El documento explica las ecuaciones diferenciales exactas, incluyendo su definición, método de solución y un ejemplo resuelto. Las ecuaciones diferenciales exactas son aquellas que cumplen que la derivada parcial de una función respecto a una variable es igual a la derivada parcial de otra función respecto a la otra variable. Para resolverlas, se debe encontrar una función tal que sus derivadas parciales sean iguales a los términos de la ecuación diferencial. Finalmente, el documento menciona algunas aplicaciones de estas ecuaciones, como

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Barcelona, agosto de 2016.
Alumno:
Pedro Yaguaracuto.
C.I:22.672.879

2. ECUACIONES EXACTAS
    0,,  dyyxNdxyxM
   
x
yxN
y
yxM




 ,,
Definición.
Una ecuación diferencial de la forma
se dice que es exacta si
(1)

3.     dy
y
yxf
dx
x
yxf
dyyxNdxyxM






),(),(
,,
para toda (x,y), es decir
     
     3...................,
,
2.................,
,
yxN
y
yxf
yxM
x
yxf






Si la ecuación (1) es exacta entonces existe una función f(x,y) tal
que

4.    yhdxyxMyxf   ),(,
     yhdxyxM
yy
yxf






 ),(
,
 




dxyxM
y
yxN
y
yh
),(),(
)(
MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA:
Integrando (2) con respecto a la variable x obtenemos
derivando (4) con respecto a la variable y tenemos
igualando esta expresión con (3) obtenemos )( yh
(4)

5.     







 dydxyxM
y
yxNdxyxMyxf ),(),(),(,
La integración con respecto a la variable y se obtiene de una manera
similar.
la cual al integrarla nos da h(y), que sustituyendo en (4), obtenemos la
solución general de la ecuación diferencial exacta (1):

6. 3x2 + 2xy + 3y2 + (x2 + 6xy)y´ = 0 , y(1) = 2
EJEMPLO
Aquí, las funciones P y Q caracterizadas en la teoría de ecuaciones exactas
serían: P = 3x2 + 2xy + 3y2 ; Q = (x2 + 6xy)
x
Q
yx
y
P





62
y por lo tanto se trata de una ecuación exacta. A fin de resolverla, tenemos
que encontrar una función f tal que fx = P y fy = Q. Tenemos así:
donde
)(3323 22322
yCxyyxxfyxyx
x
f
Pfx 




7. Derivando ahora este resultado con respecto a y tenemos:
1)(62)(62 KyCxyxyQyCxyxyfy 
K1 =0 y entonces: f = x3 + x2y + 3y2x
La solución a la ecuación diferencial lema vendrá dada, pues, por:
x3 + x2y + 3y2x = K
Introduciendo la condición inicial, sabemos que y(1) = 2; e ingresando estos
valores en la ecuación anterior se tiene:
1 + 2 + 3·4 = K = 15
Con lo cual:
x3 + x2y + 3y2x = 15

11. Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales Exactas
Las ecuaciones se pueden usar en diferentes aplicaciones de la vida
diaria. Las ecuaciones Exactas por su facilidad en cuanto a seguir
una regla matemática pueden ser usadas para obtener ecuaciones
generales de crecimiento de tasa por ejemplo, esto lo podemos
aplicar por ejemplo en la biología para medir la tasa de crecimiento
en determinada población mediante la siguiente expresión:
dy / dt = y
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el
crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o
encogimiento) ocurre sí < 0.

12. (2xy - 3x2) dx +(x2 -2y) dy = 0

13. www.mtm.ufsc.br/~daniel/sem1_05/pugeo/EDO1.doc
BIBLIOGRAFÍA
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_
exacta