Este documento presenta la resolución de un problema de optimización a través del método de reducción. Se reducen las 3 ecuaciones originales a un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, despejando z primero e y luego x. Los valores hallados son x=2/3, y=-1, z=-2. Al sustituir en la función objetivo F(t)=2x^3+z^4-3y^2 se obtiene un valor óptimo de F(t)=170/3.

1. RESOLUCIÓN EJERCICIO
OPTIMIZACION
METODO DE REDUCCIÓN
REALIZADO POR:
CIRO POLANCO
C.I. 22.134.490

2. RESOLVER POR MÉTODO DE REDUCCION EL
SIGUIENTE PROBLEMA DE OPTIMIZACION
•
𝑥2′ − 3Y +
5
3
𝑧 =1
−X +
4
3
𝑦 − 𝑧 = 0
3
2
𝑥 + 𝑦 −
1
2
𝑧 = 1
• FUNCIÓN OBJETIVO
𝑭 𝒕 = 𝟐𝒙 𝟑’+ 𝒛 𝟒’’- 𝟑𝒚 𝟐’
Ec. 1
Ec. 2
Ec. 3

3. TENEMOS NUESTRO SISTEMA DE ECUACIONES DE
3X3. DERIVAMOS EL TERMINO QUE SE NOS INDICA
PARA QUE SEA UN SISTEMA TOTALMENTE LINEAL
•
𝑥2′ − 3Y +
5
3
𝑧 =1
−X +
4
3
𝑦 − 𝑧 = 0
3
2
𝑥 + 𝑦 −
1
2
𝑧 = 1

2𝑥 − 3Y +
5
3
𝑧 =1
−X +
4
3
𝑦 − 𝑧 = 0
3
2
𝑥 + 𝑦 −
1
2
𝑧 = 1

4. REDUCIMOS LA ECUACION 1 CON LA ECUACION 2
PARA FORMAR LA ECUACION 4
• MULTIPLICAMOS LA ECUACIÓN 2 POR EL PRIMER COEFICIENTE DE LA ECUACIÓN 1
(2)
2(−X +
4
3
𝑦 − 𝑧 = 0) = −2𝑥 +
8
3
𝑦 − 2𝑧 = 0
• AL RESULTADO LO SUMAMOS CON LA ECUACIÓN 1 PARA FORMAR LA ECUACIÓN 4
−
1
3
𝑦 −
1
3
𝑧=1
−2𝑥 +
8
3
𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑥 − 3y +
5
3
𝑧 =1
Ec. 4

5. REDUCIMOS LA ECUACION 2 CON LA ECUACION 3
PARA FORMAR LA ECUACION 5
• MULTIPLICAMOS LA ECUACIÓN 2 POR EL PRIMER COEFICIENTE DE LA ECUACIÓN 3
( 3/2)
3
2
(−X +
4
3
𝑦 − 𝑧 = 0) = −
3
2
𝑥 + 2𝑦 −
3
2
𝑧 = 0
• AL RESULTADO LO SUMAMOS CON LA ECUACIÓN 3 PARA FORMAR LA ECUACIÓN 5
3
2
𝑥 + 2y −
3
2
𝑧 =1
−
3
2
𝑥 + 𝑦 −
1
2
𝑧 = 0
3𝑦 − 2𝑧 =1 Ec. 5

6. AHORA REDUCIMOS LAS ECUACIONES 4 Y 5 PARA
SIMPLIFICAR EL DESPEJE DE UNA DE LAS
VARIABLES
• TENEMOS AHORA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES
•
−
1
3
𝑦 −
1
3
𝑧=1
3𝑦 − 2𝑧 =1
Ec. 4
Ec. 5

7. REDUCIMOS LA ECUACION 4 CON LA ECUACION 5
PARA SIMPLIFICAR EL DESPEJE DE Z
• MULTIPLICAMOS LA ECUACIÓN 4 POR EL PRIMER COEFICIENTE DE LA ECUACIÓN 5
(3)
3(−
1
3
𝑦 −
1
3
𝑧=1) = −𝑦 − 𝑧 = 3
• MULTIPLICAMOS LA ECUACIÓN 5 POR EL PRIMER COEFICIENTE DE LA ECUACIÓN 4
INVIRTIENDO SU SIGNO(1/3 1/3)
1
3
(3𝑦 − 2𝑧 =1) = 𝑦 −
2
3
𝑧 =
1
3
• SUMAMOS AMBOS TERMINOS PARA FORMAR LA ECUACION 6
−𝑦 − 𝑧 = 3
𝑦 −
2
3
𝑧 =
1
3
−
5
3
𝑧 =
10
3
Ec. 6

8. DESPEJAMOS Z DE LA ECUACIÓN 6
• TENEMOS QUE :
−
5
3
𝑧 =
10
3
→ −5Z = 3
10
3
→ −5Z =
30
3
→ −5Z = 10
𝑧 =
10
−5
𝒁 = −𝟐
Ec. 6

9. SUSTITUIMOS EL VALOR DE Z EN ECUACION 4 O 5,
RESOLVEMOS OPERACIONES Y DESPEJAMOS EL
VALOR DE Y
• TOMAREMOS LA ECUACION 5
3𝑦 − 2𝑧 = 1 → 3𝑦 − 2 −2 = 1 → 3𝑦 + 4 = 1
3𝑦 = 1 − 4 → 3𝑦 = −3 → 𝑦 = −3/3
𝒚 = −𝟏

10. SUSTITUIMOS EL VALOR DE Y & Z CUALQUIERA DE
LAS ECUACIONES ORIGINALES, RESOLVEMOS Y
DESPEJAMOS EL VALOR DE X
• TOMAREMOS LA ECUACION 1
2𝑥 − 3𝑦 +
5
3
𝑧 = 1 → 2𝑥 − 3 −1 +
5
3
−2 = 1 → 2𝑥 + 3 −
10
3
= 1
2𝑥 = 1 − 3 +
10
3
→ 2𝑥 =
4
3
→ 𝑥 =
4
3
2
𝒙 =
𝟐
𝟑

11. TENIENDO LOS VALORES DE LAS INCOGNITAS,
SUSTITUIMOS EN EL SISTEMA ORIGUNAL Y
COMPROBAMOS QUE SE CUMPLAN LAS
IGUALDADES
2𝑥 − 3Y +
5
3
𝑧 =1
−X +
4
3
𝑦 − 𝑧 = 0
3
2
𝑥 + 𝑦 −
1
2
𝑧 = 1
→
2(
2
3
) − 3(−1) +
5
3
(−2) =1
−(
2
3
)+
4
3
(−1) − (−2) = 0
3
2
(
2
3
) + (−1) −
1
2
(−2) = 1
4
3
+ 3 −
10
3
= 1
−
2
3
−
4
3
+ 2 = 0
1 − 1 + 1 = 1

12. DERIVAMOS LA FUNCIÓN OBJETIVO ANTES DE
SUSTITUIR LOS VALORES HALLADOS Y DARLE
SOLUCION A NUESTRO PROBLEMA DE
OPTIMIZACION.
𝐹(𝑡) = 2𝑥3′ + 𝑧4′′ −3𝑦2 ′
𝐹′
𝑡 = 6𝑥2
+ 4𝑧3′
− 6𝑦
𝑭′′ 𝒕 = 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝒛 𝟐 − 𝟔𝒚
𝑭 𝒕 = 𝟔(
𝟐
𝟑
) 𝟐
+ 𝟏𝟐(−𝟐) 𝟐
− 𝟔 −𝟏
𝑭 𝒕 = 𝟔
𝟒
𝟗
+ 𝟏𝟐 𝟒 + 𝟔
𝑭 𝒕 =
𝟖
𝟑
+ 𝟒𝟖 + 𝟔
𝑭 𝒕 = 𝟏𝟕𝟎/𝟑