Este documento presenta los conceptos básicos de determinantes de matrices 2x2. Explica cómo calcular el determinante, los menores y los cofactores de una matriz. También muestra ejemplos para evaluar determinantes utilizando los menores o cofactores. Finalmente, incluye ejercicios prácticos para que el lector aplique los conceptos.
Esta presentación es un pequeño esbozo de los productos notables y los casos de factorización, lo cual debe estar acompañado de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación. Deben descargar la presentación para ver los productos notables y los casos de factorización que aparecen en las tablas.
Esta presentación es un pequeño esbozo de los productos notables y los casos de factorización, lo cual debe estar acompañado de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación. Deben descargar la presentación para ver los productos notables y los casos de factorización que aparecen en las tablas.
Muestra de la presentacion final de determinante. Espero que esta muestra les ayude a aclarar sus dudas de este tema. Si desean la presntación completa visitar la página www.matematicaspr.com
Álgebra Vectorial
1. Vectores en el plano y en el espacio
1.1. Simetría de puntos en los sistemas coordenados de dos y tres dimensiones.
1.2. Vector dirigido
1.3. Componentes escalares de un vector dirigido sobre los ejes coordenados en el plano y en el espacio.
1.4. El vector como pareja y como terna ordenada de números reales.
1.5. Definición de vector de posición
1.6. Módulo de un vector como conjunto ordenado de números reales.
2 Operaciones con vectores
2.1. Igualdad de vectores
2.2. Adición de vectores en dos, tres y n dimensiones
2.3. Sustracción de vectores
2.4. Multiplicación por un escalar
2.5. Propiedades de las operaciones
2.6. Vector nulo y vector unitario
2.7. Distancia entre dos puntos como el módulo de la diferencia de dos vectores
3. Producto escalar de dos vectores
3.1. Vectores unitarios i, j, k
3.2. Forma trinómica de un vector
3.3. Definición de producto escalar
3.4 Ortogonal
3.5. Angulo entre dos vectores
3.6. Definición de componente vectorial y proyección de componente escalar de un vector sobre otro
3.7. Cosenos directores
4. Producto vectorial de dos vectores
4.1. Interpretación geométrica y propiedades
4.2. Definición de paralelismo geométrico y propiedades
4.3. Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de un paralelogramo
4.4. Definición de producto mixto
4.5. Calculo de volúmenes mediante el producto mixto.
5. Uso de software matemático como instrumento verificador de resultados y herramienta de visualización en conceptos.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
7. Determinante de una matriz A cada matriz cuadrada 𝐴 se le asocia un número llamado determinante de 𝐴, que se denota con 𝐴. Definición del determinante de una matriz 2×2 𝐴= 𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12 El determinante de una matriz 2×2 es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 3 Prof. Miguel L. Colón
8. Determinante de una matriz Ejemplo: Si 𝐴=2−14−3 y B=−54−3−2encuentre: 𝐴= 2−1 4−3= − −4 =−2 =−6 4−1 2−3 − −54−3−2 = − =10 𝐵= − −34 −12 −5−2 =22 Nota: El determinante de una matriz 2×2 es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 4 Prof. Miguel L. Colón
9. Determinante de una matriz Práctica: Si 𝐴=322−4 y B=2−4−35encuentre: 𝐴= 322−4= =−16 − 22 3−4 4 =−12 − 2−4−3 5= =10 =−2 − 12 𝐵= −3−4 25 − Nota: El determinante de una matriz 2×2 es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 5 Prof. Miguel L. Colón
10. Determinante de una matriz Práctica: Si 𝐴=−32−2𝑥 y su determinante es 𝐴=−8, encuentre 𝑥. Solución: −32−2𝑥 𝐴= El valor del determinante es −8 y se busca el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Luego despeja la variable en la ecuación que resulta al calcular el determinante. =−3𝑥 −4 −8 − −8=−3𝑥+4 −8−4=−3𝑥 𝑥=−12−3 𝑥=4 6 Prof. Miguel L. Colón
11. Menores Definición de menores Sea 𝐴=𝑎𝑖𝑗 una matriz cuadrada de orden 𝑛>1. El menor 𝑀𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el determinante de la matriz de orden 𝑛−1 obtenida al eliminar la fila 𝑖 columna 𝑗. Matriz Menor 𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33 𝑎22𝑎23𝑎32𝑎33 𝑀11= 𝑀11=𝑎22∙𝑎33−𝑎32∙𝑎23 7 Prof. Miguel L. Colón
12. Menores Ejemplo: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101 , determine: 𝑀12 Solución: Para hallar el menor del elemento que ocupa la posición fila 1 columna 2 se elimina la fila 1 y la columna 2 de la matriz A. Luego se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2) su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 2−30−212−101 =−22−11 𝑀12 𝑀12=(−2)−−2 𝑀12=0 8 Prof. Miguel L. Colón
13. Menores Práctica: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101 , determine: 𝑀23 Solución: Para hallar el menor del elemento que ocupa la posición fila 2 columna 3 se elimina la fila 2 y la columna 3 de la matriz A. Luego se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2) su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 2−30−212−101 =2−3−10 𝑀23 𝑀23=(0)−3 𝑀23=−3 9 Prof. Miguel L. Colón
14. Cofactores Definición de cofactores Sea 𝐴=𝑎𝑖𝑗 una matriz cuadrada de orden 𝑛>1. El cofactor 𝐴𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es 𝐴𝑖𝑗=−1𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗 Cofactor Matriz 1+1 =−1 𝐴11 𝑀11 𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33 𝑎22𝑎23𝑎32𝑎33 𝐴11=−12 𝐴11=1𝑎22∙𝑎33−𝑎32∙𝑎23 10 Prof. Miguel L. Colón
15. Cofactores Ejemplo: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101, determine: 𝐴22 Solución: Para hallar el cofactor del elemento que ocupa la posición fila 2 columna 2 se eleva negativo uno a la potencia que sume la fila 2 y la columna 2 que es cuatro. Luego se multiplica por el menor del elemento que esta en la fila 2 columna 2. Este se obtienen eliminando la fila 2 y la columna 2 de la matriz A y se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2). Finalmente se calcula su valor. 2−30−212−101 2+2 =−1 𝐴22 𝑀22 20−11 𝐴22=−14 𝐴22=12−0 𝐴22=2 11 11 Prof. Miguel L. Colón
16. Cofactores Práctica: Dado la matriz 𝐴=2−30−212−101, determine: 𝐴21 Solución: Para hallar el cofactor del elemento que ocupa la posición fila 2 columna 1 se eleva negativo uno a la potencia que sume la fila 2 y la columna 1 que es tres. Luego se multiplica por el menor del elemento que esta en la fila 2 columna 1. Este se obtienen eliminando la fila 2 y la columna 1 de la matriz A y se forma un determinante menor (determinante de dimensión 2𝑥2). Finalmente se calcula su valor. 2−30−212−101 2+1 =−1 𝐴21 𝑀21 −3001 𝐴21=−13 𝐴21=−1−3−0 𝐴21=3 12 12 Prof. Miguel L. Colón
17. Determinanteutilizando cofactores Ejemplo: Evaluar el determinante 𝐴=2−30−212−101 Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como producto de los elementos alineados. Hacer las operaciones descritas en el paso anterior 𝐴= 2−30−212−101 𝐴= 2−30−212−101 = + (1) (−3) + (0) 20−11 −22−11 +1 𝐴=−3 −11+2 −12+2 +0 𝐴=−3−1(−2−−2) +11(2−0) +0 (𝐴23) (𝐴22) (𝐴12) =2 =0 +2 +0 𝐴=30 +12 +0 13 Prof. Miguel L. Colón
18. Determinante de una matriz Práctica: Evaluar el determinante 𝐴=2−30−212−101. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como producto de los elementos alineados. Hacer las operaciones descritas en el paso anterior , utilizar la tercera fila 𝐴= 2−30−212−101 = 𝐴= 2−30−212−101 = + (0) (−1) + (1) 2−3−21 −3012 +1 −13+3 +0 𝐴=−1 −13+1 𝐴=−11−6−0+0+11(2−6) (𝐴32) (𝐴33) (𝐴31) 𝐴=−1−6+0+1−4 =2 =6 +0−4 14 Prof. Miguel L. Colón
19. Determinante de una matriz Práctica: Evaluar el determinante 𝐴=23−3−201032. Seleccionar una fila o columna y escribir sus elementos alineados. Identificar el cofactor de cada elemento seleccionado y escribir como producto de los elementos alineados. Hacer las operaciones descritas en el paso anterior 𝐴= 23−3−201032 = 𝐴= 23−3−201032 = + (0) + (−2) (2) 3−332 0132 +−2 −11+2 −11+1 +0 𝐴=2 𝐴=210−3+−2−16−−9+0 (𝐴12) (𝐴11) (𝐴13) 𝐴=2−3+215+0 =24 =−6+30+0 15 Prof. Miguel L. Colón