Integración por fórmulas 05
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Este documento presenta una fórmula para integrar expresiones elevadas a un exponente constante y resuelve un ejemplo. La fórmula es la integral de v elevado a n, diferencial de v es igual a v elevado a n+1 sobre n+1 más una constante. El ejemplo resuelve la integral de (x2-2x)-1/2 dx aplicando esta fórmula mediante la sustitución de la variable y el completado del diferencial. La solución es x2-2x + C.
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- 1. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Fórmulas de integración G. Edgar Mata Ortiz න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 2. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Función elevada a un exponente constante Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a integrar es una expresión, generalmente entre paréntesis, elevada a un exponente constante. Es necesario completar el diferencial, y el valor de n debe ser diferente de -1. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 3. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Fórmula para el cociente de dos funciones La fórmula se lee: La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de 𝒗 es igual a: 𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏 Más la constante de integración C Se emplean colores para identificar la función y el exponente. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 4. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver La fórmula es: Es necesario identificar claramente la función 𝒗, el exponente 𝒏 y revisar si está completo el diferencial 𝒅𝒗 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
- 5. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver A primera vista, la expresión algebraica no parece corresponder a la fórmula que se propone para resolver el problema, pero si se reordena como se muestra en seguida queda claro que sí es posible emplear dicha fórmula න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 6. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral 𝒗 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 7. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral. Para poder integrar, el diferencial “debe estar completo”, es decir, ambos diferenciales deben ser iguales. 𝒗 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 8. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 𝒗 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 A primera vista, da la impresión que no es posible completar el diferencial, sin embargo, obteniendo factor común en el diferencial obtenemos: 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 9. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 𝒗 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 Se completa el diferencial agregando el dos que falta. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 10. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 𝒗 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 El dos se agrega porque es necesario completar el diferencial, sin embargo, es evidente que modifica el valor de la expresión origina, que se multiplica por dos al agregar el dos que completa el diferencial. Debemos “compensar”, ¿cómo hacerlo? න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 11. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗 𝒗 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 Puesto que la expresión original se multiplicó por dos, podemos cancelar este efecto dividiendo entre dos, o multiplicar por un medio. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟏 𝟐 න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 12. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver El “un medio” que se agregó se coloca fuera de la integral, ya que las constantes no se integran. Y entonces se aplica la fórmula de integración. = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 +𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝑪 La fórmula indica “sumar uno” al exponente y dividir entre ese mismo valor. න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟏 𝟐 න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 13. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 +𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝑪 Se efectúan operaciones: = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 + 𝑪 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟏 𝟐 න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
- 14. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 +𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝑪 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝑪 Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz: = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝑪 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟏 𝟐 න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 Raíz cuadrada
- 15. 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Ejemplo Resolver = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 +𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝑪 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝑪 Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz: = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝑪 න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟏 𝟐 න 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 Solución