La derivada direccional de una función multivariable representa la tasa de cambio de la función en la dirección de un vector dado, generalizando las derivadas parciales. Se define como el límite del cociente entre el incremento de la función y la distancia recorrida cuando la distancia tiende a cero, lo que representa la pendiente de la tangente a la función en dicha dirección. La derivada direccional ayuda a encontrar el valor máximo de una función en el sentido del gradiente.

1. LISSETT V. RANGEL E.
CI:21.218.086

2. DEFINICIÒN
La derivada direccional de una función multivariable, en la
dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio
de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto
generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son
derivadas direccionales según la dirección de los respectivos
ejes coordenados.

3. Definimos la derivada direccional de un campo escalar Ф en un punto 𝑟𝑜 según una dirección marcada por el vector
unitario V de la siguiente manera
*Consideramos el desplazamiento pequeño desde 𝑟0 en la dirección marcada por V
Δ𝑟 = Δ𝑟 𝑣
*Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
Δ𝜙 = 𝜙 𝑟0 + Δ𝑟 − 𝜙(𝑟0)
*La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de φ y la distancia recorrida,
cuando la distancia recorrida tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una dirección, y su límite nos da la
“pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar
mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico. En tres
dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.
𝜕𝜙
𝜕𝑣
lim
∆𝑟 →0
∆𝜙
Δ𝑟

5. El gradiente nos indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto
dado. La derivada direccional nos ayuda a encontrar el valor máximo en el sentido del
gradiente, es por esta razón que iniciaremos definiendo lo que es la derivada direccional.
La derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la
tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las
derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los
ejes.
La noción geométrica de la derivada direccional se puede entender a partir de la idea de la
pendiente de la recta tangente a las curvas de intersección de una superficie con el plano
vertical que contiene a la dirección dada.