1) La ecuación de Boltzmann describe el movimiento de partículas cargadas bajo la influencia de campos externos y colisiones. Relaciona la variación de la función de distribución con los campos aplicados y las colisiones. 2) En el caso estacionario, la ecuación de Boltzmann equilibra los efectos de los campos externos con el término de colisiones. Se puede aproximar la solución usando el tiempo de relajación τ, que representa el tiempo que tarda el sistema en volver al equilibrio tras una perturb

1. La ecuaci´n de Boltzmann
o
Efectos de transporte: fen´menos f´
o ısicos determinados por el movimiento de cargas
el´ctricas bajo la acci´n de campos internos o externos o gradientes de temperatura.
e o
Ecuaci´n cin´tica de Boltzmann: es el m´todo empleado para estudiar las variaciones
o e e
de la funci´n de distribuci´n debido a las perturbaciones producidas por los campos.
o o
La funci´n de distribuci´n de los electrones en el s´lido en equilibrio es la de Fermi-
o o o
Dirac:
1
f0 (E(k)) = (E(k)−EF )/kT
1+e
La funci´n de distribuci´n es independiente de r porque se supone homogeneidad.
o o
Fuera del equilibrio, la funci´n de distribuci´n f (r, k, t) depender´ en general de la
o o a
posici´n y el tiempo. Los valores de r y k ser´n alterados por los campos externos y
o a
las colisiones. La variaci´n total de f respecto de t ser´:
o a
f (r, k, t) ∂f dr 1
= + rf · + kf · Fa
dt ∂t dt h¯
siendo Fa el conjunto de las fuerzas aplicadas. Como el n´mero total de estados es
u
constante, df /dt = 0, luego
∂f 1
− =v· rf + Fa · kf
∂t h
¯
Hay dos tipos de fuerzas, las debidas a campos externos y las debidas a campos
internos (defectos, impurezas, vibraciones de la red). Podemos separar Fa = F + FD
y
∂f ∂f ∂f
= +
∂t ∂t campos
∂t colisiones
siendo
∂f 1
= FD · kf
∂t colisiones
h
¯
y
∂f 1
=v· rf + F· kf
∂t campos
h
¯
Determinemos la forma anal´ ıtica del t´rmino de colisiones (integral de colisiones).
e
Sea W (k, k ) la probabilidad por unidad de tiempo de que las part´ ıculas pasen de un
estado (r, k) a un estado (r , k ) por efecto de las colisiones. Es evidente que r ∼ r .
1

2. Consideremos dos vol´menes elementales alrededor de los puntos k y k . Teniendo
u
en cuenta el spin, el n´mero de estados ocupados ser´:
u a
1 3 1
f (r, k) 3
d k y f (r, k ) 3 d3 k
4π 4π
Del mismo modo, el n´mero de estados libres ser´, respectivamente,
u a
1 3 1 3
[1 − f (r, k)] dk y [1 − f (r, k )] dk
4π 3 4π 3
El n´mero de estados ocupados deber´ variar en dt
u a
1 3 1
−dt W (k, k ) 3
d kf (r, k) [1 − f (r, k )] 3 d3 k +
4π 4π
1 1
+dt W (k , k) 3 d3 k f (r, k ) [1 − f (r, k)] 3 d3 k .
4π 4π
Extendiendo la integral a toda la zona de Brillouin (ZB), obtenemos la variaci´n total
o
del n´mero de estados ocupados en el volumen en dt
u
1 3 1 3
dt dk {W (k , k)f (r, k ) [1 − f (r, k)] − W (k, k )f (r, k) [1 − f (r, k )]} dk
4π 3 4π 3
El n´mero de estados permitidos ocupados por las part´
u ıculas en cualquier instante de
3 3
tiempo es f (r, k)d k/4π , luego la variaci´n de estos estados debido a las colisiones
o
es
∂f d3 k
dt 3
∂t colisiones 4π
Por tanto
∂f 1 3
= {W (k , k)f (r, k ) [1 − f (r, k)] − W (k, k )f (r, k) [1 − f (r, k )]} dk
∂t colisiones
4π 3
Si las probabilidades de transici´n directa e inversa son iguales,
o
∂f 1 3
= W (k, k ) [f (r, k) − f (r, k )] dk
∂t colisiones
4π 3
En el caso estacionario ∂f /∂t = 0 y la ecuaci´n de Boltzmann se escribe:
o
∂f ∂f
=−
∂t campos
∂t colisiones
Luego la ecuaci´n de Boltzmann en el caso no estacionario puede escribirse como
o
2

3. 1 1 3
v· rf + F· kf = W (k, k ) [f (r, k) − f (r, k )] dk
h
¯ 4π 3
El tiempo de relajaci´n
o
Supongamos que en t = 0 suprimimos los campos. La variaci´n de la funci´n de
o o
distribuci´n se corresponder´ con el t´rmino de colisiones:
o a e
∂f ∂f
=−
∂t ∂t colisiones
Las colisiones garantizan el retorno al equilibrio. La hip´tesis m´s simple para de-
o a
scribir la evoluci´n del proceso es que la velocidad de restablecimiento del equilibrio
o
es proporcional a la diferencia entre la funci´n de distribuci´n en t y la funci´n de
o o o
distribuci´n en equilibrio. Es decir:
o
∂f ∂f f (r, k, t) − f0 (r, k)
=− =−
∂t ∂t colisiones
τ (k)
La soluci´n de esta ecuaci´n es
o o
f (r, k, t) − f0 (r, k) = [f (r, k, 0) − f0 (r, k)] e−t/τ (k)
Dado que
∂f 1 3 f − f0
= W (k, k ) [f (r, k) − f (r, k )] 3
d k =−
∂t colisiones
4π τ (k)
tendremos que
1 1
= 3 W (k, k ) [f (r, k ) − f (r, k)] d3 k
τ (k) 4π
y la ecuaci´n de Boltzmann se puede escribir en la forma
o
1 f (r, k) − f0 (r, k)
v· rf + F· kf =−
h
¯ τ (k)
3

4. La ecuaci´n de Boltzmann
o
La ecuaci´n de Boltzmann puede escribirse como:
o
∂f e ∂f
+v· r + E· kf =
∂t h
¯ ∂t s
donde, como vimos el dia pasado,
∂f 1
= W (k, k ) [f (r, k ) − f (r, k)] d3 k
∂t s
4π 3
La aproximaci´n del tiempo de relajaci´n
o o
La idea es la siguiente. La presencia de campos externos produce una variaci´n deo
la funci´n de distribuci´n que pasa de f0 a fest . Si en t = 0 se suprimen los campos
o o
externos, la funci´n de distribuci´n vuelve a la funci´n de distribuci´n de equilibrio
o o o o
de manera que
∂f f − f0
=−
∂t τ
Con la condici´n inicial f (t = 0, k) = fest , la soluci´n a esta ecuaci´n es:
o o o
f − f0 = (fest − f0 )e−t/τ
La aproximaci´n del tiempo de relajaci´n permite una soluci´n aproximada de la
o o o
ecuaci´n de Boltzmann para el caso estacionario. En estado estacionario, suponiendo
o
que tenemos un campo el´ctrico aplicado, la ecuaci´n del Boltmann puede escribirse
e o
como:
e f (k) − f0 (k)
E · kf = −
h
¯ τ (k)
Reescribiendo la ecuaci´n en t´rminos de f ,
o e
e
f (k) = f0 (k) − τ (k) E · k f
h
¯
En principio esta ecuaci´n puede resolverse de forma iterativa. Pero si estamos in-
o
teresados en fen´menos lineales en el campo el´ctrico E, una soluci´n aproximada
o e o
es: e
f (k) ≈ f0 (k) − τ (k) E · k f0
h
¯
Luego para el problema lineal o para campos el´ctricos d´biles, podemos entender
e e
la ecuaci´n previa como el desarrollo de la funci´n de distribuci´n para un punto k
o o o
cercano (la funci´n de distribuci´n no se aleja mucho del equilibrio):
o o
e
f (k) ≈ f0 k − τ (k) E
h
¯
La funci´n de distribuci´n estacionaria resultante de la aplicaci´n de un campo
o o o
el´ctrico E, incluyendo los efectos de las colisiones a trav´s de τ puede represen-
e e
tarse como una distribuci´n de Fermi desplazada una cantidad eτ E/¯ . Volvamos a
o h
4

5. escribir la ecuaci´n de Boltzmann en la aproximaci´n del tiempo de relajaci´n, es-
o o o
cribiendo la expresi´n de la fuerza de Lorentz y suponiendo que tenemos tambi´n
o e
inhomogeneidades espaciales:
e f (r, k) − f0 (r, k) f (1) (r, k)
v· rf + [E + v × B] · kf =− =−
h
¯ τ (k) τ (k)
Nos hace falta hallar los gradientes de f , siendo f = f0 + f (1) . Recordemos que
1
f0 (r, k) = ,
1+ e(E(k)−EF (r))/kT (r)
es decir que la dependencia en k est´ en la energ´ del electr´n, mientras que la
a ıa o
dependencia espacial puede estar en la temperatura (variaciones de T a lo largo del
semiconductor) o en el nivel de Fermi (variaciones de la concentraci´n de portadores).
o
Hallemos los gradientes de f0 .
e(E−EF )/kT E − EF
r f0 = −
[1 + e(E−EF )/kT ]2 kT
Dado que
∂f0 e(E−EF )/kT 1
=− (E−EF )/kT ]2 kT
,
∂E [1 + e
podemos escribir la ecuaci´n anterior como
o
∂f0
r f0 =− [ EF + (E − EF ) ln T ]
∂E
La derivada en k es simplemente
∂f0
k f0 = hv
¯
∂E
y llegamos a la ecuaci´n
o
f (1) (r, k) (1) 1 (1) ∂f0
− =v· rf + FL · kf + {v · [eE − EF − (E − EF ) ln T ]}
τ (k) h
¯ ∂E
dado que v · v × B es cero.
Si f no var´ mucho respecto de f0 , podemos considerar que las derivadas de f (1) son
ıa
un infinit´simo de orden superior respecto a f (1) y resolver la ecuaci´n anterior de
e o
forma iterativa. Es decir, tomar en primer orden
∂f0
f (1) (r, k) ≈ − τ (k) v · [eE − EF − (E − EF ) ln T ] .
∂E
Si nos quedamos en esta aproximaci´n, el campo magn´tico no aparece. Hemos de
o e
introducir el campo magn´tico a trav´s del t´rmino
e e e
e (1)
v×B· kf
h
¯
5

6. Para simplificar, llamemos
χ(r, k) = τ (k) [eE − EF − (E(k) − EF ) ln T ] ,
de manera que la ecuaci´n para f (1) es, en primer orden:
o
∂f0 ∂f0 1 dE
f (1) = − v·χ=− χj
∂E ∂E h dkj
¯
El gradiente
(1) ∂f0 χ ∂f0
kf =− h
¯ −v· k χ
∂E m ∂E
El producto mixto
e (1) ∂f0 χ
v×B· kf = ev · ×B
h
¯ ∂E m
Luego la cantidad
χ
χ = −τ (eφ + EF ) + (E − EF ) ln T − e ×B ,
m
Si, para simplificar, llamamos
A = −τ [ (eφ + EF ) + (E − EF ) ln T ] ,
se puede resolver la ecuaci´n anterior para χ:
o
A e2 τ 2 B
A + eτ ×B+ A·B
m |m | m
χ=
e2 τ 2
1+ Bm B
|m |
Recordemos que
∂f0
f (1) = − v·χ
∂E
Densidad de corriente el´ctrica y densidad de flujo de energ´
e ıa
El pr´ximo d´ veremos que la densidad de corriente puede escribirse como
o ıa
e e
j= vf (r, k)d3 k = vf (1) (r, k)d3 k
4π 3 4π 3
y la densidad de energ´
ıa
1 1
w= E(k)vf (r, k)d3 k = E(k)vf (1) (r, k)d3 k
4π 3 4π 3
6