Este documento introduce el concepto de derivada direccional para funciones multivariables. Explica que la derivada direccional representa la tasa de cambio de una función en una dirección dada por un vector. Define formalmente la derivada direccional como el límite del cociente entre el incremento de la función y la distancia recorrida cuando la distancia tiende a cero. También menciona que las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales en las direcciones de los ejes coordenados.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
ESTADO TÁCHIRA
Integrantes:
Ramírez Mariciel
C.I: 26.493.683
Matemática III
San Cristóbal, julio de 2017

2. INTRODUCCION
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es
sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la
tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos
dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una
función que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos
situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña?
Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o
hacia los puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier
dirección intermedia.
La cosa es aún más complicada para campos escalares, dependientes de las tres
coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una
pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse
de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección
determinada, pero nada más

3. DEFINICION
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una
dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector.
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según
una dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada
por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a
cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en
una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha
dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una
elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado
geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero
la idea algebraica es la misma.
DERIVADAS PACIALES
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas
parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la
dirección marcada por . La aplicación del límite nos da
pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse
en la dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras
dos constantes, esto es

4. esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando
a y como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las
derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
EJEMPLOS
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección marcada
por es
Desarrollando el producto queda
Ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su
dirección