Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores. Define vectores y cantidades escalares, y explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Describe formas de representar vectores gráficamente usando flechas y coordenadas polares, y define operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares, y vectores opuestos. Finalmente, presenta métodos gráficos para realizar sumas y restas de vectores.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) La definición de vectores, cantidades escalares y vectoriales.
2) Formas de representar vectores gráficamente y analíticamente.
3) Operaciones básicas con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
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2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
Este documento describe conceptos básicos sobre vectores, incluyendo sus diferentes tipos, representaciones y operaciones. Explica que los vectores son cantidades que requieren módulo, dirección y sentido, a diferencia de los escalares. También describe cómo representar vectores gráficamente, analíticamente y mediante componentes, así como cómo sumar, restar y multiplicar vectores. Finalmente, presenta fórmulas para calcular cosenos directores y la distancia entre dos puntos en el espacio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores. Explica que un vector contiene magnitud y dirección, mientras que una cantidad escalar solo contiene magnitud. Describe cómo se representan vectores mediante flechas con longitud y orientación, y cantidades escalares mediante números y unidades. También cubre temas como componentes de vectores, coordenadas polares y rectangulares, y cómo calcular desplazamientos resultantes de varios vectores.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores. Explica que un vector contiene magnitud y dirección, mientras que una cantidad escalar solo contiene magnitud. Describe cómo encontrar los componentes de un vector a lo largo de los ejes x e y, y cómo determinar la resultante de dos o más vectores mediante la suma de sus componentes correspondientes. También cubre la notación de coordenadas polares y rectangulares para expresar vectores, así como el uso de la trigonometría para resolver problemas de vectores.
Este documento presenta el contenido de un curso de física sobre vectores. Incluye tres unidades sobre mecánica, calorimetría y trabajo, potencia y energía. Explica conceptos básicos de vectores como cantidades escalares y vectoriales, suma y resta de vectores usando métodos gráficos y analíticos. También presenta actividades para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores. Define vectores y cantidades escalares, y explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Describe formas de representar vectores gráficamente usando flechas y coordenadas polares, y define operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares, y vectores opuestos. Finalmente, presenta métodos gráficos para realizar sumas y restas de vectores.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) La definición de vectores, cantidades escalares y vectoriales.
2) Formas de representar vectores gráficamente y analíticamente.
3) Operaciones básicas con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores, incluyendo:
1) Definiciones de magnitudes escalares y vectoriales, y ejemplos de cada una
2) Formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica
3) Tipos de vectores como paralelos, iguales, opuestos, etc.
4) Operaciones básicas con vectores como suma y resta gráficamente y analíticamente usando teoremas como Pitágoras.
Este documento describe conceptos básicos sobre vectores, incluyendo sus diferentes tipos, representaciones y operaciones. Explica que los vectores son cantidades que requieren módulo, dirección y sentido, a diferencia de los escalares. También describe cómo representar vectores gráficamente, analíticamente y mediante componentes, así como cómo sumar, restar y multiplicar vectores. Finalmente, presenta fórmulas para calcular cosenos directores y la distancia entre dos puntos en el espacio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores. Explica que un vector contiene magnitud y dirección, mientras que una cantidad escalar solo contiene magnitud. Describe cómo se representan vectores mediante flechas con longitud y orientación, y cantidades escalares mediante números y unidades. También cubre temas como componentes de vectores, coordenadas polares y rectangulares, y cómo calcular desplazamientos resultantes de varios vectores.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores. Explica que un vector contiene magnitud y dirección, mientras que una cantidad escalar solo contiene magnitud. Describe cómo encontrar los componentes de un vector a lo largo de los ejes x e y, y cómo determinar la resultante de dos o más vectores mediante la suma de sus componentes correspondientes. También cubre la notación de coordenadas polares y rectangulares para expresar vectores, así como el uso de la trigonometría para resolver problemas de vectores.
Este documento presenta el contenido de un curso de física sobre vectores. Incluye tres unidades sobre mecánica, calorimetría y trabajo, potencia y energía. Explica conceptos básicos de vectores como cantidades escalares y vectoriales, suma y resta de vectores usando métodos gráficos y analíticos. También presenta actividades para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
Este documento contiene definiciones y conceptos básicos sobre vectores. Explica términos como módulo, dirección, sentido de un vector, así como operaciones entre vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También define conceptos como cosenos directores, vector unitario, área de figuras geométricas dadas sus coordenadas, y derivadas de vectores respecto a escalares. El documento provee una introducción completa a los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento describe los conceptos básicos de los vectores. Existen dos tipos de cantidades físicas: escalares y vectoriales. Las cantidades escalares solo tienen magnitud, mientras que las cantidades vectoriales tienen magnitud y dirección. El documento explica cómo representar vectores gráficamente y mediante coordenadas, y describe operaciones como la suma y multiplicación de vectores.
Este documento describe diferentes tipos de cantidades y operaciones con vectores. Explica que las cantidades escalares se especifican por su magnitud y unidad, mientras que los vectores también incluyen una dirección. Detalla métodos para sumar y restar vectores, como el polígono y el paralelogramo. También cubre cómo multiplicar un vector por un escalar, y calcular componentes rectangulares de vectores.
El documento presenta información sobre sistemas de coordenadas, vectores, álgebra vectorial, producto escalar y producto vectorial. Explica conceptos básicos como puntos en el espacio cartesiano, vectores, sumas y diferencias vectoriales, y aplicaciones de productos escalares y vectoriales para resolver problemas geométricos y físicos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del análisis vectorial. Introduce vectores y escalares, y explica que los vectores requieren una magnitud, dirección y sentido para expresarse. Luego describe las propiedades de los vectores, incluidas las operaciones de suma y resta vectoriales, y la multiplicación de un escalar por un vector. Finalmente, introduce los conceptos de producto escalar y producto vectorial, incluyendo sus propiedades y aplicaciones geométricas. El documento proporciona una visión general completa de los principios básicos del aná
1) El documento describe las diferencias entre cantidades escalares y vectoriales, y provee ejemplos de cada una. 2) Explica cómo representar cantidades vectoriales usando componentes, vectores unitarios, y sistemas de coordenadas. 3) Detalla métodos geométricos y analíticos para realizar operaciones entre vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto escalar.
Este documento describe métodos para sumar cantidades vectoriales y escalares. Explica que las cantidades vectoriales tienen magnitud y dirección, mientras que las escalares solo tienen magnitud. También presenta dos métodos gráficos, el método del polígono y el método del paralelogramo, para sumar vectores mediante la representación de su magnitud y dirección. Resuelve un ejemplo utilizando el método del polígono para encontrar el desplazamiento resultante de un barco después de varios días de viaje en diferentes direcciones.
Este documento presenta información sobre vectores, incluyendo su definición, propiedades, operaciones como adición y sustracción, y ejemplos. Explica que los vectores son magnitudes físicas que requieren una magnitud, dirección y sentido para estar completamente definidos, y que pueden representarse gráficamente mediante flechas. También cubre temas como descomposición rectangular de vectores, vectores unitarios, y cómo resolver problemas utilizando conceptos vectoriales.
Este documento presenta información sobre vectores, incluyendo su definición, propiedades y operaciones. Explica que los vectores son magnitudes físicas que requieren una dirección y sentido, además de un valor numérico. Describe cómo representar vectores gráficamente y define conceptos como magnitudes escalares, vectoriales, módulo y componentes rectangulares de un vector. Además, detalla métodos para realizar operaciones como suma, resta y descomposición de vectores. El documento proporciona ejemplos para ilustrar los diferentes conceptos.
El documento define conceptos básicos de vectores y cantidades escalares. Explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Describe formas de representar vectores gráficamente y con notación algebraica. También cubre operaciones básicas con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares.
Este documento describe vectores y fuerzas. Explica que los vectores se caracterizan por su módulo, dirección y sentido. También describe cómo sumar y restar vectores geométricamente usando el método del paralelogramo. Finalmente, explica que las fuerzas concurrentes son fuerzas que intersectan en un punto común o comparten el mismo punto de aplicación.
El documento presenta una introducción al análisis vectorial, incluyendo conceptos como vectores, campos vectoriales, suma y resta de vectores, multiplicación por escalares, sistema de coordenadas cartesianas, vectores unitarios, campo vectorial, producto punto y producto vectorial cruz. Se proveen ejemplos para ilustrar los conceptos y se explican las propiedades de las operaciones vectoriales.
Este documento presenta una introducción al análisis vectorial para física. Explica conceptos básicos como escalares, vectores y tensores. Describe elementos de vectores como magnitud, dirección y sentido. Presenta descomposiciones vectoriales, producto escalar, producto vectorial y ejemplos de aplicación. El análisis vectorial proporciona una herramienta matemática útil para modelar situaciones físicas.
Este documento presenta los fundamentos del análisis vectorial. Introduce conceptos clave como escalares, vectores, campos escalares y vectoriales. Explica cómo representar vectores usando sistemas de coordenadas cartesianas, incluyendo descomponer un vector en sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También cubre sumas y multiplicaciones básicas de vectores.
Este documento describe vectores en tres dimensiones. Explica que en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, un vector se representa como una tríada de números reales correspondientes a sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También define conceptos como la suma y resta de vectores, y la multiplicación de un vector por un escalar en tres dimensiones.
Este documento introduce el análisis vectorial como una herramienta matemática útil para expresar y comprender conceptos físicos como velocidad y fuerza. Explica la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales, y define vectores y sus propiedades como magnitud y dirección. También cubre la suma y resta de vectores, producto escalar y vectorial de dos vectores, y proporciona ejemplos ilustrativos de su aplicación a conceptos como desplazamiento, trabajo y velocidad.
El documento introduce los conceptos de magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares solo requieren un número y unidad para definirse, mientras que las magnitudes vectoriales también necesitan dirección y sentido. Los vectores pueden representarse gráficamente mediante flechas y se definen por su magnitud, dirección y sentido. Existen métodos para sumar vectores gráfica y analíticamente.
Este documento presenta los conceptos introductorios sobre magnitudes físicas y sistemas de unidades. Define una magnitud física como una propiedad cuantificable de un cuerpo o sistema, y explica que una magnitud puede ser escalar o vectorial. Además, introduce los conceptos de sistema de medidas, magnitudes y unidades fundamentales, señalando que en el Sistema Internacional estas son 7 magnitudes (masa, longitud, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia y intensidad luminosa) y sus correspondientes unidades (kg, m, s, A, K, mol,
El ensayo discute cómo encontrarle sentido a la vida. Muchas personas se preguntan si sus vidas tienen sentido después de lograr o fracasar en alcanzar metas. Sin embargo, el verdadero sentido de la vida no depende de logros externos sino de aspectos internos como la tranquilidad y la paz consigo mismo. El sentido de la vida va más allá de lograr metas y objetivos y se encuentra en la capacidad de amar, compartir con otros y contribuir a la sociedad. Para encontrarle sentido a la vida, una persona debe conocerse a sí misma y descubrir
El ciberacoso, o acoso cibernético, es el uso de la tecnología de Internet para dañar deliberadamente y de manera repetida a otras personas. Puede incluir continuar enviando correos electrónicos no deseados, amenazas, insinuaciones sexuales o etiquetas peyorativas. Se ha vuelto más común entre los jóvenes, por lo que se han promulgado leyes y campañas de concienciación para combatirlo.
Inocencio meléndez julio. metodologia del trabajo académico a distancia. i...INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
El documento presenta la metodología del trabajo académico a distancia en la educación superior. Explica que este método permite ampliar la cobertura educativa utilizando medios como las tecnologías de la información. Para ser exitoso, requiere que el estudiante sea autónomo y autorregulado, usando herramientas como la planificación, monitoreo y aplicación práctica de los conocimientos. También requiere evaluaciones de procesos y productos de aprendizaje a través de la autoevaluación, coevaluación y heter
Este documento contiene definiciones y conceptos básicos sobre vectores. Explica términos como módulo, dirección, sentido de un vector, así como operaciones entre vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También define conceptos como cosenos directores, vector unitario, área de figuras geométricas dadas sus coordenadas, y derivadas de vectores respecto a escalares. El documento provee una introducción completa a los fundamentos del cálculo vectorial.
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Este documento describe diferentes tipos de cantidades y operaciones con vectores. Explica que las cantidades escalares se especifican por su magnitud y unidad, mientras que los vectores también incluyen una dirección. Detalla métodos para sumar y restar vectores, como el polígono y el paralelogramo. También cubre cómo multiplicar un vector por un escalar, y calcular componentes rectangulares de vectores.
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1) El documento describe las diferencias entre cantidades escalares y vectoriales, y provee ejemplos de cada una. 2) Explica cómo representar cantidades vectoriales usando componentes, vectores unitarios, y sistemas de coordenadas. 3) Detalla métodos geométricos y analíticos para realizar operaciones entre vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y producto escalar.
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Este documento presenta los fundamentos del análisis vectorial. Introduce conceptos clave como escalares, vectores, campos escalares y vectoriales. Explica cómo representar vectores usando sistemas de coordenadas cartesianas, incluyendo descomponer un vector en sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También cubre sumas y multiplicaciones básicas de vectores.
Este documento describe vectores en tres dimensiones. Explica que en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales, un vector se representa como una tríada de números reales correspondientes a sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También define conceptos como la suma y resta de vectores, y la multiplicación de un vector por un escalar en tres dimensiones.
Este documento introduce el análisis vectorial como una herramienta matemática útil para expresar y comprender conceptos físicos como velocidad y fuerza. Explica la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales, y define vectores y sus propiedades como magnitud y dirección. También cubre la suma y resta de vectores, producto escalar y vectorial de dos vectores, y proporciona ejemplos ilustrativos de su aplicación a conceptos como desplazamiento, trabajo y velocidad.
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Este documento presenta los conceptos introductorios sobre magnitudes físicas y sistemas de unidades. Define una magnitud física como una propiedad cuantificable de un cuerpo o sistema, y explica que una magnitud puede ser escalar o vectorial. Además, introduce los conceptos de sistema de medidas, magnitudes y unidades fundamentales, señalando que en el Sistema Internacional estas son 7 magnitudes (masa, longitud, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia y intensidad luminosa) y sus correspondientes unidades (kg, m, s, A, K, mol,
El ensayo discute cómo encontrarle sentido a la vida. Muchas personas se preguntan si sus vidas tienen sentido después de lograr o fracasar en alcanzar metas. Sin embargo, el verdadero sentido de la vida no depende de logros externos sino de aspectos internos como la tranquilidad y la paz consigo mismo. El sentido de la vida va más allá de lograr metas y objetivos y se encuentra en la capacidad de amar, compartir con otros y contribuir a la sociedad. Para encontrarle sentido a la vida, una persona debe conocerse a sí misma y descubrir
El ciberacoso, o acoso cibernético, es el uso de la tecnología de Internet para dañar deliberadamente y de manera repetida a otras personas. Puede incluir continuar enviando correos electrónicos no deseados, amenazas, insinuaciones sexuales o etiquetas peyorativas. Se ha vuelto más común entre los jóvenes, por lo que se han promulgado leyes y campañas de concienciación para combatirlo.
Inocencio meléndez julio. metodologia del trabajo académico a distancia. i...INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
El documento presenta la metodología del trabajo académico a distancia en la educación superior. Explica que este método permite ampliar la cobertura educativa utilizando medios como las tecnologías de la información. Para ser exitoso, requiere que el estudiante sea autónomo y autorregulado, usando herramientas como la planificación, monitoreo y aplicación práctica de los conocimientos. También requiere evaluaciones de procesos y productos de aprendizaje a través de la autoevaluación, coevaluación y heter
Este documento presenta una biografía y obra del poeta español Antonio Machado. Resume las etapas clave de su vida, desde su infancia en Sevilla hasta su muerte en el exilio en Francia durante la Guerra Civil española. También describe sus principales libros de poesía como Soledades, Campos de Castilla y Poesías Completas, destacando su estilo poético influenciado por el modernismo y simbolismo pero también sus preocupaciones filosóficas expresadas en prosa.
El bádminton es un deporte de raqueta que puede jugarse de a dos o cuatro personas. Requiere habilidad física y con la raqueta. Los jugadores se colocan a lados opuestos de una cancha dividida por una red. El objetivo es golpear un volante de plumas entre los jugadores contrarios haciéndolo girar.
Inocencio meléndez julio. principio de oportunidad empresarial. el concepto...INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
El documento define el concepto de administración y administrador. Explica que un administrador puede trabajar en diferentes niveles y áreas de una organización y que su rol ha evolucionado a través del tiempo. También define la administración como una ciencia social que estudia cómo organizar empresas u organizaciones de manera eficiente mediante la planificación, organización, dirección y control para alcanzar objetivos. Finalmente, señala que la administración es útil no solo para empresas sino también para el quehacer diario, las comunidades y los países.
Este documento ofrece consejos para mejorar la calidad de las locuciones de radio. Recomienda (1) practicar la lectura del guión en voz alta varias veces para familiarizarse con el texto y ajustar los tiempos, (2) grabar de pie para facilitar la respiración y proyección de la voz, y (3) dejar silencio antes de iniciar para concentrarse y facilitar la edición.
Este documento analiza el sistema monetario de Colombia. Desde 1923, el Banco de la República es responsable de la política monetaria nacional, controlando la inflación, balanza de pagos, emisión de monedas y crédito. El dinero facilita las transacciones económicas pero no es riqueza en sí mismo. El sistema monetario y financiero colombiano se rige constitucionalmente y el Banco de la República regula el valor del dinero y costo del crédito para controlar la inflación.
Este documento presenta una evaluación parcial para el curso de Computación I del Programa de Acreditación en Computación de la Universidad Señor de Sipán. Contiene 10 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de computación e Internet, así como instrucciones para el envío de las respuestas.
Inocencio meléndez julio. el mercado y la comunicación de nuestra economía. INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
El documento discute el mercado y la comunicación en la economía. Explica que en una economía de mercado abierto, la relación entre compradores y vendedores depende de la comunicación a través de diferentes medios. También describe conceptos clave como oferta, demanda, precio de equilibrio y cómo factores como el ingreso, precios y elasticidad afectan el mercado.
El interaprendizaje es el elemento sustantivo del trabajo académico a dista...INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
El documento describe el interaprendizaje como elemento sustantivo de la educación a distancia. El interaprendizaje permite superar el aislamiento de la distancia y fomenta valores como la autorrealización y la autoestima. Se realiza a través del aprendizaje colaborativo en grupos y del aprendizaje conectado mediante internet, lo que motiva la permanencia del estudiante.
El documento describe 4 experimentos realizados con muestras de suelo. En el primer experimento, al calentar la muestra de suelo en un tubo, el agua se evaporó y la muestra cambió de color café a más oscuro. En el segundo experimento, al calentar la muestra en una cápsula, cambió de color debido a la pérdida de agua. En el tercer experimento, al agregar agua a la muestra, se desprendieron gases de la materia orgánica. En el cuarto experimento, al agregar peróxido de hid
Este documento habla sobre caballos. Incluye enlaces a un video de YouTube y una imagen de Google sobre caballos. También contiene un breve párrafo que explica los nombres para las hembras y crías de caballos.
Este documento ofrece consejos de seguridad para dispositivos móviles, incluyendo establecer contraseñas de bloqueo, eliminar datos de forma remota, guardar datos en la nube, no "romper" la seguridad del dispositivo, y usar aplicaciones de seguridad recomendadas como Lookout, F-Secure y Norton Mobile Security.
El documento describe los aprendizajes esperados en matemáticas para estudiantes entre 5 y 6 años en el primer periodo escolar. Se organizan en dos aspectos: número y forma, espacio y medida. En número, los estudiantes aprenden sobre conteo, solución de problemas numéricos, representación de información numérica y patrones numéricos. En forma, espacio y medida, aprenden sobre nombres y propiedades de figuras, ubicación, comparación de unidades y uso de instrumentos de medición.
Inocencio meléndez julio. bogotá. procesador de texto. herramientas informa...INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
El documento describe un procesador de texto como una aplicación para manipular documentos basados en texto de forma electrónica, reemplazando el papel y máquinas de escribir. Explica que la mayoría vienen en suites de oficina y permiten abrir múltiples documentos a la vez, así como automatizar tareas mediante macros. Resalta que permiten redactar, editar, dar formato, imprimir y compartir documentos de manera electrónica.
El documento define conceptos básicos de vectores y cantidades escalares. Explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que los escalares solo tienen magnitud. También describe métodos para representar y sumar vectores gráficamente, así como propiedades de las operaciones con vectores como la suma y la multiplicación por un escalar.
El documento describe conceptos básicos de vectores, incluyendo cantidades escalares y vectoriales, representación gráfica y notación de vectores, operaciones como suma y resta vectorial, y clasificación de vectores. Explica que un vector tiene magnitud, dirección y sentido, mientras que un escalar solo tiene magnitud. También presenta métodos para representar y sumar vectores gráficamente como el triángulo y el paralelogramo.
Este documento describe las diferencias entre magnitudes escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares solo tienen magnitud, mientras que las magnitudes vectoriales también tienen dirección y sentido. Explica cómo representar vectores gráficamente y define sus elementos constitutivos. También cubre operaciones básicas con vectores como la suma y multiplicación por escalares. Finalmente, presenta métodos para sumar vectores gráficamente usando triángulos y paralelogramos.
Para resolver este problema debemos analizarlo como un problema de vectores:
- La corriente tiene una velocidad de 0,50 m/s hacia el este. Este es un vector.
- El guardavidas nada a 1,5 m/s. Este también es un vector.
- Para llegar lo más rápido posible al joven en peligro, el guardavidas debe nadar en la dirección opuesta a la corriente. Es decir, la suma de los vectores corriente y velocidad de nado debe apuntar en línea recta hacia el joven.
Si analizamos las posibles pos
Para resolver este problema debemos analizarlo como un problema de vectores:
- La corriente tiene una velocidad de 0,50 m/s hacia el este. Este es un vector.
- El guardavidas nada a 1,5 m/s. Este también es un vector.
- Para llegar lo más rápido posible al joven en peligro, el guardavidas debe nadar en la dirección opuesta a la corriente.
- Si nada desde la posición A, su velocidad efectiva (vector resultante) sería la suma de los dos vectores. Esto lo llevaría en dirección
Este documento proporciona una introducción a los conceptos de vectores escalares y vectoriales en física. Explica que las magnitudes escalares como la masa y el tiempo se caracterizan por un valor numérico, mientras que las magnitudes vectoriales como la velocidad y la fuerza también requieren una dirección. Describe cómo los vectores se representan geométricamente mediante un trazo dirigido y se caracterizan por su magnitud, dirección y sentido. También cubre operaciones básicas con vectores como la suma, resta, multiplicación por un escalar y productos
Este documento define los conceptos básicos de los vectores, incluyendo su origen, módulo, dirección y sentido. Explica las propiedades de los vectores fijos, libres y coplanares, así como la suma y el producto de vectores por números reales. El documento proporciona ejemplos y demostraciones de estas propiedades fundamentales de los vectores.
Este documento describe los tipos de magnitudes vectoriales y escalares, y explica conceptos clave como vectores, módulo, dirección, suma y resta de vectores. También cubre operaciones con vectores como multiplicación por escalares, producto escalar y producto vectorial en dos y tres dimensiones.
Este documento describe los conceptos básicos de escalares y vectores. Explica que un escalar tiene magnitud pero no dirección, mientras que un vector tiene magnitud y dirección. Detalla formas de representar vectores gráficamente y mediante componentes rectangulares, y métodos para sumar, restar y multiplicar vectores. También define el producto escalar de vectores.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta ejemplos y métodos gráficos para ilustrar los conceptos.
1) El documento describe las cantidades escalares y vectoriales, y define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección.
2) Explica cómo representar la magnitud y dirección de un vector, y cómo determinar las direcciones en un plano y en el espacio tridimensional usando ángulos.
3) Describe los conceptos de igualdad de vectores, suma, resta, multiplicación por un escalar, componentes y cosenos directores de vectores. Presenta métodos geométricos para realizar operaciones con vectores.
Presentación electrónica que contiene los aspectos teóricos del Tema 1.1: Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica, tema que se analiza en la Unidad 1 de la materia de Calculo Vectorial
El documento habla sobre magnitudes físicas y vectores. Explica que las magnitudes físicas incluyen cantidades como masa, temperatura y longitud, mientras que los vectores representan cantidades como velocidad y fuerza. También describe métodos para sumar vectores como el método del triángulo y del polígono, y define conceptos como el producto escalar y vectorial.
El documento define vectores geométrica y algebraicamente. Un vector geométricamente es un conjunto de segmentos de recta equivalentes, mientras que algebraicamente es un par ordenado de números reales. Se describen operaciones básicas con vectores como suma, resta, multiplicación por escalar, y propiedades como conmutatividad y asociatividad. También se definen conceptos como magnitud, dirección, producto interno, ángulo entre vectores, y norma.
Este documento define vectores y cantidades escalares, y describe métodos para calcular vectores resultantes y equilibrantes. Explica que los vectores tienen magnitud, dirección y sentido, mientras que las cantidades escalares solo tienen magnitud. También describe vectores colineales y concurrentes, y los métodos del paralelogramo y polígono vectorial para encontrar la resultante de varios vectores. Finalmente, incluye ejemplos y actividades de aplicación.
Este documento describe las diferencias entre vectores y escalares, y los métodos para representar y operar con vectores. Los vectores son cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, mientras que los escalares solo tienen magnitud. Se explican las representaciones gráficas y notacionales de vectores, así como métodos para sumar, restar, multiplicar y dividir vectores. También se describen conceptos como vectores unitarios, componentes rectangulares de vectores, y las leyes del coseno y seno para triángulos.
Este documento presenta cinco principios fundamentales de la estática de partículas, incluyendo el principio de equilibrio, la ley del paralelogramo, la transmisibilidad de fuerzas, la acción y reacción, y la rigidez. También describe vectores, representaciones gráficas de vectores, y operaciones básicas con vectores como suma y resta.
Este documento introduce los conceptos básicos de los vectores. Explica que los vectores tienen magnitud y dirección, mientras que las cantidades escalares solo tienen magnitud. Define un vector como una flecha cuya longitud representa la magnitud y cuyo ángulo respecto al eje x representa la dirección. También explica cómo representar vectores con letras y la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales.
Este documento introduce los conceptos básicos de los vectores. Explica que los vectores tienen magnitud y dirección, mientras que las cantidades escalares solo tienen magnitud. Define un vector como una flecha cuya longitud representa la magnitud y cuyo ángulo respecto al eje x representa la dirección. También explica cómo representar vectores con letras y la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales.
El documento describe las representaciones gráficas y expresiones analíticas de magnitudes vectoriales. Explica que un vector se define por su magnitud, dirección y sentido, y se representa gráficamente como un segmento orientado. Luego detalla los elementos de un vector, como su módulo, dirección y sentido, y cómo se representan y nombrar vectores. Finalmente, cubre temas como la descomposición de vectores, ángulos directores y la representación analítica de vectores.
Las castas fueron sin duda uno de los métodos de control de la sociedad novohispana y representaron un intento por limitar el poder de los criollos; sin embargo, fueron excedidas por la realidad. “De mestizo y de india; coyote”.
-La adhesión entre los espermatozoides y las membranas plasmáticas de las células oviductales está asegurada por moléculas expuestas en la superficie rostral de los espermatozoides y capaces de unir carbohidratos en la superficie de las células oviductuales especifica para cada especie
-La adhesión entre los espermatozoides y las membranas plasmáticas de las células oviductales está asegurada por moléculas expuestas en la superficie rostral de los espermatozoides y capaces de unir carbohidratos en la superficie de las células oviductuales especifica para cada especie.
-Unas horas antes de la ovulación, los espermatozoides unidos comienzan a liberarse y progresan hacia la unión ampular/ístmica, donde el ovocito ovulado se detendrá para la fertilización.
Objetivo
-Revisar el conocimiento disponible sobre las moléculas involucradas en la selección, almacenamiento y liberación de espermatozoides del reservorio oviductal.
Este proyecto se enfoca en las artesanías y el arte de la región del Departamento de Nariño. ArtNariño es una iniciativa que busca crear una plataforma, donde los artesanos y artistas locales puedan publicar, explicar y vender sus obras, facilitando la conexión entre creadores y compradores según sus preferencias.
Presentación Proyecto libreta Creativo Doodle Rosa (1).pdfPatriciaPiedra8
PLANTILLA DE PRESENTACION PARA MULTIUSOSS CANVA , ESTO LO HIZE CON EL FIN DE DESCARGAR UN DOCUMENTO GRATIS JAJAJAJAJA , AL FIN ES MUY BUENA LA PLANTILLA , SI QUIEREN USENLA , LA DESCARGUE DESDE CANVA , CANVA LO MEJOR DE LO MEJOR
EN DIN HAGANLO BIEM
Aquí tienes una descripción al azar de 500 palabras:
En el vasto horizonte del cosmos, donde las estrellas parpadean como joyas incrustadas en el manto celestial, se encuentra un universo lleno de misterios y maravillas. Desde los confines de las galaxias distantes hasta los rincones más oscuros de la imaginación humana, la exploración del cosmos nos lleva a un viaje sin fin de descubrimiento y asombro.
En este vasto universo, la Tierra, nuestro hogar, brilla como una esfera azul brillante suspendida en la inmensidad del espacio. Un mundo de una belleza incomparable, donde los océanos danzan con la luz del sol y los continentes están adornados con una diversidad de paisajes y formas de vida.
Los océanos, vastos y profundos, albergan una inmensa variedad de criaturas marinas, desde las criaturas más pequeñas e imperceptibles hasta los gigantes majestuosos de las profundidades. Los arrecifes de coral, con sus colores vibrantes y formas caprichosas, son como ciudades submarinas llenas de vida y actividad.
En tierra firme, los paisajes varían desde las vastas llanuras hasta las imponentes montañas, desde los densos bosques tropicales hasta los áridos desiertos. Cada rincón de la Tierra está habitado por una diversidad de formas de vida, desde las diminutas bacterias hasta los majestuosos elefantes y los ágiles leopardos.
Pero la belleza de la Tierra también está marcada por la fragilidad de su ecosistema. El cambio climático, la deforestación y la contaminación amenazan con perturbar el delicado equilibrio de la naturaleza, poniendo en peligro la vida en el planeta. Es responsabilidad de cada uno de nosotros proteger y preservar este precioso hogar que compartimos.
Mientras exploramos las maravillas de la Tierra, también miramos hacia el cielo en busca de respuestas a las preguntas más profundas sobre el universo. Desde los telescopios terrestres hasta los satélites en órbita, la humanidad ha desplegado una red de ojos en el cielo para desentrañar los secretos del cosmos.
Las estrellas, como faros en la oscuridad, nos guían a través del vasto océano cósmico, mientras que los planetas y las lunas nos ofrecen destellos de mundos distantes y paisajes extraterrestres. En los confines del sistema solar y más allá, los científicos buscan signos de vida más allá de la Tierra, preguntándose si estamos solos en el universo.
Pero incluso mientras miramos hacia las estrellas en busca de respuestas, recordamos que nuestro hogar, la Tierra, es un oasis de vida en un vasto y desolado desierto cósmico. Es aquí, en este pequeño rincón del universo, donde encontramos la belleza, la diversidad y la maravilla que nos inspiran a explorar y descubrir más sobre el mundo que nos rode
1. 1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
1. VECTORES
Iván Vargas Blanco
Físico
Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica
1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES
Definición de Magnitud
Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y
determinado cuantitativamente1. También se entiende como cantidad física formada por un
número y la unidad de medida respectiva. Ejemplos: 0.3 µm, 3 km, 24 m/s, 12 J.
Definición de Escalar
Cantidad física que solo tiene magnitud. Son ejemplo de escalares: distancia, masa, tiempo,
rapidez, temperatura, área, volumen, densidad, trabajo, energía, potencia y frecuencia. Los
escalares pueden ser manipulados por las reglas del álgebra ordinaria.
Ejemplos: 4 m, 5 kg, 60 s, 20 m/s, 37 °C, 8 m2, 4 m3, 24 Kg/m3, 1.78 J, 50 W y 333 Hz
Definición de Vector
Cantidad física que tiene magnitud, dirección y sentido. Son ejemplo de vectores: la
velocidad, la aceleración, la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento, el desplazamiento,
campo eléctrico y el campo magnético.(la palabra vector significa portador en latín).
Ejemplos: -4 m/s, +9.8 m/s2, 500 N 30°, -25 Kg m/s y –20 m
Representación gráfica de vectores
Un vector se representa gráficamente, como un segmento dirigido de recta PQ de un punto
P llamado punto inicial o origen a otro punto Q llamado punto terminal o termino. Una
punta de flecha en un extremo indica el sentido; la longitud del segmento, interpretada con
una escala determina la magnitud. La dirección del vector se especifica al dar los ángulos
que forma el segmento de recta con los ejes de coordenadas.
Ejemplo:
Termino
Q Dirección: 30°
Magnitud: 60 m
Escala: 1 cm = 20 m
P
Origen
1
Peste F. Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología .Centro Nacional
de Metrología.México.1996
2. 2 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Notación de vectores
Algebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculas
o minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, tal como b que
significa ambas propiedades del vector, magnitud y dirección. En la escritura manual
ponemos una flecha sobre la letra para denotar la cantidad vectorial, tal como b .
Ejemplos:
a : -35 m/s, A : 50 millas Norte, b: 15 km Suroeste, B: 20 m Oeste, PQ : 50 m/s 30°
La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o
simplemente la letra asignada.
A = 50 millas, A = 50 millas, PQ = : 50 m/s , PQ = : 50 m/s
Dirección de un vector con puntos cardinales
Para dar la dirección de un vector mediante puntos cardinales se anota de primero el punto
cardinal norte o sur de acuerdo a la ubicación del vector , luego el ángulo que forma con el
norte o sur y finalmente el punto cardinal este u oeste según corresponda.
N
A : 20 m
Escala: 1 cm = 10 m
30°
O E
A : 20 m, N 60° O
45°
B : 30 m, S 45° E
S
B : 30 m
Dirección de un vector con la medida del ángulo (coordenadas polares )
En este caso se anota la magnitud del vector y el ángulo que forman la rama positiva del eje
X y el vector, el ángulo se toma como positivo o negativo en la misma forma que se hace
en los estudios de trigonometría. La magnitud del vector y el ángulo son llamados
coordenadas polares.
y La magnitud y
A : 20 m el ángulo son
Escala: 1 cm = 10 m llamadas
30° Coordenadas
Polares
O x
A : 20 m, 150°
45°
B : 30 m, -45°
B : 30 m
3. 3 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Clasificación de vectores
Definición de línea de acción de un vector
Es la recta a la que pertenece el vector
Ejemplo:
Vectores paralelos
Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas.
Ejemplo:
A B A B
Vectores iguales
Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud ,dirección y sentido aunque no tengan
el mismo punto de aplicación.
Ejemplo:
θ A θ B A= B
Vectores deslizantes
Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su
magnitud y dirección.
Ejemplo:
A B
4. 4 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Vectores fijos
Son aquellos vectores que no deben deslizarse sobre su línea de acción porque interesa que
el origen coincida con un punto de aplicación del sistema.
Ejemplo:
F
Vectores libres
Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de
acción paralelas.
Ejemplo:
A A
Vector opuesto de un vector
Se define como aquel que tiene la misma magnitud del vector y está a 180° respecto al
vector y se representa como el negativo del vector, a ⇒ - a por lo cual se le llama
vectores iguales y opuestos o antiparalelos. Un vector puede ser opuesto a otro si solo tiene
dirección opuesta.
Ejemplo:
A
-A
Vector unitario: u
ˆ
Es aquel vector de magnitud la unidad o longitud unitaria y de igual dirección que el vector
dado. Si A o A es un vector cualquiera de longitud A>0, entonces A/A o A/ A es un vector
unitario denotado por a o a , con la misma dirección de A. Por lo tanto A=Aa o A = Aa
ˆ ˆ
Ejemplo: Este es uno
A 7 m60 de los
A : 7 m 60° ⇒ a= =
ˆ = 1 m 60° vectores mas
A 7
importantes
aˆ : 1 m 60°
Por lo tanto podemos escribir el vector A como
A = Aa ˆ
A = 7a m
ˆ
5. 5 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Vectores consecutivos
Son aquellos vectores donde el término de uno coincide con el origen del siguiente.
Ejemplo:
b
a c
Vectores concurrentes
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un punto.
Ejemplo:
a
b
c
1.2 OPERACIONES CON VECTORES GRÁFICAMENTE
a)Multiplicación de un escalar por un vector gráficamente
Si se multiplica un escalar λ por un vector A resulta el vector λA cuya magnitud ha sido
multiplicada por λ y el sentido depende del signo del escalar.
Ej:
A : 2 m 30° sí λ = 2 λA = 2(2 m) = 4 m 30°
Practica 1.1
Dado el vector a : 50 m 300° . Hallar:
a) La representación del vector
b) El vector opuesto de a
c) El vector unitario de a
d) Un vector concurrente a a
e) Un vector consecutivo a a
f) Un vector perpendicular a a
1
g) Un vector cuya magnitud sea a
2
6. 6 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
b) Suma gráfica de vectores
Para sumar vectores gráficamente existen diferentes métodos:
Método del triangulo
Es el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triangulo con la resultante.
Se deben seguir los siguientes pasos:
1. En un diagrama dibujado a escala trazar el vector a con su dirección propia en el
sistema de coordenadas.
2. Dibujar el vector b a la misma escala con la cola en la punta de a ,asegurándose de
que b tenga su misma dirección propia.
3. Se traza un vector desde la cola de a hasta la punta del vector b . Se mide la
longitud del vector resultante y se realiza conversión con la escala, esto nos da la
magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con la
rama positiva del eje X.
Ejercicio 1.1
Dados los siguientes vectores: A : 30 m , 35°, B : 20 m , -45°.Obtener el vector
suma S = A + B ,mediante el método del triangulo.
Solución:
y
y x
A B
S = A+ B
Método del paralelogramo
Es el método para sumar vectores concurrentes. Se dibujan los vectores f y g con origen
común, luego en la figura se traza una paralela a f y por el término de f se traza una
paralela a g ; ambas paralelas y los dos vectores forman un paralelogramo. El vector
resultante r de sumar f y g se traza desde el origen de ambos vectores hasta la
intersección de las paralelas. Se mide la longitud del vector resultante y se realiza
conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo
que forma el vector suma con la rama positiva del eje X.
Ejercicio 1.2
Dados los siguientes vectores: f : 25 m 60°, g : 35 m 0°.Obtener el vector suma r = f +
g , mediante el método del paralelogramo.
Solución:
f f r
60°
g g
7. 7 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Método del polígono
Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y el
vector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del último
vector.
Ejercicio 1.3
Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y
finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio.
Solución:
N
E
b N s = a +b +c
N a
E
E
c
s
Propiedades de la suma de vectores
1. Ley conmutativa para la suma.
a +b =b +a
b
a
a
b
2. Ley asociativa para la suma.
( ) (
d + e + f = d +e + f ) e
f
d
Leyes del álgebra vectorial2
Si A , B y C son vectores, m y n son escalares, entonces
1. A + B = B + A Ley conmutativa para la suma
2. A + ( B + C ) = ( A + B )+ C Ley asociativa para la suma
3. m(n A )= (mn) A = n(m A ) Ley asociativa para la multiplicación
4. (m + n) A = m A + n A Ley distributiva
5. m( A + B ) = m A + m B Ley distributiva
Observe que en estas leyes sólo la multiplicación de un vector por uno o más escalares está
definida. Mas adelante se definen los productos entre vectores.
2
Murray R.S. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias. McGrawHill. México.2001. pag.149.
8. 8 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
b) Resta gráfica de vectores
La resta de vectores es una suma indicada utilizando el concepto de vector opuesto.
R = A − B = A + (− B)
Recuerde que
Tiene la propiedad de no ser conmutativa. para la resta
A− B ≠ B − A gráfica los
Ejemplo 1.4 vectores deben
tener un origen
Sean A : 20 m 60° B : 50 m 0°. común
Hallar:
a) S = A + B
b) R = A − B
c) R = B − A
Solución:
B
A A
−B
Practica 1.2
Sean A : 30 m 110°
B : 50 m 60°
Hallar:
a) S = A + B
b) R = A − B
c) R = B − A
d) Pruebe que A − B = −(B − A)
1.3 OPERACIONES CON VECTORES ANALÍTICAMENTE
1) SUMA ANALÍTICA DE VECTORES
Para sumar vectores analíticamente existen diferentes métodos:
Método de teoremas
Consiste en hallar la resultante de la suma vectorial de dos vectores, utilizando relaciones
como el teorema de Pitágoras o el teorema de cosenos y senos.
Teorema de Pitagoras
Cuando los vectores forman un ángulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtiene
por medio del teorema de Pitágoras y la dirección por la relación trigonométrica tangente.
S = a 2 + b2
S
b
θ b tan θ =
a
a
9. 9 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Ejercicio 1.3
Un avión vuela hacia el Norte a 90 m/s un fuerte viento sopla hacia el este a razón de 72
km/h y desvía su rumbo. Hallar la velocidad del avión para un observador en la tierra.
Solución:
20 m/s
90 m/s θ S
b
S = a 2 + b2 tan θ =
a
20
S = (90) 2 + (20) 2 tan θ =
90
S = 8500 tan θ = 0.22 2
S = 92.2 m/s θ = 12.5 °
Respuesta: S : 92.2 m/s , 12.5° ( en coordenadas polares )
Ejercicio Propuesto:
Al oír la cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplazamientos rápidos de 6.0 m y
5.0 m, al oeste y al sur respectivamente. Calcule la magnitud y dirección del
desplazamiento resultante utilizando el método del teorema de Pitágoras. Utilice el método
gráfico para obtener la respuesta, compare los resultados.
Respuesta:
Teorema de cosenos y senos
Cuando los vectores forman cualquier ángulo la magnitud de la suma o resultante se
obtiene por medio del teorema de cosenos y la dirección por el teorema de los senos.
b
θ α s = a 2 + b 2 − 2ab cosθ
2
(Ley de cosenos)
a s
senα senβ senθ
β = = (Ley de senos)
a b c
10. 10 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Ejercicio 1.4
Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuerza de 100 N y el otro de 80 N con un
ángulo de 60° entre ellas. Hallar la fuerza resultante sobre el bote
Solución:
60°
Para la magnitud Para la dirección
senα senβ senθ
s = a 2 + b 2 − 2ab cosθ = =
2
a b c
senβ sen120°
s = (100) 2 + (80) 2 − 2(100)(80) cos 120° =
2
80 156.2
80sen120°
s = 10000 + 6400 − −8000 senβ =
2
156.2
s = 24400 senβ = 0.4435
s = 156.2 m/s β = 26.3°
Respuesta: s : 156.2 m/s, 26.3° (en coordenadas polares )
Ejercicio Propuesto:
Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60° noreste y luego 4 km en la
dirección norte.¿Dónde termina respecto de su punto de inicio?.Utilice el método anterior,
compare su resultado con su respuesta si utiliza el método grafico.
Método de componentes rectangulares
Dado un vector puede ser expresado en términos de muchos vectores que se suman
consecutivamente llamados vectores componentes del vector.
A7
A8
A A6
A5
A1 A4
A2 A3
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
11. 11 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
La división de un vector en componentes no es única dado que un vector puede formarse
por suma de muy diversas maneras, pero es de mayor utilidad descomponer un vector solo
en términos de sus vectores componentes rectangulares o cartesianas.
a) Componentes Rectangulares o Cartesianas de un Vector
Entre el ilimitado número de posibles divisiones de un vector en componentes tiene
especial importancia las que se restringen a la dirección de los ejes cartesianos.
Vectores unitarios rectangulares
ˆ
Los vectores unitarios rectangulares i , ˆ y k son vectores unitarios cuya dirección y
ˆ j
sentido es la de los ejes positivos x, y, y z de un sistema de coordenadas rectangulares, a
menos que se especifique de otra manera. Tales sistemas derivan su nombre del hecho de
que un tornillo de rosca derecha girado 90° de Ox a Oy, avanzará en la dirección z positiva.
Se dice que tres vectores que tienen puntos iniciales coincidentes, y que no son coplanares
forman un sistema derecho o sistema diestro si un tornillo de rosca derecha girado en un
ángulo menor que 180° de A a B avanza en la dirección C
z A = Aiˆ
C B = Bˆ
j
C = Ck
ˆ
ˆ
k
ˆ
j B y
iˆ
A x i = ˆ = k =1
ˆ j ˆ
Componentes de un vector en el plano
y
A Ay
ˆ
j θ
iˆ Ax x
Ax : componente en la dirección del eje X
Ay : componente en la dirección del eje Y
A = Ax + Ay :Definición de suma de vectores
Utilizando los vectores unitarios, se tiene
Ax = Axiˆ
Ay = Ay ˆj
A = Ax + Ay = Ax iˆ + Ay ˆ
j
12. 12 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Módulo o magnitud del vector
Usando el teorema de Pitágoras se tiene
2 2 2
A = Ax + Ay : los vectores unitarios tienen magnitud unitaria.
A = + Ax 2 + Ay 2 : magnitud del vector.
Relaciones útiles
Ax
Ax = A cos θ ⇐ = cosθ
A
Ay
Ay = A sen θ ⇐ = senθ
A
Ay
tan θ =
Ax
Ay
θ = arc tan
dirección del vector.
Ax
Ejercicio 1.5
Calcule las componentes x, y de los siguientes vectores:
a : 12 m, N 37° E
b : 15 m, -40°
c : 6 m, 60° con x negativo en el tercer cuadrante
Solución:
a x = a cosθ bx = b cosθ c x = c cosθ
a x = 12m cos 53° bx = 15m cos− 40° c x = 6m cos 240°
a x = 7.2 m bx = 11.5 m c x = −3 m
a y = asen θ b y = bsenθ c y = csenθ
a y = 12msen53° b y = 15msen − 40° c y = 6msen240°
a y = 9.6 m b y = −9.6 m c y = −5.2 m
∴ a = a xi + a y ˆ
ˆ j ∴ b = bxi + b y ˆ
ˆ j ∴ c = c xi + c y ˆ
ˆ j
∴ a = (7.2i + 9.6 ˆ) m ∴ b = (11.5i − 9.6 ˆ) m∴ c = (−3i − 5.2 ˆ) m
ˆ j ˆ j ˆ j
Ejercicio Propuesto:
Calcule las componentes x, y de los siguientes vectores:
A : 2.4 m, S 20° O
B : 1.7 m, -120°
C : 3.4 m, 30° con x negativo en el segundo cuadrante
13. 13 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Ejercicio 1.6
Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de
componentes:
a) Ax = 3.6 cm, Ay = -7.2 cm
b) Bx = -1.4 cm, By = -9.35 cm
Solución:
A = + Ax 2 + Ay 2 B = + Bx 2 + By 2
A = + (3.6) 2 + (−7.2) 2 B = + (−1.4) 2 + (−9.35) 2
A = + 64.8 B = + 89.4
A = +8.04 cm B = +9.45 cm
− 7.2 − 9.35
tan θ = tan β =
3.6 − 1.4
θ = −63.4° β = 81.5°
Respuestas: A : 8.04 cm, -63.4° ; B : 9.45 cm, 81.5°
Ejercicio Propuesto:
Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de
componentes:
a) a x = -2.34 km, a y = 8.70 km
b) bx = 1.60 km, b y = 5.75 km
b) Suma de varios vectores en el plano
Sean los siguientes vectores, todos en el plano XY
y
A = Ax iˆ + Ay ˆ
j By
B = Bx iˆ + By ˆ
j Sy S B
C = C xiˆ + C y ˆ
j
........ Ay A
Sumando los vectores se tiene
Ax Bx x
S = A + B + C + ... Sx
S = ( Ax + Bx + C x + ...)iˆ + ( Ay + By + C y + ...) ˆ
j
14. 14 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
S x = ( Ax + Bx + C x + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje X
S y = ( Ay + By + C y + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y
S = S x iˆ + S y ˆ : vector resultante
j
S = + Sx 2 + S y 2 : magnitud del vector resultante
Sy
tan θ =
Sx
Sy
θ = arc tan
: ángulo que forma el vector resultante
Sx
Ejercicio 1.7
Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m
SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje
y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las
componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento
resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta
el punto del arranque.3
Solución: N
C : 5.94 m
O E
B : 5.26 m
A : 4.13 m
S
(a) Ax = Acosθ Bx = B cosθ C x = C cosθ
Ax = 4.13m cos 225° Bx = 5.26m cos 0° C x = 5.94m cos 26°
Ax = −2.9 m Bx = 5.26 m C x = 5.34 m
Ay = Asenθ By = Bsenθ C y = Csenθ
Ay = 4.13msen225° By = 5.26msen0° C y = 5.94msen26°
Ay = −2.9 m By = 0 m C y = 2.6 m
∴ A = Ax i + Ay ˆ
ˆ j ∴ B = Bx i + By ˆ
ˆ j ∴ C = C xi + C y ˆ
ˆ j
∴ A = (−2.9i − 2.9 ˆ) m ∴ B = (5.26i + 0 ˆ) m∴ C = (5.3i + 2.6 ˆ) m
ˆ j ˆ j ˆ j
3
Resnick.R. Física Vol.1. Cuarta Edición. Compañía Editorial Continental,S.A. México. 1999. Pb:22
15. 15 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
(b)
A = (−2.9iˆ − 2.9 ˆ) m
j
B = (5.26i + 0 ˆ) m
ˆ j
C = (5.3iˆ + 2.6 ˆ) m
j
S = (7.7iˆ − 0.3 ˆ) m
j
(c)
Sy
S = + Sx 2 + S y 2 tan θ =
Sx
− 0.3
S = + (7.7) 2 + (−0.3) 2 tan θ =
7.7
S = +7.7 m θ = −2.2°
(d)
el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto
del arranque es de 7.7 m.
Ejercicio Propuesto:
El vector A es de 2.80 cm y está 60° sobre el eje x en el primer cuadrante. B es de 1.90
cm y está 60° por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. Obtenga la magnitud y dirección
de A + B . Dibuje un diagrama de la suma y muestre que sus respuestas numéricas
concuerdan con las de su dibujo4.
c) Componentes de un vector en el espacio tridimensional
El procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se extiende al espacio
tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector A en tres dimensiones se representa
con su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean
( Ax , Ay , Az ) las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector A con punto
inicial en O. Los vectores A = A i , A = A ˆ , A = A k reciben el nombre de
x
ˆ x j
y y
ˆ
z z
componentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en las
direcciones de x, y, y z respectivamente. Por comodidad en la notación cada vector
componente se expresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada
ˆ
eje. A estos vectores unitarios se les designa por i , ˆ y k donde:
ˆ j
iˆ = vector unitario en el eje x = (1,0,0)
ˆ = vector unitario en el eje y = (0,1,0)
j
ˆ
k = vector unitario en el eje z = (0,0,1)
Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de la
siguiente manera.
A = Ax + Ay + Az
A = Axiˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
4
Sears F.W. Física Universitaria. Novena edición.Pearson Educación. México.1999.Pb.1-37
16. 16 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
donde (Ax , Ay , Az ) son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea las
proyecciones del vector sobre los ejes x, y y z.
z
A Az = Az k
ˆ
y
Ax = Ax iˆ Ay = Ay ˆ
j
x
De esta manera el vector queda expresado así A = Axiˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
Ejercicio 1.8
Representar el vector A : ( 3, -2, 3 )
z
A
y
x
Practica 1.3
Represente los siguientes vectores ( 2, 2, 4) , ( -2, 4, 3)
Magnitud de un vector en tres dimensiones
La magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces.
z
Az
A
Ay y
Ax
x
A= ( )
2
Ax 2 + Ay 2 + Az 2
A = Ax 2 + Ay 2 + Az 2 : Magnitud del vector
17. 17 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Dirección de un vector en tres dimensiones
La dirección del vector A en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras:
a) por medio de los cosenos de los ángulos directores
Son los ángulos que el vector forma con cada eje. α , β ,γ
α = ángulo entre el vector y el eje x
son los
β = ángulo entre el vector y el eje y ángulos
γ = ángulo entre el vector y el eje z directores
Los cosenos son respectivamente
Ax
cos α = ⇒ Ax = A cos α
A
Ay
cos β = ⇒ Ay = A cos β
A
Az
cos γ = ⇒ Az = A cos γ
A
Luego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector en
tres dimensiones se puede expresar con los ángulos directores así.
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
A = A cos αiˆ + A cos βˆ + A cos γk
j ˆ
donde
A2 = A2 cos 2 α + A2 cos 2 β + A2 cos 2 γ
b) por medio de los ángulos θ y φ de las coordenadas esféricas
Definimos dos ángulos; θ como el ángulo que hace el vector con el eje Z y φ como el
ángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo ( ver
figura ). Estos ángulos están dados de la
siguiente forma:
Az
cosθ = ⇒ Az = Acos θ
A
Ay
tan φ = ⇒ Ay = Ax tan φ
Ax
con esto se puede demostrar que:
Ax = Asenθ cos φ
Ay = Asenθsenφ
Az = Acosθ
A las variables (r,θ,φ) se les llama coordenadas esféricas. En nuestro caso r = A. Por lo
tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar de la siguiente forma.
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
A = Asenθ cos φiˆ + Asenθsenφˆ + Acosθk
j ˆ
18. 18 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Ejercicio 1.9
Dado el vector C : 25 m α = 175°
β = 75°
γ = 140°
Expresarlo en componentes rectangulares.
Solución:
Ax = A cos α Ay = A cos β Az = A cos γ
Ax = 25m cos175° Ay = 25m cos 75° Az = 25m cos140°
Ax = −24.9 m Ay = 6.5 m Az = −19.1 m
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
A = (−24.9iˆ + 6.5 ˆ − 19.1k) m
j ˆ
Ejercicio 1.10
En el siguiente diagrama, hallar:
a) Las componentes Fx ,Fy, Fz
b) Los angulos α, β, γ
z
Fz
F= 500 N
40°
F
Fy y
30°
Fx
x
Solución:
a)Por medio de cosenos directores
F x = F cos α F y = F cos β F z = F cos γ
Fx = ? Fy = ? F z = 500 N cos 40°
F z = 383.0 N
@#$%!
F x = Rsenα F y = R cosα ?&*+/
F x = 321.4 Nsen30° F y = 321.4 N cos 30°
F x = 160.7 N F y = 278.3 N
R
senλ = ⇒ R = Fsen λ
F
R = 500sen40° R = 321.4 N
19. 19 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Fx 160.7
cos α = ⇒ cos α = ⇒ α = 71.2°
F 500
Fy 278.3
cos β = ⇒ cos β = ⇒ β = 56.2°
F 500
b)Por medio de coordenadas esféricas
Como θ = 40° y φ = 60° , tenemos
F x = Fsen θ cos φ F y = Fsen θsenφ F z = F cosθ
F x = 500 Nsen40° cos 60° F y = 500 Nsen40°sen60° F z = 500 N cos 40°
F x = 160.7 N F y = 278.3 N F z = 383.0 N
Los ángulos se obtienen como en el caso anterior.
Ejercicio Propuesto:
Una fuerza F actúa en el origen de un sistema en una dirección dado por α = 75° y γ = 130°
Sabiendo que Fy = 300 N.
Hallar:
a) La fuerza F
b) Las componentes Fx y Fz
c) El ángulo β
Respuesta: F = 416.1N , F x = 107.7 N , F z = 267.4 N , β = 43.8°
d) Suma de vectores en el espacio
La suma de vectores en el espacio se realiza de manera similar a la empleada para los
vectores en el plano.
Sean los siguientes vectores,
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
B= B i +B ˆ+B k
x
ˆ yj ˆ
z
C = C xiˆ + C y ˆ + C z k
j ˆ
........
Sumando los vectores se tiene
S = A + B + C + ...
S = ( Ax + Bx + C x + ...)iˆ + ( Ay + By + C y + ...) ˆ + ( Az + Bz + C z + ...)k
j ˆ
S x = ( Ax + Bx + C x + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje X
S y = ( Ay + By + C y + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y
S z = ( Az + Bz + C z + ...) : suma de las componentes en la dirección del eje Z
20. 20 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
S = S xiˆ + S y ˆ + S z k : vector resultante
j ˆ
S = + Sx 2 + S y 2 + Sz 2 : magnitud del vector resultante.
La dirección se obtiene por medio de una de las formas mencionadas anteriormente.
Ejercicio 1.11
Dados los vectores:
a = 3iˆ + 2 ˆ − 4k
j ˆ
b = −2iˆ + ˆ + 5k
j ˆ
c = −iˆ − 6 ˆ
j
Hallar:
a) S = 1
2
{a + 3(b + c )}
b) la magnitud y dirección de S
c) Un vector unitario en la dirección de a
d) Un vector opuesto a b
e) El vector 5 a
Solución:
(a)
b = −2iˆ + ˆ + 5k
j ˆ
c = −iˆ − 6 ˆ + 0k
j ˆ
(b + c ) = −3i − 5 ˆ + 5k
ˆ j ˆ
3(b + c ) = −9i − 15 ˆ + 15k
ˆ j ˆ
a = 3iˆ + 2 ˆ − 4k
j ˆ
a + 3(b + c ) = −6i − 13 ˆ + 11k
ˆ j ˆ
S= 1
2
{a + 3(b + c )} = − 6 iˆ − 13 ˆj + 11 kˆ
2 2 2
S = −3iˆ − 6.5 ˆ + 5.5k
j ˆ
(b)
S = + (−3) 2 + (−6.5) 2 + (5.5) 2
S = 9.03
dirección con ángulos directores:
A −3
cos α = x ⇒ cos α = ⇒ α = 109.4°
A 9.03
Ay − 6.5
cos β = ⇒ cos β = ⇒ β = 136.0°
A 9.03
Az 5.5
cos γ = ⇒ cos γ = ⇒ γ = 52.5°
A 9.03
21. 21 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Respuesta: S : 9.03,α = 109.4°, β = 136.0°, γ = 52.5°
dirección con coordenadas esféricas:
Az 5.5
cosθ = ⇒ cosθ = ⇒ θ = 52.5°
A 9.03
Ay − 6.5
tan φ = ⇒ tan φ = ⇒ φ = 65.2°
Ax −3
Respuesta: S : 9.03,θ = 52.5°, φ = 65.2°
(c)
a = 3i + 2 ˆ − 4k
ˆ j ˆ
a a a a ˆ
a = = x iˆ + y ˆ + z k
ˆ j : vector unitario en coordenadas rectangulares
a a a a
a = ax + ay + az
2 2 2
a = (3) 2 + (2) 2 + (−4) 2
a = 5.4
3 ˆ 2 ˆ −4 ˆ
a=
ˆ i+ j+ k
5.4 5.4 5.4
a = 0.55iˆ + 0.37 ˆ − 0.74k
ˆ j ˆ : vector unitario en la dirección de a
(d)
b = −2iˆ + ˆ + 5k
j ˆ
− b = 2i − ˆ − 5k
ˆ j ˆ
(e)
a = 3i + 2 ˆ − 4k
ˆ j ˆ
5a = 15i + 10 ˆ − 20k
ˆ j ˆ
Ejercicio Propuesto:
Dados los vectores:
A = 3iˆ − 2 ˆ + 2k
j ˆ
B = 4iˆ + 3k ˆ
C = iˆ + 4 ˆ − 5k
j ˆ
Hallar:
a) S = A + 2( B + C )
b) la magnitud y dirección de C
ˆ
c) Un vector unitario en la dirección de B
d) Un vector opuesto a A
e) Representar el vector C
22. 22 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
e) Resta de vectores en el plano y en el espacio
Sean los siguientes vectores,
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
B = Bx iˆ + By ˆ + Bz k
j ˆ
Realizando la resta R = A − B se tiene
R = A− B
R = ( Ax − Bx )iˆ + ( Ay − By ) ˆ + ( Az − Bz )k
j ˆ
Rx = ( Ax − Bx ) : resta de las componentes en la dirección del eje X
Ry = ( Ay − By ) : resta de las componentes en la dirección del eje Y
Rz = ( Az − Bz ) : resta de las componentes en la dirección del eje Z
R = Rx iˆ + Ry ˆ + Rz k : vector resultante
j ˆ
Ejercicio 1.12
Dados los vectores:
A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k
j ˆ
B = −2iˆ + 3 ˆ + 5k
j ˆ
C = −2iˆ − 6 ˆ
j
Hallar:
a) R = 1
2
{A − 3( B − C )}
b) Demuestre que (C − B) = −( B − C )
c) la magnitud y dirección de C
d) Un vector unitario en la dirección de A
e) A + B + C + D = 0 Hallar D
Solución:
(a)
B = −2i + 3 ˆ + 5k
ˆ j ˆ
C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k
j ˆ
( B − C ) = 0i + 9 ˆ + 5k
ˆ j ˆ
3( B − C ) = 0i + 27 ˆ + 15k
ˆ j ˆ
A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k
j ˆ
− 3( B − C ) = 0i − 27 ˆ − 15k
ˆ j ˆ
A − 3( B − C ) = 2iˆ − 22 ˆ − 19k
j ˆ
23. 23 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
R= 1
2
{A − 3( B − C )}= 2 iˆ − 22 ˆj − 19 kˆ
2 2 2
R = i − 11 ˆ − 9.5k
ˆ j ˆ
(b)
Demuestre que (C − B) = −( B − C )
( B − C ) = 0i + 9 ˆ + 5k
ˆ j ˆ
− ( B − C ) = 0i − 9 ˆ − 5k
ˆ j ˆ
C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k
j ˆ
B = −2iˆ + 3 ˆ + 5k
j ˆ
(C − B) = 0i − 9 ˆ − 5k
ˆ j ˆ
(c)
C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k
j ˆ
C = + (−2) 2 + (−6) 2
C = 6.32
dirección para un vector en dos dimensiones:
Cy −6
tan θ = ⇒ tan θ = ⇒ θ = 71.5°
Cx −2
Respuesta: C : 6.32,θ = 71.5° ( en coordenadas polares )
(d)
A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k
j ˆ
ˆ A A
A A ˆ
A = = x iˆ + y ˆ + z k j
A A A A
A = Ax + Ay + Az
2 2 2
A = (2) 2 + (5) 2 + (−4) 2
A = 6.7
2 ˆ 5 ˆ −4 ˆ
A=
ˆ i+ j+ k
6.7 6.7 6.7
A = 0.30iˆ + 0.74 ˆ − 0.60k
ˆ j ˆ : vector unitario en la dirección de A
(e)
A + B + C + D = 0 Hallar D
A = 2iˆ + 5 ˆ − 4k
j ˆ
B = −2iˆ + 3 ˆ + 5k
j ˆ
C = −2iˆ − 6 ˆ + 0k
j ˆ
A + B + C = −2i + 2 ˆ + k
ˆ j ˆ
D = −( A + B + C )
24. 24 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
D = −(−2iˆ + 2 ˆ + k)
j ˆ
D = 2iˆ − 2 ˆ − k
j ˆ
Ejercicio Propuesto:
Dados los vectores:
a = 3i + 2 ˆ − 4k
ˆ j ˆ
b = −2iˆ + ˆ + 5k
j ˆ
c = −iˆ − 6 ˆ
j
Hallar:
{
a) S = 1 a − 3(b − c )
2
}
b) la magnitud y dirección de c
b) Un vector unitario en la dirección de b
c) a + b + c + d = 0 Hallar d
d) Un vector opuesto a a
e) Representar el vector c
2) MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
Definiremos tres clases de operaciones de multiplicación por vectores:
1- Multiplicación de un vector por un escalar
2- Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar
(PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO)
3- Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector
(PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ)
a) Multiplicación de un vector por un escalar
Sea
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ : un vector dado
m : un escalar
Se define el producto del escalar (m) por el vector A como el vector
mA = mA iˆ + mA ˆ + mA k
x j y
ˆ
z
tal que :
m>0 mA : tiene la dirección y sentido de A
m<0 mA : es de sentido opuesto a A
m=0 mA = 0 : el resultado es el vector nulo
su magnitud es
mA = m A
Ejemplo:
A = 2iˆ − 3 ˆ + k y m= 4
j ˆ
Por lo tanto
4 A = (4)2i − (4)3 ˆ + (4)k = 8i − 12 ˆ + 4k
ˆ j ˆ ˆ j ˆ
25. 25 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
b) Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO
ESCALAR O PRODUCTO PUNTO)
El producto escalar de dos vectores A y B , denotado por A⋅ B ( léase A punto B ) se
define como el producto de las magnitudes de A y B por el coseno del ángulo entre ellos.
Simbólicamente,
A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π Recuerde que el
Observe que A⋅ B es un escalar y no un vector. resultado de A⋅ B es
un numero no un vector
Conmutatividad del producto escalar
De la definición del producto escalar se tiene
A⋅ B = AB cos θ
= BA cos θ
= B⋅ A
Representación geométrica del producto escalar
Geométricamente el producto escalar es la magnitud de un vector por la proyección del otro
sobre él, así
A : magnitud del vector A
B cos θ : proyección del vector B sobre el vector A
B
θ A
B cos θ
Producto escalar en componentes cartesianas
Aplicando la definición del producto escalar a las unidades vectoriales cartesianas, se tiene
z
iˆ ⋅ iˆ = iˆ iˆ cos 0° = 1
iˆ ⋅ ˆ = iˆ ˆ cos 90° = 0
j j ˆ
k
De esta manera tenemos los resultados ˆ
j y
iˆ ⋅ iˆ = ˆ ⋅ ˆ = k ⋅ k = 1
j j ˆ ˆ iˆ
iˆ ⋅ ˆ = iˆ ⋅ k = ˆ ⋅ k = 0
j ˆ j ˆ x
Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentes
rectangulares o cartesianas
26. 26 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Sean los vectores
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
B = B iˆ + B ˆ + B k
x jy
ˆ
z
Multiplicando ambos vectores termino a termino, obtenemos:
A⋅ B = ( Axiˆ + Ay ˆ + Az k) ⋅ ( Bx iˆ + By ˆ + Bz k )
j ˆ j ˆ
= Ax i ⋅ Bxi + Ax i ⋅ By ˆ + Ax i ⋅ Bz k + Ay ˆ ⋅ Bx i + Ay ˆ ⋅ By ˆ + Ay ˆ ⋅ Bz k + Az k ⋅ Bxi + Az k ⋅ By ˆ + Az k ⋅ Bz k
ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ
= Ax Bxi ⋅ i + Ax By i ⋅ ˆ + Ax Bz i ⋅ k + Ay Bx ˆ ⋅ i + Ay By ˆ ⋅ ˆ + Ay Bz ˆ ⋅ k + Az Bx k ⋅ i + Az By k ⋅ ˆ + Az Bz k ⋅ k
ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ
= Ax Bx i ⋅ i + Ay By ˆ ⋅ ˆ + Az Bz k ⋅ k
ˆ ˆ j j ˆ ˆ
A⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz : producto escalar en términos de las componentes
Relacionando la definición de producto escalar con el resultado anterior, tenemos
A⋅ B = AB cos θ
A⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
ABcos θ = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Por lo tanto
Ax Bx + Ay By + Az Bz
cos θ = : ángulo entre los vectores A y B
AB
Propiedades del Producto Escalar
1-El resultado de un producto escalar es un número.
2-El producto escalar satisface la propiedad conmutativa
A⋅ B = B ⋅ A
3-El producto escalar satisface la propiedad distributiva respecto a la suma
A⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
4-Si θ = 0° el producto escalar de vectores paralelos es
A⋅ B = AB cos 0° = AB ⇒ es el máximo
5-El producto escalar de dos vectores iguales es
A⋅ A = AA cos 0° = AA = A2
6-Si θ = 90° el producto escalar de vectores perpendiculares diferentes de cero es
A⋅ B = AB cos 90° = 0
7-Si θ = 180° el producto escalar de vectores opuestos es
A⋅ B = AB cos 180° = -AB ⇒ es un número negativo
27. 27 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Ejercicio 1.13
Sean dos vectores de 35 y 75 unidades respectivamente que forman entre sí un ángulo de
34°. Calcular su producto escalar.
Solución:
A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π
A⋅ B = (35)(75) cos 34°
A⋅ B = 2176.2
Ejercicio 1.14
Calcular el producto escalar de dos vectores de 5 y 12 unidades respectivamente si son:
a) consecutivos colineales
b) opuestos
c) perpendiculares
d) Obtenga el producto escalar de un vector consigo mismo
Solución:
(a)
A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π
A⋅ B = (5)(12) cos 0°
A⋅ B = 60
(b)
A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π
A⋅ B = (5)(12) cos 180°
A⋅ B = −60
(c)
A⋅ B = AB cos θ 0≤θ≤π
A⋅ B = (5)(12) cos 90°
A⋅ B = 0
(d)
A⋅ A = AA cos θ 0≤θ≤π
A⋅ A = (5)(5) cos 0°
A⋅ A = 25
Ejercicio 1.15
Sean los vectores:
a = 3i + 2 ˆ − 4k
ˆ j ˆ
b = −2iˆ + ˆ + 5k
j ˆ
c = −iˆ − 6 ˆ
j
Hallar:
a) a ⋅ b = ¿Son los vectores perpendiculares?
b) Calcular el ángulo entre a y b
c) 3(a ⋅ b ) =
28. 28 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Dos vectores son
d) S = 1
3
{a ⋅ 2(b + c )} perpendiculares si
Solución: a ⋅ b = 0 ¿Por que?
(a)
a ⋅ b = ab cos θ 0≤θ≤π
a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz
a ⋅ b = (3) ⋅ (−2) + (2) ⋅ (1) + (−4) ⋅ (5)
a ⋅ b = −24
∴ los vectores no son perpendiculares, pues, el producto escalar no es igual a cero.
(b)
a x bx + a y b y + a z bz
cos θ = : ángulo entre los vectores a y b
ab
a = ax + ay + az
2 2 2
a = (3) 2 + (2) 2 + (−4) 2
a = 5.4
b = bx + b y + bz2
2 2
b = (−2) 2 + (1) 2 + (5) 2
b = 5. 5
− 24
cosθ =
(5.4)(5.5)
θ = 143.9° : ángulo entre los vectores a y b
(c)
3(a ⋅ b ) = 3(-24)
3(a ⋅ b ) = -72
(d)
S= 1
3
{a ⋅ 2(b + c )}
b = −2iˆ + ˆ + 5k
j ˆ
c = −iˆ − 6 ˆ + 0k
j ˆ
(b + c ) = −3i − 5 ˆ + 5k
ˆ j ˆ
2(b + c ) = −6i − 10 ˆ + 10k
ˆ j ˆ
a = 3i + 2 ˆ − 4k
ˆ j ˆ
a ⋅ 2(b + c ) = (−6)(3) + (−10)(2) + (10)(−4)
a ⋅ 2(b + c ) = −78
{ }
S = 1 a ⋅ 2(b + c ) = 1 (−78)
3 3
S = −26
29. 29 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Ejercicio Propuesto:
1.Dados los vectores
A : 6 u 60°
B : 9 u 225°
Hallar:
A⋅ B = ? y el ángulo entre los vectores
2.Haciendo uso del producto escalar obtener la relación conocida con el nombre de teorema
de los cosenos.
c) Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO
VECTORIAL O CRUZ)
El producto vectorial de A y B es un vector C = A× B ( léase A cruz B ). La magnitud
de A× B se define como el producto de las magnitudes de A y B por el seno del ángulo
entre ellos. La dirección del vector C = A× B es perpendicular al plano formado por A y
B de modo que A , B y C forman un sistema derecho. Así
A× B = AB sen θ u
ˆ 0≤θ≤π
donde u es un vector unitario que indica la dirección de A× B .La magnitud del producto
ˆ
vectorial esta dada por A× B = AB sen θ .
Anticonmutatividad del producto vectorial
Tenemos que
A× B ≠ B × A
pues
A× B = uAB sen θ
ˆ
B × A = −uBAsen θ
ˆ
⇒ A× B = − B × A
Esto es conocido
como “la regla de
la mano derecha”
30. 30 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Representación geométrica del producto vectorial
La magnitud del producto vectorial geométricamente se representa como la magnitud del
vector A por la componente del vector B perpendicular al vector A .Lo que es igual al
área del paralelogramo formado por los dos vectores.
B B sen θ A× B = A(B sen θ )
θ
A
Producto vectorial de unidades cartesianas
Aplicando la definición del producto vectorial a las unidades vectoriales cartesianas, se
tiene
z
iˆ × iˆ = iˆ iˆ sen 0° = 0
iˆ × ˆ = iˆ ˆ sen 90° k = k
j j ˆ ˆ ˆ
k
De esta manera tenemos los resultados ˆ
j y
iˆ × iˆ = ˆ × ˆ = k × k = 0
j j ˆ ˆ iˆ
iˆ × ˆ = k , ˆ × k = iˆ , k × iˆ = ˆ
j ˆ j ˆ ˆ j x
iˆ × k = − ˆ , k × ˆ = −iˆ , ˆ × iˆ = −k
ˆ j ˆ j j ˆ
Regla nemotécnica
iˆ
ˆ
k ˆ
j
Producto vectorial en componentes cartesianas
Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores expresados en componentes
rectangulares o cartesianas
Sean los vectores
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
B = B iˆ + B ˆ + B k
x j y
ˆ
z
Multiplicando termino a termino, obtenemos
A× B = ( Ax iˆ + Ay ˆ + Az k) × ( Bxiˆ + By ˆ + Bz k)
j ˆ j ˆ
= Ax i × Bx i + Axi × By ˆ + Ax i × Bz k + Ay ˆ × Bx i + Ay ˆ × By ˆ + Ay ˆ × Bz k + Az k × Bxi + Az k × By ˆ + Az k × Bz k
ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ
= Ax Bxi × i + Ax By i × ˆ + Ax Bz i × k + Ay Bx ˆ × i + Ay By ˆ × ˆ + Ay Bz ˆ × k + Az Bx k × i + Az By k × ˆ + Az Bz k × k
ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ j ˆ j j j ˆ ˆ ˆ j ˆ ˆ
31. 31 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
= Ax By i × ˆ + Ax Bz i × k + Ay Bx ˆ × i + Ay Bz ˆ × k + Az Bx k × i + Az By k × ˆ
ˆ j ˆ ˆ j ˆ j ˆ ˆ ˆ j
= Ax By k + Ax Bz (− ˆ) + Ay Bx (−k) + Ay Bz i + Az Bx ˆ + Az By (−i )
ˆ j ˆ ˆ j ˆ
A× B = ( Ay Bz − Az By )iˆ + ( Az Bx − Ax Bz ) ˆ + ( Ax By − Ay Bx )k
j ˆ : producto vectorial en
términos de las componentes
rectangulares.
Como este procedimiento resulta tedioso se puede utilizar el operador determinante que
realiza esta misma operación.
Sean los vectores
A = Ax iˆ + Ay ˆ + Az k
j ˆ
B = B iˆ + B ˆ + B k
x j y
ˆ
z
iˆ ˆ
j kˆ
A× B = Ax Ay Az = ( Ay Bz − By Az )iˆ − ( Ax Bz − Bx Az ) ˆ + ( Ax By − Bx Ay )k
j ˆ
Bx By Bz
Tomando la magnitud del producto vectorial podemos encontrar el ángulo entre los
vectores.
A× B = AB sen θ 0≤θ≤π
A× B
⇒ senθ = : ángulo entre los vectores A y B
AB
Propiedades del Producto Vectorial
1-El resultado de un producto vectorial es un vector.
2-El producto vectorial no es conmutativa
A× B = − B × A
3-El producto vectorial satisface la propiedad distributiva respecto a la suma
A× ( B + C ) = A× B + A× C
4-Si θ = 0° el producto vectorial de vectores paralelos es
A× B = AB sen 0° u = 0
ˆ
5-El producto vectorial de dos vectores iguales es
A× A = AA sen 0° u = 0
ˆ
6-Si θ = 90° el producto vectorial de vectores perpendiculares diferentes de cero es
A× B = AB sen 90° u = ABu
ˆ ˆ
7-Si θ = 180° el producto vectorial de vectores opuestos es
A× B = AB sen 180° u = 0ˆ
32. 32 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Ejercicio 1.16
Dados los vectores:.
A = 4iˆ − 2 ˆ − k
j ˆ
B = 2iˆ + 3 ˆ + 5k
j ˆ
C = −iˆ − 6 ˆ
j
Hallar:
a) A× B = ¿Son los vectores perpendiculares o paralelos?
b) Calcular el ángulo entre A y B
c) A⋅ ( B × C ) =
d) A× ( B × C ) =
Solución:
(a)
iˆ ˆ
j ˆ
k
A× B = 4 − 2 − 1 = (−2 ⋅ 5 − 3 ⋅ −1)iˆ − (4 ⋅ 5 − 2 ⋅ −1) ˆ + (4 ⋅ 3 − 2 ⋅ −2)k
j ˆ
2 3 5 Dos vectores son
paralelos si
A× B = (−10 − −3)iˆ − (20 − −2) ˆ + (12 − −4)k
j ˆ
a × b = 0 ¿Por que?
A× B = −7iˆ − 22 ˆ + 16k
j ˆ
Los vectores no son paralelos, pues, A× B ≠ 0 .
Para saber si son perpendiculares calculamos el producto escalar.
A⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A⋅ B = (4) ⋅ (2) + (−2) ⋅ (3) + (−1) ⋅ (5)
A⋅ B = −3
∴ los vectores no son perpendiculares.
(b)
A× B = AB sen θ 0≤θ≤π
A× B
⇒ senθ = : ángulo entre los vectores A y B
AB
A = Ax + Ay + Az2
2 2
A = (4) 2 + (−2) 2 + (−1) 2
A = 4. 6
B = Bx + By + Bz2
2 2
33. 33 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
B = (2) 2 + (3) 2 + (5) 2
B = 6.1
A× B = (−7) + (−22) + (16)
¡Me parece que
A× B = 28.1 esto se esta
complicando!
senθ =
28.0 A⋅ ( B × C ) = ?
(4.6)(6.1)
θ = 86.2°
(c)
A⋅ ( B × C ) =
B = 2iˆ + 3 ˆ + 5k
j ˆ
C = −iˆ − 6 ˆ
j
iˆ ˆ
j ˆ
k
B× C = 2 3 5 = (3 ⋅ 0 − −6 ⋅ 5)i − (2 ⋅ 0 − −1 ⋅ 5) ˆ + (2 ⋅ −6 − −1 ⋅ 3)k
ˆ j ˆ
−1 − 6 0
B × C = (0 − −30)iˆ − (0 − −5) ˆ + (−12 − −3)k
j ˆ
B × C = 30iˆ − 5 ˆ − 9k
j ˆ
A = 4iˆ − 2 ˆ − k
j ˆ
A⋅ ( B × C ) = (4)(30) + (−2)(−5) + (−1)(−9)
A⋅ ( B × C ) = 139
(d)
A× ( B × C ) =
B × C = 30iˆ − 5 ˆ − 9k
j ˆ
A = 4iˆ − 2 ˆ − k
j ˆ
iˆ ˆ
j ˆ
k
A× ( B × C ) = 4 − 2 − 1 = (−2 ⋅ −9 − −5 ⋅ −1)i − (4 ⋅ −9 − 30 ⋅ −1) ˆ + (4 ⋅ −5 − 30 ⋅ −2)k
ˆ j ˆ
30 − 5 − 9
A× ( B × C ) = 13iˆ + 6 ˆ + 40k
j ˆ
Ejercicio 1.17
Un estudiante afirma que ha encontrado un vector A tal que
(2i − 3 ˆ + 4k) × A = (4i + 3 ˆ − k )
ˆ j ˆ ˆ j ˆ
¿Cree usted que esto es cierto? Explique5
5
Serway . Física I Tomo I.Cuarta Edición. McGraw Hill. Pb.7,Cap11.
34. 34 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
Solución:
Sabemos que el vector resultante de un producto vectorial es perpendicular al plano que
contiene a los vectores, por lo tanto si realizamos un producto escalar entre el vector
2i − 3 ˆ + 4k y el vector 4i + 3 ˆ − k , debe ser igual a cero pues son perpendiculares.
ˆ j ˆ ˆ j ˆ
a ⋅ b = ab cos θ 0≤θ≤π
a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz
a ⋅ b = (2) ⋅ (4) + (−3) ⋅ (3) + (4) ⋅ (−1)
a ⋅ b = −5
∴ El vector 2i − 3 ˆ + 4k y el vector resultante 4i + 3 ˆ − k , no son perpendiculares lo
ˆ j ˆ ˆ j ˆ
que nos dice que esto no es cierto.
Ejercicio Propuesto:
1.Sean los vectores:
a = 3i + 2 ˆ − 4k
ˆ j ˆ
b = −2iˆ + ˆ + 5k
j ˆ
c = −iˆ − 6 ˆ
j
Hallar:
a) a × b = ¿Son los vectores perpendiculares?
b) Calcular el ángulo entre a y b
b) 3(a × b ) =
c) S = 1
3
{a × 2(b + c )}
2.Dados los vectores
A : 6 u 60°
B : 9 u 225°
Hallar:
a) A× B = ? y el ángulo entre los vectores
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Spiegel, M.,. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias,. McGraw-Hill,
México, 2001.
[2] Gonzalez, F. Principios de Mecánica, Oficina de Publicaciones de la Universidad de
Costa Rica, Costa Rica, 1999.
[3] Resnick, R., Halliday, D., Krane, K., Física Vol.1, Tercera edición, Compañía
Editorial Continental,S.A. de C.V., México, 1978.
35. 35 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico
[4] Sears F., Zemansky M., Freedman R. Física Universitaría, Novena edición.Pearson
Educación. México. 1999.
[5] Calderon, A., Física para Bachillerato, Segunda edición ampliada, Costa Rica,.
1989.
[6] Wilson, J., Física, Segunda edición , Prentice Hall Hispanoamericana, S.A, México,.
1996.
[7] Lea, J., Burke, J., Física: La Naturaleza de las Cosas, International Thomson
Editores, México,. 1999.
[8] Giancoli, D., Física: Principios con Aplicaciones, Prentice Hall Hispanoamericana,
S.A, México,. 1997.