Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.
En este artículo, se presentan los métodos más comunes para resolver una ecuación cúbica y a la vez presento ante ustedes un método innovador al que le he llamado el "MÉTODO TH".
APUNTES Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ANALISIS NUMERICOJulio Ruano
EL PRESENTE TEXTO ES DE MI COMPLETA AUTORIA, POR LO QUE AGRADECERIA COMENTARIOS Y SUGERENCIAS SOBRE EL MISMO PARA EN UN FUTURO DESARROLLAR UNA SEGUNDA EDICION.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
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Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
2. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Sean 𝑎𝑖, 𝑏𝑖, 𝑐𝑖 los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 en cada iteración 𝑖 =
1, 2, 3, … . . Respectivamente.
• El método de la bisección genera una sucesión de
intervalos 𝑎, 𝑏 , 𝑎1, 𝑏1 , … . . , 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 tales que 𝑎 ≤ 𝑎1 ≤
𝑎2 … ≤ 𝑎𝑖 constituyen una sucesión creciente y b ≤ 𝑏1 ≤
𝑏 … ≤ 𝑏𝑖 una sucesión decreciente con 𝑎𝑖 < 𝑏𝑖.
3. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Ademas por definición del método 𝑐𝑖, 𝑟𝜖 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 en cada
iteración 𝑖
𝑎𝑖 𝑏𝑖
𝑐𝑖 𝑟
4. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Sean 𝑑𝑖 = 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 longitud del intervalo 𝑎𝑖, 𝑏𝑖 en la
iteración 𝑖 = 1, 2, 3, … … .
• 𝑑 = 𝑏 − 𝑎 longitud del intervalo inicial
7. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Suponer que se desea que el ultimo valor calculado 𝑐𝑖
tenga precisión 𝐸 = 0.001 , entonces si el algoritmo
termina cuando 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 < 𝐸, se cumplirá que 𝑐𝑖 − 𝑟 < 𝐸
y 𝑐𝑖 será una aproximación para 𝑟 con un error menor que
0.0001.
8. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Se puede predecir el número de iteraciones que se deben
realizar con el método de la Bisección para obtener la
respuesta con una precisión requerida E:
• En la iteración 𝑖: 𝑑𝑖 = 𝑑/2𝑖
• Se desea terminar cuando: 𝑑𝑖 < 𝐸
• Entonces se debe cumplir
𝑑
2 𝑖 < 𝐸
• De donde se obtiene: 𝑖 >
𝑙𝑜𝑔 𝑑/𝐸
log(2)
9. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo. La ecuación 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝜋 = 0 tiene una raíz
real en el intervalo 0,2 . Determine cuantas iteraciones
deben realizarse con el método de la bisección para
obtener un resultado con precisión 𝐸 = 0.0001
10. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• El numero de iteraciones que deberán realizarse es:
• 𝑖 >
𝑙𝑜𝑔
2
0.001
log 2
⟹ 𝑖 > 14.287 ⟹ 15 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
11. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Algoritmo del método de la bisección
• Calcular una raíz 𝑟 real de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 con
precisión 𝐸. 𝑓 es continua en un intervalo 𝑎, 𝑏 tal que
𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) tienen signos diferentes.
1. Defina 𝑓 , el intervalo inicial 𝑎, 𝑏 y la precisión
requerida 𝐸
2. Calcule el punto central del intervalo: 𝑐 = (𝑎 + 𝑏)/2
12. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
3. Si 𝑓 𝑐 = 0, 𝑐 es la raíz y termine.
4. Si la raíz se encuentra en el intervalo 𝑎, 𝑐 , sustituya
𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑐
5. Si la raíz se encuentra en el intervalo 𝑐, 𝑏 sustituya
𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐
6. Repita los pasos 2, 3, 4 y 5 hasta que la longitud del
intervalo 𝑎, 𝑏 sea menor que 𝐸.
13. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• El ultimo valor calculado 𝑐 estará al menos a una distancia
𝐸 de la raíz.
14. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo. Calcule una raíz real de 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝜋 = 0 en
el intervalo 0,2 con precisión 0.01
• La función 𝑓 es continua y además 𝑓 0 < 0, 𝑓 2 > 0,
por lo tanto la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 debe contener alguna
raíz en el intervalo 0,2
15. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Cantidad de iteraciones
• 𝑖 >
𝑙𝑜𝑔 𝑑/𝐸
log(2)
=
𝑙𝑜𝑔 1/0,01
log(2)
= 7,6439 ⟹ 8𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
17. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• En la octava iteración
• 𝑏 − 𝑎 = 1.0781 − 1.0703 = 0.0078 ⟹ 𝑟 − 𝑐 < 0.01
• 𝑟 = 1.074 con error menor que 0.01
• En la ultima iteración se observa que el intervalo que
contiene a la raíz se ha reducido a 1.0703, 1.0781 , por
lo tanto el ultimo valor calculado de 𝑐 = 1.074 debe estar
cerca de 𝑟 con una distancia menor que 0.01
18. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Eficiencia del método de la bisección
• Suponer el caso mas desfavorable, en el que 𝑟 esta muy
cerca de uno de los extremos del intervalo 𝑎, 𝑏
• Sean:
• 𝐸𝑖 = 𝑟 − 𝑐𝑖: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖
• 𝐸𝑖+1 = 𝑟 − 𝑐𝑖+1: 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖 + 1
20. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• En cada iteración la magnitud del error se reduce en no
mas de la mitad respecto del error en la iteración anterior:
𝐸𝑖+1 ≤
1
2
𝐸𝑖 . Esta es una relación lineal. Con la notación
𝑂( )se puede escribir: 𝐸𝑖+1 = 𝑂(𝐸𝑖). Entonces, el método
de la Bisección tiene convergencia lineal o de primer
orden.
21. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Calcular una raíz 𝑟 real de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0. 𝑓es
continua en un intervalo 𝑎, 𝑏 tal que 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) tiene
signos diferentes.
• Para instrumentar el algoritmo de este método se
escribirá una función en MATLAB. El nombre será
bisección. Recibirá como parámetros 𝑓, 𝑎 , 𝑏 y entregara 𝑐
como aproximación a la raíz.
22. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Criterio para salir: Terminar cuando la longitud del
intervalo sea menor que un valor pequeño 𝑒 especificado
como otro parámetro para la función. Entonces el último
valor 𝑐 estará aproximadamente a una distancia 𝑒 de la
raíz.
23.
24. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo 2: Desde la ventana de comandos de MATLAB,
use la función bisección para calcular una raíz real de la
ecuación 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝜋 = 0. Suponer que se desea que
el error sea menor que 0.0001.
28. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Ejemplo 3: Encontrar las intersecciones en el primer
cuadrante de los gráficos de las funciones:
• 𝑓 = 4 + cos 𝑥 + 1 , 𝑔 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
31. INSTRUMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MÉTODO
DE LA BISECCIÓN
• Las intersecciones son las raíces de la ecuación
• ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0
• El calculo de las raíces se realiza con el método de la
bisección con un error menor a 0.0001