;
else
U0(i)=0.5*(x-1);
end
end
x=0:dx:L; % Coordenadas para el grafico
plot(x,U0,'r'); % Distribución inicial
axis([0,1,-0.5,0.5]);
pause;
clf;
U1=EDPDIFH1(U0,m); % Calculo del primer nivel
plot(x,U1,'r');
axis([0,1,-0.5,0.5]);
pause;
clf;
for j=1:n
Uj=EDPDIFHJ(U0,U1,m); % Siguientes niveles
plot(x,Uj,'r');
axis([0,1,-0.5,0.5]);
pause;
clf;
U0=U1;
U1=Uj;
end

5. 235
function U1=EDPDIFH1(U0,m)
% Solución U(x,t) de una EDP hiperbolica con parametro igual a 1
% Cálculo del primer nivel de la solucion
U1(1)=U0(1);
for i=2:m-1
U1(i)=0.5*(U0(i-1)+U0(i+1));
end
U1(m)=U0(m);
function Uj=EDPDIFHJ(U0,U1,m)
% Solución U(x,t) de una EDP hiperbolica con parametro igual a 1
% Cálculo de los siguientes niveles de la solucion
Uj(1)=U1(1);
for i=2:m-1
Uj(i)=U1(i+1)+U1(i-1)-U0(i);
end
Uj(m)=U1(m);
Almacenar las funciones y el programa y ejecutarlo para visualizar la solución:
Gráfico de la cuerda en un instante de su desplazamiento
Cuerda en movimiento