Este documento resume diferentes técnicas para factorizar expresiones matemáticas como polinomios, números y fracciones. Explica cómo factorizar utilizando un factor común, al factorizar binomios cuadrados perfectos, la diferencia de cuadrados y trinomios. También cubre la factorización por agrupación de términos con factores comunes. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método de factorización.

1. Por
ALEXANDRA LOAIZA ZAMORA
UNIVERISDAD DEL QUINDIO
FACULTAD CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES
PROGRAMA CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN Y LA DOCUMENTACIÓN,
ARCHIVISTICA Y BIBLIOTECOLOGIA
Mayo de 2013

2. Por
ALEXANDRA LOAIZA ZAMORA
Presentado
Ing. GIOVANNI SALAZAR OVALLE
UNIVERISDAD DEL QUINDIO
FACULTAD CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES
PROGRAMA CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN Y LA
DOCUMENTACIÓN, ARCHIVISTICA Y BIBLIOTECOLOGIA
Mayo de 2013
FATORIZACIÓN

3. FACTORIZACION
 la factorización (o factoreo) es la descomposición de una
expresión matemática (que puede ser un número, una
suma, una matriz, un polinomio.) en forma de
multiplicación.
 Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo
de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es
simplificar una expresión o reescribirla en términos de
bloques fundamentales, que reciben el nombre de
factores, como por ejemplo un número en números
primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

4. Factor Común:
 Se le llama así al factor que aparece en cada uno de los
términos de un polinomio.
 EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor
entre los números.

5. EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con
que aparece.
EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las
letras)
9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)
El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x
elevada a la menor potencia.

6. EJEMPLO 4: (Con fracciones)
4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 -
x4)
El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD
del denominador, y la x a la menor potencia.

7. FACTORIZACION DE UN BINOMIO
CUADRADO PERFECTO
 Los binomios cuadrados perfectos son de la forma:
(a+b) = (a+b)*(a+b):a +2ab+b2
 Realizando la multiplicación de forma algebraica
podemos comprobar que el resultado sea correcto

8.  Ejemplo 1:

Factorizar a2-4ab+4b2
 Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:
Raíz cuadrada del tercer término:
Doble producto de las raíces del primer y tercer término:
(2)(a)(2b)= 4ab
 Como podemos observar el doble producto de la
multiplicación de las raíces es igual al segundo término;
por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por
lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.

9.  Ejemplo 2:
 (Con fracciones)
x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)
x 3/5
9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25
también (de 5)
 Ejemplo 3: (Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que
(x3)2 es igual a x6

10. DIFERENCIA DE CUADRADOS
 Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al
sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por
la diferencia de la raíz del minuendo y la del
sustraendo.

11.  Ejemplo 1:

Factorizar 1-a2
 Realizando los pasos que se mencionan en la regla,
tenemos:
 Raíz cuadrada del minuendo:
Raíz cuadrada del sustraendo:

Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la
diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
 Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)

12.  Ejemplo 2:
(Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6
Ejemplo 2:(Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza
multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

13. FACTORIZACION DE TRINOMIOS
 EJEMPLO 1: (Términos positivos)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9.
Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x
("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro
término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la
factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

14.  EJEMPLO 2: (Con fracciones)
x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2
x 4/3
2. 4/3 . x
8/3 x
La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y
4/3.

15.  EJEMPLO 3: (Con potencias diferentes a "2")
x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2
x3 5
2.x3.5
10x3
Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un
"cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares
(4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por
ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una
propiedad de las potencias (potencia de potencia).

16. FACTORIZACION POR AGRUPACION
 Dado un polinomio en el cual no existe un factor
común no constante a todos los sumandos que lo
componen, en algunos casos es posible obtener la
factorización de dicho polinomio, realizando una
"agrupación conveniente" de aquellos sumandos que
poseen un factor común.

17.  Para factorizar factor común por agrupación de
términos:
 1. Se mira si el polinomio tiene un monomio común.
 2. Si no tiene, se asocia teniendo en cuenta los signos de
tal manera que cada grupo tenga un monomio común.
 3. Se factoriza el polinomio común que genera la
factorización de la agrupación anterior.
 Ejemplo 1:
 . 7ax + ay – 7bx – by = (7ax +ay) – (7bx + by)
 = a(7x + y) – b(7x + y)
 = (7x +y)(a – b

18.  .Ejemplo 2:
 a2 – b2 – 5a + 5b = (a2 – b2) – (5a – 5b)
 = (a + b) (a – b) – 5(a – b)
 = (a – b) (a + b – 5)
 Ejemplo 3:
 4ay – 2by + 2az – bz = 2y(2a – b) + z(2a – b)
 = (2a – b) (2y + z)