SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 5
Descargar para leer sin conexión
231
10.4 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico
En este tipo de ecuaciones el dominio está abierto en uno de los bordes Para aplicar el
método de diferencias finitas usaremos un ejemplo particular para posteriormente interpretar
los resultados obtenidos.
Ejemplo. Ecuación de la onda en una dimensión: u(x, t):
2 2
2
2 2
u u
c
t x
∂ ∂
=
∂ ∂
Suponer que u es una función que depende de x, t en donde u representa el desplazamiento
vertical de la cuerda en función de la posición horizontal x, y el tiempo t, mientras que c es una
constante. L es la longitud de la cuerda
Suponer que los extremos de la cuerda están sujetos y que la longitud es L = 1
u = u(x, t), 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0
u(0, t) = 0, t ≥ 0
u(1, t) = 0, t ≥ 0
Inicialmente la cuerda es estirada desplazando su punto central una distancia de 0.25
u(x, 0) =
0.5x, 0 x 0.5
0.5(x 1), 0.5 x 1
− < ≤

− < <
Al soltar la cuerda desde la posición inicial, su velocidad inicial es cero
u(x,0)
0
t
∂
=
∂
10.4.1 Un esquema de diferencias finitas explícito
Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u
u(xi, tj) = ui, j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, ...
Elegimos las siguientes aproximaciones de diferencias finitas para las derivadas:
2
i,j i 1,j i,j i 1,j 2
2 2
u u 2u u
O( x)
x ( x)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
2
i,j i,j 1 i,j i,j 1 2
2 2
u u 2u u
O( t)
t ( t)
+ −∂ − +
= + ∆
∂ ∆
i,j 1 i,j i,j 1
2
u 2u u
( t)
+ −− +
∆
+ O(∆x)
2
= c
2 i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
+ O(∆t)
2
Se obtiene la ecuación de diferencias:
i,j 1 i,j i,j 1
2
u 2u u
( t)
+ −− +
∆
= c
2 i 1,j i,j i 1,j
2
u 2u u
( x)
+ −− +
∆
Cuyo error de truncamiento es E = O(∆x)
2
+ O(∆t)
2
Esta ecuación se puede expresar de la siguiente forma:
i,j 1 i,j i,j 1u 2u u+ −− + =
2 2
2
c ( t)
( x)
∆
∆
( i 1,j i,j i 1,ju 2u u+ −− + )
Mediante un análisis se demuestra que si
2 2
2
c ( t)
( x)
∆
∆
= 1, entonces la solución calculada con el
método de diferencias finitas es estable.
232
Para el ejemplo, suponer que c = 2, ∆x = 0.2, entonces de la condición anterior se tiene:
2 2
2
2 ( t)
(0.2)
∆
= 1 ⇒ ∆t = 0.1
Esta sustitución anterior permite además simplificar:
i,j 1 i,j 1u u+ −+ = i 1,j i 1,ju u+ −+
La ecuación incluye cuatro puntos dispuestos en un rombo.
La solución progresa en la dirección t por lo que despejamos el punto en el vértice superior.
i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, . . . (1)
Se puede notar observando el gráfico que para obtener cada nuevo punto de la solución se
requieren conocer dos niveles previos de la solución
Describimos el dominio de u mediante una malla con puntos en dos dimensiones en la cual el
eje horizontal representa la posición xi mientras que el eje vertical representa tiempo tj. En
esta malla se representan los datos en los bordes y los puntos interiores que deben ser
calculados
Siguiendo una estrategia usada anteriormente, expresamos el dato adicional
u(x,0)
0
t
∂
=
∂
mediante una fórmula de diferencias central:
i,0 i,1 i, 1u u u
0
t 2( t)
−∂ −
= =
∂ ∆
⇒ ui,-1 = ui,1 (2)
Esta ecuación incluye el punto ficticio ui,-1 Conviene entonces evaluar la ecuación (1) cuando
t = 0:
j = 0: i,1u = i 1,0 i 1,0 i, 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4
Sustituyendo en esta ecuación el resultado (2) se elimina el punto ficticio ui,-1
i,1u = i 1,0 i 1,0 i,1u u u+ −+ −
i,1u = i 1,0 i 1,0
1
(u u )
2
+ −+ , i = 1, 2, 3, 4 (3)
La ecuación (3) debe aplicarse únicamente cuando t = 0, para encontrar ui,j en el nivel j=1
233
j = 0, i = 1: 1,1 2,0 0,0
1 1
u (u u ) ( 0.2 0) 0.1
2 2
= + = − + =−
i = 2: 2,1 3,0 1,0
1 1
u (u u ) ( 0.2 ( 0.1)) 0.15
2 2
= + = − + − =−
i = 3: 3,1 4,0 2,0
1 1
u (u u ) ( 0.1 ( 0.2)) 0.15
2 2
= + = − + − =−
i = 4: 4,1 5,0 3,0
1 1
u (u u ) (0 ( 0.2)) 0.1
2 2
= + = + − =−
Los valores calculados son colocados en la malla:
Ahora se tienen dos niveles con puntos conocidos. A partir de aquí se debe usar únicamente la
ecuación (1) como un esquema explícito para calcular directamente cada punto en los
siguientes niveles j, cada uno a una distancia ∆t = 0.1
i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, . . .
j = 1, i = 1: 1,2 2,1 0,1 1,0u u u u 0.15 0 ( 0.1) 0.05= + − =− + − − =−
i = 2: 2,2 3,1 1,1 2,0u u u u 0.15 ( 0.1) ( 0.2) 0.05= + − =− + − − − =−
i = 3: 3,2 4,1 2,1 3,0u u u u 0.1 ( 0.15) ( 0.2) 0.05= + − =− + − − − =−
i = 4: 4,2 5,1 3,1 4,0u u u u 0 ( 0.15) ( 0.1) 0.05= + − = + − − − =−
j = 2, i = 1: 1,3 2,2 0,2 1,1u u u u 0.05 0 ( 0.1) 0.05= + − =− + − − =
i = 2: 2,3 3,2 1,2 2,1u u u u 0.05 ( 0.05) ( 0.15) 0.05= + − =− + − − − =
i = 3: 3,3 4,2 2,2 3,1u u u u 0.05 ( 0.05) ( 0.15) 0.05= + − =− + − − − =
i = 4: 4,3 5,2 3,2 4,1u u u u 0 ( 0.05) ( 0.1) 0.05= + − = + − − − =
j = 3, i = 1: 1,4 2,3 0,3 1,2u u u u 0.05 0 ( 0.05) 0.1= + − = + − − =
i = 2: 2,4 3,3 1,3 2,2u u u u 0.05 0.05 ( 0.05) 0.15= + − = + − − =
i = 3: 3,4 4,3 2,3 3,2u u u u 0.05 0.05 ( 0.05) 0.15= + − = + − − =
i = 4: 4,4 5,3 3,3 4,2u u u u 0 0.05 ( 0.05) 0.1= + − = + − − =
etc.
234
10.4.2 Instrumentación computacional
La siguiente instrumentación del método de diferencias finitas permite resolver problemas de
tipo similar al ejemplo anterior: extremos fijos, estiramiento central, velocidad inicial nula y
parámetro
2 2
2
c ( t)
( x)
∆
∆
= 1 cuya ecuación de diferencias es:
i,1u = i 1,0 i 1,0
1
(u u )
2
+ −+ , i = 1, 2, 3, . . . , m-1 (Para el primer nivel j = 1)
i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − i = 1, 2, 3, . . . , m-1 (Para los siguientes niveles j = 2, 3, 4, ...)
El esquema de cálculo utilizado es explícito. Cada punto es calculado directamente mediante
funciones que entregan la solución calculada y un programa que contiene los datos y muestra
gráficamente la solución. Se puede visualizar el movimiento de la cuerda incluyendo en el
programa los comandos pause y clf. En la ejecución presione alguna tecla para visualizar el
movimiento.
% Método de Diferencias Finitas explícito para una EDP Hiperbólica
% con parametro c^2 dt^2/dx^2 = 1
% Extremos fijos, estiramiento central y velocidad inicial cero
clf;
m=11; % Número de puntos en x
n=50; % Número de niveles en t
c=2; % dato especificado
dx=0.1;
dt=sqrt(dx^2/2^2); % incrementos
L=1; % longitud
clear x U0 U1 Uj;
U0(1)=0; % Extremos fijos
U0(m)=0;
x=0;
for i=2:m-1 % Posición inicial de la cuerda
x=x+dx;
if x<L/2;
U0(i)=-0.5*x;
else
U0(i)=0.5*(x-1);
end
end
x=0:dx:L; % Coordenadas para el grafico
plot(x,U0,'r'); % Distribución inicial
axis([0,1,-0.5,0.5]);
pause;
clf;
U1=EDPDIFH1(U0,m); % Calculo del primer nivel
plot(x,U1,'r');
axis([0,1,-0.5,0.5]);
pause;
clf;
for j=1:n
Uj=EDPDIFHJ(U0,U1,m); % Siguientes niveles
plot(x,Uj,'r');
axis([0,1,-0.5,0.5]);
pause;
clf;
U0=U1;
U1=Uj;
end
235
function U1=EDPDIFH1(U0,m)
% Solución U(x,t) de una EDP hiperbolica con parametro igual a 1
% Cálculo del primer nivel de la solucion
U1(1)=U0(1);
for i=2:m-1
U1(i)=0.5*(U0(i-1)+U0(i+1));
end
U1(m)=U0(m);
function Uj=EDPDIFHJ(U0,U1,m)
% Solución U(x,t) de una EDP hiperbolica con parametro igual a 1
% Cálculo de los siguientes niveles de la solucion
Uj(1)=U1(1);
for i=2:m-1
Uj(i)=U1(i+1)+U1(i-1)-U0(i);
end
Uj(m)=U1(m);
Almacenar las funciones y el programa y ejecutarlo para visualizar la solución:
Gráfico de la cuerda en un instante de su desplazamiento
Cuerda en movimiento

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

clase del lunes 5 de mayo de 2014
clase del lunes 5 de mayo de 2014clase del lunes 5 de mayo de 2014
clase del lunes 5 de mayo de 2014Gonzalo Jiménez
 
Coaquira l metodos numericos_t2
Coaquira l metodos numericos_t2Coaquira l metodos numericos_t2
Coaquira l metodos numericos_t2LUIS COAQUIRA
 
329938280 100401-47-trabajo-n-2
329938280 100401-47-trabajo-n-2329938280 100401-47-trabajo-n-2
329938280 100401-47-trabajo-n-2migueska
 
Metodo de cramer
Metodo de cramerMetodo de cramer
Metodo de cramerLina Sarria
 
Sistemas parte2 blog
Sistemas parte2 blogSistemas parte2 blog
Sistemas parte2 blogMarta Martín
 
Ed Variacion De Parametros
Ed Variacion De ParametrosEd Variacion De Parametros
Ed Variacion De Parametroseduardolomeli
 
algebra lineal
algebra linealalgebra lineal
algebra linealselenion
 
Ejercicio resuelto: Límite trigonométrico
Ejercicio resuelto: Límite trigonométricoEjercicio resuelto: Límite trigonométrico
Ejercicio resuelto: Límite trigonométricohkviktor (HKV)
 
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantes
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantesResolución de un sistema de ecuaciones por determinantes
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantesElideth Nolasco
 
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTES
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTESECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTES
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTESIrving Yazkin Hernandez Ponce
 
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminación
Solución de Sistemas de Ecuaciones por EliminaciónSolución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminación
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
 
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion lineal
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion linealEjercicios resueltos y propuestos de combinacion lineal
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion linealMiguel Vasquez
 

La actualidad más candente (19)

Límites y continuidad en dimensiones superiores
Límites y continuidad en dimensiones superioresLímites y continuidad en dimensiones superiores
Límites y continuidad en dimensiones superiores
 
clase del lunes 5 de mayo de 2014
clase del lunes 5 de mayo de 2014clase del lunes 5 de mayo de 2014
clase del lunes 5 de mayo de 2014
 
Sny cap7
Sny cap7Sny cap7
Sny cap7
 
Matematica avanzada luis enrique martinez ramirez
Matematica avanzada luis enrique martinez ramirezMatematica avanzada luis enrique martinez ramirez
Matematica avanzada luis enrique martinez ramirez
 
Coaquira l metodos numericos_t2
Coaquira l metodos numericos_t2Coaquira l metodos numericos_t2
Coaquira l metodos numericos_t2
 
Ejercicios 25a36
Ejercicios 25a36Ejercicios 25a36
Ejercicios 25a36
 
329938280 100401-47-trabajo-n-2
329938280 100401-47-trabajo-n-2329938280 100401-47-trabajo-n-2
329938280 100401-47-trabajo-n-2
 
Metodo de cramer
Metodo de cramerMetodo de cramer
Metodo de cramer
 
Mate4 guia3
Mate4 guia3Mate4 guia3
Mate4 guia3
 
Sistemas parte2 blog
Sistemas parte2 blogSistemas parte2 blog
Sistemas parte2 blog
 
Ed Variacion De Parametros
Ed Variacion De ParametrosEd Variacion De Parametros
Ed Variacion De Parametros
 
algebra lineal
algebra linealalgebra lineal
algebra lineal
 
Ec. dif.
Ec. dif.Ec. dif.
Ec. dif.
 
Ejercicio resuelto: Límite trigonométrico
Ejercicio resuelto: Límite trigonométricoEjercicio resuelto: Límite trigonométrico
Ejercicio resuelto: Límite trigonométrico
 
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantes
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantesResolución de un sistema de ecuaciones por determinantes
Resolución de un sistema de ecuaciones por determinantes
 
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTES
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTESECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTES
ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS POR EL METODO DE DETERMINANTES
 
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminación
Solución de Sistemas de Ecuaciones por EliminaciónSolución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminación
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminación
 
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion lineal
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion linealEjercicios resueltos y propuestos de combinacion lineal
Ejercicios resueltos y propuestos de combinacion lineal
 
Sistemas de inecuaciones
Sistemas de inecuacionesSistemas de inecuaciones
Sistemas de inecuaciones
 

Similar a Ecuaciones diferenciales parciales Parte 3

Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2Kike Prieto
 
Ejercicios detallados del obj 7 mat iii 733
Ejercicios detallados del obj 7 mat iii  733 Ejercicios detallados del obj 7 mat iii  733
Ejercicios detallados del obj 7 mat iii 733 Jonathan Mejías
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierKike Prieto
 
Matemática ii ecuaciones diferenciales
Matemática ii   ecuaciones diferenciales Matemática ii   ecuaciones diferenciales
Matemática ii ecuaciones diferenciales Joe Arroyo Suárez
 
Ejercicios Doble integrales y MCO
Ejercicios Doble integrales y MCOEjercicios Doble integrales y MCO
Ejercicios Doble integrales y MCOMarcela Leyton
 
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)Beat Winehouse
 
Tema1. matematica5 listo
Tema1. matematica5 listoTema1. matematica5 listo
Tema1. matematica5 listoDeybis Boyer
 
Series de fourier - Ejemplos Resueltos
Series de fourier - Ejemplos Resueltos Series de fourier - Ejemplos Resueltos
Series de fourier - Ejemplos Resueltos Joe Arroyo Suárez
 
Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4Juan Timoteo Cori
 
Problemas de Ecuaciones Diferenciales
Problemas de Ecuaciones Diferenciales Problemas de Ecuaciones Diferenciales
Problemas de Ecuaciones Diferenciales Joe Arroyo Suárez
 

Similar a Ecuaciones diferenciales parciales Parte 3 (20)

Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales Ecuaciones diferenciales parciales
Ecuaciones diferenciales parciales
 
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2
Ecuaciones diferenciales parciales Parte 2
 
Ejercicios detallados del obj 7 mat iii 733
Ejercicios detallados del obj 7 mat iii  733 Ejercicios detallados del obj 7 mat iii  733
Ejercicios detallados del obj 7 mat iii 733
 
Longitud de una curva
Longitud de una curvaLongitud de una curva
Longitud de una curva
 
Metodos numericos
Metodos numericosMetodos numericos
Metodos numericos
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de Fourier
 
Matemática ii ecuaciones diferenciales
Matemática ii   ecuaciones diferenciales Matemática ii   ecuaciones diferenciales
Matemática ii ecuaciones diferenciales
 
Diferencias parcial
Diferencias parcialDiferencias parcial
Diferencias parcial
 
Ejercicios Doble integrales y MCO
Ejercicios Doble integrales y MCOEjercicios Doble integrales y MCO
Ejercicios Doble integrales y MCO
 
Edwin contreras fourier
Edwin contreras fourierEdwin contreras fourier
Edwin contreras fourier
 
Cálculo numérico 7 corrección
Cálculo numérico 7 correcciónCálculo numérico 7 corrección
Cálculo numérico 7 corrección
 
Metodos numericos euler_euler_modificado
Metodos numericos euler_euler_modificadoMetodos numericos euler_euler_modificado
Metodos numericos euler_euler_modificado
 
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
Metodos numéricos (euler, euler modificado, rk)
 
Guia_04.pdf
Guia_04.pdfGuia_04.pdf
Guia_04.pdf
 
Tema1. matematica5 listo
Tema1. matematica5 listoTema1. matematica5 listo
Tema1. matematica5 listo
 
Series de fourier - Ejemplos Resueltos
Series de fourier - Ejemplos Resueltos Series de fourier - Ejemplos Resueltos
Series de fourier - Ejemplos Resueltos
 
Ode45
Ode45Ode45
Ode45
 
Ed pr3 4_2012_13_enweb
Ed pr3 4_2012_13_enwebEd pr3 4_2012_13_enweb
Ed pr3 4_2012_13_enweb
 
Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4Metodos numericos capitulo 4
Metodos numericos capitulo 4
 
Problemas de Ecuaciones Diferenciales
Problemas de Ecuaciones Diferenciales Problemas de Ecuaciones Diferenciales
Problemas de Ecuaciones Diferenciales
 

Más de Kike Prieto

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenKike Prieto
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceKike Prieto
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por seriesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesKike Prieto
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricasKike Prieto
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorKike Prieto
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasKike Prieto
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorKike Prieto
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitasKike Prieto
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralKike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definidaKike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definidaKike Prieto
 
Capitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaCapitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaKike Prieto
 

Más de Kike Prieto (20)

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por series
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricas
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de Taylor
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricas
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitas
 
Series
SeriesSeries
Series
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la Integral
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 
Sucesiones
SucesionesSucesiones
Sucesiones
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 
Capitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinidaCapitulo 1.laintegralindefinida
Capitulo 1.laintegralindefinida
 

Último

Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxRosabel UA
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024gharce
 
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...YobanaZevallosSantil1
 
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguajelibro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguajeKattyMoran3
 
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024Rosabel UA
 
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJO
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJODIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJO
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJOLeninCariMogrovejo
 
El PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/F
El PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/FEl PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/F
El PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/FJulio Lozano
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfssuser50d1252
 
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docxEJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docxFabianValenciaJabo
 
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.monthuerta17
 
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).hebegris04
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdfPROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdfMaritza438836
 
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)jlorentemartos
 
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docxMagalyDacostaPea
 
historieta materia de ecologías producto
historieta materia de ecologías productohistorieta materia de ecologías producto
historieta materia de ecologías productommartinezmarquez30
 
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...Angélica Soledad Vega Ramírez
 
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfJosé Hecht
 
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfssuser50d1252
 

Último (20)

Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptxPresentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
Presentación Bloque 3 Actividad 2 transversal.pptx
 
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
SISTEMA INMUNE FISIOLOGIA MEDICA UNSL 2024
 
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO  YESSENIA 933623393 NUEV...
IV SES LUN 15 TUTO CUIDO MI MENTE CUIDANDO MI CUERPO YESSENIA 933623393 NUEV...
 
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguajelibro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
 
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
Actividad transversal 2-bloque 2. Actualización 2024
 
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJO
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJODIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJO
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR- DR LENIN CARI MOGROVEJO
 
El PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/F
El PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/FEl PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/F
El PROGRAMA DE TUTORÍAS PARA EL APRENDIZAJE Y LA FORMACIÓN INTEGRAL PTA/F
 
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdfFichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
Fichas de MatemáticA QUINTO DE SECUNDARIA).pdf
 
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docxEJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
EJEMPLO MODELO DE PLAN DE REFUERZO ESCOLAR.docx
 
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
Si cuidamos el mundo, tendremos un mundo mejor.
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
 
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
HISTORIETA: AVENTURAS VERDES (ECOLOGÍA).
 
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdfPROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
PROGRAMACIÓN CURRICULAR - DPCC- 5°-2024.pdf
 
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
TEMA 13. LOS GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS (1982-2018)
 
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
4° UNIDAD 2 SALUD,ALIMENTACIÓN Y DÍA DE LA MADRE 933623393 PROF YESSENIA CN.docx
 
historieta materia de ecologías producto
historieta materia de ecologías productohistorieta materia de ecologías producto
historieta materia de ecologías producto
 
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
Contextualización y aproximación al objeto de estudio de investigación cualit...
 
El Bullying.
El Bullying.El Bullying.
El Bullying.
 
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdfMEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
MEDIACIÓN INTERNACIONAL MF 1445 vl45.pdf
 
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdfFichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
Fichas de Matemática DE SEGUNDO DE SECUNDARIA.pdf
 

Ecuaciones diferenciales parciales Parte 3

  • 1. 231 10.4 Ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico En este tipo de ecuaciones el dominio está abierto en uno de los bordes Para aplicar el método de diferencias finitas usaremos un ejemplo particular para posteriormente interpretar los resultados obtenidos. Ejemplo. Ecuación de la onda en una dimensión: u(x, t): 2 2 2 2 2 u u c t x ∂ ∂ = ∂ ∂ Suponer que u es una función que depende de x, t en donde u representa el desplazamiento vertical de la cuerda en función de la posición horizontal x, y el tiempo t, mientras que c es una constante. L es la longitud de la cuerda Suponer que los extremos de la cuerda están sujetos y que la longitud es L = 1 u = u(x, t), 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0 u(0, t) = 0, t ≥ 0 u(1, t) = 0, t ≥ 0 Inicialmente la cuerda es estirada desplazando su punto central una distancia de 0.25 u(x, 0) = 0.5x, 0 x 0.5 0.5(x 1), 0.5 x 1 − < ≤  − < < Al soltar la cuerda desde la posición inicial, su velocidad inicial es cero u(x,0) 0 t ∂ = ∂ 10.4.1 Un esquema de diferencias finitas explícito Para aplicar el método de diferencias finitas, debe discretizarse el dominio de u u(xi, tj) = ui, j ; i = 0, 1, ..., n; j = 0, 1, 2, ... Elegimos las siguientes aproximaciones de diferencias finitas para las derivadas: 2 i,j i 1,j i,j i 1,j 2 2 2 u u 2u u O( x) x ( x) + −∂ − + = + ∆ ∂ ∆ 2 i,j i,j 1 i,j i,j 1 2 2 2 u u 2u u O( t) t ( t) + −∂ − + = + ∆ ∂ ∆ i,j 1 i,j i,j 1 2 u 2u u ( t) + −− + ∆ + O(∆x) 2 = c 2 i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ + O(∆t) 2 Se obtiene la ecuación de diferencias: i,j 1 i,j i,j 1 2 u 2u u ( t) + −− + ∆ = c 2 i 1,j i,j i 1,j 2 u 2u u ( x) + −− + ∆ Cuyo error de truncamiento es E = O(∆x) 2 + O(∆t) 2 Esta ecuación se puede expresar de la siguiente forma: i,j 1 i,j i,j 1u 2u u+ −− + = 2 2 2 c ( t) ( x) ∆ ∆ ( i 1,j i,j i 1,ju 2u u+ −− + ) Mediante un análisis se demuestra que si 2 2 2 c ( t) ( x) ∆ ∆ = 1, entonces la solución calculada con el método de diferencias finitas es estable.
  • 2. 232 Para el ejemplo, suponer que c = 2, ∆x = 0.2, entonces de la condición anterior se tiene: 2 2 2 2 ( t) (0.2) ∆ = 1 ⇒ ∆t = 0.1 Esta sustitución anterior permite además simplificar: i,j 1 i,j 1u u+ −+ = i 1,j i 1,ju u+ −+ La ecuación incluye cuatro puntos dispuestos en un rombo. La solución progresa en la dirección t por lo que despejamos el punto en el vértice superior. i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, . . . (1) Se puede notar observando el gráfico que para obtener cada nuevo punto de la solución se requieren conocer dos niveles previos de la solución Describimos el dominio de u mediante una malla con puntos en dos dimensiones en la cual el eje horizontal representa la posición xi mientras que el eje vertical representa tiempo tj. En esta malla se representan los datos en los bordes y los puntos interiores que deben ser calculados Siguiendo una estrategia usada anteriormente, expresamos el dato adicional u(x,0) 0 t ∂ = ∂ mediante una fórmula de diferencias central: i,0 i,1 i, 1u u u 0 t 2( t) −∂ − = = ∂ ∆ ⇒ ui,-1 = ui,1 (2) Esta ecuación incluye el punto ficticio ui,-1 Conviene entonces evaluar la ecuación (1) cuando t = 0: j = 0: i,1u = i 1,0 i 1,0 i, 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4 Sustituyendo en esta ecuación el resultado (2) se elimina el punto ficticio ui,-1 i,1u = i 1,0 i 1,0 i,1u u u+ −+ − i,1u = i 1,0 i 1,0 1 (u u ) 2 + −+ , i = 1, 2, 3, 4 (3) La ecuación (3) debe aplicarse únicamente cuando t = 0, para encontrar ui,j en el nivel j=1
  • 3. 233 j = 0, i = 1: 1,1 2,0 0,0 1 1 u (u u ) ( 0.2 0) 0.1 2 2 = + = − + =− i = 2: 2,1 3,0 1,0 1 1 u (u u ) ( 0.2 ( 0.1)) 0.15 2 2 = + = − + − =− i = 3: 3,1 4,0 2,0 1 1 u (u u ) ( 0.1 ( 0.2)) 0.15 2 2 = + = − + − =− i = 4: 4,1 5,0 3,0 1 1 u (u u ) (0 ( 0.2)) 0.1 2 2 = + = + − =− Los valores calculados son colocados en la malla: Ahora se tienen dos niveles con puntos conocidos. A partir de aquí se debe usar únicamente la ecuación (1) como un esquema explícito para calcular directamente cada punto en los siguientes niveles j, cada uno a una distancia ∆t = 0.1 i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − , i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, . . . j = 1, i = 1: 1,2 2,1 0,1 1,0u u u u 0.15 0 ( 0.1) 0.05= + − =− + − − =− i = 2: 2,2 3,1 1,1 2,0u u u u 0.15 ( 0.1) ( 0.2) 0.05= + − =− + − − − =− i = 3: 3,2 4,1 2,1 3,0u u u u 0.1 ( 0.15) ( 0.2) 0.05= + − =− + − − − =− i = 4: 4,2 5,1 3,1 4,0u u u u 0 ( 0.15) ( 0.1) 0.05= + − = + − − − =− j = 2, i = 1: 1,3 2,2 0,2 1,1u u u u 0.05 0 ( 0.1) 0.05= + − =− + − − = i = 2: 2,3 3,2 1,2 2,1u u u u 0.05 ( 0.05) ( 0.15) 0.05= + − =− + − − − = i = 3: 3,3 4,2 2,2 3,1u u u u 0.05 ( 0.05) ( 0.15) 0.05= + − =− + − − − = i = 4: 4,3 5,2 3,2 4,1u u u u 0 ( 0.05) ( 0.1) 0.05= + − = + − − − = j = 3, i = 1: 1,4 2,3 0,3 1,2u u u u 0.05 0 ( 0.05) 0.1= + − = + − − = i = 2: 2,4 3,3 1,3 2,2u u u u 0.05 0.05 ( 0.05) 0.15= + − = + − − = i = 3: 3,4 4,3 2,3 3,2u u u u 0.05 0.05 ( 0.05) 0.15= + − = + − − = i = 4: 4,4 5,3 3,3 4,2u u u u 0 0.05 ( 0.05) 0.1= + − = + − − = etc.
  • 4. 234 10.4.2 Instrumentación computacional La siguiente instrumentación del método de diferencias finitas permite resolver problemas de tipo similar al ejemplo anterior: extremos fijos, estiramiento central, velocidad inicial nula y parámetro 2 2 2 c ( t) ( x) ∆ ∆ = 1 cuya ecuación de diferencias es: i,1u = i 1,0 i 1,0 1 (u u ) 2 + −+ , i = 1, 2, 3, . . . , m-1 (Para el primer nivel j = 1) i,j 1u + = i 1,j i 1,j i,j 1u u u+ − −+ − i = 1, 2, 3, . . . , m-1 (Para los siguientes niveles j = 2, 3, 4, ...) El esquema de cálculo utilizado es explícito. Cada punto es calculado directamente mediante funciones que entregan la solución calculada y un programa que contiene los datos y muestra gráficamente la solución. Se puede visualizar el movimiento de la cuerda incluyendo en el programa los comandos pause y clf. En la ejecución presione alguna tecla para visualizar el movimiento. % Método de Diferencias Finitas explícito para una EDP Hiperbólica % con parametro c^2 dt^2/dx^2 = 1 % Extremos fijos, estiramiento central y velocidad inicial cero clf; m=11; % Número de puntos en x n=50; % Número de niveles en t c=2; % dato especificado dx=0.1; dt=sqrt(dx^2/2^2); % incrementos L=1; % longitud clear x U0 U1 Uj; U0(1)=0; % Extremos fijos U0(m)=0; x=0; for i=2:m-1 % Posición inicial de la cuerda x=x+dx; if x<L/2; U0(i)=-0.5*x; else U0(i)=0.5*(x-1); end end x=0:dx:L; % Coordenadas para el grafico plot(x,U0,'r'); % Distribución inicial axis([0,1,-0.5,0.5]); pause; clf; U1=EDPDIFH1(U0,m); % Calculo del primer nivel plot(x,U1,'r'); axis([0,1,-0.5,0.5]); pause; clf; for j=1:n Uj=EDPDIFHJ(U0,U1,m); % Siguientes niveles plot(x,Uj,'r'); axis([0,1,-0.5,0.5]); pause; clf; U0=U1; U1=Uj; end
  • 5. 235 function U1=EDPDIFH1(U0,m) % Solución U(x,t) de una EDP hiperbolica con parametro igual a 1 % Cálculo del primer nivel de la solucion U1(1)=U0(1); for i=2:m-1 U1(i)=0.5*(U0(i-1)+U0(i+1)); end U1(m)=U0(m); function Uj=EDPDIFHJ(U0,U1,m) % Solución U(x,t) de una EDP hiperbolica con parametro igual a 1 % Cálculo de los siguientes niveles de la solucion Uj(1)=U1(1); for i=2:m-1 Uj(i)=U1(i+1)+U1(i-1)-U0(i); end Uj(m)=U1(m); Almacenar las funciones y el programa y ejecutarlo para visualizar la solución: Gráfico de la cuerda en un instante de su desplazamiento Cuerda en movimiento