Los números enteros incluyen los números naturales distintos de cero, sus negativos y el cero. Permiten realizar operaciones como restas que dan resultados negativos. Se ordenan en la recta numérica, donde los negativos están a la izquierda de cero y los positivos a la derecha. Las operaciones con enteros siguen reglas similares a los naturales pero considerando también el signo del resultado.

1. Nombre:
Plantel:
Materia:

2. Números enteros
Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el
sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, sólo
pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en
rojo).
Los números enteros (designado por ) son un conjunto de números que incluye a los
números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (...,
−3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos
tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar
la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante
de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es
positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2,
−1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal: −783 y 154 son números enteros, mientras
que 45,23 y −34/95 no. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden
sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo,
en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas.
Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de
primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación
secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que
dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

3. También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo
del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el
contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su
altura se puede expresar como −423 m.
Índice
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 1 Historia
 2 Introducción
o 2.1 Números con signo
o 2.2 La recta numérica
 3 Operaciones con números enteros
o 3.1 Suma
o 3.2 Resta
o 3.3 Multiplicación
 4 Propiedades algebraicas
 5 Véase también
 6 Referencias y notas
 7 Referencias
 8 Enlaces externos
Historia[editar]
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma
y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre
representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos,
aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya
advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la
regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. [cita requerida]
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o
pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en
«números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números
negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance

4. positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es
decir, una deuda neta de 3 sueldos.
Introducción[editar]
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3 − 5 = ?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con
números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números
negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y
al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo,
si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500
= $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total,
dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos
posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos):
en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 −
2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo[editar]
Artículo principal: Signo (matemáticas)
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al
añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3,
etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3,
etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...
Los números negativos aparecieron por primera vez en la India, en el año 628 después de
Cristo, en un libro de Bramagupta. En él se distingue entre los bienes, las deudas y la
nada, es decir, los números positivos, los números negativos y el cero. Los hindúes
representaban los números negativos, escribiendo un punto encima de las cifras. Más tarde
fueron los chinos quienes adoptaron los números negativos. Para diferenciarlos de los
positivos, escribían los números negativos con caracteres de color rojo, mientras que los
positivos eran escritos de color negro. De ahí viene la expresión "estar en números rojos",
es decir tener deudas. Sin embargo, no fue hasta mediados del siglo XIX, cuando el

5. matemático alemán Weierstrass realizó la construcción formal de dichos números, a partir
de los números naturales.
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+»)
delante y se les llama números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,...
precedido de un signo más. «+».
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo
indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de
números son los llamados «enteros».
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo
(positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también
escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :
La recta numérica[editar]
Artículo principal: Recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero.
Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la
izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el
valor absoluto:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que
resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0.
Se representa por dos barras verticales «||».
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

6. El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como:
 Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo
es menor que el positivo: −b < +a.
 Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos
números es:
o El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
o El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
 El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los
negativos.
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros[editar]
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede
hacerse con los números naturales.
Suma[editar]
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del
círculo y su color.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto
del resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del
resultado del siguiente modo:
 Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo
del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos
de los sumandos.
 Si ambos sumandos tienen distinto signo:
o El signo del resultado es el signo del sumando con mayor
valor absoluto.

7. o El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor
valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos
sumandos.
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) =
−61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números
naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
 Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las
sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
 Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las
sumas a + b y b + a son iguales.
 Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan
inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los
números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a,
existe otro entero−a, que sumado al primero resulta en cero: a +
(−a) = 0.
Resta[editar]
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

8. La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se
realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación[editar]
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por
separado el signo y valor absoluto del resultado.
En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el
valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:
 El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los
factores.
 El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son
distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Regla de los signos
 (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
 (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
 (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
 (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números
naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
 Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los
productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
 Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los
productos a × b y b × a son iguales.

9.  Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan
inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números
naturales, por la propiedad distributiva:
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el
producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son
idénticos.
Ejemplo.
 (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
 [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
Propiedades algebraicas[editar]
Artículo principal: Propiedades de los números enteros
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y
multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una
relación de orden. Los números enteros pueden además construirse a partir de los números
naturales mediante clases de equivalencia.
Véase también[editar]
 Parte entera
 Entero (tipo de dato)

10. Clasificación de números
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
1: uno
Naturales
primos
Naturales
compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios
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