Ejercicios resueltos de competencia perfecta

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Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos
correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
1.- Una empresa que trabaja en un mercado de competencia perfecta tiene
una función de costes totales: CT =2Q3
– 75Q2
+ 1000Q + 361.
Las funciones de oferta y demanda en ese mercado son:
Qo = 20P – 2000
Qd = 10000 – 10P
a) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.
b) Halle qué beneficio obtendrá.
Suponga que la demanda varía pasando a ser Qd = 17328 – 12P
c) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.
d) Halle qué beneficio obtendrá.
e) Represente gráficamente los equilibrios del mercado y de la
empresa calculados en los apartados anteriores.
f) Calcule y represente gráficamente el mínimo de explotación.
g) Calcule y represente gráficamente el punto de nivelación.

a) La condición de primer orden de maximización de beneficios de una
empresa competitiva nos dice que ésta habrá de producir una cantidad tal que haga
igualar sus costes marginales con el precio de equilibrio del mercado.
Necesitamos por tanto conocer dicho precio de equilibrio. Lo obtendremos
igualando la función de oferta con la de demanda:
Qo = Qd
20P – 2000 = 10000 – 10P
30P = 12000
P = 400 u.m.
Obtenemos la cantidad de equilibrio sustituyendo este valor en la oferta o en la
demanda:
Qo = 20·400 – 2000 = 6000
A continuación, calcularemos los costes marginales, que son la derivada de los
costes totales respecto de Q:
C’ = = 6Q2
– 150Q + 1000
Para maximizar beneficios, se ha de cumplir la siguiente igualdad:
P = C’
400 = 6Q2
– 150Q + 1000
6Q2
– 150Q + 600 = 0
Q2
– 25Q + 100 = 0
A simple vista se puede apreciar que las dos raíces de esta ecuación son 5 y 20,
pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la Q
es la suma de ambas con signo negativo.
Resolvemos no obstante de la forma más tradicional por si alguien no lo había
visto aún de esa manera inmediata:
; ; las dos posibles soluciones por
consiguiente son Q = 5 y Q = 20.
Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos
hará maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar
beneficios-.
La condición de segundo orden de maximización de beneficios de una empresa
competitiva nos dice que los costes marginales han de estar en su tramo creciente. Esto
matemáticamente implica que sustituyendo en la derivada del coste marginal el valor de

la Q que hemos hallado, nos ha de dar un valor positivo. Lo comprobamos a
continuación para los dos valores calculados.
= 12Q – 150
12·5 – 150 = – 90 < 0
12·20 – 150 = 90 > 0
Estaremos por tanto en el tramo creciente de la curva de costes marginales para
una cantidad Q = 20.
b) Ahora que ya sabemos que va a producir 20 unidades y que las va a
vender a un precio de 400 u.m., podemos conocer el beneficio de la empresa como la
diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:
B = IT – CT = 400·20 – 2·203
+ 75·202
– 1000·20 – 361 = 1639 u.m.
c) Si la demanda varía, tenemos que encontrar el nuevo equilibrio del
mercado igualando la función de oferta con la nueva función de demanda:
Qo = Qd
20P – 2000 = 17328 – 12P
32P = 19328
P = 604 u.m.
demanda:
Qo = 20·604 – 2000 = 10080
a) Ya hemos calculado anteriormente la función de costes marginales de la
empresa, lo que nos servirá para conocer cuál es la cantidad que maximizará sus
beneficios dado el nuevo precio de equilibrio calculado.
Para maximizar beneficios, se ha de cumplir la siguiente igualdad:
P = C’
604 = 6Q2
– 150Q + 1000
6Q2
– 150Q + 396 = 0
Q2
– 25Q + 66 = 0
Se puede apreciar a simple vista que las dos raíces de esta ecuación son 3 y 22,
pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la Q
es la suma de ambas con signo negativo.
Resolvemos no obstante de la forma más tradicional por si alguien no lo había
visto aún de esa manera inmediata:

Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos
hará maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar
beneficios-.
La condición de segundo orden de maximización de beneficios de una empresa
competitiva nos dice que los costes marginales han de estar en su tramo creciente. Esto
matemáticamente implica que sustituyendo en la derivada del coste marginal el valor de
la Q que hemos hallado, nos ha de dar un valor positivo. Lo comprobamos a
continuación para los dos valores calculados.
= 12Q – 150
12·3 – 150 = – 114 < 0
12·22 – 150 = 114 > 0
Estaremos por tanto en el tramo creciente de la curva de costes marginales para
una cantidad Q = 22.
b) Ahora que ya sabemos que va a producir 22 unidades y que las va a
vender a un precio de 604 u.m., podemos calcular el beneficio de la empresa como la
diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:
B = IT – CT = 604·22 – 2·223
+ 75·222
– 1000·22 – 361 = 5931 u.m.
La representación gráfica del equilibrio del mercado y de la empresa serían los
siguientes:
EmpresaMercado
D
6000
400 400
P
P1
604
10080 Q
CTMe
P
P1
C’
Q
604
3 5 20 22
O
D’

c) El mínimo de explotación viene dado por ese precio a partir del cual la
empresa comienza a producir pues ahí ya cubre sus costes variables en su totalidad, y
por encima de ese precio empieza a recuperar los costes fijos –obviamente, si ese precio
es aún mayor empezará a tener beneficios, pero eso lo calcularemos en otro apartado,
cuando hallemos el punto de nivelación-.
El mínimo de explotación, o punto de cierre, se produce en el mínimo de los
costes variables medios, que es el punto en el que los costes marginales cortan con
dichos costes variables medios. Por eso, podemos calcularlo matemáticamente de
cualquiera de las dos formas:
ó bien
C’ = CVMe
Lo haremos a continuación de las dos formas posibles.
Para ello, necesitamos en primer lugar conocer quiénes son los costes variables
medios. Por su propia definición serán el resultado de dividir los costes variables –todos
aquellos que dependen de la cantidad, Q- entre Q:
CVMe = =
–
2Q2
– 75Q + 1000
Para minimizar esta función, su derivada respecto de Q deberá ser igual a cero:
; 4Q – 75 = 0; Q = 18’75
Si la cantidad asociada al mínimo de explotación es Q = 18’75, sustituyendo este
valor ya sea en el coste marginal ya sea en el coste variable medio, obtenemos el precio
mínimo a partir del cual la empresa comenzará a producir:
CVMe(Q = 18’75) = 2·18’752
– 75·18’75 + 1000 = 296’875 u.m.
El mínimo de explotación se produce por tanto para esta empresa cuando el
precio alcanza las 296’875 u.m., y comienza a producir 18’75 unidades.

La representación gráfica sería la siguiente:
e) El punto de nivelación es aquel en el que el precio es lo suficientemente alto como
para que la empresa deje de tener pérdidas, es decir, aquel en el que el beneficio es B =
0. Si el precio es mayor que este, la empresa comenzará a presentar beneficios positivos.
Tenemos dos posibilidades para su cálculo: hallar el mínimo de los costes totales
medios, o bien calcular el punto de corte entre los costes marginales y los costes totales
medios. Esto es así porque el coste marginal corta a los costes totales medios en el
mínimo de éstos.
Los costes totales medios son el resultado de dividir los costes totales entre Q:
CTMe = =
–
2Q2
– 75Q + 1000 +
Para calcular su mínimo, hallamos la derivada respecto de Q de esta función y la
igualamos a cero:
;
4Q – 75 – = 0;
4Q3
– 75Q2
– 361 = 0
El único divisor –además del 1, y de 361, lógicamente- del término
independiente es 19, pues 361 es 19 elevado al cuadrado.
296’9
P1
P2
18’75
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
P1
P2
P1
P2
P1
P2
Mínimo de explotación o
punto de cierre
P1
P2

Sabíamos ya por los apartados anteriores del ejercicio que habíamos calculado,
que el mínimo de explotación se alcanzaba para 18’75 unidades producidas, y que
fabricando 20 unidades tenía beneficios, por lo que el valor de la cantidad que
buscábamos correspondiente al punto de nivelación estaba comprendido entre estos dos
valores.
Comprobamos utilizando el método de Ruffini que 19 es la solución de la
ecuación:
4 75 0 – 361
19 76 –19 361
4 – 1 19 0
Si la cantidad para la que el coste total medio es mínimo es de 19 unidades, el
precio correspondiente al punto de nivelación lo obtendremos sustituyendo dicho valor
ya sea en el coste marginal, ya sea en el coste total medio. Elegimos hacerlo en éste
último:
CTMe (Q = 19) = 2Q2
– 75Q + 1000 + = 2·192
– 75·19 + 1000 + ;
CTMe (Q = 19) = 316 u.m.
La representación gráfica sería la siguiente:
19
316
296’9
P1
18’75
CTMe
P
P1
C’
CVMe
Q
Punto de nivelación
P1

a) Obtenemos el precio de equilibrio al que va a vender su producto esta
empresa igualando la función de oferta con la de demanda:
Qo = Qd
30P – 900 = 1200 – 5P
35P = 2100
P = 60 u.m.
demanda:
Qo = 30·60 – 900 = 900
Si la empresa actuara con racionalidad económica buscaría maximizar
beneficios. Sin embargo, en este caso el enunciado del ejercicio nos dice que lo que
pretende es maximizar los ingresos, con la limitación de que al menos obtenga un
beneficio B = 390 u.m. No podemos proceder por tanto como acostumbramos igualando
el precio al coste marginal.
Como ya conocemos, una empresa competitiva puede vender todo lo que quiera
al precio de equilibrio, pues la función de demanda a la que se enfrenta es totalmente
elástica. Así, si pretendiera maximizar ingresos vendería infinitas unidades de producto
–o, al menos, tantas unidades como los consumidores estén dispuestos a adquirir a ese
2.- Una empresa que opera en un mercado de competencia perfecta
maximiza ingresos en lugar de beneficios, con la restricción de obtener un
beneficio mínimo de 390 u.m. Su función de costes totales es: CT = 2Q2
+ 10.
La oferta y la demanda de ese mercado responden a las funciones:
Qo = 30P – 900
Qd = 1200 – 5P
a) Calcule el equilibrio del mercado, así como la cantidad que decidirá
producir esa empresa y los beneficios que obtendrá.
b) Represente gráficamente la decisión de la empresa.

precio, que en este caso concreto hemos calculado al hallar el equilibrio del mercado,
que son 900-.
De hecho, si maximizamos la función de ingresos totales derivando esta función
respecto de Q e igualando a cero, vamos a encontrar una incongruencia en línea con lo
descrito:
IT = P · Q = 60Q
60 = 0
Esto es normal; no podemos hallar el máximo de una función que es siempre
creciente como vemos en el gráfico siguiente:
Lógicamente, en una función siempre creciente, el máximo se produciría para
una Q = ∞.
Debemos abordar el problema por consiguiente de otra manera; tendremos que
encontrar cuál es la cantidad máxima vendida que nos asegure tener al menos ese
beneficio.
B = 390 = IT – CT = 60Q – 2Q2
– 10;
2Q2
– 60Q + 400 = 0
La empresa obtendrá beneficios mayores o iguales a 390 u.m. en todo el
intervalo [10,20] de Q. Su decisión, lógicamente, será la de producir 20 unidades si lo
que pretende es maximizar ingresos.
IT
Q
IT

b) La representación gráfica correspondiente al problema de decisión de esta
empresa sería la siguiente:
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los
vídeos correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
20
P1
P2
390
P1
P2
10
Bº
P1
P2
Q
P1
P2
Decisión de la empresa: producir 20
unidades obteniendo un beneficio de
390 u.m.

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