Este documento explica las derivadas direccionales de funciones escalares. Define la derivada direccional en un punto según una dirección dada por un vector unitario como el límite del cociente entre el incremento de la función y la distancia recorrida cuando la distancia tiende a cero. Explica que esta da la pendiente promedio en una dirección y su límite da la pendiente de la tangente. También discute cómo calcular la derivada direccional del gradiente de una función de varias variables según un vector de velocidad.

1. Derivadas
Direccionales
Alumna:
Jennifer Gelves
MATEMATICA III
San Cristobal,Julio 2018

2. Las derivadas direccionales
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según
una dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección
marcada por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida
tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media”
en una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función
en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar
mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación
posee significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación
geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.
Qué vamos a construir
Si tienes una función de varias variables, F(x,y) y un vector en el espacio de
entradas de la función V a derivada direccional de f a lo largo del vector Ve
dice la tasa de cambio f a medida que entrada se mueve con el vector de
velocidad V

3. La notación aquí es ∇v⃗f y se calcula al tomar el producto punto entre el
gradiente de f y el vector v es decir, ∇f⋅v
Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente, primero
asegúrate de normalizar el vector V
Ejm:
. La derivada parcial de f con respecto a x:
Si evaluamos esto en algún punto, como (2, 3)
¿Pero qué significa esto en realidad?
Digamos que evalúas la función original fen el punto (2, 3)

4. Ahora mueve el valor de entrada un poco en la dirección de x, tal
vez por un valor de 0.01, moviéndola a (2.01, 3)
El cambio total en la salida, de –2 a –1.9899, es de 0.0101. La
razón entre este cambio y el tamaño del cambio en el espacio de
entrada se muestra a continuación:
Mientras más pequeño sea nuestro cambio original, esta razón
será más cercana a
La pregunta aquí es saber qué pasa si movemos la entrada
de f en una dirección que no sea paralela al eje x o al eje y.
Por ejemplo, la siguiente imagen muestra la gráfica de f junto con
un pequeño paso a lo largo de un vector v⃗, en el espacio de
entrada que, en este caso, quiere decir el plano x,y. ¿Existe
alguna operación que nos indique cómo se compara la altura de

5. la gráfica por encima de la punta de v⃗ con la altura de la gráfica
por encima de su cola?