El documento describe cómo usar la serie de Taylor para aproximar la función cos(x) en el punto π/3. Se dan los valores de cos(x) y sus derivadas hasta el orden 6 en π/4, y se usan estos términos en la serie de Taylor para calcular una aproximación de cos(π/3). El cálculo resulta en un valor aproximado de 1/2.

1. Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un número infinitos de derivadas,
úsese los términos de la serie de Taylor con n=0 hasta 6 para aproximar F(x)=cos(x) en x=π/3 en
base al valor de F(x) y de sus derivadas alrededor del punto x=π/4
h=π/3−π/4=π/12
n=0 n=4
F(x)=cos(x) F´´´´(x)=cosx
n=1 n=5
F´(x)=−senx ������ ������ (x)=−senx
n=2 n=6
F´´(x)=−cos x ������ ������������ (x)=−cosx
n=3
F´´´(x)=senx
−������������������ ������ ������ ������������������ ������ ������ ������������������������ ������
F(������������+1 )=cos������������ +(−������������������ ������������ )(������������+1 − ������������ )+( )(������������+1 − ������������ )2 +( )(������������+1 − ������������ )3 +( )(
2! 3! 4!
������������+1 − ������������ )4
������������������������ ������ ������������������������ ������
+(− )( ������������+1 − ������������ )5 +(− )( ������������+1 − ������������ )6
5! 6!
cos ������/4 sin ������/4 cos ������/4
F(π/3)=cos ������/4 − sin ������/4(π/12)− (������/12)2 + (������/12)3 + (������/12)4 −
2! 3! 4!
sin ������/4 cos ������/4
(������/12)5 − (������/12)6
5! 6!
F(������/3)=1/2

2. 2. Apartir de la serie de Taylor
Hallar la formula característica del método de Newton
������¨(������������ )
������(������������+1 ) = ������(������������ ) + ������´(������������ )(������������+1 − ������������ ) + (������������+1 − ������������ )2
2!
������(������������ ) = 0
0=������(������������ ) + ������´(������������ )(������������+1 − ������������ )
������(������������ )
− + ������������ = ������������+1
������´(������������ )
������(������������ )
������������ − = ������������+1
������(������������ )