Examen diagnostico para cálculo

1. Calculo diferencial
1. Dada 𝑓( 𝑥) =
𝑥−1
𝑥2+2
, hallar f(0), f(-1), f(2a), f(1/x)
a)
𝑓(0) = 0; 𝑓(−1) =
−2
3
; 𝑓(2𝑎) =
2𝑎
2𝑎2 + 2
; 𝑓(1 𝑥⁄ ) =
1 − 𝑥2
1 + 2𝑥2
b)
𝑓(0) =
−1
2
; 𝑓(−1) =
−2
3
; 𝑓(2𝑎) =
2𝑎 + 1
4𝑎2 + 2
; 𝑓(1 𝑥⁄ ) =
𝑥 − 𝑥2
1 + 2𝑥2
c)
𝑓(0) =
1
2
; 𝑓(−1) =
−2
3
; 𝑓(2𝑎) =
2𝑎 + 2
𝑎2 + 2
; 𝑓(1 𝑥⁄ ) =
𝑥 − 𝑥2
1 + 2𝑥2
d)
𝑓(0) = −1; 𝑓(−1) =
2
3
; 𝑓(2𝑎) =
4𝑎 + 1
4𝑎2 + 2
; 𝑓(1 𝑥⁄ ) =
𝑥 − 𝑥2
1 + 2𝑥2
2. Escribir los primeros cinco términos de la siguiente sucesión {(−1) 𝑛+1 1
3𝑛−1
}, hallar
f(0), f(-1), f(2a), f(1/x)
a)
𝑠1 =
1
2
; 𝑠2 =
−1
5
; 𝑠3 =
1
8
; 𝑠4 =
−1
11
; 𝑠5 =
1
14
b)
𝑠1 =
−11
2
; 𝑠2 =
1
5
; 𝑠3 =
1
8
; 𝑠4 =
1
11
; 𝑠5 =
1
14
c)
𝑠1 =
3
2
; 𝑠2 =
−1
6
; 𝑠3 =
2
8
; 𝑠4 =
−2
11
; 𝑠5 =
1
14
d)
𝑠1 =
−1
2
; 𝑠2 =
1
5
; 𝑠3 =
−1
8
; 𝑠4 =
1
11
; 𝑠5 =
−1
14
3. Determina el dominio de la siguiente función 𝑦 =
1
√9−𝑥2
a) 𝑥 ≠ −3
b) 𝑥 ≠ 3
c) −3 ⩽ 𝑥 ⩽ 3

2. Página2 de 8
d) −3 < 𝑥 < 3
4. Calcular el límite de 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥2−4
𝑥2+4
a) ∄ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
b) 0
c) −4
d) 4
5. Calcular el límite de 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥2+𝑥−2
4𝑥3−1
a) 1
4
b) −1
4
c) 0
d) -1
6. Dada la siguiente función 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥2+𝑥−2
4𝑥3−1
, que tipo de discontinuidad tiene:
a) Tiene unadiscontinuidadevitableenx=2y tambiéntiene unadiscontinuidadevitable
enx=-2
b) Tiene unadiscontinuidadinfinitaenx=2y tambiéntiene unadiscontinuidadinfinita
enx=-2
c) Tiene unadiscontinuidadinfinitaenx=5
d) Tiene unadiscontinuidadinfinitaenx=0
7. Hallar la derivada de la función ( 𝑡2 − 3)4

3. Página3 de 8
a) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑡2( 𝑡2 − 3)³
b) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8( 𝑡2 − 3)³
c) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑡( 𝑡2 − 3)³
d) 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ( 𝑡2 − 3)³
8. Dada la función 𝑦 =
1
3
𝑥3 +
1
2
𝑥2 − 6𝑥 + 8, calcular los puntos críticos de la función.
a) Los puntoscríticos son(-3, 43/2) y (2, 2/3)
b) Los puntoscríticos son(3,1/2) y (-2,2/3)
c) Los puntoscríticos son(-3, 4/2) y (2,- 2/3)
d) Los puntoscríticos son(-3, 0) y (-2,2/3)
9. Calcula la derivada de la función 𝒚 = −𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙+ 𝒄𝒐𝒔𝒙 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙.
a) 𝒚′ = ( 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙
b) 𝒚′ = (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙) − 𝒔𝒆𝒏𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙
c) 𝒚′ = 𝟐( 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝟒𝒔𝒆𝒏𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙
d) 𝒚′ = (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙) − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙
10. Calcula la derivada de la función 𝒚 = 𝒆 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙
a) 𝒚′ = 𝒆 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙
b) 𝒚′ = 𝟑𝒆 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙
c) 𝒚′ = 𝒆 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙
d) 𝒚′ = 𝟑𝒆 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙

4. Página4 de 8
Respuestas
1. B
2. A
3.D
4. B
5. C
6. A
7. C
8. A
9. D
10. B
Calculo Integral
11. ¿Cuál es el resultado de evaluar la siguiente integral ∫ 𝑥2 𝑒 𝑥3
𝑑𝑥?
a) 1
3
𝑒 𝑥3
+ 𝑐
b) 𝑥2 𝑒 𝑥3
+ 𝑐
c) 𝑥3 𝑒 𝑥3
+ 𝑐
d) 1
2
𝑒 𝑥3
+ 𝑐
12. Encuentra el valor de la siguiente integral definida ∫
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑒
1
a) 1
3
b) 𝑒

5. Página5 de 8
c) 1
𝑒
d) 1
2
13. Utilizando identidades trigonométricas cual es el resultado de la siguiente integral
∫ 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥
a) 𝑠𝑒𝑐²𝑥 + 𝑐
b) 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥+ 𝑐
c) −𝑙𝑛| 𝑐𝑜𝑠𝑥|+ 𝑐
d) −𝑙𝑛| 𝑠𝑒𝑛𝑥| + 𝑐
14. Utilizando fracciones parciales, calcular el resultado de la siguiente
integral∫
𝑥3+𝑥2+𝑥+2
𝑥4+3𝑥2+2
𝑑𝑥
a) 1
2
ln( 𝑥2 + 4) +
1
2
ln( 𝑥2 + 2) + 𝑐
b)
𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 +
1
2
ln( 𝑥2 + 2) + 𝑐
c) 1
4
ln( 𝑥2 + 1) +
1
2
ln( 𝑥2 + 2) + 𝑐
d)
tan 𝑥 +
1
2
ln( 𝑥2 + 2) + 𝑐
15. Utilizando la regla ILATE resolver la siguiente integral∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
a) 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
c) 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
d) 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐

6. Página6 de 8
16. Resuelve la siguiente integral∫
𝑥3+5𝑥2−4
𝑥2
𝑑𝑥
a) 1
2
𝑥2 + 5𝑥 +
4
𝑥
+ 𝑐
b) 1
2
𝑥2 + 𝑥 +
4
𝑥
+ 𝑐
c) 1
2
+ 5𝑥 +
4
𝑥
+ 𝑐
d)
𝑥2 − 4𝑥 +
4
𝑥
+ 𝑐
17. Resuelve la siguiente integral definida. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙
𝟑𝝅/𝟒
𝝅/𝟐
a) 1
2
b) 1
2
√3
c) 1
2
√2
d) 2√2
18. Resuelve la siguiente integral definida. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙
𝟑𝝅/𝟒
𝝅/𝟐
a) 1
2
b) 1
2
√3
c) 1
2
√2

7. Página7 de 8
d) 2√2
19. Resuelve la siguiente integral definida. ∫
𝒅𝒙
√ 𝒙
𝟒
𝟏
a) 1
2
b) 3
c) 0
d) 2
20. Resuelve la siguiente integral definida. ∫ (
𝟏
𝒙 𝟐
−
𝟏
𝒙 𝟑
)
−𝟏
−𝟑 𝒅𝒙
a) 10
2
b)
−
10
2
c) 10
9
d)
−
10
9
Respuestas
11. A
12. D
13. C
14. B
15. D
16. A

8. Página8 de 8
17. C
18. C
19. D
20. C