Estadistica Descriptiva UPC

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Estadística Descriptiva
MA460 201601
Las profesoras y los profesores del curso

Temario
La Estadística y sus subdivisiones.
Definiciones de población, muestra, variables, clasificación de variables, parámetros y estadísticos.
Métodos de organización y presentación de datos:
• Datos cualitativos
• Datos cuantitativos
• Tablas de distribución de frecuencias y representaciones gráficas (circular, barras, Pareto)
• Tablas de doble entrada
Al finalizar la unidad 1,
el estudiante interpreta con rigurosidad tablas y gráficos,
con ayuda del programa MS Excel 2010.
Logro de la unidad 1
Unidad 1: Organización de datos

4 Estadística Descriptiva 201601
Notas importantes
1.1. Definición de Estadística
Es la ciencia que proporciona un conjunto de métodos, técnicas y procedimientos para
recopilar, organizar, presentar y analizar datos con el fin de describirlos o realizar gene-
ralizaciones válidas.
Subdivisión de la Estadística
La Estadística se puede dividir en Estadística descriptiva y Estadística inferencial.
Ejercicio 1
Según la encuesta nacional realizada por la encuestadora CPI publicada el 18 de marzo
del 2016, la intención de voto para las próximas elecciones es la siguiente:
La encuesta fue realizada del
viernes 11 al lunes 14 de mar-
zo de 2016 tuvo una muestra
de 1200 casos y cuenta con un
margen de error +/- 2,83%.
Indique si, estas afirmaciones
son afirmaciones de tipo des-
criptiva o Inferencial.
Recolección Organización Presentación Análisis
Estadística
descriptiva
Son métodos y técnicas de recolección, caracterización, resumen y
presentación que permiten describir apropiadamente las características
de un conjunto de datos.
Comprende el uso de gráficos, tablas, diagramas y criterios para el
análisis.
Estadística
inferencial
Son métodos y técnicas que hacen posible estimar una o más
características de una población o tomar decisiones sobre población
basadas en el resultado de muestras.
Estas conclusiones no son totalmente válidas y tienen cierto margen de
error.

Unidad 1. Organización de Datos 5
1.2. Definiciones
Unidad elemental, variables y observación
Ejemplo 1
Dato
Es el resultado de medir una característica observable de una unidad elemental.
Caso Aerolínea Wayra
Aerolínea Wayra S.A es una empresa peruana de transporte aéreo con vuelos nacionales
e internacionales, ofrece un servicio alta calidad a sus pasajeros y busca mejorar conti-
nuamente la eficiencia de sus operaciones, valorando el empeño diario de su personal.
Actualmente, la flota de la empresa está constituida por cuatro aviones Boeing, que
brindan una gran capacidad de empuje y autonomía. Sus aviones han sido remodelados
en su interior. Juan, gerente de la compañía, desea determinar si las remodelaciones en
la flota han servido para brindar un mejor servicio a los usuarios. Por esta razón, le ha
encargado a su asistente Felipe que realice un estudio.
Indique la unidad elemental en la investigación que hizo Felipe, dos variables que segu-
ramente preguntó y una posible observación.
Unidad elemental
es la entidad
acerca de la cual se
reúne los datos
Variables son las
características de
interés de las
unidades
elementales
Observación es el
conjunto de
mediciones
obtenido de una
unidad elemental
particular
A una persona
(Unidad
elemental)
se le pregunta su
género y edad.
(Variables)
Ella responde:
“Soy mujer y tengo
19 años”
(Observación)
(Unidad elemental) (Variables) (Observación)

Población y muestra
Ejemplo 2
La Secretaría Académica de una universidad está interesada en realizar un estudio sobre
los motivos por los cuales algunos alumnos del pregrado han decidido dar exámenes de
recuperación ese ciclo. La universidad cuenta con quince facultades y un total de 7500
alumnos, de los cuales 830 han decidido rendir exámenes de recuperación ese ciclo. De
la población se va a entrevistar a una muestra aleatoria de 200 alumnos. Defina la po-
blación y la muestra
Solución
Ejercicio 2
El objetivo de una investigación es estimar la estatura media de los peruanos de 18
años. Indique la población y la muestra.
Población
Población es el conjunto de todos las
unidades elementales de interés en
determinado estudio.
Es un conjunto de personas, objetos,
conceptos, etc. de los cuales se sacan
conclusiones a partir de una o más
características observables de
naturaleza cualitativa o cuantitativa.
Muestra
Muestra es un subconjunto de la población.
Será representativa si se parece a la
población de la que proviene.
Población
Los 830 alumnos que han decidido dar
exámenes de recuperación ese ciclo.
Muestra
Los 200 alumnos que han decidido dar
exámenes de recuperación ese ciclo.
Población
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Muestra
.....................................................................
.....................................................................

Actualmente, la flota de la empresa está constituida por aviones Boeing, que brindan
una gran capacidad de empuje y autonomía. Sus aviones han sido remodelados en su in-
terior.
Juan, gerente de la compañía, desea determinar si las remodelaciones en la flota han
servido para que los pasajeros mejoren su percepción acerca del servicio. Por esta razón,
le ha encargado a su asistente Felipe que realice un estudio. Indique la población y la
muestra de dicha investigación.
Además, Juan quiere determinar el porcentaje de vuelos que salen sin retraso, con el fin
de ver si es necesario establecer políticas de mejora. Indique la población y la muestra
de dicha investigación.
Por otro lado, Juan quiere determinar la media del número mensual de pasajeros de la
aerolínea Wayra. Indique la población y la muestra de dicha investigación.
Población
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Muestra
.....................................................................
.....................................................................
Población
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Muestra
.....................................................................
.....................................................................
Población
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Muestra
.....................................................................
.....................................................................

Escalas de medición de las variables
Son los tipos de valores asignados a las unidades elementales para una variable definida.
La escala de medición permite determinar la cantidad de información que contienen los
datos y el análisis estadístico más apropiado.
Escalas de
medición
Nominal Ordinal Intervalo Razón
Nominal
•Una variable está medida en escala nominal cuando los datos
son etiquetas que se emplean para definir un atributo del
elemento.
Ordinal
•Una variable está medida en escala ordinal cuando los datos son
etiquetas y el orden es significativo.
•Se pueden ordenar, de tal manera que puedan expresar grados
de la característica medida.
•No tiene sentido medir la distancia entre los valores de la
variable ni realizar operaciones aritméticas con ellos pues no
toman valores numéricos específicos ni existe proporcionalidad
entre categorías vecinas.
Intervalo
•Una variable está medida en escala de intervalo si los datos
tienen propiedades de datos ordinales y el intervalo entre
observaciones se expresa en términos de una unidad fija de
medida.
•Los datos de intervalo siempre son numéricos.
•El cero es relativo, es decir, no indica la ausencia de la
característica medida.
Razón
•Una variable está medida en escala de razón si los datos tienen
todas las propiedades de los datos de intervalo y se puede
realizar cualquier operación aritmética (suma, resta,
multiplicación y división) y lógica (comparación y
ordenamiento).
•El cero es absoluto, es decir, indica la ausencia total de la
característica medida.

Ejemplo 3
Se realizó una encuesta a una muestra de 150 pasajeros de la aerolínea. Algunas de las
variables fueron las siguientes. Indique la escala de medición de cada variable.
Variable Nominal Ordinal Intervalo Razón
Edad del pasajero, en años
Género del pasajero
Nacionalidad del pasajero
Número de pasaporte
Opinión respecto al servicio: malo
regular, bueno, muy bueno
Ciudad de destino del viaje
Altura sobre el nivel del mar de la
ciudad de destino del viaje
Número de viajes al mes del pasa-
jero en la aerolínea Wayra
Precio del pasaje
Número de asiento (1A, 1B,…)
Peso del equipaje de mano, en
kilogramos
Nominal
•El género de las personas
•El estado civil de los empleados de una empresa
•Las carreras profesionales universitarias
Ordinal
•El orden de mérito de los atletas en una competición
•El grado de instrucción de los clientes de un banco
Intervalo
•Las escalas de temperatura. Las temperaturas en grados
centígrados 0ºC, y 20ºC equivalen a, en grados Fahrenheit, 32ºF,
y 68ºF
Razón
•El sueldo de los empleados de una empresa
•El tiempo en terminar un examen

Tipos de variables según su naturaleza
Las variables se pueden clasificar en cualitativas o cuantitativas.
Ejemplo 4
Variables Tipo de variable Escala de medición
Marca de computadora personal que utiliza Cualitativa Nominal
Tiempo que usa la computadora por semana Cuantitativa continua Razón
Número de perros en una casa Cuantitativa discreta Razón
Número de granos de arena en una gran playa Cuantitativa discreta Razón
Se tienen otras variables como las siguientes. Indique su escala de medición y tipo.
Variable Tipo de variable Escala de medición
Número de maletas del pasajero en un vuelo
Tiempo de retraso del último vuelo, en horas.
Tipo de boleto (Primera, business, económica)
Razón de elección de la aerolínea Wayra
Variable
cualitativa
Es una variable que
puede ser expresada
en escala nominal u
ordinal.
Variable
cuantitativa
Es una variable que
puede ser medida en
escala de intervalo o
de razón.
A su vez, la variable
cuantitativa se
clasifica en discreta o
continua.
Variable discreta
Tiene un número finito o infinito
numerable de posibles valores; es
decir, que en un intervalo solo
puede tomar ciertos valores.
Variable continua
Tiene un número infinito no
numerable de posibles valores; es
decir, que en un intervalo puede
tomar cualquier valor.

Parámetro y estadístico
Ejemplo 5
En un estudio entre alumnos de la UPC, se registró la edad de todos los alumnos de la
UPC. La media de la edad fue de 19,3 años. Además, de una muestra de aleatoria de 300
alumnos se encontró que el 12% trabaja. Indique lo siguiente.
Medida de resumen Variable Valor Parámetro o estadístico
Media Edad 19,3 años Parámetro
Porcentaje Condición de trabajo 12% Estadístico
Ejercicio 3
El objetivo de una investigación es estimar el sueldo promedio de un obrero en la ciudad
de Lima. En una muestra aleatoria, se encontró una media de 1650 soles. Indique lo si-
guiente.
Población: …………………….……………………………………………………………………………………………….
En una muestra de 150 pasajeros se encontró que el 55% de los pasajeros considera que
el menú de a bordo de la aerolínea Wayra es regular. Indique lo siguiente.
Usando el registro del aeropuerto Jorge Chávez, se encontró que la media del tiempo de
retraso de todos los vuelos de la aerolínea Wayra fue 32 minutos. Indique lo siguiente.
•Es cualquier resumen de la población.Parámetro
•Es cualquier resumen de la muestra.Estadístico

Estudios estadísticos
Los datos se obtienen mediante la realización de un estudio estadístico. A esos estudios
se les clasifica como experimentales u observacionales.
Ejercicio 5
Indique a qué tipo de estudio, experimental u observacional, corresponden los siguien-
tes ejemplos.
Tomado de http://elcomercio.pe/economia/peru/turistas-gastan-nuestra-gastronomia-us350-millones
Actualizado el 27 de julio de 2015 a: 03:54 p.m. Por: AFP
Estudio clínico confirma eficacia de vacuna contra el dengue
La vacuna contra el dengue del laboratorio Sanofi es eficaz en más de 80% de los afectados de es-
ta infección tropical transmitida por el mosquito, según un nuevo análisis independiente.
Estudio
experimental
•En un estudio experimental, se identifican las variables
de interés, las cuales son controladas por el investigador.
Luego, se identifican otras variables que influyan en las
variables de interés.
Estudio
observacional
•En un estudio observacional, no se trata de controlar las
variables de interés, ni de influir sobre ellas, por ejemplo,
en una encuesta.

Errores en la adquisición de datos
Un error en adquisición de datos se presenta cuando el valor obtenido de los datos no
es igual al valor real que se hubiera obtenido con un procedimiento correcto.
Se debe comprobar la consistencia interna de los datos.
También se analiza la existencia de valores demasiado grandes o demasiado pequeños,
conocidos atípicos, que son datos candidatos a posibles errores.
Fuentes de datos
Los siguientes sitios web son ejemplos donde conseguir datos de fuente secundaria.
Fuentes públicas: bases de datos de ministerios y de oficinas gubernamentales de esta-
dística, como por ejemplo.
Instituto Nacional de Estadística e Informática www.inei.gob.pe
Banco Central de Reserva del Perú www.bcrp.gob.pe/
Ministerio de Salud del Perú www.minsa.gob.pe
Fuentes privadas: bases de datos de las empresas, bases de datos que se compran a
empresas de estudios de mercado, bases de datos en Internet, como por ejemplo.
Datum Perú www.datum.com.pe/
Ipsos Apoyo. Opinión y Mercado www.ipsos-apoyo.com.pe/
Instituto de Opinión Pública PUCP www.pucp.edu.pe/iop/
Luego de la encuesta realizada por Felipe se tiene una base de datos. Parte de los resul-
tados se muestra en la siguiente tabla:
Pasajero Edad Género Nacionalidad Motivo de viaje Destino
Número de
viajes realizados
Precio
pagado
Queja
1 20 M Peruana Negocios México DF 1 $899,00 Desinformación
2 43 M Chileno Turismo Cuzco 2 $399,00 Precio
…..
¿Qué podemos hacer para resumir esta información?
Fuentes
primarias
•Los datos se obtienen por medio de encuestas y
estudios experimentales realizados con el objeto de
recolectar nuevos datos.
Fuentes
secundarias
•Los datos se han compilado y están disponibles para el
análisis estadístico.

1.3. Estadística Descriptiva
Frecuencias absolutas, relativas y porcentuales
Se tiene que:
 
n
f
casosdenúmero
absolutafrecuencia
hrelativafrecuencia i
i 
  %100%100% 
n
f
casosdenúmero
absolutafrecuencia
hpporcentualfrecuencia i
ii
Distribución de frecuencias
Es un resumen, expresado en un cuadro, de un conjunto de datos que muestra las fre-
cuencias absolutas, relativas y porcentuales en cada una de varias clases que no se tras-
lapan.
Título: ……………………………………………………………………………………
Categorías Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi Frecuencia porcentual pi = hi%
Categoría 1 f1
1
1
f
h
n
 %1001
1 
n
f
p
Categoría 2 f2
2
2
f
h
n
 %1002
2 
n
f
p
… … … …
Categoría k fk
k
k
f
h
n
 %100
n
f
p k
k
Fuente: ………………………
Es usual, usar en estos cuadros la frecuencia relativa en el ámbito académico y la fre-
cuencia porcentual fuera del ámbito académico.
Frecuencia absoluta
(fi)
•de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen a esa
clase
Frecuencia relativa
(hi)
•de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a
esa clase
Frecuencia
porcentual (pi)
•de una clase es la frecuencia relativa multiplicada por 100%

Elementos de un cuadro estadístico
Ejemplo 6
3.1 PERÚ. POBLACIÓN TOTAL, CENSADA Y OMITIDA, SEGÚN CENSOS
REALIZADOS, 1940, 1961, 1972, 1981, 1993, 2005 Y 2007
Año
Población
Total Censada Omitida
1940 7,023,111 6,207,967 815,144
1961 10,420,357 9,906,746 513,611
1972 14,121,564 13,538,208 583,356
1981 17,762,231 17,005,210 757,021
1993 22,639,443 22,048,356 591,087
2005 a/ 27,219,264 26,152,265 1,066,999
2007 28,220,764 27,412,157 b/ 808,607
a/ Censo de Derecho o De Jure. Se recopiló información de la población
en su lugar de residencia.
b/ No incluye la población del distrito de Carmen Alto, provincia Hua-
manga, departamento Ayacucho. Autoridades locales no permitieron la
ejecución de los Censos.
Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) - Censos
Nacionales de Población y Vivienda, 1940, 1961, 1972, 1981, 1993, 2005
y 2007.

1.4. Distribución de frecuencias de variables cualitativas
Título: ………………………………………………..………………………
Categorías Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi
Categoría 1 f1
1
1
f
h
n

Categoría 2 f2
2
2
f
h
n

… … …
Categoría k fk
k
k
f
h
n

Fuente: ………………………
Ejercicio 6
En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el INEI se preguntó a todos los peruanos
el idioma o lengua con el que aprendió hablar, obteniéndose los siguientes resultados.
Perú. Distribución de peruanos según idioma o lengua con el que aprendió hablar. 2007
Idioma o lengua con que aprendió a hablar Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi
Castellano 21 713 165
Quechua 3 360 331
Aymará 443 248
Otra lengua nativa 174 410 0,0068
Asháninka 67 724 0,0026
Es sordomudo 30 019 0,0012
Idioma extranjero 21 434 0,0008
Total 25 810 331 1,0000
Fuente ………………………………………………………………………………………….
Indique e interprete el valor de f2.
Indique e interprete el valor de h1%.
Indique el número de peruanos que aprendieron a hablar en una lengua diferente al cas-
tellano.
Indique el porcentaje de peruanos que aprendieron a hablar en aymará.

1.5. Gráficos
“Un gráfico puede valer más que mil palabras,
pero puede tomar muchas palabras para hacerlo”
John Wilder Tukey (1915-2000)
Gran estadístico del siglo XX, con gran influencia en la visualización de información
William Playfair (1759-1823), economista e ingeniero escocés es considerado el pionero
de la estadística gráfica. Fue el creador del gráfico circular, de sectores y de barras. Los
principios de su trabajo fueron los siguientes:
Recomendaciones sobre la presentación de gráficos
Descripción del diagrama
El método gráfico
es una forma de
simplificar lo
tedioso y lo
complejo
Las personas
ocupadas
necesitan ayuda
visual
Un gráfico es más
accesible que una
tabla
El método gráfico
ayuda al cerebro,
ya que permite
entender y
memorizar mejor.
El título del gráfico siempre debe ser
indicado.
En los ejes, siempre se debe indicar
explícitamente las variables que se está
representando y las respectivas unidades.
Las fuentes de donde se obtuvieron los datos que permitieron su construcción, así
como quiénes o qué entidad elaboró el diagrama y cualquier otra información se
debe indicar siempre que sea relevante.

Elección de la base de comparación
Uso adecuado de la escala de los ejes
Eliminación de ruido
Uso del punto inicial del eje vertical
Si se va a representar
gráficamente los datos de solo
una muestra, el mismo diagrama
sirve para representar las
frecuencias absolutas y relativas.
Si se va a comparar el comportamiento de una
variable en dos o más poblaciones distintas, pero
solo se tiene muestras representativas de las
poblaciones, entonces es conveniente usar la
frecuencia relativa.
Si se va a comparar el comportamiento de
una variable en dos o más poblaciones y se
tiene los datos de las poblaciones, entonces
se puede realizar la comparación por
separado de las frecuencias absolutas y de
las relativas.
Si bien es totalmente factible comparar
gráficamente dos o más series de datos
que han sido agrupados en intervalos
distintos en amplitud y límites, es
preferible para facilitar la comparación
que todas las series de datos utilicen los
mismos intervalos.
La escala utilizada en los
ejes debe mantenerse. El
cambio de proporciones
distorsiona el propósito de
usar gráficos, el cual
consiste en ver
rápidamente la proporción
con que se está
distribuyendo la variable.
Si se ha utilizado una escala
especial en alguno de los
ejes del diagrama, por
ejemplo, escala logarítmica,
esta se debe indicar.
Debe hacer que los valores
de la variable abarquen
adecuadamente la longitud
de cada eje.
Los excesivos adornos y la inclusión de
figuras, muchas veces, en lugar de
aclarar más los diagramas, terminan
confundiendo o dificultando su rápida
comprensión.
El uso de algunas figuras en lugar de
barras o columnas puede distorsionar
visualmente la real proporción de las
magnitudes que se están
representando.
El punto de inicio del eje vertical debe
empezar con un cero para no
distorsionar la impresión visual respecto
de la magnitud.
El cambio de punto de inicio distinto de
cero debe estar completamente
justificado.

Gráfico de barras
Es una forma de representar datos cualitativos resumidos en una distribución de fre-
cuencias.
En uno de los ejes, se representan las categorías o clases de la variable; para el otro eje,
se puede usar una escala de frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. Se traza una
barra sobre cada indicador de clase de una altura proporcional a la frecuencia corres-
pondiente.
Las barras deben estar separadas para enfatizar el hecho de que cada clase es diferente
de otra.
Diagrama circular
Cuando se utiliza el gráfico circular, también llamado pastel, cada sector circular repre-
senta la frecuencia observada de una clase o categoría.
El sector circular que representa a una determinada clase de la variable tiene un ángulo
en el centro proporcional a la frecuencia relativa de dicha clase. El ángulo que le corres-
ponde a cada clase se obtiene multiplicando 360º por la respectiva frecuencia relativa.

Objetivo: Determinar la composición porcentual de los usuarios según motivo de viaje
Felipe realizó una encuesta a una muestra de 150 pasajeros de la aerolínea, en base a la
siguiente información complete la siguiente gráfica.
Complete los siguientes enunciados.
- El motivo de viaje menos frecuente es ______________ por tener el ________ %.
- Para hallar el ángulo en un diagrama circular se multiplica la frecuencia
____________________ por 360° que tiene la circunferencia.
- Son _______ el total de pasajeros cuyo motivo de viaje fue estudios o trabajo.
Frecuencias acumuladas, absolutas relativas y porcentuales
Se tiene que:
  i
i
frecuencia absoluta acumulada F
frecuencia relativaacumulada H
número de datos n
 
  100% 100%i
i
frecuencia absoluta acumulada F
frecuencia porcentual acumulada P
número de datos n
   
20%
34%
10%
20%
10%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
Competencia
Deportiva
Estudios Retorno a casa Trabajo Turismo Visita Familiar
______________________
Título: _________________________________________
Fuente:_________
Frecuencia
acumulada
absoluta (Fi)
•de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen
hasta esa clase
Frecuencia
acumulada relativa
(Hi)
•de una clase es la proporción de elementos que pertenecen
hasta esa clase
Frecuencia
acumulada
porcentual (Pi)
•de una clase es la frecuencia acumulada relativa
multiplicada por 100%

“pocos factores son vitales y
muchos son triviales”.
lo que se
podría
resumir
como
pocos factores
pueden
producir la
mayoría de las
consecuencias,
El diagrama de
Pareto permite
ver que, en
muchos casos,
Diagrama de Pareto
El diagrama de Pareto, también llamado curva
80%-20%, es una gráfica para organizar
datos de forma que queden en orden
descendente, de izquierda a derecha.
Permite asignar un orden de prioridades,
afirmando que en todo grupo de factores
que contribuyen a un mismo efecto, unos po-
cos son responsables de la mayor parte de dicho
efecto.
Por ejemplo, en control de calidad, se puede mostrar
que la mayoría de los defectos surgen de un número pe-
queño de causas.
En 1909 el economista y sociólogo Vilfredo Pareto
(1848 – 1923) publicó su estudio sobre la riqueza:
“El 80% de la riqueza se concentra en el 20% de la
población”.
En base al principio de Pareto, el diagrama fue creado por el estadístico Joseph Juran
(1904 – 2008) para sus trabajos sobre control de calidad. La curva de la frecuencia acu-
mulada fue agregada por el economista Max Lorenz (1876 – 1959).
Los pasos para realizar un gráfico de Pareto son los siguientes:
Construya la distribución de
frecuencias, ordenando las categorías
en forma descendente respecto de la
frecuencia.
La categoría “Otros” es colocada en la
última posición. No importa cuán
grande sea.
Dibuje dos ejes verticales y uno
horizontal.
En el eje vertical derecho, marque
este eje con una escala de 0% a 100%.
En el eje vertical izquierdo, marque
una escala de 0 hasta el número total
de observaciones o de 0% a 100%.
En el eje horizontal: marque los
espacios donde estarán dibujadas las
barras para cada una de las categorías,
incluida la categoría “Otros”.
Elabore el diagrama de barras y dibuje
la línea de frecuencias acumuladas
(Curva de Pareto)

Ejemplo 7
El gerente de producción de una empresa, que produce asientos de fibra de vidrio, quie-
re identificar los problemas más frecuentes reportados en la fabricación de este produc-
to, y planear soluciones de acuerdo con la recurrencia del problema. Al extraer una
muestra aleatoria de productos fallados, obtuvo los siguientes resultados:
Distribución de productos según problemas reportados de asientos de fibra de vidrio
Tipo de problema reportado Número de ocurrencias (fi)
Color inadecuado 28
Forma no simétrica 16
Medidas fuera de norma 50
Superficie rugosa 71
Bordes afilados 9
Desprendimiento de capa protectora 12
Otros 14
Fuente: Gerencia de Producción
Elabore el diagrama de Pareto.
Solución
Lo primero es ordenar los datos en orden descendente a la frecuencia fi. La categoría
Otros va al final. Luego, se calcula las frecuencias relativas y las relativas acumuladas.
Tipo de problema reportado fi hi Fi Hi
Superficie rugosa 71 0,355 71 0,355
Medidas fuera de norma 50 0,250 121 0,605
Color inadecuado 28 0,140 149 0,745
Forma no simétrica 16 0,080 165 0,825
Desprendimiento de capa protectora 12 0,060 177 0,885
Bordes afilados 9 0,045 186 0,930
Otros 14 0,070 200 1,000
Fuente: Gerencia de Producción
Se puede realizar el gráfico usando las frecuencias relativas hi y las frecuencias relativas
acumuladas Hi.

Objetivo: Identificar las principales quejas de los pasajeros sobre el servicio que brinda
la aerolínea.
Teniendo en cuenta la siguiente información, elabore el diagrama de Pareto:
Distribución de pasajeros según principal queja del servicio de la aerolínea
Principal queja fi
Impuntualidad 10
La comida no es buena 60
Mala información 19
Mucho tiempo en cola 51
Otros 7
Personal poco amable 3
Fuente: Wayra S.A
Construya la tabla completa para realizar un diagrama de Pareto.
Distribución de pasajeros según principal queja del servicio de la aerolínea
Principal queja fi hi Fi Hi
Fuente: Wayra S.A
Construya el gráfico completo y realice una conclusión al respecto.

1.6. Tabulaciones cruzadas
También llamadas tablas de contingencia o de doble entrada. Se usan para resumir de
manera simultánea los datos para dos variables.
Ejercicio 7
En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e In-
formática se preguntó a las peruanas de 12 a más años por la cantidad de hijos que han
tenido vivos, obteniéndose los siguientes resultados.
Perú. Distribución de madres según edad de la madre y número de hijos nacidos vivos
Número total de hijos/a que ha tenido nacidos vivos
Edad de la madre Cero hijos Un hijo Dos hijos Tres hijos Cuatro hijos Total
12 años 298,985 1,028 300,013
13 años 284,650 1,162 285,812
14 años 285,732 1,638 734 288,104
15 años 283,045 4,909 994 288,948
16 años 247,888 12,358 922 576 261,744
17 años 231,839 24,243 2,280 636 258,998
18 años 216,999 38,938 5,089 586 481 262,093
19 años 193,952 52,797 9,273 1,118 496 257,636
Total 2,043,090 137,073 19,292 2,916 977 2,203,348
Fuente: INEI - Censos Nacionales 2007: XI de Población y VI de Vivienda
Rellene los espacios en blanco.
El número de peruanas menores de 16 años que han tenido hijos es …………………
El ………….…….% de las mujeres peruanas de 18 años ha tenido hijos.
Gráfico de barras agrupadas
Un gráfico de barras agrupadas muestra todas las series en una sola barra por cada ca-
tegoría. El alto de cada barra es proporcional a la frecuencia de cada categoría.

Gráfico de barras apiladas
Un gráfico de barras apiladas muestra todas las series apiladas en una sola barra para
cada categoría. El alto de cada barra es proporcional a la frecuencia de cada categoría.
Gráfico de barras apiladas al 100%
Un gráfico de barras apiladas 100% muestra todas las series apiladas en una sola barra
para cada categoría. El alto de cada barra es el mismo para cada categoría.

Objetivo: Identificar el porcentaje de pasajeros que siendo de nacionalidad peruana via-
jan al extranjero y porcentaje de pasajeros que siendo de nacionalidad extranjera viajan
al interior de nuestro país.
A continuación, se muestra la información de una tabla de contingencia y un gráfico in-
completo para las variables lugar de destino y nacionalidad.
Distribución de pasajeros según su lugar de destino y nacionalidad
Lugar de destino
Nacionalidad
Total
Peruana Extranjero
Arequipa 8 8 16
Cuzco 15 20 35
Miami 20 10 30
México D.F 22 10 32
Piura 2 7 9
Río de Janeiro 23 5 28
Total 90 60 150
Fuente: Wayra S.A
Complete todos los elementos del siguiente gráfico.
Distribución de pasajeros según su lugar de destino y nacionalidad
Usando la información pertinente, de respuesta al objetivo propuesto
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
Arequipa Cuzco Miami México D.F Piura Río de
Janeiro
Peruano
Extranjero

50.0%
33.3% 31.3%
77.8%
17.9%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Arequipa Cuzco Miami México
D.F
Piura Río de
Janeiro
Extranjero
Peruana
8.9% 13.3%
16.7%
22.2%
24.4%
2.2%
25.6%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Peruana Extranjero
Río de Janeiro
Piura
México D.F
Miami
Cuzco
Arequipa

1.7. Resumen de datos cuantitativos
Distribución de frecuencias de variables discretas
Es un resumen de un conjunto de datos que consiste en presentar para cada valor de la
variable el número de elementos (frecuencia) que la componen. Es un cuadro que se
calcula de la siguiente manera.
Título: ……………………………………………………………….……
Valores de la variable
discreta
Frecuencia
absoluta fi
Frecuencia
relativa hi
Frecuencia absolu-
ta acumulada Fi
Frecuencia relati-
va acumulada Hi
x1 f1
1
1
f
h
n
 1 1F f 1 1H h
x2 f2
2
2
f
h
n
 2 2 1F f F  2 2 1H h H 
… … … … …
xk fk
k
k
f
h
n
 1k k kF f F   1k k kH h H  
Fuente: ……………………………..
Gráfico de bastones
En este caso, la variable se ubica en el eje de las abscisas y las frecuencias, absolutas, re-
lativas o porcentuales, en el eje ordenado.
576,215
119,642
58,315
18,748 9,908 81 32 22 7
0
100,000
200,000
300,000
400,000
500,000
600,000
700,000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Númerodealumnos
Número de veces que postuló
Distribución de alumnos de pregrado según número de veces
que postuló a la universidad donde estudia
Fuente: PERÚ, II Censo Nacional Universitario 2010. INEI

Objetivo: Determinar el número de viajes más frecuente realizados por los pasajeros.
Complete los valores de la tabla.
Realice el gráfico de bastones.
Responda al objetivo.
Para Fiestas Patrias, la empresa está dispuesta a realizar una promoción en los pasajes
de su aerolínea siempre y cuando el porcentaje de pasajeros que hayan realizado como
mínimo cuatro viajes supere el 70%. ¿La empresa debe realizar una promoción en los
pasajes para Fiestas Patrias para este grupo de pasajeros?
Título: ……………………………………………………………………………………………………………
Número de viajes Número de pasajeros pi Pi
1 15
2 12%
3 38%
4 30
5
150
Fuente: ……………………………………………….
Número de viajes

La regla de Sturges la
propuso Herbert
Sturges (1926). La
fórmula trata de que
el histograma resul-
tante se aproxime a la
distribución normal.
Distribución de frecuencias de variables continuas
Es un resumen de un conjunto de datos que consiste en presentar para cada categoría el
número de elementos (frecuencia) que la componen.
Los tres pasos necesarios para definir en una distribución de frecuencias con datos cuan-
titativos son los siguientes:
Cantidad de clases
Se recomienda usar entre 5 y 20 clases, inclusive.
La idea es emplear suficientes clases para mostrar la varia-
ción de los datos, pero no tantas que varias contendrían unos
cuantos elementos.
Para determinar el número de clases se usa la regla de Stur-
ges. k=1+3,322 log n. Si la estimación tiene decimales, se to-
ma el entero más próximo.
Amplitud de cada clase
Se usa el mismo ancho para todas las clases.
Se calcula de la siguiente manera:
rango
Amplitud
k

La amplitud se redondea al número inmediato superior de acuerdo con la cantidad de
decimales que tienen los datos o según la precisión con que se desea trabajar.
Límites de cada clase
Los límites de clase se escogen de tal manera que cada valor de dato pertenezca a una
clase y sólo a una.
El límite inferior de clase es el valor mínimo posible de los datos que se asigna a la clase.
El límite superior de clase es el valor máximo posible de los datos que se asigna a la cla-
se.
La marca de clase es el punto medio de los límites de cada intervalo.
Determine la cantidad
de clases
Determine el ancho
de cada clase
Determine los límites
de cada clase

Ejemplo 8
El jefe de la Oficina de Rentas de una Municipalidad ha realizado un estudio sobre los
impuestos que pagan los vecinos del distrito. La tabla muestra los pagos de impuestos,
en soles, en el 2014 de 48 viviendas elegidas al azar.
145,1 216,3 252,5 303,6 196,9 234,8 265,2 317,2 206,5 242,9 289,1 331,7
151,0 225,9 257,1 305,8 202,6 238,4 271,0 320,2 208,0 244,0 291,0 344,6
159,0 227,1 259,2 315,4 204,9 239,9 286,7 324,8 208,0 247,7 291,9 346,7
195,6 231,2 262,5 315,5 206,1 241,1 288,1 331,1 209,3 249,5 294,5 351,1
Elabore la tabla de frecuencias para la variable: pago por impuestos municipales año
2014.
Solución
El rango r se calcula con:
r = valor máximo – valor mínimo = 351,1 – 145, 1 = 206
Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es:
10 101 3,322log 1 3,322log (48) 6,585 7k n     
El ancho del intervalo es:
206
29,429 29,5
7
r
w
k
    (Redondeo por exceso a un decimal)
Distribución de frecuencias del pago de impuestos municipales del año 2014
Pago de impuestos Marca de clase fi hi Fi Hi
[145,1 ; 174,6] 159,85 3 0,0625 3 0,0625
]174,6 ; 204,1] 189,35 3 0,0625 6 0,1250
]204,1 ; 233,6] 218,85 10 0,2084 16 0,3334
]233,6 ; 263,1] 248,35 12 0,2500 28 0,5834
]263,1 ; 292,6] 277,85 7 0,1458 35 0,7292
]292,6 ; 322,1] 307,35 7 0,1458 42 0,8750
]322,1 ; 351,6] 336,85 6 0,1250 48 1,0000
Total 48 1,0000

Objetivo: Determinar el número de pasajeros que exceden el peso de equipaje de
mano.
Se seleccionó una muestra al azar de pasajeros de la aerolínea Wayra que viajaron a di-
ferentes destinos turísticos.
Peso del equipaje de mano por pasajeros, en kilogramos
4,2 4,6 4,9 5,7 5,9 7,3 7,3 7,5 7,5 7,5
7,6 7,7 7,9 8,0 8,0 8,1 8,3 8,4 8,4 8,5
8,6 8,8 8,9 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,4 9,5
9,7 9,7 9,7 9,8 9,8 9,9 9,9 9,9 9,9 10,0
10,5 10,6 10,7 11,0 11,5 12,0 12,0 12,3 12,4 12,7
Construya la tabla de frecuencia utilizando el método de Sturges.
El valor máximo es …………………..………………….
El valor mínimo es …………………..………………….
Luego, el rango es …………………..………………….
Siguiendo la regla de Sturges, la cantidad de intervalos es igual a k = 1 + 3,322 log(……….)
esto es igual a …………………..………………….
Como, la cantidad de intervalos es un número entero, entonces k = ……………….
La amplitud es igual al rango entre la cantidad de intervalos, esto es, w = ……………………..
El valor de la amplitud se redondea por exceso a ……………………… decimal(es), pues los
datos tienen ………………… decimal(es), entonces la amplitud (w) es ………………………………
Título: …………………………………………………………………………………………………………………….
Intervalo
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta fi
Frecuencia
relativa hi
Frecuencia absoluta
acumulada Fi
Frecuencia relati-
va acumulada Hi
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: ………………………………..……………………………………

Indique e interprete el valor de las siguientes frecuencias para la distribución de fre-
cuencias anterior.
f3
F2
H4
Si el peso máximo permitido en equipaje de mano por persona es de 10 kg y el pago por
cada kilo o fracción adicional es de tres dólares. ¿Cuál fue el monto total de dinero que
recibió la compañía Wayra por exceso de peso de equipaje de mano?
Distribuciones de frecuencias de dos o más grupos de datos con intervalos co-
munes
La idea básica para distribuciones de frecuencias de dos o más grupos de datos es tener
intervalos comunes, es decir, que los límites de los intervalos para ambas distribuciones
sean iguales. Para ello, debemos seguir los siguientes pasos:
Hallar el mínimo de todos los datos y el máximo de todos los grupos de datos, y usarlos
para calcular el rango.
Calcular el número de categorías, el número de datos es el máximo número de datos de
cada grupo. Tener en cuenta que no es la suma de ambos tamaños muestrales.
Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es
101 3,322logk n 

Ejemplo 9
La empresa de investigación de mercado “Eléctrico” lleva a cabo un estudio para obte-
ner indicadores que le permitan inferir respecto al consumo de energía eléctrica men-
sual (medido en kilovatios, redondeado al entero más próximo) de las familias en los
departamentos de Arequipa y Tacna. Dicho estudio, sustentado en el análisis de mues-
tras aleatorias tomadas en ambos departamentos, arrojó los siguientes resultados:
Arequipa
227 231 261 270 291 351 359 369 371 382 387 392 393 395 396 413 420 422 424 436
453 461 463 471 495 498 510 512 533 534 541 542 584 589 591 628 630 630 657 666
Tacna
217 219 263 287 294 340 346 347 348 377 390 392 395 396 397 408 418 424 426 429
438 438 442 446 447 450 456 481 496 508 511 533 549 583 609 636
Usando la regla de Sturges, calcule intervalos comunes y marcas de clase de una tabla de
distribución de frecuencias que permita comparar los datos.
Solución
Hallar el mínimo de todos los datos (217) y el máximo de todos los datos (666) de ambas
ciudades, y usarlos para calcular el rango.
Calcular el número de categorías, el número de datos es el máximo número de datos
(40) entre ambas ciudades. Tener en cuenta que no es la suma de ambos tamaños
muestrales.
Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es:
10 101 3,322log 1 3,322log (40) 6,322 6k n      (Redondeo simple)
Tabla 1. Distribución de clientes según consumo eléctrico
Consumo de energía Marca de clase
217 ; 292 254,5
292 ; 367 329,5
367 ; 442 404,5
442 ; 517 479,5
517 ; 592 554,5
592 ; 667 629,5
Fuente: Empresa A

Objetivo: Comparar la distribución de las horas diarias trabajadas según las horas extras.
El jefe de recursos humanos de la aerolínea Wayra está interesado en analizar el impac-
to en los empleados al suprimir las horas extras de trabajo pagadas que anteriormente
se aplicaba. Con este fin se extraen dos muestras aleatorias. La primera de 80 emplea-
dos tomando de los datos históricos de un día al azar con el sistema anterior y la segun-
da de 60 empleados tomando los datos de un día al azar con el sistema vigente. Se
muestran las horas de trabajo por día por empleado.
Datos sobre horas diarias trabajadas con y sin horas extras pagadas
Horas diarias trabajadas con horas extras pagadas Horas trabajadas sin horas extras pagadas
6,7 8,9 9,8 10,8 11,2 11,8 12,3 13,2 5,0 8,2 8,5 8,9 9,7 10,8
7,9 8,9 10,1 10,8 11,3 11,9 12,4 13,4 7,0 8,2 8,5 8,9 9,8 11,0
8,0 9,0 10,2 10,9 11,4 12,0 12,4 13,5 7,0 8,2 8,5 8,9 9,9 11,2
8,0 9,1 10,2 11,0 11,4 12,0 12,4 13,6 7,0 8,3 8,6 9,0 9,9 11,6
8,1 9,1 10,3 11,0 11,5 12,1 12,5 13,7 7,0 8,3 8,6 9,1 10,0 11,7
8,1 9,3 10,4 11,0 11,5 12,1 12,5 13,9 7,1 8,3 8,7 9,1 10,0 12,2
8,2 9,4 10,6 11,1 11,5 12,1 12,6 14,6 8,1 8,4 8,7 9,3 10,3 12,5
8,5 9,5 10,6 11,1 11,6 12,2 12,7 14,8 8,2 8,4 8,7 9,4 10,5 12,9
8,6 9,7 10,7 11,1 11,7 12,2 12,9 15,0 8,2 8,4 8,8 9,6 10,5 13,3
8,8 9,7 10,8 11,2 11,7 12,3 13,1 15,5 8,2 8,4 8,8 9,7 10,6 14,0
Fuente: Aerolínea Wayra
Determine los intervalos comunes de las distribuciones de frecuencias que permitan
comparar los datos de ambas muestras.

Objetivo: Comparar el exceso de peso del equipaje de los pasajeros según su género.
Se realizó un estudio en el cual, se elaboró bajo una muestra elegida al azar de 40 pasa-
jeras y 110 pasajeros, obteniéndose la siguiente gráfica. Además, se considera exceso de
peso cuando el pasajero lleva consigo maletas que sobrepasan los 32 kilogramos.
Complete las siguientes afirmaciones, tenga en cuenta que se considera exceso de peso
cuando las maletas sobrepasan los 32 kilogramos.
a. El número de pasajeros hombres _______ que llevan consigo maletas que pesan
más de 36 kilogramos pero a lo más 40 kilogramos.
b. El _______ % de las pasajeras mujeres lleva consigo maletas que pesan hasta 36 ki-
logramos.
c. El _______% de los pasajeros hombres lleva consigo maletas con exceso de peso.
d. El género que presenta un mayor porcentaje de pasajeros con exceso de peso del
equipaje es _____________ y representa en __________ % superior con respecto al
otro género.
0% 13%
31%
65%
74%
83%
100%
20%
31%
61%
83%
93%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
20 24 28 32 36 40 44
Porcentajedepasajeros
Peso, en kilogramos
Distribución porcentual de los pasajeros
según el peso de sus maletas por género
Femenino
Masculino
Fuente: Aerolínea Wayra

1.8. Gráficos de datos cuantitativos
Histograma
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde
la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Un ejemplo de histograma es el siguiente gráfico.
Se traza colocando
la variable
sobre el eje horizontal
y las frecuencias
sobre el eje vertical.
Cada frecuencia de clase se representa
trazando un rectángulo, cuya base es el
intervalo de clase sobre el eje horizontal
y cuya altura es proporcional a la
frecuencia correspondiente (absoluta,
relativa o porcentual).
Los rectángulos adyacentes
se tocan entre sí.

Polígono de frecuencias
Un polígono de frecuencias es un gráfico de líneas que une los puntos asociados a las
marcas de clase de una variable. La altura del punto asociado a cada marca de clase es
proporcional a la frecuencia de dicho valor.
Un ejemplo de polígono de frecuencias es el siguiente gráfico.
Se realiza uniendo
con segmentos de recta
los puntos de intersección
de las marcas de clase
con las frecuencias
(absolutas, relativas o porcentuales).
Los polígonos de frecuencias
se cierran creando
dos intervalos ficticios,
uno antes del primer intervalo
y uno después del último.
Si los intervalos creados
toman valores
que pueden no ser reales,
igual se crea el intervalo, como,
ejemplo, tiempos negativos.

Distribuciones acumuladas
La distribución de frecuencias acumuladas muestra la cantidad de elementos con valores
menores o iguales al límite superior para cada clase.
Ojiva
La ojiva es la gráfica de una distribución acumulada de frecuencias.
Un ejemplo de ojiva es el siguiente gráfico.
Se obtiene uniendo
con segmentos de recta
los puntos de intersección
del límite superior de cada intervalo
y la frecuencia acumulada
respectiva.
La ojiva
usa los líimtes de los intervalos
y no las marcas de clase.
Con la ojiva
se puede estimar fácilmente
el número
o porcentaje de observaciones
que corresponden
a un intervalo determinado.
19.82%
57.62%
84.75%
95.42%
100.00%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 4 8 12 16 20
Porcentajeacumulado
Número de años
Distribución porcentual de empleados
según el tiempo de servicio
Fuente: Empresa A. Gerencia de RRHH

Objetivo: Determinar el porcentaje de pasajeros que exceden el peso de equipaje de
mano.
Grafique el histograma, el polígono de frecuencias y la ojiva con los datos de la muestra.
Use uno de los gráficos para calcular, aproximadamente, porcentaje necesario para re-
solver el objetivo.

Ejercicios adicionales de la Unidad 1
1. El objetivo de una investigación es estimar la media, en años, de la edad de los egresados
de la UPC. Indique el elemento, una variable a medir y una posible observación.
2. Según el estudio “Rumores de oficina”, el 42% de los ejecutivos limeños considera que
los rumores influyen mucho en el clima laboral de la oficina. Indique el elemento, una va-
riable a medir y una posible observación.
3. En una investigación, se quiere estimar el promedio del número de asistentes a los con-
ciertos de artistas internacionales realizados en Lima durante el año 2014. Indique el
elemento, una variable a medir y una posible observación.
4. El objetivo de una investigación en la ciudad de Lima es determinar la ocupabilidad en
hoteles de 4 y 5 estrellas en Cusco durante el día de año nuevo del 2013, es decir, el por-
centaje de habitaciones ocupadas durante ese día. Indique la población y la muestra.
5. El objetivo de una investigación en el Perú es determinar el promedio de la edad de las
mujeres en edad fértil que usan métodos anticonceptivos. Defina la población, muestra,
elemento y variable. El INEI considera a la edad fértil en las mujeres desde los 15 hasta
los 49 años.
6. Según los Censos Nacionales XI de Población y VI de Vivienda 2007 ejecutados por el INEI,
el 50,30% de los peruanos son mujeres. Indique si este dato es un parámetro o un esta-
dístico.
7. La nueva lista roja de aves de 2014, confeccionada con datos de BirdLife, muestra que de
las 10.425 especies de aves identificadas en el mundo, el 13% están amenazadas de ex-
tinción. Estas listas, dice Juan Carlos Atienza, de SEO BirdLife, contribuyen establecer
prioridades a la hora de favorecer políticas de conservación y declarar nuevos espacios
protegidos. Indique si este valor corresponde a un parámetro o a un estadístico.
8. El gráfico muestra la evolución de la inflación desde el año 1980 al 2013. Indique si el ín-
dice de precios al consumidor IPC que obtiene el INEI es un parámetro o un estadístico.
9. Según el estudio “Rumores de oficina” realizado por la empresa Transearch publicado en
julio del 2014, el 42% de los ejecutivos limeños considera que los rumores influyen mu-
cho en el clima laboral de la oficina. Indique los siguientes conceptos con respecto a di-
cho estudio: población, muestra, elemento, variable, estadístico, valor del estadístico.
¿Por qué los encargados del estudio calcularon estadísticos y no parámetros?

10. El objetivo de una investigación es estimar el porcentaje de peruanos que aprueban la
gestión de Ollanta Humala como presidente de la República, para lo cual se tomó una
muestra aleatoria de personas de 18 a 70 años y se les preguntó por su opinión. Los re-
sultados son los siguientes.
Desaprueba Aprueba Desaprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba
No sabe Aprueba Aprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Aprueba
Desaprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba No sabe Desaprueba
Aprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba
Desaprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba
Aprueba No sabe Desaprueba Desaprueba Aprueba Desaprueba No sabe
Aprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba
Desaprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba
Aprueba Desaprueba No sabe Aprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba
Aprueba Aprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba
Construya la distribución de frecuencias de los datos. Interprete los valores f2 yh1.
11. Se tiene como objetivo mostrar la composición porcentual de alumnos universitarios en
el Perú por tipo de institución educativa al final de la secubdaria, para lo cual se tomó
como referencia los datos del II Censo Universitario 2010 realizado por el INEI, donde se
preguntó a los alumnos universitarios por el tipo de institución educativa donde
terminaron su educación secundaria. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Tabla. …………………………………….………………………………………………………………………
Tipo de institución fi hi Ángulo
Estatal 256 060 0,5405
Particular 154 275 0,3256
Particular religioso 58 673 0,1238
No escolarizado 4 472 0,0094
Otro 309 0,0007
Total 473 789
Realice un diagrama circular con dichos datos.
12. Observe el siguiente gráfico e indique un posible error.

13. En la publicación Revista Científica-Estudiantil de Ciencias Médicas de Cuba se publicó el
artículo “Pancreatitis aguda. Retos y perspectivas” el cual contenía el siguiente gráfico.
Observe el gráfico e indique un posible error.
Distribución de pacientes según hábito tóxico
Fuente: Datos tomados de HC del departamento de archivo del HDCQ “10 de Octubre”
Tomado de http://www.16deabril.sld.cu/rev/228/articulo3.html
14. Observe los dos gráficos siguientes e indique la posible diferencia de interpretación entre
ambos.
15. En la agencia de viajes A se realizó una encuesta a 330 clientes respecto a las principales
quejas que tienen clientes acerca de los tours del tipo todo incluido al exterior. Las cuales
se detallan en el siguiente cuadro:
Agencia A. Distribución de clientes según principales quejas de clientes
Queja Número de quejas
Cambio de fecha de los vuelos 120
El hotel no era de la categoría que se veía en el folleto 94
Los hoteles no incluyen bebidas premium 61
La comida de los hoteles no es de calidad excelente 23
Otros 25
Que les venden otros servicios como tiempo compartido 7
Fuente: Dirección de Atención al cliente. Agencia A
Realice el diagrama de Pareto correspondiente a estos datos.

16. Uno de los objetivos de una investigación en la empresa A es mostrar la composición
porcentual del número de cursos de capacitación dadas a sus trabajadores. Los siguien-
tes datos muestran el número de capacitaciones que 48 trabajadores han recibido en el
presente año.
3 3 1 2 1 1 2 2 1 6 3 1 3 1 3 2
1 1 1 1 3 2 2 4 1 2 2 2 1 3 1 2
3 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 6 2
Complete el cuadro y construya el gráfico de bastones de frecuencias porcentuales para
la variable “número de capacitaciones”.
17. El objetivo de una investigación sobre la lúcuma, de la empresa A en el presente mes, es
establecer la distribución de su peso para la exportación. La lúcuma es originaria de las
regiones tropicales de Sudamérica. Es empleada, sobre todo, en la preparación de dulces,
postres y helados. En el siguiente cuadro se muestra el peso, en gramos, de una muestra
de 60 frutos.
167 172 173 180 182 182 183 183 183 184 185 186
186 186 187 189 190 191 191 192 193 194 194 194
194 195 195 195 197 197 199 201 201 201 201 201
203 204 205 207 207 207 207 209 210 212 212 213
213 214 218 218 218 219 220 222 223 226 228 232
Realice la tabla de distribución de frecuencias de los datos.
18. La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los salarios, en soles,
del último mes de los empleados de la empresa A. Complete la tabla.
Empresa. A. Distribución de trabajadores según salarios, en soles, del último mes
Clase Marca
de clase
Frecuencia
absoluta fi
Frecuencia
relativa hi
Frecuencia abso-
luta acumulada
Fi
Frecuencia rela-
tiva acumulada
Hi
1200 -  120
 -  1 800 300 0,42
 -  780
 -  150
 - 
Fuente. Gerencia de Recursos Humanos. Agosto 2014. Empresa A
19. En economía, la prima de riesgo es el sobreprecio que paga un país para financiarse en
los mercados en comparación con otros países. De esta forma, cuanto mayor es el riesgo
país, más alta será su prima de riesgo. Significa la confianza de los inversores en la solidez
de una economía. La prima de riesgo de los países de la Unión Europea se calcula respec-
to de Alemania porque se supone que su deuda pública es la que tiene menor riesgo de
impago. Para el caso de España, la agencia de calificación de riesgos A ha medido la pri-
ma de riesgo durante 50 días desde junio del 2015.

España. Distribución de días según prima de riesgo. Junio y julio del 2015
Prima de riesgo Marca de clase fi hi Fi Hi
[ 120 ; 130 ] 125 1 0,0200 1 0,0200
] 130 ; 140 ] 135 3 0,0600 4 0,0800
] 140 ; 150 ] 145 11 0,2200 15 0,3000
] 150 ; 160 ] 155 14 0,2800 29 0,5800
] 160 ; 170 ] 165 12 0,2400 41 0,8200
] 170 ; 180 ] 175 6 0,1200 47 0,9400
] 180 ; 190 ] 185 3 0,0600 50 1,0000
Fuente: Agencia de Calificación de Riesgos A.
Grafique el histograma de frecuencias relativas, el polígono de frecuencias absolutas y la
ojiva de frecuencias relativas.
20. Indique el tipo y escala de medición de las siguientes variables y su escala de medición.
Variable
Número de personas que van a ver una película
Género de una película (drama, comedia, acción, etc.)
Duración de una película
Opinión sobre la película (buena, regular, mala)
21. En el II Censo Nacional Universitario del año 2010 realizado por el INEI se preguntó a los
alumnos de todo el Perú por su tipo de universidad y su género. Los datos se muestran
en el siguiente cuadro.
Perú. Distribución de alumnos de pregrado por género y tipo de universidad. 2010
Género Pública Privada Total
Mujer 135 082 247 743 382 825
Hombre 174 093 226 052 400 145
Total 309 175 473 795 782 970
Fuente: INEI. II Censo Universitario. 2010
Interprete el valor “135 082” de la tabla.
Elabore un gráfico comparativo que permita ver la composición porcentual por género y
tipo de universidad.
Elabore un gráfico comparativo que permita ver la composición porcentual por género
según tipo de universidad.
Elabore un gráfico comparativo que permita ver la composición porcentual por tipo de
universidad según género.

22. Encuentre todos los errores del siguiente gráfico, realizado a partir de la Encuesta Nacio-
nal de Hogares realizada por el Instituto Nacional Estadística e Informática del Perú entre
los años 2005 y 2011.
Tomado de http://www.inei.gob.pe/perucifrasHTM/inf-soc/cuadro.asp?cod=3718&name=edu14&ext=gif
23. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
Afirmación
El valor de un parámetro se puede conocer solamente si se realiza un censo
En un estudio observacional se controlan las variables de interés
Solo las variables cuantitativas continuas pueden toman valores con decimales
Variable es el conjunto de mediciones obtenido de un elemento particular
Para graficar las ojivas se usan las marcas de clase
Con la ojiva se puede estimar el porcentaje de observaciones que corresponde a un intervalo
determinado
Para el polígono de frecuencias solamente se usa las frecuencias relativas
Los cuadros de doble entrada usan exclusivamente variables ordinales o nominales.
En un gráfico circular, el ángulo que le corresponde a cada parte se obtiene multiplicando 360º
por la respectiva frecuencia absoluta dividida entre la cantidad de datos.
La frecuencia porcentual de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a esa
clase.
En un gráfico de barras apiladas al 100%, el alto de las barras es igual en cada categoría.
24. Se ha tomado un examen a 100 personas y registrado el tiempo empleado en terminarlo.
Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones con respecto al gráfico.

Afirmación
El número de personas que tarda 20 minutos o menos es 30
El número de personas que tarda más de 20 pero menos o igual a 70 minutos es 42
El porcentaje de personas que tarda más de 60 minutos es 28%
El porcentaje de personas que tarda 25 minutos o menos es 40%
El porcentaje de personas que tarda 20 minutos es 30%
25. A nivel nacional, se observa que la curva de frecuencia acumulada del ingreso real para el
año 2012 se ha desplazado ligeramente hacia la derecha, lo que indica un ……………………..
(aumento o decremento) del ingreso en todos los segmentos de la distribución.
26. Loy Toy es una red de librerías, con sucursales en los distritos de Santiago de Surco, San
Borja y San Luis. Se ha observado que durante los últimos meses los montos de ventas
vienen disminuyendo, por lo que el administrador desea conocer los factores que están
originando este problema y le ha encargado a su equipo de trabajo realizar una encuesta
entre sus clientes, seleccionados aleatoriamente de cada sucursal.
Entre los clientes que respondieron la pregunta sobre el aspecto que considera deficien-
te del local, se tiene:
30 40
72
80
100
0
20
40
60
80
100
0 20 40 60 80 100
Frecuenciaacumulada
Tiempo (en minutos)
Distribución porcentual de alumnos
según el tiempo en resolver un examen
Fuente: Calidad Educativa Universidad A

Distribución de clientes según aspecto que considera deficiente del local
Aspecto deficiente Número de clientes
Local muy pequeño 53
Poco stock de libros 56
Limpieza 10
Otros 12
Pocas ofertas 38
Personal no capacitado 31
Fuente: Loy Toy
Elabore el gráfico de Pareto y realice una conclusión.
Al procesar los datos de 50 clientes del local de San Borja, se obtuvo la siguiente infor-
mación:
Número de hijos en edad escolar fi hi
1 a
2 2a
3 12
4 6
5 2
Complete la tabla y responda:
- La variable en estudio es ______________________ y su escala es _____________.
- El gráfico a usar para esta variable es _______________.
- Calcule el valor de interprete f2 y h5.
El siguiente gráfico se ha obtenido a partir de la información brindada por 100 clientes de
la sucursal de San Borja y 110 clientes de la sucursal de San Luis.
En base a esta información, complete:
- La cantidad de clientes de San Borja que cuentan con un ingreso familiar mensual
superior a 180 soles es: ____________
- En el distrito de ………………….. es mayor el porcentaje de clientes cuyo ingreso fami-
liar mensual es como máximo 220 soles, cuyo valor es …………...clientes de San Borja
cuentan con un ingreso familiar superior a 140 hasta 220 soles.
- Presente la tabla comparativa usando intervalos y marcas de clase comunes.

Unidad 2. Medidas descriptivas 49
Temario
Medidas de tendencia central: media aritmética, mediana, moda, media ponderada
Medidas de posición: cuartiles, deciles, percentiles
Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación
Medidas de asimetría
Diagramas de cajas
Unidad 2: Medidas descriptivas
el estudiante analiza el comportamiento de datos reales
aplicando las medidas de resumen de datos,
utilizando el programa MS Excel 2010.

Datos simples y datos agrupados
Ejemplo de datos simples
10,6 14,5 17,2 12,8 13,6 11,6 11,3 13,0 13,5 10,8 13,9 14,2 15,3 14,3 14,3 14,3
11,8 16,1 16,8 18,8 14,8 14,0 16,4 14,2 16,5 12,1 13,3 12,0 14,3 14,9 15,1 14,4
Ejemplo de datos agrupados por intervalos
Empresa A. Distribución de obreros según descuentos en su planilla en el presente mes
Descuentos, en soles
Marca de
clase
fi hi Fi Hi
[204,1 ; 233,6] 218,85 16 0,2084 16 0,3334
]233,6 ; 263,1] 248,35 12 0,2500 28 0,5834
]263,1 ; 292,6] 277,85 7 0,1458 35 0,7292
]292,6 ; 322,1] 307,35 7 0,1458 42 0,8750
]322,1;351,6] 336,85 6 0,1250 48 1,0000
Total 48 1,0000
Fuente: RRHH Empresa A
Ejercicio 8
Luego de una investigación se tiene muchos datos, con ellos se puede realizar algunos
gráficos y distribuciones de frecuencias, pero ¿cómo resumir alguna característica de la
información en un solo número?
Datos simples
•Se denomina datos simples (datos no
agrupados) a los valores que no están
agrupados en distribuciones de
frecuencia.
Datos agrupados
•Se denomina datos agrupados a los
valores que están agrupados en
distribuciones de frecuencia.
Si se tienen datos simples no se construye la distribución de frecuencias
para calcular la media, la mediana o cualquier estadístico,
se prefiere el cálculo con los datos simples.

1.1. Medidas de tendencia central
Una medida de localización o de tendencia central se refiere al valor central que repre-
senta a los datos de una determinada variable.
Media
La media aritmética (media o promedio) de un conjunto de valores de una variable es la
suma de dichos valores dividida entre el número de valores.

Cálculo de la media aritmética
La fórmula para la media poblacional es
1
N
i
i
x
N
 


Las fórmulas para la media muestral son:
A una muestra de tripulantes de la aerolínea Wayra se les preguntó el tiempo, en años,
que venían trabajando en Wayra. Calcule e interprete la media muestral.
4 5 7 2 3,5 5 2 0,5 6 7 1 2
Si la media muestral es mayor a 3,5 años, se implementará un programa de incentivo
para que los tripulantes postulen a ascensos. Indique lo que hará la compañía

A una muestra de viajeros frecuentes se les preguntó por el número de veces que viajó
con Wayra en el último mes. Calcule e interprete la media muestral.
Distribución de viajeros frecuentes según el número de veces que viajó en el último mes
Número de veces fi
1 71
2 133
3 346
4 85
6 15
Fuente: Wayra
A una muestra de 500 pasajeros premium se les preguntó por la cantidad de dinero que
estarían dispuestos a pagar por un menú gourmet durante un vuelo nacional. Los datos
se muestran a continuación.
Distribución de viajeros premium según lo que pagarían por menú gourmet en vuelo nacional
Dinero (en soles) Marca de clase fi hi Fi Hi
 ,  20 0,05
 ,  225
 ,  30 0,75
 , 
Fuente: Wayra
Calcule e interprete la media muestral.

Ejercicio 9
Calcule la media de los siguientes grupos de números.
Grupo 1 1 2 3 4 5 6 7
Grupo 2 1 2 3 4 5 6 700
¿Qué nota al calcular la media de cada grupo?
Características de la media
- Se puede calcular para datos medidos en escala de intervalo o razón.
- El cálculo de la media es sencillo y es una medida muy conocida.
- El valor de la media es sensible a los valores extremos, por lo que varía mucho con
valores muy grandes o muy pequeños con respecto a los demás.
- Si cada uno de los n valores xi es transformado en: yi = a xi + b, siendo a y b constan-
tes, entonces, la media de los n valores yi es:
y ax b 
La empresa Wayra ha decidido hacer dos ofertas a su sindicato sobre el aumento de
sueldo anual a sus trabajadores:
- Aumento general del 5%.
- Aumento del 2% más un bono de 200 soles.
Si el sueldo promedio es de 4100 soles, ¿cuál de las dos ofertas debe aceptar el sindicato
si lo que desea es hacer máximo el sueldo medio de los trabajadores

Mediana
La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que divide en dos partes a di-
cho conjunto.
Ejercicio 10
Interprete alguna de las siguientes medianas.

Cálculo de la mediana
A una muestra de pasajeros se les registró el tiempo, en minutos, que demoraron en la
cola hasta ser atendidos en los counters del aeropuerto. Los datos se muestran en la ta-
bla siguiente. Calcule e interprete la mediana muestral.
8 20 15 14 20 10 5 14 13 16 17 14 8 25
Si la mediana es mayor a 15 minutos se aumentará la cantidad de personas en los coun-
ters de atención del aeropuerto. Indique lo que hará la compañía.

De una muestra de 50 vuelos, se ha registrado el número de personas que pierden su
vuelo por presentarse tarde al counter del aeropuerto. Los datos se muestran a conti-
nuación.
Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….
Número de pasajeros fi hi%
0 10
1 17
2 13
3 7
5 3
Fuente: Wayra
Calcule e interprete la mediana muestral.
De una muestra de 600 pasajeros que habían realizado compras en el duty free durante
el vuelo, se registró la cantidad de dinero, en dólares, que habían gastado. Los datos se
muestran a continuación.
Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….
Dinero (en dólares) Marca de clase fi hi Fi Hi
 0 ,  162
 , 70  240
 ,  143
 , 
Fuente: Wayra
Calcule e interprete la mediana muestral.

Ejercicio 11
Calcule la mediana de los siguientes grupos de números.
Grupo 1 10 11 12 13 14 15 16
Grupo 2 10 11 12 13 14 15 700
¿Qué concluye al calcular la mediana de cada grupo?
Características de la mediana
- Se puede calcular para variables medidas en escala de ordinal, intervalo o razón.
- La mediana no se ve afectada por valores extremos, por lo que se prefiere como
medida de tendencia central cuando hay datos extremos o la distribución de fre-
cuencias no es simétrica.

Moda
La moda de un conjunto de datos observados de una variable es el valor que se presenta
con mayor frecuencia.
Ejercicio 12
Interprete alguna de las siguientes modas.

Cálculo de la moda
Para datos en distribuciones de frecuencia por intervalo,
- si la moda está en el primer intervalo, entonces d1 es igual a la primera frecuencia
- si la moda está en el último intervalo, entonces d2 es igual a la última frecuencia.
A una muestra de pasajeros de clase económica se les preguntó si pagarían un suple-
mento de diez dólares por estar en las primeras filas de la clase económica en un vuelo
nacional. Los datos se muestran en la tabla siguiente. Calcule e interprete la moda
muestral.
No No Sí No No Sí No Sí Sí Sí No No No Sí
Sí No Sí Sí No Sí No No No Sí Sí No Sí Sí
Si la moda es “Sí” se implementará esta opción. Indique lo que hará la compañía.

De una muestra de 500 vuelos de Wayra, se ha registrado el número de personas por
vuelo que han tenido problemas de salud. Los datos se muestran a continuación.
Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….
Número de pasajeros fi
0 310
1 146
2 33
3 7
4
Fuente: Wayra
Calcule e interprete la moda muestral.
De una muestra de 600 pasajeros se registró la cantidad de tiempo de anticipación, en
días, con la que los pasajeros compran sus vuelos internacionales. Los datos se muestran
a continuación.
Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….
Tiempo de anticipación (en días) Marca de clase fi hi Fi Hi
 0 , 25  13 154 0,26 154 0,26
 25 , 50  38 240 0,40 394 0,66
 50 , 75  63 157 0,26 551 0,92
 75 , 100  88 49 0,08 600 1,00
Fuente: Wayra
Calcule e interprete la moda muestral.

Ejercicio 13
Calcule la moda de los siguientes grupos de números.
Grupo 1 1 2 3 3 4 4 5
Grupo 2 1 2 3 3 4 4 500
¿Qué concluye al calcular la moda?
Características de la moda
- La moda se puede calcular para cualquier escala de medición.
- El valor de la moda no se ve afectada por valores extremos.
- La moda no siempre es un valor único. Una serie de datos puede tener dos modas
(bimodal) o más modas (multimodal). Algunas series de datos no tienen moda.
Media ponderada
Permite calcular el valor medio considerando la importancia o peso de cada valor sobre
el total.
Cálculo de la media ponderada
La fórmula es:
1
1
n
i i
i
ww n
i
i
x w
x
w





donde:
xi: Observación individual wi: Peso asignado a cada observación
Ejercicio 14
Las notas de un alumno de Estadística Descriptiva son:
PC1 PC2 Promedio de
laboratorios
Promedio de
controles
Examen
parcial
Examen
final
Trabajo
final
15 14 13 15 13 9 15
Si las prácticas pesan ………………………………..…………..…………………………de la nota final, los
laboratorios ………………………………………., los controles ……………………………………, el examen
parcial …….……………, el examen final …………………y el trabajo final………………. ¿cuál es el
promedio final del alumno?

Objetivo: Comparar la media de los precios de pasajes por tipo de cliente.
Distribución de pasajeros según precio de pasajes, en dólares, por tipo de cliente
Precios de
pasajes
Marca de
clase
hi%
Grupos
hi%
Ocasional
hi%
Premium
hi%
Viajero frecuente
0 176 88 50,0% 43,5% 39,4% 52,9%
176 352 264 12,5% 13,0% 21,2% 13,7%
352 528 440 0,0% 9,8% 18,2% 0,0%
528 704 616 37,5% 9,8% 18,2% 33,3%
704 880 792 0,0% 13,0% 3,0% 0,0%
880 1056 968 0,0% 7,6% 0,0% 0,0%
1056 1232 1144 0,0% 2,2% 0,0% 0,0%
1232 1408 1320 0,0% 1,1% 0,0% 0,0%
Fuente Aerolínea Wayra S.A.
Wayra lanzará una campaña de marketing a los dos tipos de clientes con los precios me-
dios de pasajes más altos. Indique los tipos de clientes a los que lanzará la campaña.
Objetivo: Establecer el costo medio de una campaña de fidelización de clientes.
Wayra lanzará una campaña de fidelización de clientes y rebajará 15% los precios de los
pasajes a Miami. Si la media del precio de estos pasajes es 740 dólares. Indique el nuevo
precio medio.
Wayra lanzará una campaña de fidelización de clientes y rebajará 10 dólares los precios
de los pasajes a Cusco. Si la media del precio de estos pasajes es 105 dólares. Indique el
nuevo precio medio.

Objetivo. Analizar un reclamo de clientes Premium sobre el precio excesivo de pasajes.
Los clientes tipo Premium han expresado su malestar por las altas tarifas en los precios
de los pasajes que pagan. Por ello, la empresa desea conocer cuál es el precio mínimo de
los pasajes más costosos que paga la mitad de clientes Premium, con el fin de revisar un
porcentaje de descuento en su próximo viaje ¿Cuál es este precio mínimo?
Objetivo. Lanzar una campaña para los clientes de tipo grupos.
La empresa desea lanzar una campaña de marketing directo a los clientes de tipo grupos
considerando el precio de pasaje más frecuente que suelen pagar. ¿Cuál es ese precio?

1.2. Cuantiles
Los cuantiles son valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en
intervalos, que comprenden el mismo número de valores. Los más usados son:
- cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes,
- deciles, que dividen a la distribución en diez partes,
- percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.
Deciles
Un decil se refiere a cada uno de los nueve valores que dividen un grupo de datos (clasi-
ficados con una relación de orden) en diez partes iguales, de manera que cada parte re-
presenta un décimo de la población.
Ejercicio 15
El siguiente gráfico muestra la evolución del ingreso real promedio per cápita en el Perú
del año 2013 al 2014. ¿Qué grupo mejoró porcentualmente más sus ingresos, las perso-
nas con menores o con mayores ingresos?

Percentil
El percentil k-ésimo Pk es un valor tal que por lo menos k por ciento de las observaciones
son menores o iguales que este valor.
Ejercicio 16
Interprete alguno de los siguientes percentiles.

Cálculo del percentil
Ejercicio 17
Calcule el percentil 75 de los siguientes grupos de números.
Grupo 1 10 12 13 14 15 16 17
Grupo 2 10 12 13 14 15 16 17 700
¿Qué concluye al calcular dicho percentil?
Características de los percentiles
- Se puede calcular en variables medidas en escala ordinal, de intervalo y razón.
- El valor del percentil no se ve afectado por valores extremos.

Objetivo. Analizar un reclamo de clientes Premium sobre el precio excesivo de pasajes.
Distribución de pasajeros según precio de pasajes de clientes Premium, en dólares
Precios de pasajes Marca de clase fi hi% Fi Hi%
0 176 88 394 39,4% 394 39,40%
176 352 264 212 21,2% 606 60,60%
352 528 440 182 18,2% 182 78,80%
528 704 616 182 18,2% 182 97,00%
704 880 792 30 3,0% 30 100,00%
Fuente Aerolínea Wayra S.A.
Calcule el precio máximo de un pasaje para estar en el 15% de los pasajes más baratos.
Calcule el precio mínimo de un pasaje para estar en el 25% de los pasajes más caros.
Calcule el porcentaje de clientes que pagó como máximo 500 dólares.

Ejemplo 10
La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los 200 trabajadores
de la empresa A según salario, en soles, del último mes.
Distribución de empleados según salario del último mes
Salario (en soles) fi hi Fi Hi
450 - 650 32 0,160 32 0,160
650 - 850 40 0,200 72 0,360
850 – 1 050 60 0,300 132 0,660
1 050 – 1 250 48 0,240 180 0,900
1 250 – 1 450 20 0,100 200 1,000
Fuente: Empresa A
Calcule el sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados.
Solución
Usando las frecuencias absolutas se tiene:
85 4 1
4
85 200 200 85
1050 132 1208,33
100 48 100
i
w n
P L F
f

     
          
     soles
Usando las frecuencias relativas se tiene:
85 4 1
4
85 200 85
1050 0,66 1208,33
100 0,24 100
i
w
P L H
h

    
          
     soles
El sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados es
S/.1208,33.

1.3. Medidas de variabilidad
Con las medidas de tendencia central es
posible determinar el valor central de una
distribución, pero no indican qué tan
cercanos o lejanos están los datos de dicho
valor central.
Las medidas de variabilidad indican cuán
alejados están los valores de una variable
del valor que los representa y, por lo tanto,
permiten evaluar la confiabilidad de ese
valor central.
Si la medida de dispersión:
- tiene un valor pequeño, los datos están concentrados alrededor de la medida de tendencia
central,
- tiene un valor grande, los datos no están concentrados alrededor de la medida de tendencia
central.

Varianza
La varianza es el promedio de los cuadrados de la diferencia de cada dato con la media.
Las unidades de la varianza son las unidades de los datos al cuadrado.
Cálculo de la varianza
La fórmula para la varianza poblacional es
 
2
2 1
N
i
i
x
N

 



La fórmula para la varianza muestral es
Desviación estándar
La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
La desviación estándar poblacional se denota por  y la muestral por s.
Ejercicio 18
Calcule la desviación estándar de los siguientes grupos de números.
Grupo 1 1 2 3 4 5 6 7
Grupo 2 1 2 3 4 5 6 700
¿Qué concluye al calcular dicha medida de dispersión?

Características de la varianza y la desviación estándar
- La varianza y la desviación estándar se ven afectadas por valores extremos.
- La varianza y la desviación estándar son números reales no negativos.
- Se pueden calcular para variables medidas en escala de intervalo o razón.
- La varianza es expresada en unidades cuadráticas a las unidades de los datos, mien-
tras que, la desviación estándar es expresada en las mismas unidades de los datos.
- Si cada uno de los n valores xi es transformado en yi = a xi + b, siendo a y b constan-
tes, entonces, la varianza de los n valores yi es:
2 2 2
Y Xs a s sY = a sX
Ejercicio 19
Calcule la desviación estándar de los siguientes grupos de números.
Grupo 1 1 2 3 4 5 6 7
Grupo 2 1 001 1 002 1 003 1 004 1 005 1 006 1007
¿Qué concluye al calcular dicha medida de dispersión?
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación (CV) de un conjunto de datos indica lo grande que es la des-
viación estándar en comparación con la media.
Cálculo del coeficiente de variación
La fórmula para el coeficiente de variación poblacional es 100%CV


 
La fórmula para el coeficiente de variación muestral es 100%
s
CV
x
 
Características del coeficiente de variación
- El coeficiente de variación se calcula en variables medidas en escala de razón.
- Se debe calcular para valores positivos.
Es útil al comparar la
variabilidad de dos o
más series de datos
que se expresan en distintas o iguales
unidades, pero difieren a tal punto que
una comparación directa de las
respectivas desviaciones estándar no es
muy útil,
por ejemplo,
cuando las medias
están muy
distantes.

Objetivo: Analizar si la compra con promociones genera mayor variabilidad de los tiem-
pos de espera en la compra de un pasaje.
Con la siguiente información compare la variabilidad en los tiempos de espera en la
compra de un pasaje entre pasajeros que compran con o sin promoción.
Ejemplo 11
Los siguientes datos representan resúmenes del número de mediciones de resistencia
de cierto artículo que realizaron dos grupos de técnicos.
Grupo 1: media = 3 y desviación estándar = 1,10
Grupo 2: media = 5 y desviación estándar = 1,66
¿En cuál de los grupos el número de mediciones es más disperso?
Solución
Como los promedios son diferentes, se usa como indicador el coeficiente de variación:
1
1,10
100% 36,67%
3
CV   
2
1,66
100% 33,20%
5
CV   
El número de mediciones es más disperso en el grupo 1.
3.8%
17.5%
36.3%
25.0%
11.3%
1.3%
2.5% 2.5%
20.0%
23.3%
26.7%
30.0%
0.0%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5
Porcentajedepasajeros
Tiempos de espera, en minutos
Distribución de pasajeros según tiempos de espera para adquirir un
boleto por condición de compra
Sin promoción
Con promoción
Fuente: Aerolínea Wayra S.A.

Rango
El rango (alcance, amplitud o recorrido) de un conjunto de datos observados es la dife-
rencia entre el dato mayor y el dato menor.
Cálculo del rango
Rango = R = Xmax - Xmin
donde Xmax y Xmin son los valores máximo y mínimo observados de la variable
Características del rango
- Se puede calcular en variables medidas en escala de intervalo o razón
- Se ve muy afectado por valores extremos.
Rango intercuartil
Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil.
Cálculo del rango intercuartil
Rango intercuartil = RIC = Q3 – Q1= P75 – P25
Características del rango intercuartil
- Se puede calcular en variables medidas en escala de intervalo o razón.
- No se ve afectado por valores extremos.
P
25
P
75
RIC = P
75
- P
25
50% 25%25%
Rango = Xmáx
- Xmín
Mínimo valor Máximo valor

Ejercicio 20
Calcule la mediana y desviación estándar muestral de los siguientes grupos de datos.
Grupo 1 1 2 3 4 5 8 8 8 8
Grupo 2 2 2 2 2 5 6 7 8 9
En base a sus resultados, ¿qué puede afirmar sobre los datos de cada grupo?
1.4. Medidas de asimetría
Coeficiente de asimetría de Pearson
Mide si los datos aparecen ubicados simétricamente o no respecto de la media.
Cálculo del coeficiente de asimetría de Pearson
El coeficiente de asimetría para datos simples o agrupados se calcula con la siguiente
fórmula:





 

s
Medianax
As 3
Si el coeficiente de simetría As es:
positivo, indica sesgo a la
derecha (cola derecha)
igual a cero la
distribución es simétrica
alrededor de la media
negativo indica sesgo a la
izquierda (cola izquierda)

1.5. Diagrama de cajas
Un diagrama de cajas es una gráfica que describe la distribución de un conjunto de datos
tomando como referencia los valores de los cuartiles como medida de posición y el valor
del rango intercuartil como medida de referencia de dispersión. Además, nos permite
apreciar visualmente el tipo de distribución de los datos (simétrica o asimétrica) y la
identificación de valores extremos (datos atípicos).
Dato atípico
Es un dato inusualmente grande o pequeño con
respecto a los otros datos. Se considera dato atípi-
co a cualquier punto que esté:
- a más de 1,5(RIC) por arriba (o a la derecha)
del tercer cuartil
- a más de 1,5(RIC) por debajo (o a la izquierda)
del primer cuartil
Pasos para trazar un diagrama de cajas
Se traza un rectángulo con los
extremos en el primer y tercer
cuartil
En la caja se traza una recta
vertical en el lugar de la
mediana. Así, la línea de la
mediana divide los datos en
dos partes iguales
Se ubican los límites mediante
el rango intercuartil,
el límite superior está a 1,5 RIC
arriba (o a la derecha) de Q3
el límite inferior está a 1,5 RIC
debajo (o ala izquierda) de Q1
Se trazan los bigotes desde los
extremos de las cajas hasta los
valores mínimo y máximo
dentro de los límites inferior y
superior
Se marcan con un asterisco (*)
las localizaciones de los valores
atípicos

Objetivo. Comparar el precio de los pasajes por condición de compra.
Complete el diagrama de cajas con la siguiente información:
Datos de precios de pasajes de clientes que compraron su pasaje con promoción
45 50 55 55 55 160 160 220 220 360 425 700 1150
Estadísticos Con promoción Sin promoción
Percentil 25 67,5
Percentil 50 355,0
Percentil 75 540,0
Rango intercuartil 472,5
Largo máximo del bigote = 1,5 RIC 708,75
Límite inferior = P25 – 1,5 RIC -641;25
Límite superior = P75 + 1,5 RIC 1248,75
Mínimo 45
Máximo 950
La condición de compra que presenta menor mediana en el precio de los pasajes es
…….………………….…………. y este valor es ………………………………………………..
La condición de compra que presenta mayor variabilidad en el precio del 50% de los va-
lores centrales es …….………………….…………. pues ……………………………………………………………..
La condición de compra que presenta valores atípicos en los precios de los pasajes es
………………..…………. y dichos valores atípicos son ……………………………………………………………..

Ejemplo 12
Los registros policíacos del distrito A muestran los siguientes números de informes de
delitos diarios para una muestra de días durante los meses de invierno y una muestra de
días durante los meses de verano.
Invierno 5 5 6 7 7 8 12 14 15 15 17 17 18 18 20 21 21 21 21 22
Verano 5 5 8 8 9 9 10 12 18 20 20 20 24 24 26 27 27 27 28 28
Construya un gráfico que permita comparar, entre invierno y verano, los valores medios,
la variabilidad y encontrar los valores atípicos del número de delitos diarios.
Solución
Se debe calcular los percentiles con datos simples. No calcule la distribución de fre-
cuencias.
Calculemos los percentiles y los rangos intercuartiles.
Estadísticos Invierno Verano
Percentil 25 7,5 9,0
Rango intercuartil 20,5 – 7,5=13,0 26,5 – 9,0=17,5
Largo máximo del bigote = 1,5 RIC 1,5 x 13 = 19,5 1,5 x 17,5 = 26,25
Límite inferior = P25 – 1,5 RIC 7,5 – 19,5 = -12,0 9,0 – 26,25 = -17,25
Límite superior = P75 + 1,5 RIC 20,5 + 19,5 = 40 26,5 + 26,25 = 52,75
Para el invierno, de acuerdo con los datos, los bigotes llegan como mínimo a 5 y como
máximo a 22.
Para el verano, de acuerdo con los datos, los bigotes llegan como mínimo a 5 y como
máximo a 28.
No hay valores atípicos, pues ningún está fuera de los límites.

Ejercicios de la Unidad 2
1. Los datos siguientes corresponden a la estatura, en metros, de una muestra aleatoria de
hombres peruanos de 18 años. Calcule e interprete la media de la estatura de la muestra.
1,67 1,70 1,83 1,65 1,70 1,65 1,60 1,70 1,61 1,69
hombres peruanos de 18 años.
Distribución de una muestra de peruanos de 18 años, según su estatura
Estatura (en metros) fi hi
1,60 50 0,2778
1,63 78 0,4333
1,66 28 0,1556
1,70 14 0,0778
1,75 10 0,0556
Fuente: MINSA
Calcule e interprete la media de la estatura de la muestra.
hombres peruanos de 18 años. Complete la distribución de frecuencias.
Distribución de una muestra de peruanos de 18 años, según su estatura
Estatura (en metros) Marca de clase fi hi Fi Hi
 ,  155 0,48
 ,  0,32
 ,  167 0,95
 ,  600
Fuente: MINSA
Calcule e interprete la media de la estatura de la muestra. Use las frecuencias absolutas.
4. Una tienda rebaja los precios, en 12%, a toda su línea de casacas. Si la media de los pre-
cios de las casacas antes de la rebaja era de 155 soles. Calcule la nueva media de los pre-
cios.
5. En una empresa el sueldo medio es 2500 soles. La gerencia, luego de la negociación con
el sindicato, decide realizar un aumento del 3,5% y un bono de 150 soles a cada trabaja-
dor. Calcule el nuevo sueldo medio.
6. Se registra los tiempos, en minutos, que se demora una cajera en atender a algunos
clientes del supermercado A.
5,3 2,7 10,7 8,2 3,0 5,4 5,6 10,2 11,3 2,6 2,6 5,4 3,5 7,0 11,5
Calcule e interprete el valor de la mediana.

7. En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e In-
formática se preguntó a las madres peruanas que fueron menores de edad cuando nació
su primer hijo(a) nacido vivo, obteniéndose los siguientes resultados.
Perú. Distribución de peruanas según edad al nacer su primer hijo(a) vivo. 2007
Edad de la madre fi hi Fi Hi
12 años 6,380 0,0054 6,380 0,0054
13 años 13,840 0,0118 20,220 0,0173
14 años 62,898 0,0537 83,118 0,0710
15 años 210,250 0,1795 293,368 0,2505
16 años 366,822 0,3132 660,190 0,5636
17 años 511,133 0,4364 1,171,323 1,0000
Fuente: PERÚ, INEI. Censos Nacionales 2007
Calcule e interprete la mediana de la variable en estudio.
8. En una ciudad, se tomó una muestra aleatoria de 1000 personas y se les preguntó por su
ingreso mensual, en dólares, obteniéndose los siguientes resultados.
Distribución de personas según ingreso mensual
Ingreso (en dólares) Marca de clase fi hi Fi Hi
  300 , 700

 500 104 0,104 104 0,104
  700 , 1 100

 900 224 0,224 328 0,328
  1 100 , 1 500

 1 300 437 0,437 765 0,765
  1 500 , 1 900

 1 700 151 0,151 916 0,916
  1 900 , 2 300

 2 100 84 0,084 1000 1,000
Fuente: Empresa A
Calcule e interprete la mediana de la variable en estudio.
9. En la empresa A se tomó un examen de conocimientos sobre los procesos administrati-
vos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
Distribución de trabajadores según resultados del examen de conocimientos
Puntaje del examen Marca de clase fi hi Fi Hi
 20 , 40  30 54 0,3103 54 0,3103
 40 , 60  50 60 0,3448 114 0,6552
 60 , 80  70 48 0,2759 162 0,9310
 80 , 100  90 12 0,0690 174 1,0000
Fuente: Empresa A
Calcule e interprete la moda del puntaje.
10. Complete los siguientes textos:
“La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que divide en dos partes a
dicho conjunto. El …………………………………………….. son menores o igual a la mediana.”
“Usar la mediana como medida de tendencia central es preferible a usar la media cuan-
do…………………………………………………….………………………”

11. Calcule e interprete la moda de los siguientes datos, que corresponden al número de
errores ortográficos por correo electrónico que cometen algunos gerentes de una em-
presa en una comunicación escrita.
2 2 5 2 3 3 2 3 2 1 2 0 0 1 3 0 3 2 1 2
4 2 1 3 1 1 3 3 3 1 2 4 2 0 1 4 2 2 2 2
Afirmación Verdadero Falso
La mediana se puede calcular solo en variables cuantitativas
La media es un valor que siempre está entre el mínimo valor y el
máximo valor de los datos
Si se tienen datos simples se construye la distribución de frecuen-
cias para calcular la mediana.
La media se puede calcular solo en variables medidas en escala de
razón
13. Los siguientes datos corresponden a consumos, en soles, de alumnos en la cafetería de
una universidad. Calcule la desviación estándar y la varianza.
3,0 7,5 5,5 12,0 6,5 2,7 2,0 4,5 8,0 4,0 2,5 3,0 1,5 7,0
14. Los datos corresponden a las notas de 327 alumnos en la primera práctica de Estadística
Descriptiva del ciclo anterior. Calcule la desviación estándar muestral.
Distribución de alumnos según notas de la primera práctica de Estadística Descriptiva
Nota fi hi Fi Hi
12 110 0,3364 110 0,3364
14 136 0,4159 246 0,7523
15 44 0,1346 290 0,8869
16 37 0,1131 327 1,0000
Fuente: Secretaría Académica. Universidad A
15. Los datos muestran las ventas de 90 vendedores de una empresa en el último mes.
Distribución de vendedores según volumen de venta en el último mes
Ventas, en miles de dólares Marca de clase fi hi Fi Hi
5,0 - 7,8 6,4 13 0,144 13 0,144
7,8 - 10,6 9,2 20 0,222 33 0,367
10,6 - 13,4 12,0 38 0,422 71 0,789
13,4 - 16,2 14,8 19 0,211 90 1,000
Fuente: Empresa A
Calcule la desviación estándar muestral.

16. En una tienda, la desviación estándar de los precios de los jeans es de 20 soles, calcule la
nueva desviación estándar de los precios de los jeans si se realiza:
a. una rebaja del 6% de todos los precios,
b. una oferta y se rebaja ocho soles a cada precio.
17. El siguiente cuadro muestra la distribución de los sueldos mensuales, en soles, de los
empleados de las empresas A y B.
Distribución de empleados según salario mensual de las empresas A y B
Sueldos
Empresa A
Marca de
clase
fi Sueldos
Empresa B
Marca de
clase
fi
[1 500 – 2 500] 2 000 120 [3 000 – 3 500] 3 250 150
]2 500 – 3 500] 3 000 80 ]3 500 – 4 000] 3 750 120
]3 500 – 4 500] 4 000 77 ]4 000 – 4 500] 4 250 45
]4 500 – 5 500] 5 000 63 ]4 500 – 5 000] 4 750 55
Fuente: Empresa A Fuente: Empresa B
¿Cuál de los grupos presenta mayor variabilidad de salarios?
Si en la empresa A hay un aumento de sueldo del 6%, mientras que en la empresa B se
da un aumento de sueldo del 4% y una bonificación de 120 soles. Luego de los aumen-
tos, ¿qué grupo presenta mayor variabilidad de salarios?
18. Los siguientes datos representan las notas de la primera práctica de alumnos de Estadís-
tica Descriptiva. Calcule e interprete el percentil 25 de los siguientes datos.
Distribución de alumnos según notas de la primera práctica de Estadística Descriptiva
xi fi hi Fi Hi
12 5 0,025 5 0,025
13 46 0,230 51 0,255
14 109 0,545 160 0,800
16 40 0,200 200 1,000
Fuente: Secretaría Académica. Universidad A
19. Las notas de un curso de capacitación sobre tributación se muestran en la siguiente dis-
tribución de frecuencias.
Distribución de empleados según notas del curso de capacitación. Agosto 2015
Notas Marca de clase fi hi Fi Hi
08 – 10 9 15 0,1056 15 0,1056
10 – 12 11 48 0,3380 63 0,4437
12 – 14 13 60 0,4225 123 0,8662
14 – 16 15 12 0,0845 135 0,9507
16 – 18 17 7 0,0493 142 1,0000
Fuente: Empresa A. Gerencia de RRHH

Calcule la nota mínima para estar en el quinto superior.
Calcule la nota máxima para estar en el 10% de las notas más bajas.
Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas menores o iguales a 13.
Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas mayores a 12 y menores o iguales a
15,5.
20. Dados los siguientes datos, calcule e interprete el percentil 30 y el percentil 75.
38 45 20 20 10 12 18 28 18 23 11 15 3 5 6 4 3 5 5
21. En el artículo “Estudios españoles de crecimiento 2008. Nuevos patrones antropométri-
cos” se muestra el siguiente gráfico:
Tomado de http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1575092208758455
¿Qué significa que para las jóvenes de 18 años el percentil 3 del peso sea 44 kilos?
¿Qué significa que para las jóvenes de 19 años el percentil 50 de la talla es 1,64 metros?
22. El tiempo, en meses, que viene laborando 51 trabajadores en una empresa se registra en
la siguiente tabla.
6 7 11 12 13 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 19
19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 21 21 21 22
22 22 22 23 23 24 26 26 26 28 29 29 31 41 48 50 60
Calcule el rango y el rango intercuartil de los datos.

El percentil 90 es siempre mayor al percentil 10
El cuartil 2 es igual al decil 5
El percentil siempre se expresa en porcentaje
Si todos los pesos son iguales, la media ponderada es igual a la
media aritmética
La media ponderada no tiene unidades
24. La siguiente tabla muestra información de los precios del artículo A (en soles) en estable-
cimientos elegidos al azar en el distrito de La Molina.
Distribución de establecimientos de la Molina según precios del artículo A
Intervalo de
clase
Marca de
clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia abso-
luta acumulada
Frecuencia rela-
tiva acumulada
– 4
– 0,150
– 0,300 22
– 8,35 8
– 0,900
– 40
Fuente: Indecopi
Complete la tabla anterior si se sabe que el rango intercuartil es 0,8.
25. De datos sacados de la Intranet de la Universidad A, se desea comparar el resultado de la
primera práctica de tres horarios de un curso de estadística, para lo cual, se tienen los si-
guientes resultados.
H1 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 15 15 16 16 17 18 18 19 19 19 20
H2 4 11 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 15 16 16 17 17 18
H3 9 9 10 10 10 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 15 15 17
Construya un diagrama de cajas que permita comparar el resultado de los horarios.
Indique el horario con mayor mediana de notas, el horario con mayor rango intercuartil
y el horario donde existen valores atípicos.
26. Complete el siguiente texto:
“Los datos atípicos se define como ……………………….……………………………………………………..”
“Se trazan los bigotes desde los … ……………………... de las cajas hasta los valores mínimo
y máximo ……………..……………. de los límites inferior y superior.

El coeficiente de asimetría tiene unidades las mismas unidades
que los datos
Si a cada valor de un grupo de datos se le aumenta en 10%, el
coeficiente de asimetría no varía
Si a cada valor de un grupo de datos se le aumenta 10 unidades, el
coeficiente de asimetría no varía
En un diagrama de cajas siempre se puede conocer el máximo y
mínimo de un grupo de datos
28. En un examen de Estadística Descriptiva se tomó la siguiente pregunta:
Con la intención de conocer los hábitos y preferencias de los estudiantes acerca de los
productos naturales, se contrató los servicios de la consultora Data Mining Today S.A. la
cual elaboró una encuesta para el estudio de mercado y se aplicó a 400 estudiantes de
diferentes instituciones educativas. Algunos resultados fueron:
- El 70% de los encuestados prefiere consumir productos naturales enlatados.
- La fruta más consumida es la manzana, seguida por el plátano y la pera.
- El gasto promedio por semana en productos naturales es de 25 soles con una des-
viación estándar de 5 soles.
- El 15% de los encuestados gasta más de 28 soles semanales en productos naturales.
- El 50% de los encuestados tiene una edad superior a 20 años.
- El número promedio de vasos de yogurt consumidos durante la semana es de 6.
En base a esta información indique: (1,5 puntos)
Población
Variable cuantitativa continua
Variable cuantitativa discreta
Variable Nombre del estadístico Valor del estadístico
Tendencia central
Dispersión
Posición
Lo siguiente es la respuesta de un alumno, póngale nota.
Población Los 400 estudiantes de diferentes instituciones educativas
Cuantitativa continua Gasto promedio semanal en productos naturales
Cuantitativa discreta
Número promedio de vasos de yogurt consumidos durante
la semana

Variable Nombre del estadístico Valor del estadístico
Tendencia
central
Fruta consumida Moda Manzana, plátano y
pera
Dispersión Gasto promedio semanal
en productos naturales
Desviación estándar 5 soles
Posición Tipo de producto prefe-
rido
Percentil 70
29. El salario, en cientos de soles, de los trabajadores una empresa se presenta a continua-
ción:
13 12 13 14 15 15 15 18 23 24 24 25 25 36 42 48 60
Calcule el coeficiente de asimetría de Pearson
30. El siguiente cuadro muestra la distribución de los sueldos mensuales de los empleados de
las empresas A y B.
Distribución de empleados según de sueldos mensuales en la empresa A y B
Sueldos
Empresa A
Marca de
clase
fi
Sueldos
Empresa B
Marca de
clase
fi
[1 500 – 2 500] 2 000 45 [3 000 – 3 500] 3 250 18
]2 500 – 3 500] 3 000 148 ]3 500 – 4 000] 3 750 70
]3 500 – 4 500] 4 000 60 ]4 000 – 4 500] 4 250 70
]4 500 – 5 500] 5 000 15 ]4 500 – 5 000] 4 750 18
Fuente: Empresa A Fuente: Empresa B
Calcule la asimetría de los dos grupos. Realice una conclusión
El coeficiente de variación se puede calcular en escalas de in-
tervalo y de razón
Si las unidades de los datos son minutos, la varianza se expresa
en minutos al cuadrado
El rango intercuartil se ve muy afectado por valores muy gran-
des o muy pequeños
El coeficiente de variación tiene las mismas unidades que la
varianza
Borja y San Luis. Se ha observado que durante los últimos meses los montos de ventas
vienen disminuyendo, por lo que el administrador desea conocer los factores que están
originando este problema y le ha encargado a su equipo de trabajo realizar una encuesta
entre sus clientes, seleccionados aleatoriamente de cada sucursal.

La administración se ha trazado cumplir los siguientes objetivos:
1. Identificar el número de libros universitarios más frecuente que vende diariamente
en cada una de las sucursales.
2. Determinar el monto de venta mínima que debe tener la librería en un día, para estar
considerada dentro del 18% de los días con mayores ventas.
3. Determinar la sucursal que tiene las ventas más homogéneas.
4. Identificar el comportamiento de las ventas de los grupos de artículos: útiles escola-
res, material de oficina y libros universitarios.
Para cumplir los objetivos 1, 2 y 3 se seleccionaron muestras de las dos sucursales las
que se representan a continuación:
Distribución del número de libros universitarios vendidos por
día en la sucursal de San Luis
Número de libros vendidos Hi hi
0 0,0833 0,0833
1 0,1833 0,1000
2 0,3133 0,1300
3 0,5333 0,2200
4 0,6833 0,1500
5 0,9333 0,2500
7 10,000 0,0667
a. Identifique la unidad elemental
b. Interprete h3 del gráfico.
c. El gerente comercial Loy Toy propone un reconocimiento a la sucursal cuyas ventas
diarias más frecuentes superen los cuatro libros universitarios. ¿Qué sucursal recibirá
dicho reconocimiento? Justifique numéricamente su resultado usando el gráfico y la
tabla.
1
8
9
7 7
3
5
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7
Númerodedías
Número de libros vendidos
Distribución del número de libros universitarios vendidos por día
en la sucursal de Surco
Fuente: Loy Toy

El gerente comercial otorgará un bono al personal de la sucursal, cuya venta mínima dia-
ria del 18% de los días con mayores ventas sea superior a 250 soles. ¿En qué sucursal o
sucursales los trabajadores recibirán el bono de reconocimiento? Justifique numérica-
mente su resultado usando el gráfico y la tabla.
Distribución poblacional porcentual de las ventas diarias, en nuevos soles,
de la sucursal San Borja
Tabla Nº 2: Muestra de ventas diarias, en nuevos soles, de la sucursal de San Luis
101,07 102,7 110,85 130,26 138,63 139,3 152,34 156,31 169,27 174,46
193,55 204,57 210,1 222,05 232,51 238,7 259,13 259,13 264,32 300,61
El gerente comercial de Loy Toy realizó el análisis de las ventas diarias por sucursal consi-
derando solo los promedios, pero esto generó el reclamo de los trabajadores. ¿Qué me-
dida adicional le sugiere calcular para realizar una comparación objetiva que le permita
determinar la sucursal con ventas más homogéneas? Justifique numéricamente su res-
puesta usando el gráfico y la tabla de la pregunta anterior. Para cumplir el objetivo 4 se
seleccionarán muestras de artículos que fueron clasificados en tres grupos: útiles escola-
res, material de oficina y libros universitarios.
El gerente comercial analizará las ventas del mes de agosto según grupo de artículos. Los
resultados se muestran a continuación:

Ventas en miles de nuevos soles, del mes de agosto según grupo de artículos
Grupo de artículos Ventas (miles de nuevos soles)
Útiles escolares 31,5 37,8 39,7 39,8 40,3 59,2 59,3 67,1 74,9 77,7 88,7 91,9 96,3 99,5 104,7
Material de oficina 29,2 29,5 33,4 35,8 37,4 44,5 57,6 58,8 62,7 65,3 75,1 115,0
Libros universitarios 55,0 67,5 74,2 78,0 78,7 80,0 85,0 85,0 85,0 86,6 92,0 100,0 115,0 125,0
Usando la tabla, complete el cuadro y el diagrama de cajas.
Libros universitarios
Mínimo Límite Inferior
Máximo Límite Superior
Percentil 25 Valor atípico(s) inferior(es)
Percentil 50 Valor atípico(s) superior(es)
Percentil 75 Bigote inferior
RIC Bigote superior 100
39.8
3431.5 29.2
67.1
51.05
104.7
75.1
91.9
64.65
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Útiles escolares Material de oficina Libros universitarios
Ventas
Grupo de artículos
Gráfico Nº 3: Ventas del mes de agosto, en miles de nuevos soles, por
grupo de artículos
Fuente: Lay Toy
*

Si el gerente comercial desea identificar qué grupo de artículos: útiles escolares, mate-
rial de oficina y libros universitarios presenta mayor dispersión en el 50% de las ventas
centrales. ¿Cuál sería su conclusión? Justifique su respuesta.
Si el gerente comercial ha decidido implementar una estrategia publicitaria para incre-
mentar las ventas para aquel grupo que presente una asimetría positiva o hacia la dere-
cha en el 50% central de las ventas centrales. ¿Qué grupo de artículo requiere de dicha
estrategia? Justifique su respuesta.

Temario
 Reglas de conteo y combinaciones
 Probabilidad: concepto, experimento aleatorio, espacio muestral y evento
 Operaciones con eventos
 Probabilidad condicional
 Probabilidad total
 Teorema de Bayes
 Diagrama del árbol
 Eventos independientes
Al finalizar la unidad 3, el alumno
utiliza los diferentes conceptos relacionados
con probabilidades en la toma de decisiones
frente a situaciones de incertidumbre.
Unidad 3:
Teoría de la probabilidad

1.1. Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades
La probabilidad mide o cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un evento.
La probabilidad es el lenguaje para describir y tratar la incertidumbre.
Ejercicio 21
Marque con un aspa, asignando una opción a la situación descrita de acuerdo con su po-
sibilidad de ocurrencia.
Situación
Muy poco
probable
Poco
probable
Igualmente pro-
bable que ocurra
o que no ocurra
Bastante
probable
Muy
probable
Una mujer será la
próxima presienta
del Perú
Aprobaré este
curso
Lanzo un dado y
sale un número par
El PBI del Perú
crecerá 4% este
año
Perú se clasificará
al Mundial Rusia
2018
Experimento aleatorio
Es todo proceso que genera dos o más resultados bien definidos sin que se pueda pre-
decir con certeza cuál de ellos será observado u ocurrirá en cada realización del proceso.
En cualquier repetición simple de un experimento, ocurrirá uno y solo uno de los posi-
bles resultados experimentales.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de todos los resultados experimentales.
Se le suele simbolizar por S o Ω.
Evento
Un evento es un subconjunto del espacio muestral.
Al realizar un experimento, diremos que el evento A ha ocurrido si el resultado obtenido
es un elemento del evento A.
Usualmente a un evento se le denota con las letras mayúsculas del abecedario (A, B, C,
etc.)

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 93
Probabilidad de un evento
La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por
tanto, la probabilidad es una medida del grado de incertidumbre asociado con un even-
to.
Los valores de la probabilidad siempre se asignan en una escala de 0 a 1.
Una probabilidad cercana a 0 indica que es difícil que el evento ocurra, mientras que,
una probabilidad cercana a 1 indica que es casi seguro que el evento ocurra.
Ejemplo 13
Sea el experimento aleatorio “Una app se ofrece por App Store y se registra el número
de descargas en un día”, indique el espacio muestral definido, un evento y asigne una
probabilidad de ocurrencia a dicho evento.
Ejercicio 22
Sea el experimento aleatorio “Un alumno se matricula en Estadística Descriptiva y anali-
za su situación al final del ciclo (aprobado, desaprobado, retirado)”. Indique el espacio
muestral definido, un evento y asigne una probabilidad de ocurrencia a dicho evento.
Experimento
aleatorio
•Una app se
ofrece por App
Store y se
registra el
número de
descargas en
un día
Espacio muestral
•S = {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7,
...}
Evento
•A = que el
número de
descargas
sea mayor a
5 = {6, 7, ....}
Probabilidad
•P(A) = 0,10
Experimento
aleatorio
Espacio muestral S = {
Evento A =
Probabilidad P(A) =
0 10,5
Poca probabilidad
de ocurrencia
Alta probabilidad
de ocurrencia
La ocurrencia del evento es
tan probable como improbable

Definición clásica de la probabilidad de un evento
Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral S está formado
por un número n finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de
ocurrir, entonces definimos la probabilidad de un evento como:
 
  casosdetotalnúmero
Aeventoalfavorablescasosdenúmero
Sn
An
AP )(
Ejemplo 14
Sea el experimento aleatorio “Lanzar un dado y anotar el número de puntos de la cara
superior”, indique el espacio muestral definido, un evento e indique su probabilidad de
ocurrencia.
Solución
Ejemplo 15
Sea el experimento aleatorio “Lanzar dos dados y anotar el número de puntos de cada
cara superior”, indique el espacio muestral definido, un evento e indique su probabili-
dad de ocurrencia.
Solución
Ejercicio 23
Sea el experimento aleatorio “Lanzar dos monedas y anotar el resultado”, indique el es-
pacio muestral definido, un evento e indique su probabilidad de ocurrencia.
Solución
Experimento
aleatorio
•Lanzar un
dado y anotar
el número de
puntos de la
cara superior
Espacio muestral
•S = {1 2, 3, 4,
5, 6}
Evento
•A = {1 , 3, 5}
Probabilidad
•P(A) = n(A) /
n(S) = 3/6 =
0,5
Experimento
aleatorio
•Lanzar dos
dados y anotar
el número de
puntos de
cada cara
superior
Espacio muestral
•S = {(1,1);
(1,2); (1,3);
.... (6,6)}
Evento
•A = {(1,1);
(2,2); (3,3);
(4,4); (5,5);
(6,6)}
Probabilidad
•P(A) =
n(A) / n(S) =
6/36 = 1/6
Experimento aleatorio
Lanzar dos monedas y anotar el resultado
Espacio muestral
S = {
Evento
A =
Probabilidad
P(A) = n(A)/n(S) =

Algunas relaciones básicas de probabilidad
Con frecuencia se construyen eventos mediante la combinación de eventos más senci-
llos. Es usual emplear la notación de conjuntos para describir los eventos construidos de
esta forma.
Sea  un experimento aleatorio y S el espacio muestral asociado. Si A y B son dos even-
tos definidos en S, se define las siguientes operaciones con eventos.
Complemento (AC
)
Para un evento A cualquiera se define su complemento C
A como el evento consistente
en todos los puntos de S que no están en A.
Se tiene que:
P(A) = 1 - P(AC
)
C
A se expresa como: “El evento A no ocurre”
Ejercicio 24
Diego invierte en un negocio. Escriba el evento complementario al evento A:= Diego tie-
ne éxito en el negocio.
Ejercicio 25
Una gerente toma diez decisiones en su empresa. Escriba el evento complementario al
evento A:= La gerente tiene razón en tres o más de las decisiones.
Ejercicio 26
Complete los espacios en blanco.
La probabilidad de que una empresa gane una licitación es 0,60, por lo tanto, la probabi-
lidad de que no la gane ……………………….
La probabilidad de que una persona gane la Tinka con una jugada es del 0,0000123%,
por lo tanto, la probabilidad de que no la gane en una jugada es …………………………%.

Unión de eventos (A  B)
Para dos eventos A y B, la unión del evento A con el evento B es el evento que contienen
todos los puntos de S que pertenecen a A o a B o a ambos.
BA  se expresa como: “Al menos uno de los eventos A o B ocurre”.
Intersección de eventos (A ∩ B)
Para dos eventos A y B, la intersección de los eventos A y B es el evento que contienen
todos los puntos de S que pertenecen tanto a A como a B.
BA  se expresa como: “Ambos eventos, A y B ocurren a la vez”.
Diferencia de eventos (A - B)
Para dos eventos A y B, la diferencia de los eventos A y B es el evento que contienen to-
dos los puntos de S que pertenecen a A y no pertenecen a B.
BA  se expresa como: “Ocurre el evento A pero no el evento B”

Diferencia simétrica de eventos (A ∆ B)
Para dos eventos A y B, la diferencia simétrica de los eventos A y B es el evento que con-
tienen todos los puntos de S que pertenecen solo a A o aquellos que solo pertenecen a
B.
BA se expresa como: “Ocurre solamente uno de los eventos A o B”
Ejercicio 27
Una financista invierte en fondos mutuos y en la Bolsa de Valores. Se definen los even-
tos:
A:= que la financista tenga éxito en la inversión de fondos mutuos
B:= que la financista tenga éxito en la inversión en la Bolsa de Valores.
Escriba los siguientes eventos en función de los eventos A y B. Además, grafique dicho
evento en un diagrama de Venn.
Evento Notación Diagrama de Venn
que la financista tenga éxito en las dos
inversiones
A ………... B
que la financista no tenga éxito en la Bolsa
de Valores
que la financista tenga éxito en, al menos
una, de sus inversiones
que la financista tenga éxito solamente en
una de sus inversiones
que la financista tenga éxito en la Bolsa de
Valores, pero no en los fondos mutuos

Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen puntos de S en co-
mún. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si A  B = .
Ejercicio 28
Indique si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes.
A: Estudio mucho el curso Estadística, B: Desapruebo el curso Estadística …….………………
A: Apruebo el curso Estadística, B: Desapruebo el curso Estadística……………….................
Tengo cinco soles, A: Compro un sándwich que cuesta cuatro soles, B: Compro una ga-
seosa que cuesta dos soles …….………………
1.2. Reglas de conteo y combinaciones
Regla de la adición
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces
n(A U B) = n(A) + n(B)
En un día, una persona puede viajar de Lima a Cusco en cualquiera de los diez vuelos
diarios directos o en cualquiera de los tres vuelos con escala en Ayacucho. ¿De cuántas
maneras diferentes puede viajar una persona de Lima a Cusco por dicha aerolínea?

Regla de la multiplicación
Si un experimento se realiza por una sucesión de k pasos, en los el primer paso tiene n1
resultados posibles, el segundo tiene n2 resultados posibles y así sucesivamente, enton-
ces el número total de resultados del experimento es n1 x n2 x … x nk.
Un pasajero puede elegir, en el menú de primera clase, una de tres entradas diferentes,
uno de cuatro segundos y uno de tres postres. ¿De cuántas maneras diferentes puede
elegir un pasajero su menú?
Regla de conteo para combinaciones
La cantidad de formas de seleccionar x objetos de un total de n objetos distinguibles sin
tomar en cuenta el orden es:
 !!
!
xnx
n
Cn
x


En un vuelo, la aerolínea ha sobrevendido pasajes, por lo que tendrá que ofrecer pre-
mios a pasajeros para que no viajen en ese vuelo. Si hay 15 pasajeros que viajan solos y
están dispuestos a no viajar y recibir los premios ¿De cuántas maneras diferentes se
puede elegir a solo ocho de ellos?
Objetivo específico: Establecer una política de inspección exhaustiva de pasajeros.
En cada vuelo se elegirá al azar al 5% de los pasajeros para realizar una inspección ex-
haustiva, la cual detecta si una persona lleva sustancias ilegales. Si en un vuelo de 120
personas, hay tres personas que llevan sustancias ilegales. Calcule la probabilidad de de-
tectar al menos a una de ellas.

Axiomas de la probabilidad
Sea un experimento aleatorio, S el espacio muestral asociado a dicho experimento alea-
torio y A un evento definido en S, entonces la probabilidad del evento A, denotada por
P(A), es aquel número que cumple los siguientes axiomas:
Ley aditiva para eventos cualesquiera
Sean A, B y C tres eventos cualesquiera, se cumple que:
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
P(A  B  C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A  B) - P(A  C) - P(B  C) + P(A  B  C)
La probabilidad que la aerolínea Wayra quiebre en los próximos dos años es de 0,3 y que
su empresa rival quiebre en esos dos años es de 0,5; mientras que la probabilidad de
que no quiebre ninguna de las dos empresas en esos dos años es 0,4.
Defina los eventos necesarios para resolver este problema:
A:= ………………………………………………………………………………………………………………
B:= ………………………………………………………………………………………………………………
Calcule la probabilidad de que ocurran los siguientes eventos:
Axioma 1
0  P(A)  1
Axioma 2
P(S) = 1
Axioma 3
Si A y B son dos eventos
mutuamente excluyentes
entonces:
P(A  B) = P(A) + P(B)

Evento Probabilidad Diagrama de Venn
que quiebre alguna de las dos aerolíneas P(A …… B)=
que quiebre solo una de las aerolíneas P(A …… B)=
que quiebre solo la aerolínea rival de
Wayra
P(A …… B)=
que no quiebre alguna de las dos aerolí-
neas
P(A …… B)=
1.3. Probabilidad condicional
La probabilidad condicional se refiere a hallar la probabilidad de un evento conociendo
cierta información (condición).
   
 BP
BAP
BAP


Ejemplo 16
En un grupo, conformado por hombres y mujeres, existen profesionales y no profesiona-
les de acuerdo con la siguiente tabla.
Hombres (H) Mujeres (M) Total
Profesionales (P) 1 2 3
No profesionales (N) 7 10 17
Total 8 12 20
Si se elige una mujer al azar, calcule la probabilidad de que sea profesional.
Solución
Primero, definamos los eventos necesarios para resolver este problema:
M:= Que la persona escogida sea mujer
P:= Que la persona escogida sea profesional mujer

Objetivo específico: Analizar el comportamiento de los clientes considerando el destino
de viaje, el tipo de cliente y el modo de compra. Dentro de su proceso de creación de
reportes, Felipe ha obtenido la siguiente tabla:
Tipo de cliente
Destino de viaje nacional Destino de viaje internacional
TotalCompra
presencial
Compra por
Internet
Compra
presencial
Compra por
Internet
Premiun 12 28 38 13
Frecuente 8 25 12 23
Ocasional 7 15 9 10
Total
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar compre pasajes por Internet y
tenga un destino de viaje internacional.
Si se elige al azar a un cliente frecuente, calcule la probabilidad de que compre pasajes
de forma presencial.
Si la probabilidad de que un cliente viaje dentro del país supera a 0,6, se decidirá partici-
par del próximo Cyber Day. ¿Qué decisión se tomará?
Solución
Defina los eventos necesarios para resolver este problema:
……………:= ………………………………………………………………………………………………………………
……………:= ………………………………………………………………………………………………………………
……………:= ………………………………………………………………………………………………………………
……………:= ………………………………………………………………………………………………………………
……………:= ………………………………………………………………………………………………………………

Pregunta Probabilidad
Calcule la probabilidad de que una persona
elegida al azar compre pasajes por Internet
y tenga un destino de viaje internacional.
P(………………………) =
Si se elige al azar a un cliente frecuente,
calcule la probabilidad de que compre pasa-
jes de forma presencial.
P(………………………) =
Si la probabilidad que un cliente viaje dentro
del país supera a 0,6, se decidirá participar
del próximo Cyber Day. ¿Qué decisión se
tomará?
P(………………………) =
Ejemplo 17
La mayoría de las estaciones de servicio venden tres tipos de gasolina: 90 octanos, 95
octanos y 97 octanos. Con frecuencia, alguna de cada está enriquecida con un aditivo. La
tabla siguiente ilustra los porcentajes de clientes que prefieren cada tipo.
90 octanos (B) 95 octanos (C) 97 octanos (D) Total
Con aditivo (A) 0,05 0,10 0,05 0,20
Sin aditivo (A
C
) 0,15 0,40 0,25 0,80
Total 0,20 0,50 0,30 1,00
Se selecciona al azar un cliente que ha comprado uno de estos tipos de gasolina.
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado gasolina con aditivo o no sea de 95 oc-
tanos?
        60,0)05,005,0(50,020,0  ccc
CAPCPAPCAP
Si el cliente no compró gasolina de 95 octanos, ¿cuál es la probabilidad de que hay com-
prado gasolina de 97 octanos?
 
  60,0
50,0
30,0)(


 c
c
c
CP
CDP
CDP
Si el cliente no compró gasolina de 90 0ctanos, ¿cuál es la probabilidad de que haya
comprado gasolina sin aditivo?
   
  8125,0
80,0
65,0


 c
cc
cc
BP
BAP
BAP

Ley multiplicativa para eventos cualesquiera
La ley multiplicativa se usa para calcular la probabilidad de una intersección de eventos.
         BAPBPABPAPBAP // 
Un sistema de seguridad en un avión tiene dos componentes. La probabilidad de que el
primer componente falle es 0,5% y la probabilidad de que el segundo componente falle
si el primero ha fallado es 3%. El sistema falla si ambos componentes fallan. Calcule la
probabilidad de que falle el sistema de seguridad.
Árbol de probabilidades
Si los eventos Ai y Bi son independientes, el árbol de probabilidades se simplifica dado
que las probabilidades condicionales serían iguales a las probabilidades simples corres-
pondientes.

Partición del espacio muestral
Sean los k eventos A1, A2, A3,..., Ak mutuamente excluyentes y tales que entonces consti-
tuyen una partición del espacio muestral S.
Probabilidad total
Sean los k eventos A1, A2, A3,..., Ak, mutuamente excluyentes y que constituyen una par-
tición del espacio muestral S, entonces para cualquier evento B de S se cumple:
         kABPABPABPABPBP  ...321
Por la ley multiplicativa de eventos cualesquiera, se tiene finalmente que:
             kk ABPAPABPAPABPAPBP /...//  2211
1.4. Teorema de Bayes
Si los k eventos A1, A2, A3, ..., Ak, constituyen una partición del espacio muestral S, en-
tonces para cualquier evento B de S tal que P(B) > 0, se cumple:
   
 BP
BAP
BAP i
i


Por definición de probabilidad condicional y probabilidad total se tiene que:
     
           kk
ii
i
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
/...//
/
2211 

El teorema de Bayes establece una relación muy importante en la teoría de probabilida-
des y es la base para la revisión de la asignación de probabilidades a la luz de informa-
ción adicional.
Probabilidades
a priori
Información
nueva
Teorema de
Bayes
Posibilidades
posteriores

Objetivo específico: Evaluar la situación de incidentes mecánicos de los aviones y su re-
paración dentro de las 24 horas con la finalidad de dar un bono de reconocimiento a los
mecánicos.
Se sabe que el 30% de los incidentes mecánicos ocurren con el avión 1, el 50% en el
avión 2 y el resto con el avión 3. Asimismo, la probabilidad que el avión 1 sea reparado
dentro de las 24 horas después de ocurrido el incidente es 90%, de 73% para el avión 2 y
de 65% para el avión 3.
Si se elige en forma aleatoria un informe por incidente de un avión, ¿cuál es la probabili-
dad que el informe indique que el avión logró ser reparado dentro de las 24 horas?
Si el informe dice que el avión no fue reparado dentro de las 24 horas, ¿de cuál de los
aviones es más probable que sea el informe?
Solución
Los eventos y el árbol de probabilidades necesarios para resolver este problema son:
….:= ………………………………………………………………………………………………………………
….:= ………………………………………………………………………………………………………………
….:= ………………………………………………………………………………………………………………
Si se elige en forma aleatoria un informe por incidente de un avión, ¿cuál es la probabili-
dad que el informe indique que el avión logró ser reparado dentro de las 24 horas?
Si el informe dice que el avión no fue reparado dentro de las 24 horas, ¿de cuál de los
aviones es más probable que sea el informe?

Ejemplo 18
El departamento de créditos de una tienda comercial sabe que sus ventas se pagan con
dinero en efectivo, con cheque o al crédito, con probabilidades respectivas de 0,3; 0;3 y
0,4. La probabilidad de que una venta sea por más de $50, es igual a 0,2 si ésta es en
efectivo, es igual a 0,9 si ésta es con cheque y es igual a 0,6 si ésta es al crédito.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre por más de $50?
Si compra por más de $50, ¿qué es más probable que haya pagado en efectivo, con che-
que o al crédito?
Solución
Sean los eventos:
E: La compra se realiza con dinero en efectivo
CH: La compra se realiza con cheque
C: La compra se realiza al crédito
M: La compra es por más de $ 50
MC
: La compra no es por más de $ 50
Con la información proporcionada, construimos el siguiente diagrama de árbol:
Se pide calcular:
  57,060,040,090,030,020,030,0 MP
 

 
0,30 0,20 2
/
0,57 19
P E M
 

 
0,30 0,90 9
/
0,57 19
P CH M
 

 
0,40 0,60 8
/
0,57 19
P C M
Se observa que es más probable la compra se haya hecho con cheque.

1.5. Eventos independientes
Si   0AP , los eventos A y B son independientes si y solo si:
   APBAP 
Ley de la multiplicación para eventos independientes
Si dos eventos A y B son independientes se cumple que
     BPAPBAP 
Tres eventos A, B y C son independientes si se cumple que:
     BPAPBAP 
     CPAPCAP 
     CPBPCBP 
       CPBPAPCBAP 
Objetivo específico: Hacer un reporte sobre la compra de pasajes usando el canal de In-
ternet considerando diferentes tipos de clientes.
La probabilidad que un cliente premium compre un pasaje usando Internet es 13% y,
que un cliente frecuente haga la compra por esta vía es 46%. Si un día cualquiera, dos
clientes (uno de cada tipo) que no se conocen (por lo tanto la decisión de compra de
uno no influye en el otro), deciden comprar un pasaje:
¿Cuál es la probabilidad que por lo menos uno de los clientes compre su pasaje vía In-
ternet?
Si la probabilidad de que exactamente uno de los clientes haya utilizado Internet en su
compra es inferior a 0,30, se rebajará el costo de los pasajes. ¿Qué decisión se tomará?

Si se tiene un grupo de 30 clientes premium que no se conocen entre sí, calcule la pro-
babilidad de que al menos uno de ellos compre su pasaje por Internet.
Si se tiene un grupo de 30 clientes premium que no se conocen entre sí, calcule la pro-
babilidad de que al menos dos de ellos compren sus pasajes por Internet.

33. Indicar, para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, los respectivos espacios
muestrales: lanzar una moneda, jugar un partido de fútbol, jugar un partido de tenis, lan-
zar un dado, lanzar dos dados.
34. Un experimento consiste en lanzar primero un dado para después lanzar una moneda,
siempre y cuando el número del dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la mo-
neda se lanza dos veces. Determine el espacio muestral de este experimento.
35. Se lanzan dos dados, calcule la probabilidad de que la suma de los dos dados sea mayor a
siete. Rpta: 0,4167
36. Un fabricante de teléfonos celulares acaba de lanzar dos modelos de smartphones
económicos: el L720 y el L520. La probabilidad de que el modelo L720 tenga éxito es 0,70
y en el modelo L520 es 0,60. La probabilidad de que al menos uno de los modelos tenga
éxito es 0,90. Determine la probabilidad de que se tenga éxito solo en uno de los
modelos. Rpta: 0,5
37. En el presente año, la probabilidad de que una persona viaje a Miami es 0,40; a Máncora
es 0,5 y Madrid es 0,37. Además, la probabilidad de viajar a Miami y Máncora es 0,15; a
Miami y Madrid es 0,10 y de Máncora y Madrid es 0,12. Si la probabilidad de que la
persona viaje a por lo menos a una ciudad es 0,95; calcule la probabilidad de que la
persona viaje a una sola ciudad.
38. En un hogar hay diez personas y un encuestador necesita entrevistar a dos de ellas, sin
importar el orden. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir a esas dos personas?
39. Al fin del ciclo, los 30 alumnos de una sección deben elegir a tres de ellos al azar para que
organicen un “compartir”. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden ele-
gir?
40. De 50 conductores, 9 nueve no tienen los papeles en regla. Si un policía escoge al azar a
cinco conductores y les pide sus papeles,
a. Calcule la probabilidad de que elija a dos que no tengan los papeles en regla.
b. Calcule la probabilidad de que elija al menos un conductor sin papeles en regla.
41. En un lote de polos, hay 70 polos rojos, 150 blancos y 90 azules. Si extrae un polo al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el polo sea azul o blanco?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea azul?
42. Según el II Censo Universitario, en el año 2010, 63 900 alumnos ingresaron a las universi-
dades públicas y 194 151 a las universidades privadas. De ellos, en las universidades pú-
blicas, 28 798 ingresantes fueron mujeres, mientras que en las privadas lo fueron 98 942.
Si se elige al azar a una ingresante, calcule la probabilidad de que estudie en una univer-
sidad privada.
Si se elige al azar a un ingresante de universidad privada, calcule la probabilidad de que
sea mujer.

43. En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e In-
formática se preguntó a todos los peruanos por los servicios de comunicación con los que
contaba su hogar y su área de residencia, obteniéndose los siguientes resultados:
Servicios con que los cuenta el hogar Urbano Rural Total
Hogares sin ningún tipo de servicio 1 682 454 1 468 889 3 151 343
Solo tienen teléfono fijo 480 831 6 170 487 001
Solo tienen teléfono celular 1 299 037 138 721 1 437 758
Solo tienen Internet 3 336 275 3 611
Solo tienen TV por cable 56 343 2 688 59 031
Tienen teléfono fijo y teléfono celular 506 759 2 912 509 671
Tienen teléfono fijo e Internet 15 684 31 15 715
Tienen teléfono fijo y TV por cable 117 733 186 117 919
Tienen teléfono celular e Internet 9 970 84 10 054
Tienen teléfono celular y TV por cable 204 563 1 981 206 544
Tienen Internet y TV por cable 1 288 19 1 307
Tienen teléfono fijo, teléfono celular e Internet 93 103 110 93 213
Tienen teléfono fijo, teléfono celular y TV por cable 326 181 468 326 649
Tienen teléfono fijo, Internet y TV por cable 19 732 9 19 741
Tienen teléfono celular, Internet y TV por cable 15 424 49 15 473
Los cuatro servicios 298 911 133 299 044
Total 5 131 349 1 622 725 6 754 074
a. Si se selecciona al azar un hogar de zona urbana, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga cuatro servicios?
b. Si se selecciona al azar un hogar con tres servicios, ¿cuál es la probabilidad de que
sea de zona urbana?
c. Si se selecciona al azar un hogar de zona rural, ¿cuál es la probabilidad de que cuen-
te con tres servicios por lo menos?
d. Si se selecciona al azar un hogar de zona urbana, ¿cuál es la probabilidad de que no
tenga ningún servicio?
e. Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona urbana
y los cuatro servicios?
f. Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona rural o
no cuente con servicio alguno?
44. En una empresa hay 150 trabajadores; 25 de los hombres y 35 de las mujeres realizan ac-
tividades de responsabilidad social en la empresa. El total de mujeres en la empresa es
de 57.
a. Si elegimos al azar a un trabajador hombre, calcule la probabilidad de que realice ac-
tividades de responsabilidad social.
b. Si elegimos al azar a un trabajador que no realice actividades de responsabilidad so-
cial, calcule la probabilidad de que sea mujer.
c. Si elegimos al azar a un trabajador que realice actividades de responsabilidad social
y que sea mujer.

45. Para elegir a una persona entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola
blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola
blanca gana. ¿Quién lleva más ventaja: el primero, el segundo o el tercero?
46. En una empresa el 35% de los trabajadores son mujeres y el 65% son hombres. Un día ha
llegado tarde a trabajar el 2% de las mujeres y el 4% de los hombres.
a. Si se elige, al azar, a un trabajador calcule la probabilidad de que haya llegado tarde.
b. Si se elige, al azar, a un trabajador que ha llegado tarde, calcule la probabilidad de
que sea elegido una mujer.
47. Una empresa que fabrica polos mediante tres máquinas, A, B y C, producen el 25%, 30%
y 45%, respectivamente, del total de los polos producidos en la fábrica. Los porcentajes
de producción defectuosa de estas máquinas son del 2%, 4% y 3% respectivamente.
a. Si se elige un polo al azar; calcule la probabilidad de que sea no defectuoso.
b. Tomamos, al azar, un polo y resulta ser defectuoso; calcule la probabilidad de haber
sido producido por la máquina B.
48. Una persona postula a dos trabajos. La probabilidad de que sea aceptado en el primer
trabajo es del 70% y que sea aceptado en el segundo es del 50%. Si ser aceptado en di-
chos trabajos es independiente entre sí.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos sea aceptado en uno de los trabajos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que solamente sea aceptado en uno solo de los trabajos?
49. El pulpo Paul es un octópodo que ha sido empleado como oráculo para predecir los re-
sultados de la selección alemana de fútbol en el Mundial de Fútbol 2010, acertando los
ocho emparejamientos que se le propusieron, los siete partidos de Alemania en la Copa
Mundial de Fútbol de 2010 y la final entre España y Holanda.
Antes de cada partido, a Paul se le presentaron dos contenedores idénticos con comida:
uno de ellos estaba marcado con una bandera, usualmente la de Alemania y el otro con
la bandera del equipo oponente. La elección de Paul se interpretaba como el equipo que
lograría la victoria. Si el pulpo Paul, en realidad, escogió los contenedores al azar, calcule
la probabilidad de acertar en los resultados de los ocho los partidos que le propusieron.
Asuma independencia entre cada elección.
50. Una persona postula a dos trabajos. La probabilidad de que sea aceptado en el primer
trabajo es del 70% y que sea aceptado en el segundo es del 50%. Si ser aceptado en di-
chos trabajos es independiente entre sí.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos sea aceptado en uno de los trabajos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que solamente sea aceptado en uno de los trabajos?
51. Un joven estima, por experiencias pasadas, que en una gran fiesta la probabilidad de que
en una chica acepte bailar con él es del 4%. Si en una fiesta saca a bailar a 40 chicas.
Asuma independencia entre la decisión de una chica y otra. Calcule la probabilidad de
que baile por lo menos con una de ellas.

Afirmación V F
El teorema de Bayes determina la probabilidad de un determinado evento se deba
a una causa específica
V F
La probabilidad condicional se refiere a hallar la probabilidad de un evento cono-
ciendo cierta información (condición).
V F
Si   3,0BAP , entonces, se cumple que   7,0BAP C
V F
Si   3,0BAP , entonces, se cumple que   7,0c
BAP V F
Si dos eventos son independientes, entonces serán también mutuamente excluyen-
tes
V F
Si dos eventos son independientes, entonces    P A B P B V F
Si dos eventos son independientes entonces la ocurrencia de uno de ellos no influ-
ye en la ocurrencia del otro evento
V F
Si    APBAP  esto implica que A y B son eventos mutuamente excluyentes V F
Si    APBAP  esto implica que A y B son eventos independientes V F
Si   0BAP esto implica que A y B son eventos mutuamente excluyentes, si
P(B)>0
V F
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles eventos de un experimento
aleatorio
V F
En un experimento aleatorio nunca aparece un modelo definido de regularidad V F
En algunos casos especiales la probabilidad de un evento podría ser mayor que uno V F
Un evento es un subconjunto del experimento aleatorio. V F
Si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la ocurrencia de uno de ellos
no influye en la ocurrencia del otro
V F
El complemento del evento A no es mutuamente excluyente con el evento A V F
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces P(A) + P(B) = 1 V F

Borja y San Luis. Se ha observado que los libros que comercializa en las diferentes sucur-
sales presentan fallas de compaginación, razón por la cual el gerente general está intere-
sado en conocer las probabilidades de estas fallas en cada sucursal. También está intere-
sado en conocer las probabilidades de la demanda por los libros que comercializa en las
diferentes sucursales, con la finalidad de tomar decisiones administrativas.
El administrador de la agencia de San Borja ha observado que los libros de Literatura
presentan fallas en la compaginación. Le hace la consulta a su asistente de ventas para
obtener información acerca de la proporción de libros con este tipo de falla por sucursal.
Los resultados obtenidos por el asistente para cada sucursal se presentan a continua-
ción:
a. Coloque el título al gráfico N° 2:
b. Si se elige al azar un libro de Literatura que tiene fallas en la compaginación, ¿cuál es
la probabilidad de que sea de la sucursal de San Borja?
c. Si se eligen tres libros al azar y de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de
que ninguno tenga errores en la compaginación?
30%
45%
25%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Surco San Borja San Luis
Porcentajedelibros
Sucursal
Gráfico N° 1: Distribución de los libros de Literatura
por sucursal
Fuente: Librería Loy Toy
5% 12% 8%
95% 88% 92%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Surco San Borja San Luis
Porcentajedelibros
Sucursal
Gráfico N° 2:
Error Sin error
Fuente: Librería Loy Toy

Temario
 Definición de variable aleatoria discreta y continua.
 Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
 Función de densidad y función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.
 Valor esperado y varianza de variables aleatorias discretas y continuas.
 Estudio de propiedades de las siguientes distribuciones: binomial, hipergeométrica, Poisson,
uniforme, continua, normal, t-Student
Al finalizar la unidad 4, el alumno
aplica el concepto de variable aleatoria,
valor esperado y probabilidad
para la toma de decisiones en un trabajo de investigación.
Unidad 4: Variables aleatorias

Variable aleatoria
Se denomina variable aleatoria a una descripción numérica del resultado de un experi-
mento.
Rango o recorrido de una variable aleatoria
Se llama rango o recorrido de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, al conjunto
de los valores reales que la variable aleatoria puede tomar.
Tipos de variable aleatoria
Una variable aleatoria es discreta si puede asumir un conjunto finito o infinito numera-
ble de valores diferentes.
Una variable aleatoria es continua si puede asumir cualquier valor en un intervalo.
Indique el tipo de la variable aleatoria y su rango.
Variable aleatoria Tipo Rango
W = tiempo de vuelo de Lima a Cusco, en
minutos
RX =
X = número de veces que un pasajero viaja
al mes en avión
RX =
Y = número de pasajeros que piden pollo
durante un viaje de 100 personas
RX =
Z = dinero gastado en las compras a bordo
por una persona, en dólares
RX =
Evento (X = a)
El evento )( aX  se define como })(/{)( awXSwaX 
La variable aleatoria
atribuye a cada evento
un número
que no es aleatorio o imprevisible,
sino fijo y predeterminado.
Lo que es aleatorio
es el experimento
sobre cuyo espacio muestral
se define la variable aleatoria.

Unidad 4. Variables aleatorias 117
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta asume cada uno de los valores con cierta probabilidad
que se denota P(X = x).
Por ejemplo: número de alumnos matriculados por curso, cantidad de preguntas correc-
tamente contestadas en una evaluación de personal, cantidad de clientes que visitan un
centro comercial en un día determinado.
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X se describe como
una función de probabilidad representada por f(x) que asigna a cada valor de la variable
aleatoria, la probabilidad de que X asuma ese valor, esto es:
f(x) = P(X = x)
Toda función de probabilidad debe cumplir que:
- f(x)  0
-

1
( ) 1
n
i
i
f x
Ejercicio 29
Sea S el espacio obtenido al lanzar una moneda dos veces y observar si sale cara (c) o se-
llo (s) cada vez.
Completar los espacios en blanco.
El espacio muestral es S = {(… , …), (… , …), (… , …), (… , …)}.
Sea X el número de caras obtenidas, luego el rango de la variable X es RX = {… , …, …}.
El evento (X = 0) = {(…, …)}
El evento (X = 1) = {(…, …), (…, …)}
El evento (X = 2) = {(…, …)}
Entonces, la probabilidad de cada evento es:
f(0) = P(……………..) = ……………………………………………..
f(1) = P(……………..) = ……………………………………………..
f(2) = P(……………..) = ……………………………………………..

Ejercicio 30
Se lanza un dado, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior del dado.
Determine y grafique la función de probabilidad de la variable X.
Ejercicio 31
Indique cuáles de las siguientes funciones puede ser función de probabilidad.

Ejercicio 32
Indique cuáles de las siguientes funciones puede ser función de probabilidad.
 






casootroen
x
x
xf
0
321
6
,,
 


 


casootroen
xppC
xf
xx
x
0
2,1,0)1( 22
Ejemplo 19
Calcule a para que la siguiente función sea una función de probabilidad. Grafique f(x)
  25,20,15,10 xaxxf
Solución
Tiene que cumplir dos condiciones:
La primera condición, f(x) > 0, se cumple cuando a es mayor que cero, puesto que x > 0.
La segunda condición,

1
( ) 1
n
i
i
f x , se cumple si 125201510  aaaa , esto se cum-
ple cuando 70a =1, luego a =1/70.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
f(x)
X
10 15 20 25

Ejemplo 20
Sea X el número de lanzamientos de un dado hasta que salga el primer seis. Determine
la función de probabilidad de la variable X y calcule )3( XP
Solución
Sea la variable aleatoria X:= número de lanzamientos de un dado hasta que salga el pri-
mer seis.
El rango o recorrido de X es RX = {1, 2, 3,…} = Z+
.
f(1) = P(X = 1) = 1/6
f(2) = P(X = 2) = 5/6 x 1/6
f(3) = P(X = 3) = 5/6 x 5/6 x 1/6
Luego, la función de probabilidad de la variable X es:
    ,....,,; 321
6
1
6
5
1








x
x
RxXPxf
  5787,0
216
25
36
5
6
1
1)3()2()1(1)3(1)3( 





 fffXPXP
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una
distribución de probabilidad de X se denota E(X) o µX.
         nn
n
i
iiX xfxxfxxfxxfxXE  
...22
1
11
Objetivo específico: Estimar la media del número de personas que no se presentan al
vuelo.
El número de personas que no se presentan a un vuelo se modela con una variable alea-
toria X con la siguiente función de probabilidad.
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 0,20 0,25 0,22 0,15 0,10 0,05 a
Calcule e interprete la media de X.

Valor esperado de una función de variable aleatoria discreta
Sea G(X) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de G(X) es:
                  1 1 2 2
1
...
n
i i n n
i
E G X G x f x G x f x G x f x G x f x

    
Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta
La varianza V(X) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x)
se define por:
        
2 2
X
X X
x R
V X E X x f x 

   
Se cumple       
22
V X E X E X 
La varianza de la variable aleatoria X, V(X), también se denota por 2
X , o simplemente
como 2
 .
La desviación estándar de X es la raíz cuadra de la varianza de X.
Ejercicio 33
Se lanza un dado, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior del dado.
Calcule la media y desviación estándar de X.
Propiedades del valor esperado en variables aleatorias
Si X1 y X2 son dos variables aleatorias, y a1 y a2 son dos constantes, entonces:
  11 aaE 
     22112211 XEaXEaXaXaE 
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias, y a1, a2, . . ., an son n constantes, entonces:
       nnnn XEaXEaXEaXaXaXaE   22112211
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias con la misma función de probabilidad, en-
tonces se cumple que   iXE y, por lo tanto:
  nXXXE n  ...21

Propiedades de la varianza en variables aleatorias
Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces 2 2 2
Y Xa 
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n
constantes, entonces:
       2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2n n n nV a X a X a X a V X a V X a V X      
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes con la misma función de
probabilidad, entonces se cumple que   2
iV X y, por lo tanto:
  2
21 ... nXXXV n 
Objetivo específico: Comparar el grado de dispersión del número de cancelaciones en
vuelos, tanto nacional e internacional.
La distribución de probabilidades de las variables X: número de cancelaciones en vuelo
nacional e Y: número de cancelaciones en vuelo internacional se muestran a continua-
ción:
x 1 2 3 4 5
f(x) 0,25 0,42 0,15 0,10 a
y 0 1 2 3 4
f(y) 0,27 0,37 0,18 0,12 b
La empresa implementará cambios en aquel tipo de vuelo, nacional o internacional, cu-
yo número de cancelaciones sea más variable. ¿En qué tipo de vuelo se harán los cam-
bios?

Ejemplo 21
Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad. Calcular el valor
esperado de X2
1,2,3,4,5
( )
0
ax
f x
en otro caso

 

Solución
Lo primero es determinar a, planteamos que  


5
1
1i
i
f x , de donde a = 1/15.
Nos piden
   
5
2 2 2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 15
15 15 15 15 15
i i
i
E X x f x

      
Ejemplo 22
Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad. Calcule la varianza
de X.
1,2,3,4,5
( ) 15
0
x
f x
enotrocaso


 

Solución
El esperado de X es
   
5
1
1 2 3 4 5 55
1 2 3 4 5
15 15 15 15 15 15
i i
i
E X x f x

           
Se tiene que  2
15E X 
Luego se tiene que       
2
22 55
15 1,556
15
V X E X E X
 
     
 

Distribuciones de probabilidad de variables discretas
Distribución binomial
Un experimento binomial consiste en una serie de n pruebas o ensayos, donde n se fija
antes de realizar el experimento.
Entonces para n intentos y la probabilidad p de éxito en cualquier intento, la probabili-
dad de tener x éxitos en los n intentos está dada por:
     1
n xn x
xf x P X x C p p

    x = 0, 1, 2,..., n
La variable binomial cuenta el número de éxitos en n repeticiones semejantes e inde-
pendientes con probabilidad de éxito constante.
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n y p,
se denota X~B (n, p)
Es simétrica si p = 0,5. Para valores de p < 0,5 la distribución tiene sesgo derecho y para
valores p>0,5 tiene sesgo izquierdo, independientemente de los valores de n.
Para valores de n suficientemente grandes (n > 50), y sólo tomando en cuenta los valo-
res relevantes de probabilidad, la distribución es prácticamente simétrica.
Media  E X np  
Varianza    2
1V X np p   
En Excel 2010, use la función =DISTR.BINOM.N(Núm_éxito, Ensayos, Prob_éxito, acu-
mulado)
Las pruebas son idénticas y
cada una de ellos puede
resultar en uno de dos
posibles resultados que
denotan éxito o fracaso.
Las pruebas son
independientes entre sí
por lo que el resultado de un
intento en particular
no influye en el resultado de
cualquier otro.
La probabilidad de éxito
es constante
de una prueba a otra
y la denotamos como p.

Objetivo específico: Estimar la probabilidad de tener una emergencia médica durante el
viaje.
La aerolínea sabe por experiencias pasadas que el 0,5% de los pasajeros tendrá alguna
emergencia médica durante el vuelo.
Si en un vuelo hay 120 pasajeros, calcule la probabilidad de que ningún pasajero tenga
una emergencia médica durante el viaje. Asuma independencia entre un pasajero y otro.
La variable en estudio X es ………………….…………………………………….…………………………………..
El rango o recorrido de la variable X es …………………..…………………….………………..………..……
La distribución de la variable es …………………………………………………………..
Sus parámetros son ………………………..…………………………………….…..………..
La probabilidad pedida es f(………) = P(X…………) = ………………………….......……… = ……………….
¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?
En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…)
Si en un vuelo hay 120 pasajeros, calcule la probabilidad de que, como máximo, un pasa-
jero tenga una emergencia médica durante el viaje.
La probabilidad pedida es P(X…………) = …………………………..…………….......……… = ……………….
Si en un vuelo hay 120 pasajeros, calcule la probabilidad de que por lo menos dos pasa-
jeros tengan una emergencia médica durante el viaje.
Calcule el valor esperado del número de pasajeros que tengan una emergencia médica
durante un viaje de 160 pasajeros.
El valor pedido es E(X) = …………………………..…………….......……… = ……………….

Distribución hipergeométrica
Consideremos N elementos, de los cuales r son considerados éxitos y por lo tanto N - r
como fracasos. Como en el caso de la distribución binomial estamos interesados en sa-
ber la probabilidad de obtener x éxitos en una muestra de n elementos.
El experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin reposiciónn n elemen-
tos de un conjunto de N elementos, r de los cuales son éxitos y N - r son fracasos.
La probabilidad de obtener de x éxitos en la muestra de n elementos es:
( ) , max{0, ( )},...,min{ , }
r N r
x n x
N
n
C C
f x x n N r n r
C


   
El rango de X en la mayoría de los casos va de 0 a n, pero no siempre, por lo que se debe
analizar en cada caso.
La variable hipergeométrica cuenta el número de éxitos en una muestra de tamaño n,
tomada de una vez de una población de tamaño N donde hay r éxitos.
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución hipergeométrica con paráme-
tros N, r y n y se denota X ~ H (n, r, N)
Media  
r
E X n
N
  
Varianza  2
1
1
r r N n
V X n
N N N

  
    
  
En Excel 2010, use la función =DISTR.HIPERGEOM.N(muestra_éxito, núm_de_muestra,
población_éxito, núm_de_población, acumulado)

En un vuelo se van a servir 130 comidas. La oficina de control de calidad de los alimentos
durante el vuelo selecciona al azar cinco de ellas para verificar que están en perfecto es-
tado. Dentro de las 130 comidas, hay seis que no están en perfecto estado.
Calcule la probabilidad de que alguna de las comidas seleccionadas no estén en perfecto
estado.
En Excel 2010, use la función =………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…, …………..)
Calcule la probabilidad de detectar a dos de las comidas que no están en perfecto esta-
do.
Calcule la probabilidad de detectar menos de tres de las comidas que no están en per-
fecto estado.
Calcule el valor esperado del número de comidas que no están en perfecto estado que
serán detectadas.
El valor pedido es E(X) = …………………………..…………….......……… = ……………….

Distribución de Poisson
El experimento que origina una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson
se denomina proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades:
La probabilidad de tener x resultados en un intervalo dado o en una región específica es:
   
!x
e
xXPxf
x

 x = 0, 1, 2,...
x = número de éxitos por unidad de tiempo o región.
 = número esperado de éxitos por unidad de tiempo o región.
e = 2,71828…
Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con parámetro  y
se denota X~P().
Siempre es una distribución sesgada a la derecha. A medida que  aumenta y tomando
en cuenta sólo los valores relevantes de probabilidad, la distribución tiende a hacerse
simétrica.
Media:  E X  
Varianza:  2
V X  
En Excel 2010, use la función =POISSON.DIST(x, media, acumulado)
El número de resultados
que ocurre en un
intervalo o región de
espacio cualquiera es
independiente
del número que ocurre
en cualquier otro
intervalo o región del
espacio disjunto.
La probabilidad de que ocurra un
solo resultado durante el intervalo
muy corto o región muy pequeña
es proporcional a la longitud del
intervalo
o al tamaño de la región
y no depende del número de
resultados que ocurren fuera del
intervalo o región.
La probabilidad de
que ocurra más de un
resultado en tal
intervalo corto o caiga
en tal región pequeña
es insignificante.
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
f(x)
X

El número de llamadas hacia una azafata por los pasajeros durante un vuelo se modela
con una variable Poisson con una media de 0,5 llamadas cada diez minutos.
Calcule la probabilidad de que una azafata no reciba llamadas durante un viaje de 50
minutos.
En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…,)
Calcule la probabilidad de que una azafata reciba más de una llamada durante un viaje
de 50 minutos.
En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…)
Si una azafata ya recibió una llamada durante los primeros veinte minutos del viaje, cal-
cule la probabilidad de que reciba dos llamadas más durante dicho viaje de 50 minutos.
Calcule la desviación estándar del número de llamadas hacia la azafata en un vuelo de
dos horas.

Ejemplo 23
Suponga que el número de llamadas que llegan a una central telefónica es 0,5 por mi-
nuto en promedio.
Calcule la probabilidad de que en un minuto no lleguen llamadas
Solución
X:= número de llamadas / minuto  = 0,5 llamadas / minuto
 
0.5 0
0,5
0 0,6065
0!
e
P X

  
Calcule la probabilidad de que en un minuto lleguen más de tres llamadas
Solución
P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – (0,6065 + 0,3033 + 0,0758 + 0,0126) = 0,9982
Calcule la probabilidad de que en tres minutos lleguen menos de cinco llamadas
Solución
Y:= número de llamadas / 3 minutos  = 1,5 llamadas / 3 minutos
P(Y < 5) = 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 + 0,1255 + 0,0471 = 0,98142
Calcule la probabilidad de que en cinco minutos lleguen más de dos llamadas
Solución
W:= número de llamadas / 5 minutos  = 2,5 llamadas / 5 minutos
P(W > 2) = 1 – P(W ≤ 2) = 1 – (0,0821 + 0,2052 + 0,2565) = 0,45652
Ejemplo 24
El administrador de un almacén ha observado que en promedio ingresan al estableci-
miento 20 personas cada 30 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que en seis minutos
ingresen al almacén a lo más 5 clientes pero más de 3?
Solución
Lo primero es definir la variable adecuada, sea X:= número de personas que entren al
establecimiento en un periodo de seis minutos.
Como nos dicen que la variable cuenta las llegadas por unidad de tiempo, se tiene que
X ~ P().
Luego, debemos determinar el valor de , para lo cual vamos a hacer una regla de tres
simple, pues es una propiedad de la distribución Poisson.
Si en 30 minutos llegan en promedio 20 personas, entonces en 6 minutos llegarán, en
promedio, ,= 4 personas.
Se tiene que X ~ P( = 4)
Nos piden      
4 4 4 5
4 4
3 5 4 5 0,3517
4! 5!
e e
P X P X P X
 
        

Ejemplo 25
Si se sabe que en cada 100 metros de longitud de un cable hay un promedio de 80 pun-
tos por los cuales este puede ser seccionado. ¿Cuál es la probabilidad de que en un
tramo de 13,5 metros se encuentren cinco puntos de seccionamiento?
Solución
Sea X:= número de puntos de seccionamiento. Como nos dicen que la variable cuenta
puntos por unidad de longitud, se tiene que X ~ P().
Luego, debemos determinar el valor de , para lo cual vamos a hacer una regla de tres
simple, pues es una propiedad de la distribución Poisson.
Si en 100 metros hay en promedio 80 puntos de seccionamiento, entonces en 13,5 me-
tros hay, en promedio, ,= 10,8 puntos.
Se tiene que X ~ P( = 10,8)
Nos piden  
10.8 5
10.8
5 0,025
5!
e
P X
 
  
Observe que si lambda  sale un valor que no es entero, no se debe redondear a un en-
tero.

Variable aleatoria continua
Es una variable cuyo rango es un conjunto infinito no numerable de valores.
Por ejemplo: peso, en kilos, de una persona, tiempo en resolver la primera pregunta del
examen parcial de un curso o volumen, en decibeles, en una discoteca a una hora de-
terminada.
Función de densidad de una variable aleatoria continua
Se denomina función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria conti-
nua a la función que satisface:
  0f x  para todo x  R
  1f x dx



Se tiene que    
b
a
P a X b f x dx   
Ejercicio 34
Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:
0 5
( )
0
ax x
f x
en otro caso
 
 

Determine el valor de a.

Calcule la probabilidad de P(X < 4)
Calcule la probabilidad de P(2,0 < X < 4,5)
Ejemplo 26
Para cierto negocio por correo electrónico la proporción de los pedidos procesados en
24 horas tiene la función de densidad de probabilidad.
( ) 2(1 ) ; 0 1f x x x   
Compruebe si f(x) es una función de densidad.
Solución
Se debe comprobar que:
-   0f x  para todo x  R. Este se cumple pues para 0 1x  , es ( ) 2(1 ) 0f x x  
-   1f x dx


 . Existen dos formas de responder esta pregunta.
Integrando la función de densidad f(x) y verificando que el área es igual a 1 y que cada
f(x) sea positivo
Ahora debemos evaluar en 0 y en 1
   2 2
2 1 1 2 0 0 1      
Calculando el área del triángulo a partir de la gráfica y verificando que el área es igual a
y que cada f(x) sea positivo.
1 2
Área 1
2 2
b h 
  
 
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
2
2
22)1(2 xx
x
xdxxdxxf  

¿Cuál es la probabilidad que al menos el 80% de los pedidos sean procesados dentro de
24 horas?
Solución
Existen dos formas de responder esta pregunta.
Integrando la función de densidad f(x) de 0,8 a 1.
     
1
2 2
0,8
2 1 2 1 1 2 0,8 0,8 0,04x       
Calculando el área de triángulo desde 0,8 a 1.
    1 0,8 2 1 0,8
Área 0,04
2 2
b h   
  
Observe que para la segunda forma de resolución, se usó la función de densidad para
hallar la altura del triángulo.
Si el porcentaje de pedidos procesados en 24 horas es mayor al 80%, calcular la probabi-
lidad de que sea mayor a 90%.
Solución
P(X > 0,9 / X > 0,8) = (0,1 x 0,2 / 2) / (0,2 x 0,4 / 2) = 0,25
Función de distribución acumulada de probabilidad
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X con función
de densidad f(x) se define por:
F(x) = P(X  x) para -  < x < + 
Se tiene que:
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
 
 
dF x
f x
dx

F(x) es una función que siempre está entre 0 y 1 (0 ≤ F(x) ≤ 1), pues es igual a una proba-
bilidad.
F(x) es una función que nunca decrece,  lim 0
x
F x

 y  lim 1
x
F x


0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-2 -1 0 1 2 3 4 5
F(x)

Ejercicio 35
Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de densidad
( )
Determine y grafique la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X.
Use la función de distribución acumulada de la variable X para calcular P(0,1 < X < 0,7)
Ejercicio 36
Marque la(s) gráfica(s) que pueden ser funciones de distribución acumulada.

Ejercicio 37
Indique la(s) funciones que pueden ser función de distribución acumulada.
 
1 2
1 1 2
0 1
x
F x x x
x


   
 
  2
1 2
1 1 2
0 1
x
F x x x
x


   
 
Ejemplo 27
Encuentre el rango intercuartil de X, si X es el tiempo de vida de un sistema es una va-
riable aleatoria, en años, cuya función de distribución acumulada es:
 
2
0 5
25
1 5
x
F x
x
x


 
 
Solución
Sea X:= tiempo, en años, de vida de un sistema. Para calcular el rango intercuartil, de-
bemos hallar el cuartil 1 y el cuartil 3, para esto hay dos posibilidades: integrar la función
de densidad f(x) o reemplazar en la función de distribución acumulada
Por definición de cuartil 3, el 75% de los datos es menor o igual a él, es decir P(X ≤ Q3) =
0,75, o lo que es lo mismo F(Q3) = 0,75
 3 2
3
25
0,75 1F Q
Q
   de donde Q3 = 10.
Haciendo lo mismo para el cuartil 1.  1 2
1
25
0,25 1F Q
Q
   de donde Q1 = 5,77.
Luego el RIC = Q3 – Q1 = 4,23.
Si se sabe que el tiempo de vida de un dispositivo se encuentra en el cuarto superior,
¿cuál es la probabilidad que pertenezca al quinto superior?
Solución
Como nos dicen que “ya se sabe que está en el cuarto superior”, es una probabilidad
condicional.
 
 
 
80
80 75
75
0,20
0,80
0,25
P X P
P X P X P
P X P

    


Valor esperado de una variable aleatoria continua
El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una
variable aleatoria X se denota E(X).
   


  X E X x f x dx
Valor esperado de una función de variable aleatoria continua
Sea G(X) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de G(X) es:
     E G X G x f x dx


    
Propiedades del valor esperado en variables aleatorias
E(b) = b
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, enton-
ces:
       1 1 2 2 1 1 2 2n n n nE a X a X a X a E X a E X a E X      
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias con la misma función de densidad, enton-
ces se cumple que  iE X  y, por lo tanto:
 1 2 ... nE X X X n   
El tiempo, en minutos, que se tarda una persona en ser atendido en el counter del aero-
puerto se modela con una variable aleatoria X:
 








casootroen
xxk
xkx
xf
0
424
20
)(
Determine la media de la variable aleatoria X.

Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria continua
      
22 2
X V X E X E X   
La desviación estándar de X es la raíz cuadrada de la varianza de X.
Propiedades de la varianza en variables aleatorias
Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces 2 2 2
Y Xa 
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n
constantes, entonces:
       2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2n n n nV a X a X a X a V X a V X a V X      
Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes con la misma función de
densidad, entonces se cumple que   2
iV X  y, por lo tanto:
      2
1 2 ... nV X X X n
El sobrepeso, en kilos, del equipaje de mano de un pasajero se modela con una variable
aleatoria X con la siguiente función de densidad de probabilidad:
 


 

casootro0
60-6
)(
xxk
xf
Determine la desviación estándar de la variable aleatoria X.

Distribuciones de probabilidad de variable continua
Distribución de probabilidad uniforme
Función de densidad
 
1
0
a x b
f x b a
en otro caso

 
 

Se dice que X tiene una distribución uniforme y se denota X ~ U (a, b)
La función de distribución acumulada de una variable uniforme es:
 
0
1
x a
x a
F x a x b
b a
x b

 
  


Media: 


2
a b
Varianza:
 
2
2
12
b a



Objetivo específico: Determinar el número esperado de vuelos con retraso.
El tiempo en el que un avión llega a su destino con respecto a su hora programada se
modela con una variable aleatoria uniforme de parámetros -10 y 10. De tal manera que
los valores negativos indican que el avión llegó antes de la hora programada y los valo-
res positivos indican que el avión llegó después de la hora programada.

Calcule la probabilidad de que un avión llegue con un retraso mayor a cuatro minutos.
Calcule la probabilidad de que la diferencia entre la hora de llegada programada y la ho-
ra de llegada sea mayor a cuatro minutos.
Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que un avión
llegue con un adelanto máximo de cinco minutos.
Si se escoge al azar 20 vuelos, calcule la probabilidad de que, como máximo, se tenga un
vuelo con retraso mayor a ocho minutos.
Si se escoge al azar 100 vuelos, calcule el número esperado de viajes con retrasos mayo-
res cuatro minutos.

Ejemplo 28
En ciertos experimentos, el error cometido al determinar la densidad de una sustancia
es una variable aleatoria cuya distribución es uniforme con a = -0,025 y b = 0,025.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que tal error esté entre 0,010 y 0,015?
Solución
Sea X:= error al determinar la densidad de una sustancia
La variable X ~ U(a = -0,025, b = 0,025) tiene la siguiente función de densidad
1
0,025 0,025
( ) 0,025 ( 0,025)
0
x
f x
en otro caso

  
  


1
0,025 0,025
( ) 0,05
0
x
f x
en otro caso

  
 


Nos piden ),,( 01500100  XP . Existen dos formas de calcular esta probabilidad:
integrando la función de densidad f(x) o calculándola a partir del área del rectángulo.
 
0,015
0,010
1 1
(0,010 0,015) 0,015 0,010 0,10
0,050 0,050
P X dx     
b. ¿Cuál es el error esperado cometido?
Solución
La variable X ~ U(a = -0,025, b = 0,025) tiene el siguiente número esperado de errores
   0,025+0,025
0
2 2
a b

 
  
Ejemplo 29
La llegada de cada uno de los empleados a su centro de labores se produce indepen-
dientemente, de acuerdo a la distribución uniforme en el intervalo comprendido entre
las 8:00 y 8:25 am. De una muestra de 10 empleados, calcule la probabilidad de que cua-
tro de ellos hayan llegado entre las 8:15 y 8:20 AM.
Solución
Sea X:= tiempo, en minutos, desde las 8 AM hasta la hora de llegada de los empleados al
centro de trabajo, luego XU (0, 25)
1
( ) ; 0 25
25
f x x  
Se define la variable Y:= número de empleados que llegan al centro de trabajo entre
8:15 y 8:20 AM. Debe calcularse la probabilidad de éxito p de que un empleado llegue al
centro de trabajo entre 8:15 y 8:20 AM esto es:
20 15
0,20
25
p

 
Entonces Y  B(10; 0,20)
10 10
( ) (0,20) (0,80) , 0,1, ,10y y
yf y C y
 
Se pide 10 4 6
4( 4) (4) (0,2) (0,80) 0,0881P Y f C   

Distribución de probabilidad normal
Función de densidad
 
2
1
21
2
x
f x e


 
 
  
 

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros  y .
Se denota X ~ N (, 2
)
La función de densidad tiene forma de campana y es simétrica, por lo que las medidas
de tendencia central coinciden.
El rango de la variable normal es toda la recta real, esto es, de – a + .
En Excel 2010, use la función =DISTR.NORM.N(x, media, desviación estándar, acumula-
do) para calcular la probabilidad.
En Excel 2010, use la función =INV.NORM(Probabilidad, media, desviación estándar)
para calcular el valor de la variable aleatoria.
Estandarización
Se toma como referencia una distribución normal estándar ( = 0 y 2
= 1). Se trabaja
con la distancia entre x y  en función de la desviación estándar, tal como se muestra.
X
Z




La utilidad de convertir cualquier variable normal en una normal estándar es que pode-
mos usar solo una tabla para calcular cualquier probabilidad de una variable normal.

Ejercicio 38
Si  2
~ 0, 1Z N    , calcular
P(Z < 1,12) =
P(Z > 0,45) =
P(0,23 < Z < 1,25) =
P(Z < -4) =
Tabla de la distribución normal estándar (Ver la tabla completa al final de esta guía)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147

Cálculo de probabilidad de una variable normal con una calculadora Casio
Ponga la calculadora en modo estadístico. Apriete MODE y luego, apriete
STAT
Luego apriete SHIFT, STAT (1) y luego elija la opción DISTR. Aparecerá
una pantalla con P(, Q(, R( y t.
- P( calcula la probabilidad de que Z esté entre - y el valor que ingresa
- Q( calcula la probabilidad de que Z esté entre 0 y el valor que ingresa
- R( calcula la probabilidad de que Z esté entre el valor que ingresa y +.
Hallar c para que P(Z < c) = 0,67003
Hallar c para que P(Z > c) = 0,0250
Hallar c para que P(-c <Z < c) = 0,950
Tabla de la distribución normal estándar (Ver la tabla completa al final de esta guía)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147

Ejercicio 39
La cantidad de dinero destinada al ahorro mensual de los clientes de un banco es una
variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media igual a 460 soles y
una desviación estándar igual a 50 soles.
Calcule la probabilidad de que un cliente ahorre menos de 480 soles en un mes.
En Excel 2010, use la función =DISTR.NORM.N(………, ………, ………, ………)
Calcule la probabilidad de que un cliente ahorre más de 500 soles mensuales.
En Excel 2010, use la función =1-DISTR.NORM.N(………, ………, ………, ………)
Calcule la probabilidad que el ahorro mensual de un cliente esté entre 460 y 520 soles.
¿Cuál es el ahorro mínimo mensual para estar en el 15% de los clientes que más aho-
rran?
En Excel 2010, use la función =INV.NORM(………, ………, ………)

¿Cuál es el ahorro máximo mensual para estar en el 25% de los clientes que menos aho-
rran?
En Excel 2010, use la función =INV.NORM(………, ………, ……..…)
Ejemplo 30
En Buck Café, la máquina surtidora de refrescos está ajustada de tal forma que sirve en
promedio 250 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco servido en los vasos sigue,
aproximadamente, una distribución normal con una desviación estándar de 10 mililitros.
¿Qué proporción de los vasos servidos contendrán entre 240 y 255 mililitros de refres-
co?
Solución
Sea X:= cantidad de refresco servido por vaso, X ~ N(µ = 250,  2
= 102
)
Se pide P(240 ≤ X ≤ 255). Estandarizando se tiene
240 255X
P
  
  
   
  
 
240 250 255 250
10 10
P Z
  
   
 
     1 0,5 0,5 1P Z        0,6915 0,1587 0,5328  
Ejemplo 31
Se informa que la cantidad X de azúcar de los paquetes marcados con un kilo, tiene dis-
tribución normal con media  kilos y desviación estándar 0,02 kilos. Hallar el valor de 
si la cantidad de azúcar que contiene cada paquete es menor o igual a 0,95 kilos con
probabilidad 0,102.
Solución
Sea X:= pesos de los paquetes de azúcar, en kilos. X ~ N(µ ,  2
= 0,022
)
Se pide  0,95 0,102P X  
Estandarizando se tiene
0,95
0,102
X
P
 
 
  
  
 
0,95
0,102
0,02
P Z
 
  
 
Usando la tabla normal estándar para calcular el valor z correspondiente.
0,95
1,27
0,02

  . De donde µ = 0,9754

Distribución exponencial
En variables que representan los tiempos de vida útil, tiempos de sobrevivencia, en
tiempos de ocurrencia en procesos de Poisson se suele utilizar la distribución exponen-
cial.
La variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro β (β > 0) si su
función de densidad de probabilidad es:
0
1


xexf
x
;)( 

Se denota X ~ Exp(β) y se lee que la variable aleatoria X sigue una distribución exponen-
cial con parámetro β.
La probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores en el intervalo [c,d] es numé-
ricamente igual al área sombreada, y se calcula de la siguiente manera:
  


d
c
t
dtedXcP 

1
1
Esperanza de X:     XE
Varianza de X:   22
  XV
Nótese que el parámetro β es igual a la media de la variable aleatoria.
Función de distribución acumulada de X
  0;1
1
)(
0


 xedtexXPxF
xt t


Se cumple que:
  
x
exXP


   tXPkXtkXP  /

El tiempo de vida útil de un tipo de llanta de avión se modela con una variable aleatoria
con distribución exponencial, cuya media es 20 días.
Calcule la probabilidad de que la vida útil de una llanta sea mayor a 20 días.
Calcule la probabilidad de que la vida útil de una llanta esté entre 20 y 25 días.
Si una llanta ya duró 20 días, calcule la probabilidad de que la vida útil de esa llanta sea
menor a 25 días.

54. En un lote de 30 polos hay tres con fallas. Se toma una muestra aleatoria de cinco polos y
se define la variable aleatoria X como el número de polos defectuosos en la muestra. De-
termine y grafique la función de probabilidad de la variable X.
Calcule la probabilidad de tener dos polos defectuosos en la muestra.
Calcule la probabilidad de tener al menos dos polos defectuosos en la muestra.
55. La demanda diaria de un producto es una variable aleatoria X cuya distribución de pro-
babilidades es simétrica y está dada por la tabla siguiente:
x 1 2 3 4 5
f(x) a 0,20 b c 0,05
La empresa obtiene por cada unidad demandada de producto 100 soles de utilidad. Si la
cantidad demanda en un día es mayor a dos unidades, se obtiene una utilidad adicional
de 15 soles por unidad demandada de producto.
Calcule el valor de a, b y c.
Determine la probabilidad que la demanda diaria sea de por lo menos tres productos.
Calcule el valor esperado de la utilidad por la demanda diaria de productos.
Se denomina variable aleatoria a una descripción numérica del
resultado de un experimento
El valor esperado es el valor más probable de ocurrencia
El valor esperado es un valor que puede ser mayor que el máximo
de los valores del rango de la variable aleatoria
El valor esperado es un valor que siempre es igual a uno de los
valores del rango de la variable
Variable aleatoria continua es una variable cuyo rango es un con-
junto infinito numerable de valores
La función de distribución acumulada es siempre mayor a la fun-
ción de densidad para cualquier valor de la variable aleatoria
El esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a la
suma de los dos esperados de las variables aleatorias
La varianza de una variable aleatoria puede ser menor a cero

57. Un examen de admisión consta de 100 preguntas. Cada una pregunta tiene cinco opcio-
nes para marcar y solamente una respuesta correcta Por cada respuesta correcta se le
otorga al postulante un punto, mientras que si la respuesta es incorrecta al postulante se
le resta un cuarto de punto. Si un postulante contesta todas las preguntas del examen al
azar, calcule el valor esperado del puntaje obtenido.
58. Se lanza un dado una vez, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior.
Calcule la varianza y desviación estándar de la variable X.
59. Se lanzan dos dados y sea la variable aleatoria X igual a la suma de los números de las ca-
ras superiores. Calcule la varianza de la variable X.
60. Un restaurante pone a la venta diariamente diversas ensaladas. El número de ensaladas
demandadas diariamente se modela con una variable aleatoria X que tiene la siguiente
distribución de probabilidad.
x 12 15 17 18 20 25
f(x) a 0,12 0,35 2a 0,14 0,09
El costo de cada ensalada es de cuatro soles y las vende a seis soles. Toda ensalada no
vendida en el día se desecha. Calcule la media y desviación estándar de la utilidad diaria,
si el restaurante prepara 20 ensaladas por día.
61. Una compañía de comida rápida sabe que el 90% de sus tiendas por franquicia tendrán
éxito comercial. Si el éxito de cada tienda se puede considerar independiente de las de-
más tiendas. Calcule la probabilidad de que al menos dieciocho tiendas tengan éxito, si la
compañía va a instalar 20 tiendas el año 2015.
62. Según la Asociación para el Fomento de la Infraestructura Nacional el 48% de los hogares
de Lima no tienen acceso a agua potable de calidad, por no contar con la dosificación
adecuada de cloro o comprarla de manera informal a los camiones cisternas. Si se eligen
al azar a diez hogares de Lima, calcule la probabilidad de que cinco de ellos no tengan ac-
ceso agua potable de calidad.
63. La empresa San Fernando ha lanzado su campaña “Plato calato no” para salvar sus ven-
tas de verano 2013. Si de un total de 60 personas, donde 34 recuerdan la campaña, se
eligen al azar a ocho personas para entrevistarlos, calcule la probabilidad de elegir al me-
nos a tres personas que recuerden la campaña.
64. En una distribuidora hay 25 televisores de los cuales seis son de tecnología OLED. Si se
seleccionan al azar diez televisores, calcule la probabilidad de que se haya seleccionado
por lo menos dos televisores de tecnología OLED.
65. Un comerciante recibe un lote de 30 computadoras portátiles. Para protegerse de una
mala remesa, el comerciante revisará diez computadoras y rechazará todo el lote si en-
cuentra una o más computadoras defectuosas. Si en el lote hay seis computadoras defec-
tuosas, ¿cuál es la probabilidad de que rechace el lote?
66. En una pastelería, el número demandado de un cierto tipo de torta se modela con una
variable Poisson con una media de tres tortas al día. La pastelería, siempre, produce tres
tortas diarias. Cada torta cuesta producirla 50 soles y se vende a 80 soles. Toda torta no
vendida en el día se remata en 20 soles y siempre las compran todas las tortas a ese pre-
cio. Calcule el valor esperado de la utilidad por dicho concepto.

El mayor valor del rango de la variable hipergeométrica es siempre
menor o igual a n
En un proceso de Poisson el número de resultados que ocurre en un
intervalo es independiente del número que ocurre en cualquier otro
intervalo del espacio disjunto
La variable binomial cuenta el número de éxitos en n repeticiones
independientes con la misma probabilidad de fracaso en cada repe-
tición
La variable hipergeométrica cuenta el número de éxitos en una
muestra de tamaño n de una población N que tiene r éxitos y donde
el muestreo es con reemplazo
68. La duración (en minutos) de una llamada telefónica en la sala de profesores puede mode-
larse por una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad
 
 3 0 3
0
a x x
f x
en otro caso
   
 

Determine el valor de a.
Calcule la probabilidad de que una llamada dure menos de un minuto y medio.
Si una llamada ya duró un minuto, calcule la probabilidad de que dure más de dos minu-
tos.
69. La proporción de personas que responden a una encuesta enviada por correo electrónico
se modela con una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad
 
2 9
0 1
10
0
x
x
f x
en otro caso

 
 

Determine y grafique la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X.
Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que respondan
entre 60% y 80% de las personas a la encuesta.
Use la función de distribución acumulada para calcular la mediana de X.
70. El gerente comercial de la sucursal de Santiago de Surco informa que el gasto mensual,
en cientos de soles, por la venta de libros a sus clientes es una variable aleatoria que tie-
ne la siguiente función de densidad:
( ) {
Calcule el valor esperado del gasto mensual en libros.

71. La variable X se distribuye uniformemente con media igual a 24 y varianza igual a 12, cal-
cular los parámetros de la función de densidad.
72. La función de Excel =ALEATORIO() genera un número con distribución uniforme con pa-
rámetros a igual a cero y b igual a uno. Sea X una variable aleatoria definida como el nú-
mero generado por dicha función.
Calcule la probabilidad de que la función genere un número aleatorio entre 0,2 y 0,7.
Use la función de distribución acumulada para calcular P(0,15 < X < 0,55).
73. El tiempo, en minutos, que demora un servicio de delivery en entregar una pizza puede
modelarse por una variable aleatoria uniforme con parámetros 10 y 38. Si la pizza se tar-
da más de 30 minutos en ser entregada, el cliente no la pagará.
Si una familia pide una pizza, calcule la probabilidad de que le salga gratis.
Si la familia pide una pizza diaria durante diez días seguidos, calcule la probabilidad de
que por lo menos una de ellas le salga gratis.
Una familia pidió una pizza hace 25 minutos y aún no ha llegado, ¿cuál es la probabilidad
de que le salga gratis?
74. Una compañía ha comprado una prueba para seleccionar personal. Los que han diseña-
do la prueba saben que las notas siguen una distribución normal con una media de 75
puntos y una desviación estándar de diez puntos. Calcule la probabilidad de que una
persona que rinda esta prueba obtenga una nota superior a 90 puntos.
75. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en un día del mes de enero puede
modelarse con una variable normal con media 30°C y desviación estándar 2°C.
Si se escoge al azar un día del mes de enero, calcule la probabilidad de que la tempera-
tura máxima sea menor a 31°C.
Si se escoge al azar un día del mes de enero, calcule la probabilidad de que la tempera-
tura máxima esté entre 28,5 y 32°C.
Calcule el número esperado de días en el mes de enero en que la temperatura máxima
es mayor a 33°C. Asuma independencia entre las temperaturas de un día y otro.
76. Marque la opción correcta.
La moda de una variable aleatoria normal X es:
a. Igual a cero
b. El esperado de X
c. Aquel valor para el cual f(Me) = 0,5, donde f es la función de densidad de X
d. No se puede determinar sin saber la desviación estándar.
e. Es el valor que acumula más del 50% del área
77. La vida útil, en meses, de un artefacto eléctrico es una variable aleatoria con distribución
exponencial con parámetro β. El fabricante afirma que el 90% de estos componentes
tienen una vida útil que supera los 60 meses. ¿Cuál es la media de la vida útil de estos
componentes?

La media de una variable normal puede ser negativa
Si Z es una variable normal estándar P(Z > c) = 0,025, en-
tonces c = -1,96
Si X es una variable normal se cumple que P(X < c) = P (X ≤
c)
Si Z es una variable normal estándar se cumple que P(Z < -
c) = 1 - P (Z < c)
Si X es una variable normal se cumple que P(X < -c) = 1 - P
(X < c)
El rango de toda variable normal es igual a toda la recta
real
La función de densidad de la distribución normal toma su
mayor valor en X = µ
La función de densidad de la distribución normal en algu-
nos casos no es simétrica
El esperado de una variable normal es siempre igual a µ
Borja y San Luis. Se ha observado que los libros que comercializa en las diferentes sucur-
sales presentan fallas de compaginación, razón por la cual el gerente general está in-
teresado en conocer las probabilidades de estas fallas en cada sucursal. También está in-
teresado en conocer las probabilidades de la demanda por los libros que comercializa en
las diferentes sucursales, el valor esperado de la utilidad, con la finalidad de tomar deci-
siones administrativas.
El gerente de la sucursal de San Luis para satisfacer a sus clientes que leen libros de lite-
ratura, en su pedido a la central consideró un 45% de libros de literatura, 20% de libros
de ciencias, 15% de libros de historia y el resto de libros de arte y amenidades. Si se se-
lecciona una muestra al azar de 10 libros, ¿cuál es la probabilidad de que se tenga a lo
más 8 libros de literatura?
Otra preocupación del administrador de la red de librerías “Loy Toy” es ofrecer a sus
clientes libros de buena calidad, de manera fluida y estar siempre con las últimas nove-
dades. La próxima publicación en Pekín del libro “Enciclopedia de la cultura china” del
ensayista peruano Guillermo Dañino, se cree traerá una gran demanda de este libro. El
gerente comercial de la librería “Loy Toy” del distrito de San Borja decide hacer un pedi-
do de 150 libros para el próximo mes siempre y cuando la probabilidad de la demanda
de por lo menos 2 libros por día sea más de 0,95 caso contrario sólo pedirá 100 libros. Se

sabe que la demanda de dicho libro sigue un proceso de Poisson con un promedio de
150 libros por mes. Considere 30 días por mes.
El gerente comercial de la sucursal de Santiago de Surco informa que el gasto mensual,
en cientos de nuevos soles, por la venta de libros a sus clientes es una variable aleatoria
que tiene la siguiente función de densidad:
( ) {
Determine el valor de a para que f(x) sea función de densidad.
Obtenga la probabilidad de que el gasto mensual de un cliente sea menor o igual a 400
nuevos soles.

Temario
 Propiedad reproductiva de la distribución normal
 Distribución muestral de un promedio
 Teorema central del límite
el alumno utiliza las distribuciones muestrales
para calcular probabilidades para el total y la media muestral.
Unidad 5: Distribuciones muestrales

1.1. Propiedad reproductiva de la normal
Si X1, X2, X3,... ,Xn son n variables aleatorias independientes, tales que Xi ~ N(i, i
2
), para
cada i = 1, 2, 3,..., n, entonces, la variable aleatoria
1 1 2 2 ... n nY c X c X c X   
donde c1, c2, c3,..., ck son constantes, entonces:
 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2~ ... , ...n n n nY N c c c c c c          
Si X1, X2 son dos variables aleatorias normales independientes, tales que
 2
1 1 1~ ,X N   y  2
2 2 2~ ,X N   , entonces,  2
2
2
12121 ,   NXXY
Si X1, X2, X3 ,..., Xk son n variables aleatorias normales independientes, tales que
 2
~ ,iX N   , para i = 1, 2, 3,..., n, entonces,  2
1 2 ... ~ ,nY X X X N n n    
Ejercicio 40
Sea X1 ~ N(1 = 5, 1
2
= 10) y X2 ~ N(2 = 6, 2
2
= 24) variables aleatorias independientes.
Calcule la distribución de las siguientes variables:
Y = X1 + X2
Y = X1 - X2
Y = X1 - 8X2
La suma de
una
variable
aleatoria
normal
con otra
variable
aleatoria
normal
es una
variable
aleatoria
normal

Unidad 5. Distribuciones muestrales 157
Objetivo específico: Analizar el peso de los pasajeros.
El peso de los pasajeros adultos de un avión se modela con una variable normal:
 en mujeres, con media 65 kilogramos y desviación estándar 15 kilogramos.
 en hombres, con media 80 kilogramos y desviación estándar 20 kilogramos.
Calcule la probabilidad de que 20 pasajeros hombres pesen más de 1700 kilogramos.
Calcule la probabilidad de que 10 pasajeras mujeres y 10 pasajeros hombres pesen más
de 1500 kilogramos.
Si en un avión donde el 60% de los pasajeros son mujeres, se elige una persona al azar,
calcule la probabilidad de que esta persona pese entre 70 y 80 kilogramos.

Ejemplo 32
Dos supermercados compiten por tomar el liderazgo del mercado. Un estudio reciente
de una compañía de investigación de mercados, estimó que las ventas diarias (en miles
de dólares) de los dos supermercados se distribuyen normalmente con medias de 15 y
17 y desviaciones estándar de 3 y 4 respectivamente.
Calcule la probabilidad de que el segundo supermercado obtenga mayores ventas que el
primer supermercado en el primer día.
Solución
Sean las variables:
X: Ventas diarias del primer supermercado
Y: Ventas diarias del segundo supermercado
X  N(15, 9); Y  N(17, 16)
Se pide: P(Y > X) o su equivalente: P(Y – X > 0)
Sea W = Y – X, por la propiedad reproductiva de la distribución normal, se tiene:
W  N(17 – 15, 16 + 9), es decir: W  N(2, 25)
P(Y – X > 0) = P(W > 0)
 
0 2
( 0)
5
( 0) 0,40
( 0) 0,6554
W
P W P
P W P Z
P W


  
   
 
   
 
Calcule la probabilidad de que la diferencia entre las ventas diarias de ambos supermer-
cados no supere los 1000 dólares.
Solución
En este caso se pide calcular:
     


    
              
 
1 2 1 2
1 1 1 0,6 0,2 0,1465
5 5
W
P W P W P P Z

Definiciones
Debido a que, muchas veces, es imposible preguntarle o medir a toda la población, un
estudio estadístico se inicia con la selección de una muestra.
El muestreo comprende por lo menos dos etapas:
La selección de las unidades
El registro de las observaciones
Muestreo con y sin reemplazo
Población finita e infinita
Distribución muestral de un estadístico
Es la lista de posibles valores de un estadístico y la probabilidad asociada a cada valor.
• Las unidades se pueden seleccionar sólo una vez.
Muestreo sin reemplazo
• Las unidades se puede seleccionar más de una vez.
Muestreo con reemplazo
• Una muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población finita de
tamaño N, es una muestra seleccionada de tal manera que cada muestra
posible de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada.
Muestreo aleatorio simple (población finita)
• Una muestra aleatoria simple de tamaño n, de una población infinita es
aquella que se selecciona de tal forma que satisface las siguientes
condiciones:
• cada elemento seleccionado proviene de la misma población
• cada elemento se selecciona de forma independiente.
Muestreo aleatorio simple (población infinita)

Distribución de la media muestral
Es la lista de todas las medias posibles de tamaño n tomadas de una población específica
y sus probabilidades asociadas.
Se tiene que:
Media  E X 
Varianza  
2
V X
n


Factor de corrección por población finita
Si el muestreo es sin reemplazo en poblaciones de tamaño finito N, entonces debe usar-
se el factor de corrección por población finita
1
N n
N


Varianza  
2
1
N n
V X
n N
 


Distribución muestral de la media de una población normal
Si la población sigue una distribución normal con media µ y desviación estándar σ en-
tonces:
Si el muestreo es con reemplazo
2
,X N
n


 
  
 
Si el muestreo es sin reemplazo
2
,
1
N n
X N
n N


 
  
 
Ejercicio 41
Según un informe del INEI, en el trimestre julio-agosto-setiembre del 2015, en Lima Me-
tropolitana, el ingreso promedio mensual proveniente del trabajo fue de 1557 soles. Por
investigaciones anteriores se sabe que la desviación estándar es de 400 soles. Si se toma
una muestra de 100 personas, calcule la probabilidad de que la media muestral esté en-
tre 1500 y 1600 soles. Asuma normalidad.

1.2. Teorema central del límite
Por propiedades de esperado y varianza se tiene que:
 E Y n
  2
V Y n
Se considera una buena aproximación a la distribución normal si n  30.
Del teorema central del límite, se deduce que la distribución muestral de la media X se
aproxima a la distribución normal si n  30.
Objetivo específico: Analizar el peso del equipaje de los pasajeros.
El peso del equipaje de los pasajeros de un avión se modela con una variable uniforme
con parámetros 10 y 30 kilos. Calcule la probabilidad de que el peso total del equipaje
de 50 pasajeros supere los 1050 kilos.
Sean n variables
aleatorias X1, X2, X3,...Xn
independientes e
igualmente distribuidas
con media 
y varianza 2
entonces la variable
aleatoria
Y = X1 + X2 + X3 +...+ Xn
tiene una distribución
aproximadamente
normal a medida que n
crece,
independiente-
mente de la
distribución de la
población.

Objetivo específico: Analizar el número de vuelos cancelados.
El número de vuelos nacionales cancelados en un día se modela con la siguiente función
de probabilidad:
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 0,40 0,25 0,15 0,1 0,05 0,05
Se toma una muestra de 100 días, calcule la probabilidad de que se cancelen entre 125 a
135 vuelos nacionales.

80. En un estudio de evaluación de la atención de un servicio de cafeterías, los tiempos, en
minutos, que tardan en atender a un cliente las cafeterías A y B se modelaron con las va-
riables aleatorias X ~ N(4,9) y Y ~ N(5,16) respectivamente y de manera independiente.
Si en cada cafetería son atendidas 20 personas, halle la probabilidad de que el tiempo
total de atención en la cafetería B sea mayor que el de la cafetería A.
81. Lima y El Cairo (Egipto) son las dos principales ciudades del mundo que están situadas
en zonas desérticas y con extremo estrés hídrico. En París, Zurich o Berlín, el consumo
promedio por persona de agua bordea los 130 litros por día. Sin embargo, según una in-
vestigación del Centro de Investigación en Geografía Aplicada de la Pontificia Universi-
dad Católica del Perú, en Lima, el consumo promedio por persona asciende a 250 litros
por día. Además, la desviación estándar del consumo por persona se estima en 60 litros
por día. Si se toma una muestra aleatoria en Lima de 100 personas, calcule la probabili-
dad de que el consumo total muestral en un día sea menor a 24 mil litros.
82. La cantidad de mango que exporta una empresa mensualmente se modela con una va-
riable aleatoria con media de 25 toneladas y desviación estándar de cuatro toneladas.
Encontrar la probabilidad de que la cantidad exportada en tres años sea menor a 920
toneladas. Asuma independencia entre las cantidades mensuales exportadas.
83. El número de personas que llega a un concierto se modela con una variable Poisson con
una media de 3,1 personas por minuto. Calcule la probabilidad de que en una hora lle-
guen entre 180 y 190 personas.
84. La duración, en minutos, de una llamada telefónica en la sala de profesores puede mo-
delarse por una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad
 
 3 0 3
0
a x x
f x
en otro caso
   
 

Calcule la probabilidad de que el tiempo total de 100 llamadas sea mayor a 100 minutos.
85. Una familia tiene tres hijos. El monto de la propina semanal que se le da a cada hijo
puede modelarse como una variable normal. Al menor se le da en media 20 soles por
semana con una desviación estándar de 3 soles, al segundo hijo se le da el doble que al
menor y al mayor se le da el triple que al menor. Calcular la probabilidad de que en cua-
tro semanas la suma total recibida en propinas por los tres sume más de 500 soles.
86. Marque la afirmación correcta.
El teorema del límite central afirma que:
a. A medida que el tamaño poblacional crece, la distribución de la media poblacional
tiende a una distribución normal
b. A medida que el tamaño poblacional crece, la distribución de la media muestral tien-
de a una distribución normal
c. A medida que el tamaño muestral crece, la distribución de la media poblacional tien-
de a una distribución normal
d. A medida que el tamaño muestral crece, la distribución de la media muestral tiende a
una distribución normal

87. Marque la afirmación correcta.
El teorema del límite central afirma que:
a. La suma de variables aleatorias normales independientes es una variable normal
b. La suma de más de 30 variables aleatorias normales independientes es una variable
normal
c. La suma de más de 30 variables aleatorias independientes es una variable normal
d. La suma de más de 30 variables aleatorias independientes es aproximadamente
una variable normal

Temario
 Muestreo: Conceptos y definiciones básicas: Población, marco muestral, muestra
 Censo y muestreo ventajas y desventajas.
 Diseño de la encuesta por muestreo.
 Tipos de muestreo:
 No probabilístico
 Probabilístico (aleatorio simple, aleatorio estratificado y sistemático)
Al finalizar la unidad 6, el alumno aplica la teoría de muestreo
y reconoce la importancia de utilizar apropiadamente
las técnicas aprendidas en problemas reales concernientes a su especialidad.
Unidad 6: Muestreo

Unidad 6. Muestreo 167
1.1. Definiciones
Ejemplo 33
• Es el objeto sobre el cual se hace la medición. También llamada unidad
elemental.
Elemento
• Es la colección de todos los elementos posibles que podrían extraerse en
una muestra.
Población muestreada
• Es una lista de los elementos que están disponibles para su elección en la
etapa de muestreo.
Marco muestral
• Es el estudio completo de todos los elementos de la población.
Censo
• Es un resumen de una característica de una población.
Parámetro
• Es un resumen de una característica de una muestra.
Estadístico

Ventajas y desventajas del muestreo frente al censo
Ventajas del muestreo
Desventajas del muestreo
Ahorro de dinero debido a que se consideran
menos unidades para trabajar
Ahorro de tiempo, dado que el número de
mediciones solo es de una parte
representativa de la población
Mayor precisión, la muestra puede ser más
precisa porque reduce la magnitud de los
errores no muestrales, debido a que:
•Existe menos personal necesario para hacer
las mediciones (u observaciones)
•Hay personal con mejor preparación
•Puede variar las condiciones del estudio si
se demora su ejecución
Conveniencia, es conveniente el uso de una
muestra si el estudio ocasiona la destrucción
de la unidad estudiada
Las estimaciones resultantes del muestreo
están afectas al inevitable error de muestreo
La información proveniente de una muestra
no proporciona información tipo inventario
para cada uno de los elementos de la
población
Las estimaciones no pueden subdividirse para
pequeños dominios de análisis, considerando
que no todos ellos pueden estar
representados debidamente en la muestra
Requiere de personal especializado y
experimentado

1.2. Muestreo probabilístico
En el muestreo probabilístico, la selección de cada elemento de la muestra se hace si-
guiendo reglas matemáticas de decisión. Todos los elementos de la población tienen una
probabilidad real y conocida de ser seleccionados. Existen diversos métodos de mues-
treo probabilístico, como por ejemplo:
Muestreo aleatorio simple
Se selecciona una muestra en forma aleatoria y sin reemplazo a n unidades de muestreo
de una población que contiene un total de N unidades. Se garantiza que cada una de las
muestras posibles tiene la misma probabilidad de ser elegida.
Muestreo sistemático
Se selecciona un primer elemento aleatoriamente y, luego, los demás elementos que
conformarán la muestra cada cierto intervalo. Este muestreo supone que se cuenta con
una enumeración completa de los elementos de la población.
Muestreo estratificado
Se selecciona la muestra de los diversos estratos. Un estrato es una parte de la pobla-
ción, cuyos elementos tienen características similares. El objetivo de estratificar la po-
blación es buscar homogeneidad entre los estratos.

1.3. Muestreo aleatorio simple
En este procedimiento, se selecciona una muestra en forma aleatoria y sin reemplazo a
n unidades de muestreo de una población que contiene un total de N unidades.
Se garantiza que cada una de las muestras posibles tiene la misma probabilidad de ser
elegida.
Pasos a seguir para seleccionar una muestra simple aleatoria
1. Enumere las unidades del marco muestral con números sucesivos.
2. Seleccione tantos elementos del marco muestral como sea el tamaño requerido de
la muestra, usando una tabla de números aleatorios.
El muestreo aleatorio simple presenta dos propiedades:
Representativo: Cada unidad tiene las mismas posibilidades de ser escogida.
Independencia: La selección de una unidad no influye en la selección de otras unidades.
Pero en el mundo real es difícil encontrar muestras completamente independientes y
representativas. Por ejemplo, hacer una encuesta a los votantes marcando números de
teléfono al azar es un método no representativo pues no tiene en cuenta a los votantes
que no disponen de teléfono y cuenta varias veces a los que tienen varios números.
Ejercicio 42
Una empresa de consumo tiene un total de 150 trabajadores y ha registrado en el cua-
dro siguiente, información acerca del ingreso mensual (en soles) y años cumplidos en la
empresa de cada uno de sus trabajadores.
Seleccione una muestra de 15 trabajadores usando muestreo simple aleatorio. Use las
columnas C4, C8, C11 y C15 de la tabla de números aleatorios.
Seleccione una muestra de diez trabajadores usando muestreo simple aleatorio. Use las

Trabajadores registrados
Nº
Ingreso
(en soles)
Años en la empresa Nº
Ingreso
(en soles)
Años en la empresa Nº
Ingreso
(en soles)
Años en la
empresa
1 2300 5 51 2100 13 101 2400 16
2 2800 11 52 2100 9 102 1700 0
3 2400 4 53 1800 1 103 2500 12
4 2500 2 54 2000 9 104 1700 3
5 2300 3 55 2100 10 105 2400 17
6 2100 2 56 1900 4 106 2400 16
7 1700 2 57 2000 10 107 1900 7
8 2000 0 58 2300 11 108 1700 1
9 2200 7 59 2000 7 109 2100 6
10 2100 4 60 1700 1 110 2000 5
11 1700 0 61 1900 6 111 2000 3
12 2500 2 62 2000 9 112 2500 13
13 2800 13 63 2400 17 113 1700 0
14 2400 9 64 1700 0 114 2500 19
15 1700 1 65 1700 2 115 1700 3
16 2400 9 66 2400 17 116 2600 19
17 2200 10 67 2500 13 117 1600 1
18 2200 4 68 2600 16 118 1800 6
19 2300 10 69 2100 14 119 2100 10
20 2800 11 70 1900 7 120 1700 0
21 2100 7 71 2000 9 121 2400 16
22 1700 1 72 1800 7 122 2600 17
23 2500 6 73 2100 10 123 2100 10
24 2400 9 74 2300 12 124 2100 8
25 2700 17 75 2700 20 125 2400 17
26 1700 0 76 2800 20 126 1700 1
27 1600 2 77 1800 3 127 2600 20
28 2600 17 78 1700 5 128 2400 16
29 2500 13 79 1700 4 129 2700 17
30 2500 16 80 1700 0 130 2100 12
31 2700 17 81 1700 1 131 1600 0
32 1700 1 82 2100 6 132 2100 15
33 1600 1 83 2600 17 133 1900 5
34 2400 11 84 2400 9 134 2100 12
35 1900 3 85 2600 19 135 2200 12
36 1800 5 86 1900 7 136 2400 13
37 1800 3 87 1600 0 137 1800 4
38 2400 14 88 1900 3 138 2600 17
39 2600 16 89 2100 14 139 2700 20
40 2700 18 90 1700 0 140 2500 16
41 2100 11 91 2100 15 141 2500 16
42 2300 14 92 1700 1 142 1900 6
43 1700 0 93 2300 14 143 2100 15
44 2200 13 94 2500 16 144 1700 9
45 2900 20 95 2600 18 145 1500 0
46 1800 5 96 1900 3 146 1800 18
47 2100 16 97 2500 19 147 2100 10
48 2000 12 98 1800 6 148 2700 19
49 2000 12 99 1700 2 149 1800 9
50 2900 20 100 2000 10 150 2100 15

Seleccione una muestra de 15 trabajadores usando muestreo simple aleatorio. Use las
Solución
Seleccionemos tantos elementos del marco muestral como sea el tamaño requerido de
la muestra, usando una tabla de números aleatorios. Como el marco muestral tiene 150
elementos usemos las columnas C4, C5 y C6, para elegir números de tres cifras y luego C8,
C9 y C10.
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 C20
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7
1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8
4 5 8 1 1 4 5 6 7 9 9 9 2 1 3 2 3 7 7 9
0 0 3 6 9 6 5 0 6 4 7 9 8 1 2 4 4 8 3 6
7 2 4 5 4 1 2 4 4 6 9 2 6 6 6 5 2 0 0 4
4 9 3 4 4 2 4 5 9 0 8 7 4 8 4 2 1 2 5 4
6 1 2 8 1 3 3 2 0 2 6 0 7 2 7 9 1 4 6 5
9 3 4 0 8 1 3 3 7 3 2 4 8 6 7 9 0 6 2 8
1 8 7 1 3 4 3 9 3 1 7 8 3 7 3 3 0 8 3 5
0 2 1 4 7 5 7 3 1 1 9 3 3 8 7 4 8 0 2 5
3 6 3 4 1 9 8 1 0 9 0 1 1 0 9 3 6 8 6 0
9 4 6 7 6 7 9 1 2 2 7 2 3 9 3 4 6 9 8 1
5 9 9 8 4 4 5 9 1 5 4 7 3 0 6 8 1 6 8 1
8 1 8 8 2 3 9 1 4 2 4 9 1 4 0 6 0 3 2 8
0 5 3 8 0 4 3 9 4 6 0 8 8 3 8 7 1 2 2 3
9 7 1 4 2 7 5 5 2 8 6 6 3 5 5 9 9 0 6 8
6 9 5 9 4 9 1 8 2 0 2 5 3 9 1 2 0 3 0 8
7 4 9 1 4 8 8 6 6 8 5 9 4 8 5 7 7 9 6 7
3 8 1 2 2 4 0 1 4 5 7 7 4 0 4 8 9 4 7 0
9 9 9 7 8 0 0 9 3 2 7 0 5 0 2 7 8 7 3 6
4 8 1 5 8 5 5 1 4 9 6 4 4 4 7 4 5 7 5 0
8 6 7 3 6 1 7 1 1 3 5 5 7 4 4 7 6 7 2 8
4 7 1 4 0 3 6 2 4 4 4 4 0 3 6 3 4 1 2 8
6 5 5 8 8 4 3 4 8 9 0 6 7 6 0 0 8 6 8 4
                   
2 2 3 3 1 8 1 9 8 4 2 8 5 2 8 1 7 6 4 6
2 6 6 4 1 4 8 1 0 6 0 1 3 4 0 9 1 2 8 6
5 1 9 0 3 9 1 6 1 7 8 8 2 8 0 7 8 4 8 0
9 0 5 8 4 9 2 2 3 9 8 5 9 5 7 8 4 9 9 4
8 6 1 9 2 5 0 0 7 9 0 0 7 4 5 4 8 6 2 3
1 9 1 0 9 7 5 1 2 7 1 9 4 8 4 8 9 6 6 9
5 6 0 6 1 3 3 5 2 1 0 1 9 2 8 0 2 6 6 3
8 6 9 9 8 0 8 1 8 2 6 6 8 4 0 7 8 2 5 1
3 1 6 1 0 5 7 5 7 0 6 3 0 4 1 4 0 3 0 8
Los elementos seleccionados son:
Posición 114 81 134 148 39 97 105 98 126 64 109 122 142 145 149

Seleccione una muestra de diez trabajadores usando muestreo simple aleatorio. Use las
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7
1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8
4 5 8 1 1 4 5 6 7 9 9 9 2 1 3 2 3 7 7 9
0 0 3 6 9 6 5 0 6 4 7 9 8 1 2 4 4 8 3 6
7 2 4 5 4 1 2 4 4 6 9 2 6 6 6 5 2 0 0 4
4 9 3 4 4 2 4 5 9 0 8 7 4 8 4 2 1 2 5 4
6 1 2 8 1 3 3 2 0 2 6 0 7 2 7 9 1 4 6 5
9 3 4 0 8 1 3 3 7 3 2 4 8 6 7 9 0 6 2 8
1 8 7 1 3 4 3 9 3 1 7 8 3 7 3 3 0 8 3 5
0 2 1 4 7 5 7 3 1 1 9 3 3 8 7 4 8 0 2 5
3 6 3 4 1 9 8 1 0 9 0 1 1 0 9 3 6 8 6 0
9 4 6 7 6 7 9 1 2 2 7 2 3 9 3 4 6 9 8 1
5 9 9 8 4 4 5 9 1 5 4 7 3 0 6 8 1 6 8 1
8 1 8 8 2 3 9 1 4 2 4 9 1 4 0 6 0 3 2 8
0 5 3 8 0 4 3 9 4 6 0 8 8 3 8 7 1 2 2 3
9 7 1 4 2 7 5 5 2 8 6 6 3 5 5 9 9 0 6 8
6 9 5 9 4 9 1 8 2 0 2 5 3 9 1 2 0 3 0 8
7 4 9 1 4 8 8 6 6 8 5 9 4 8 5 7 7 9 6 7
3 8 1 2 2 4 0 1 4 5 7 7 4 0 4 8 9 4 7 0
9 9 9 7 8 0 0 9 3 2 7 0 5 0 2 7 8 7 3 6
4 8 1 5 8 5 5 1 4 9 6 4 4 4 7 4 5 7 5 0
8 6 7 3 6 1 7 1 1 3 5 5 7 4 4 7 6 7 2 8
4 7 1 4 0 3 6 2 4 4 4 4 0 3 6 3 4 1 2 8
6 5 5 8 8 4 3 4 8 9 0 6 7 6 0 0 8 6 8 4
9 2 0 9 8 2 8 3 4 3 2 8 9 4 8 7 9 4 9 4
1 3 7 9 4 8 3 7 0 8 6 6 6 8 4 1 1 3 1 3
3 3 2 5 6 7 6 1 6 6 1 7 6 5 8 1 6 2 2 7
9 9 9 8 2 8 8 1 9 1 6 2 7 5 1 8 6 1 4 4
1 7 5 4 0 9 5 7 8 7 5 0 8 6 6 2 5 3 2 3
2 7 1 7 8 8 3 8 6 9 9 2 7 4 5 9 5 6 6 6
6 0 9 2 6 1 5 1 2 3 1 8 1 2 0 8 6 4 4 0
3 3 6 3 4 9 6 4 4 9 8 5 7 3 3 4 2 3 2 8
0 1 9 7 9 7 9 4 4 1 6 6 7 7 0 7 9 8 6 8
4 7 1 5 3 7 0 9 2 5 2 1 0 0 4 0 4 6 8 8
7 8 9 9 6 8 5 6 8 1 9 2 7 5 1 7 0 1 5 5
2 2 3 3 1 8 1 9 8 4 2 8 5 2 8 1 7 6 4 6
2 6 6 4 1 4 8 1 0 6 0 1 3 4 0 9 1 2 8 6
5 1 9 0 3 9 1 6 1 7 8 8 2 8 0 7 8 4 8 0
9 0 5 8 4 9 2 2 3 9 8 5 9 5 7 8 4 9 9 4
8 6 1 9 2 5 0 0 7 9 0 0 7 4 5 4 8 6 2 3
1 9 1 0 9 7 5 1 2 7 1 9 4 8 4 8 9 6 6 9
5 6 0 6 1 3 3 5 2 1 0 1 9 2 8 0 2 6 6 3
8 6 9 9 8 0 8 1 8 2 6 6 8 4 0 7 8 2 5 1
3 1 6 1 0 5 7 5 7 0 6 3 0 4 1 4 0 3 0 8

Posición
1.4. Muestreo sistemático
En el muestreo sistemático se elige un elemento del marco muestral cada cierto interva-
lo. Este muestreo supone que se cuenta con una enumeración completa de los elemen-
tos de la población.
Procedimiento para seleccionar una muestra sistemática
1. Calcule el valor de k, donde
n
N
k  . El valor de k se redondea al valor del entero
menor.
2. Seleccione aleatoriamente un número entero entre 1 y k llamado arranque alea-
torio (A).
3. A partir de este número elegido, seleccione el siguiente que ocupa la posición (A +
k) del listado del marco muestral y así sucesivamente hasta completar la muestra.
Ejemplo 34
Se tiene una población de 12 personas y se desea elegir a cuatro de ellas mediante un
muestreo sistemático. ¿Cuál es el arranque aleatorio para este ejemplo? Use la columna
C3, C6 y C12.
Solución
Calculemos el valor de k, donde 3
4
12

n
N
k . El valor de k se redondea al valor del
entero menor, luego k = 3.

Seleccionemos aleatoriamente un número entero entre 1 y k = 3, llamado arranque
aleatorio (A). Observando la columna C3 de la tabla de números aleatorios tenemos que
A = 2.
Tabla de números aleatorios
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
A partir de este número elegido, seleccionemos el dato que ocupa la posición (A + k), es
decir la quinta posición (3 + 2 = 5) del listado del marco muestral y así sucesivamente
hasta completar la muestra. Es decir, elegiremos los datos de las posiciones 2, 5, 8 y 11.
Ejemplo 35
Se tiene una población de 15 personas y se desea elegir a seis de ellas mediante un
muestreo sistemático. ¿Cuál es el arranque aleatorio para este ejemplo? Use la columna
C4, C8 y C1.
Solución
Calculemos el valor de k, donde 5,2
6
15

n
N
k . El valor de k se redondea al valor del
entero menor, luego k = 2.
aleatorio (A). Observando la columna C4 de la tabla de números aleatorios tenemos que
A = 1.
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
decir la tercera posición (1 + 2 = 3) del listado del marco muestral y así sucesivamente
hasta completar la muestra. Es decir, elegiremos los datos de las posiciones 1, 3, 5, 7, 9 y
11.

Ejemplo 36
Se tiene información de 40 personas de un barrio de Lima Metropolitana. Obtenga una
muestra aleatoria de ocho personas usando el muestreo sistemático y elabore una tabla
con los elementos seleccionados. Utilice las columnas C8; C10; C11 de la tabla de números
aleatorios.
Individuos registrados
Nº Sexo Edad Estatura Nº Sexo Edad Estatura Nº Sexo Edad Estatura
1 Mujer 15 154 15 Mujer 19 178 29 Hombre 33 147
2 Hombre 16 154 16 Mujer 30 163 30 Hombre 17 167
3 Hombre 21 156 17 Hombre 29 180 31 Mujer 34 69
4 Mujer 31 184 18 Mujer 25 174 32 Mujer 20 76
6 Mujer 24 170 20 Hombre 25 153 34 Hombre 25 90
7 Hombre 32 176 21 Mujer 16 168 35 Mujer 23 164
8 Hombre 26 188 22 Hombre 31 161 36 Hombre 20 164
9 Mujer 21 169 23 Hombre 18 270 37 Mujer 34 176
10 Mujer 22 173 24 Hombre 21 173 38 Hombre 35 188
12 Hombre 25 181 26 Mujer 28 161 40 Mujer 29 141
13 Mujer 29 164 27 Mujer 19 172
14 Hombre 25 159 28 Hombre 31 162
Solución
Calculemos el valor de k, donde 5
8
40

n
N
k
El valor de k se redondea al valor del entero menor, luego k = 5.
aleatorio (A).
Observando la columna C8 de la tabla de números aleatorios tenemos que A = 5.
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
decir la décima posición (5+5 = 10) del listado del marco muestral y así sucesivamente
hasta completar la muestra. Es decir, elegiremos los datos de las posiciones 5, 10, 15,
20, 25, 30, 35 y 40.
Posición 5 10 15 20 25 30 35 40

Ejercicio 43
Una empresa de telecomunicaciones tiene un total de 150 empleados y ha registrado en
la tabla que se muestra a continuación información acerca de las variables: ingreso men-
sual (en soles), nivel de educación y años cumplidos en la empresa.
Trabajadores registrados
Nº
Ingreso
(soles)
Nivel de
Educación
Años en
empresa
Nº
Ingreso
(soles)
Nivel de
Educación
Años en
empresa
Nº
Ingreso
(soles)
Nivel de
Educación
Años en
empresa
1 2300 Secundaria 5 51 2100 Técnica 13 101 2400 Técnica 16
11 1700 Secundaria 1 61 1900 Técnica 6 111 2000 Superior 3
41 2100 Técnica 11 91 2100 Técnica 15 141 2500 Superior 16

Aplique el muestreo sistemático para seleccionar una muestra de ocho empleados. Ela-
bore un listado con el número seleccionado. Utilice la columna C3, C9, y C12 de la tabla de
números aleatorios.
Solución
Calculemos el valor de k, donde 
n
N
k ………………………...
El valor de k se redondea al valor del entero menor, luego k = ……………..……..
Seleccionemos aleatoriamente un número entero entre 1 y k, llamado arranque aleato-
rio (A).
Observando la columna C3 y C4 de la tabla de números aleatorios tenemos que A =
…………….....
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7
1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8
A partir de este número elegido, seleccionemos el dato que ocupa la posición (A + k) del
listado del marco muestral y así sucesivamente hasta completar la muestra.
Posición

4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7
1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8
4 5 8 1 1 4 5 6 7 9 9 9 2 1 3 2 3 7 7 9
0 0 3 6 9 6 5 0 6 4 7 9 8 1 2 4 4 8 3 6
7 2 4 5 4 1 2 4 4 6 9 2 6 6 6 5 2 0 0 4
4 9 3 4 4 2 4 5 9 0 8 7 4 8 4 2 1 2 5 4
6 1 2 8 1 3 3 2 0 2 6 0 7 2 7 9 1 4 6 5
9 3 4 0 8 1 3 3 7 3 2 4 8 6 7 9 0 6 2 8
1 8 7 1 3 4 3 9 3 1 7 8 3 7 3 3 0 8 3 5
0 2 1 4 7 5 7 3 1 1 9 3 3 8 7 4 8 0 2 5
3 6 3 4 1 9 8 1 0 9 0 1 1 0 9 3 6 8 6 0
9 4 6 7 6 7 9 1 2 2 7 2 3 9 3 4 6 9 8 1
5 9 9 8 4 4 5 9 1 5 4 7 3 0 6 8 1 6 8 1
8 1 8 8 2 3 9 1 4 2 4 9 1 4 0 6 0 3 2 8
0 5 3 8 0 4 3 9 4 6 0 8 8 3 8 7 1 2 2 3
9 7 1 4 2 7 5 5 2 8 6 6 3 5 5 9 9 0 6 8
6 9 5 9 4 9 1 8 2 0 2 5 3 9 1 2 0 3 0 8
7 4 9 1 4 8 8 6 6 8 5 9 4 8 5 7 7 9 6 7
3 8 1 2 2 4 0 1 4 5 7 7 4 0 4 8 9 4 7 0
9 9 9 7 8 0 0 9 3 2 7 0 5 0 2 7 8 7 3 6
4 8 1 5 8 5 5 1 4 9 6 4 4 4 7 4 5 7 5 0
8 6 7 3 6 1 7 1 1 3 5 5 7 4 4 7 6 7 2 8
4 7 1 4 0 3 6 2 4 4 4 4 0 3 6 3 4 1 2 8
6 5 5 8 8 4 3 4 8 9 0 6 7 6 0 0 8 6 8 4
9 2 0 9 8 2 8 3 4 3 2 8 9 4 8 7 9 4 9 4
1 3 7 9 4 8 3 7 0 8 6 6 6 8 4 1 1 3 1 3
3 3 2 5 6 7 6 1 6 6 1 7 6 5 8 1 6 2 2 7
9 9 9 8 2 8 8 1 9 1 6 2 7 5 1 8 6 1 4 4
1 7 5 4 0 9 5 7 8 7 5 0 8 6 6 2 5 3 2 3
2 7 1 7 8 8 3 8 6 9 9 2 7 4 5 9 5 6 6 6
6 0 9 2 6 1 5 1 2 3 1 8 1 2 0 8 6 4 4 0
3 3 6 3 4 9 6 4 4 9 8 5 7 3 3 4 2 3 2 8
0 1 9 7 9 7 9 4 4 1 6 6 7 7 0 7 9 8 6 8
4 7 1 5 3 7 0 9 2 5 2 1 0 0 4 0 4 6 8 8
7 8 9 9 6 8 5 6 8 1 9 2 7 5 1 7 0 1 5 5
2 2 3 3 1 8 1 9 8 4 2 8 5 2 8 1 7 6 4 6
2 6 6 4 1 4 8 1 0 6 0 1 3 4 0 9 1 2 8 6
5 1 9 0 3 9 1 6 1 7 8 8 2 8 0 7 8 4 8 0
9 0 5 8 4 9 2 2 3 9 8 5 9 5 7 8 4 9 9 4
8 6 1 9 2 5 0 0 7 9 0 0 7 4 5 4 8 6 2 3
1 9 1 0 9 7 5 1 2 7 1 9 4 8 4 8 9 6 6 9
5 6 0 6 1 3 3 5 2 1 0 1 9 2 8 0 2 6 6 3
8 6 9 9 8 0 8 1 8 2 6 6 8 4 0 7 8 2 5 1
3 1 6 1 0 5 7 5 7 0 6 3 0 4 1 4 0 3 0 8

1.5. Muestreo estratificado
Estratificar significa dividir a la población en varias partes de acuerdo con ciertas carac-
terísticas de sus elementos.
El objetivo de estratificar la población es buscar homogeneidad entre los estratos.
Pasos a seguir para seleccionar una muestra estratificada
1. Divida a la población en estratos que sean mutuamente excluyentes. Esto es, que in-
cluyan a todos los elementos de la población y que cada elemento pertenezca sola-
mente a un estrato.
2. Calcule la cantidad de elementos a seleccionar en cada estrato.
3. Seleccione muestras aleatorias simples para cada uno de los estratos.
Recomendaciones para el uso de muestras estratificadas
Si se tiene que usar más de una variable para formar los estratos, cuidar que estas no es-
tén relacionadas entre sí.
No se deben considerar la formación de muchos estratos, generalmente se usan entre
tres y ocho estratos.
Los estratos pequeños no contribuyen mucho a la reducción del error, por lo tanto pue-
den no ser considerados.

Ejemplo 37
La empresa de telecomunicaciones RTV tiene 120 empleados de los cuales tiene infor-
mación de las variables: ingreso en soles, nivel de educación y años en la empresa.
Nº
Ingreso
(en
soles)
Nivel de
educación
Años
cumplidos
en la empresa
Nº
Ingreso
(en
soles)
Nivel de
educación
Años
cumplidos
en la empre-
sa
Nº
Ingreso
(en
soles)
Nivel de
educación
Años
cumplidos
en la empresa

Aplique el muestreo estratificado para seleccionar una muestra de 16 empleados. Use
como variable de estratificación el nivel educacional. Elabore un listado identificando el
número de dato seleccionado.
Para el estrato 1 use las columnas C1, C3 y C5, para el estrato 2 use las columnas C8, C9,
C10 y C11 y para el estrato 3 use las columnas C4, C3, C5 y C7.
Solución
Se divide a la población en estratos que sean mutuamente excluyentes, luego los estra-
tos 1, 2 y 3 son: secundaria, técnica y superior, respectivamente. Para cada uno de los
estratos, seleccionamos muestras aleatorias simples.
Estratos
Números de elementos
en el estrato Nh
Posiciones
(desde – hasta)
Cantidad seleccionada por estrato n
N
N
n h
h 
1. Secundaria N1 = 30 1 – 30 416
120
301
1  n
N
N
n
2. Técnica N2 = 50 31 – 80 767,616
120
502
2  n
N
N
n
3. Superior N3 = 40 81 – 120 533,516
120
403
3  n
N
N
n
Total N = 120 n = 16
Para el estrato Secundaria, realizamos un muestreo aleatorio simple usando las colum-
nas C1, C3 y C5. Observemos que las posiciones de los elementos a elegir están entre el 1
y el 30.
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7
1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8
Luego, el cuadro con los datos elementos seleccionados para el estrato Secundaria es:
Estrato Secundaria Posición 2 16 29 13
Para el estrato Técnica, realizamos un muestreo aleatorio simple usando las columnas
C8, C9, C10 y C11. Observemos que las posiciones de los elementos a elegir están entre el
31 y el 80.

4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
Luego, el cuadro con los datos elementos seleccionados para el estrato Técnica es:
Estrato Técnica Posición 54 62 66 77 48 67 44
Para el estrato Superior, realizamos un muestreo aleatorio simple usando las columnas
C4, C3, C5 y C7. Observemos que las posiciones de los elementos a elegir están entre el 81
y el 120.
4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7
1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8
4 5 8 1 1 4 5 6 7 9 9 9 2 1 3 2 3 7 7 9
0 0 3 6 9 6 5 0 6 4 7 9 8 1 2 4 4 8 3 6
7 2 4 5 4 1 2 4 4 6 9 2 6 6 6 5 2 0 0 4
Luego, el cuadro con los datos elementos seleccionados para el estrato Superior es:
Estrato Superior Posición 114 81 97 105 83

Ejercicio 44
La siguiente tabla muestra a los 120 alumnos de la especialidad de Administración, de la
universidad El Saber, a quienes se les preguntó por su emisora radial preferida y por la
cantidad de horas a la semana que la escucha.
Posición Radio Horas Posición Radio Horas Posición Radio Horas
1 Estudio 92 6 41 Oxígeno 6 81 Oxígeno 4
7 Estudio 92 7 47 Oxígeno 7 87 Planeta 7
32 Oxígeno 6 72 Oxígeno 5 112 Planeta 14
Seleccione una muestra aleatoria de tamaño 12 mediante muestreo estratificado. Use la
variable radio de su preferencia como variable de estratificación.

Elabore un listado con el alumno seleccionado. Para el estrato 1 use las columnas C7, C3
y C1, para el estrato 2 use las columnas C8, C3, C2 y C10 y para el estrato 3 use las colum-
nas C1, C4, C10; C7, C12, y C13.
Estrato Nh
Posición
(desde – hasta)
n
N
N
n h
h 
Estudio 92 N1= n1=
Oxígeno N2= n2=
Planeta N3= n3=
Total
Estrato 1:
Estudio 92
Posición
Estrato 2:
Oxígeno
Posición
Estrato 3:
Planeta
Posición

4 8 2 4 6 6 3 5 4 5 6 0 5 2 6 9 8 0 0 9
9 2 9 8 1 4 4 1 9 8 5 1 1 9 7 9 8 5 9 0
0 2 1 3 3 9 1 6 2 9 7 1 2 6 6 0 7 5 6 4
9 6 0 8 3 5 6 6 6 4 0 8 6 3 4 8 1 8 5 4
1 6 4 1 6 5 2 7 7 2 9 9 9 9 7 4 1 5 4 9
2 9 0 5 5 0 8 4 8 7 4 6 2 1 7 0 1 5 8 7
6 1 2 9 5 0 4 0 9 8 2 0 2 6 8 7 0 1 9 7
1 3 1 8 9 9 0 1 2 6 3 7 1 9 6 1 7 9 9 8
4 5 8 1 1 4 5 6 7 9 9 9 2 1 3 2 3 7 7 9
0 0 3 6 9 6 5 0 6 4 7 9 8 1 2 4 4 8 3 6
7 2 4 5 4 1 2 4 4 6 9 2 6 6 6 5 2 0 0 4
4 9 3 4 4 2 4 5 9 0 8 7 4 8 4 2 1 2 5 4
6 1 2 8 1 3 3 2 0 2 6 0 7 2 7 9 1 4 6 5
9 3 4 0 8 1 3 3 7 3 2 4 8 6 7 9 0 6 2 8
1 8 7 1 3 4 3 9 3 1 7 8 3 7 3 3 0 8 3 5
0 2 1 4 7 5 7 3 1 1 9 3 3 8 7 4 8 0 2 5
3 6 3 4 1 9 8 1 0 9 0 1 1 0 9 3 6 8 6 0
9 4 6 7 6 7 9 1 2 2 7 2 3 9 3 4 6 9 8 1
5 9 9 8 4 4 5 9 1 5 4 7 3 0 6 8 1 6 8 1
8 1 8 8 2 3 9 1 4 2 4 9 1 4 0 6 0 3 2 8
0 5 3 8 0 4 3 9 4 6 0 8 8 3 8 7 1 2 2 3
9 7 1 4 2 7 5 5 2 8 6 6 3 5 5 9 9 0 6 8
6 9 5 9 4 9 1 8 2 0 2 5 3 9 1 2 0 3 0 8
7 4 9 1 4 8 8 6 6 8 5 9 4 8 5 7 7 9 6 7
3 8 1 2 2 4 0 1 4 5 7 7 4 0 4 8 9 4 7 0
9 9 9 7 8 0 0 9 3 2 7 0 5 0 2 7 8 7 3 6
4 8 1 5 8 5 5 1 4 9 6 4 4 4 7 4 5 7 5 0
8 6 7 3 6 1 7 1 1 3 5 5 7 4 4 7 6 7 2 8
4 7 1 4 0 3 6 2 4 4 4 4 0 3 6 3 4 1 2 8
6 5 5 8 8 4 3 4 8 9 0 6 7 6 0 0 8 6 8 4
9 2 0 9 8 2 8 3 4 3 2 8 9 4 8 7 9 4 9 4
1 3 7 9 4 8 3 7 0 8 6 6 6 8 4 1 1 3 1 3
3 3 2 5 6 7 6 1 6 6 1 7 6 5 8 1 6 2 2 7
9 9 9 8 2 8 8 1 9 1 6 2 7 5 1 8 6 1 4 4
1 7 5 4 0 9 5 7 8 7 5 0 8 6 6 2 5 3 2 3
2 7 1 7 8 8 3 8 6 9 9 2 7 4 5 9 5 6 6 6
6 0 9 2 6 1 5 1 2 3 1 8 1 2 0 8 6 4 4 0
3 3 6 3 4 9 6 4 4 9 8 5 7 3 3 4 2 3 2 8
0 1 9 7 9 7 9 4 4 1 6 6 7 7 0 7 9 8 6 8
4 7 1 5 3 7 0 9 2 5 2 1 0 0 4 0 4 6 8 8
7 8 9 9 6 8 5 6 8 1 9 2 7 5 1 7 0 1 5 5
2 2 3 3 1 8 1 9 8 4 2 8 5 2 8 1 7 6 4 6
2 6 6 4 1 4 8 1 0 6 0 1 3 4 0 9 1 2 8 6
5 1 9 0 3 9 1 6 1 7 8 8 2 8 0 7 8 4 8 0
9 0 5 8 4 9 2 2 3 9 8 5 9 5 7 8 4 9 9 4
8 6 1 9 2 5 0 0 7 9 0 0 7 4 5 4 8 6 2 3
1 9 1 0 9 7 5 1 2 7 1 9 4 8 4 8 9 6 6 9
5 6 0 6 1 3 3 5 2 1 0 1 9 2 8 0 2 6 6 3
8 6 9 9 8 0 8 1 8 2 6 6 8 4 0 7 8 2 5 1
3 1 6 1 0 5 7 5 7 0 6 3 0 4 1 4 0 3 0 8

Problemas resueltos
1. El gerente de Wallmarket al distribuir los productos en las diferentes tiendas toma una muestra
de 250 unidades de los tres productos y en los dos tipos de envases, del almacén con la idea de
distribuirlos aleatoriamente en las tiendas. La distribución de los productos es la siguiente:
Tipo de producto
Tipo de presentación
Total
Frasco Sachet
Jugo 62 50 112
Mermelada 38 50 88
Esencia 30 20 50
Total 130 120 250
Si se elige un producto al azar, para una de las tiendas,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea jugo de maracuyá y en frasco?
Lo primero es definir los eventos necesarios.
J:= que el producto elegido sea jugo
F:= que la presentación elegida sea frasco
En la tabla observamos que lo pedido es:
Tipo de producto
Total
Frasco Sachet
Jugo 62 50 112
Mermelada 38 50 88
Esencia 30 20 50
Total 130 120 250
( )
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mermelada o el envase sea de sachet?
Sean los eventos
M:= que el producto elegido sea mermelada
S:= que la presentación elegida sea sachet
Tipo de producto
Total
Frasco Sachet
Jugo 62 50 112
Mermelada 38 50 88
Esencia 30 20 50
Total 130 120 250
( ) ( ) ( ) ( )

c. Si el envase es sachet, ¿cuál es la probabilidad de que sea esencia?
Sean los eventos
E:= que el producto elegido sea esencia
S:= que la presentación elegida sea sachet
Tipo de producto
Total
Frasco Sachet
Jugo 62 50 112
Mermelada 38 50 88
Esencia 30 20 50
Total 130 120 250
( )
2. Si Expórtame distribuye sus productos de la siguiente manera: 45% en jugo, 35% en mermelada y
el resto en esencia. Además, se sabe que la probabilidad de que un jugo esté en mal estado es
4%, una mermelada es 2% y una esencia es 3%.
a. Si se selecciona un producto al azar, calcule la probabilidad de que el producto esté en mal
estado.
Sean los siguientes eventos:
J:= que el producto elegido sea jugo
M:= que el producto elegido sea mermelada
E:= que el producto elegido sea esencia
B:= que el producto elegido esté en buen estado
Producto Mal estado Buen estado Total
Jugo 0,018 0,432 0,45
Mermelada 0,007 0,343 0,35
Esencia 0,006 0,194 0,20
Total 0,031 0,969 1,00
b. Si se selecciona un producto al azar, calcule la probabilidad de que esté en buen estado.
Para resolver este problema usaremos el teorema de la probabilidad total.
( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ )
c. Si de los productos en mal estado se selecciona uno al azar, calcule la probabilidad de que
sea jugo.

Para resolver este problema usaremos el teorema de la probabilidad de Bayes.
( ⁄ )
( )
( )
( ) ( ⁄ )
( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ )
3. Los productos de Expórtame también tienen buena acogida en el mercado nacional. El supermer-
cado Súper adquiere un lote pero conoce que algunos envases están defectuosos. La distribución
de los productos en el lote se muestra en las siguientes gráficas:
La distribución de los productos en el lote que son defectuosos se muestran en la siguiente gráfica
Si se elige un producto al azar y el porcentaje de envases defectuosos es menor al 4%, el gerente
de supermercados Súper decidirá adquirir un lote mayor al actual. ¿Qué decisión tomará el geren-
te de Súper?
Jugo
35%
Mermelad
a
37%
Esencia
28%
Distribución de los productos en el lote
2 1.5 4
98 98.5 96
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Jugo Mermelada Esencia
Porcentaje
Tipo de producto
Distribución del estado del envase por tipo de producto
Buen estado
Defectuoso
Fuente: Supermercados Súper

Producto Mal estado Buen estado Total
Jugo 0,007 0,343 0,35
Mermelada 0,006 0,364 0,37
Esencia 0,011 0,269 0,28
Total 0,024 0,976 1,00
P( defectuoso) = 0.024
El gerente decidirá adquirir un lote mayor de productos
a. Si el envase está en buen estado, ¿qué tan probable es que sea de esencia?
P(Esencia / buen estado) = 0.269/0.976 = 0.2756
b. Si el envase está en mal estado, ¿qué tipo de producto es más probable que sea?
Esencia = 0,011/ 0,024 = 0,4583
4. En el proceso de control de calidad se analiza 60 envases de los productos de Expórtame. Por
investigaciones anteriores se sabe que la probabilidad de que un envase esté en mal estado es de
0,01.
a. Se rechazarán los 60 productos si la probabilidad de seleccionar más de dos envases en mal
estado es mayor al 30%, ¿qué decisión se debe de tomar?
Lo primero es definir la variable que nos permitirá resolver el problema.
Definamos la variable X:= número de envases en mal estado.
La variable X se tiene una distribución binomial con parámetros: n= número de ensayos = 60 y p =
probabilidad de éxito = 0,01.
El rango de X, es decir todos los valores que puede tomar la variable, es igual 0, 1, 2,…, 60. En-
tonces, X  B(n = 60; p = 0,01) y Rx = {0, 1,…,60}
( ) ( )
Como la probabilidad pedida es menor al 30%, entonces los productos no serán rechazados.
b. Calcule el valor esperado y varianza del número envases en mal estado y su varianza?
E(X) = n p = 60 x 0.01 = 0,6
V(X) = n p (1-p) = 60 x 0,01 x (1 – 0,01) = 0,594

5. Luego de embalar un contenedor de envases de productos de Expórtame, se tienen 60 envases,
de los cuales 25 son frascos. Si selecciona una muestra aleatoria de 20 envases para el control de
calidad.
a. Calcule la probabilidad de que ocho envases sean de frasco.
Definamos la variable X:= número de envases de frasco seleccionados.
La variable X se tiene una distribución hipergeométrica con parámetros:
N= 60 tamaño de la población
r = 25 número de éxitos en la población
n = 20 tamaño de la muestra.
El rango de X, es decir todos los valores que puede tomar la variable, es igual 0, 1, 2,…, 20. En-
tonces, X  H(N = 60; r = 25; n = 20) y Rx = {0, 1,…,20}
La probabilidad pedida es
( )
b. Calcule la variabilidad relativa de X respecto a la media.
Lo que nos piden es calcular el coeficiente de variación de X. Primero hallemos el esperado y la
varianza de X.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
El coeficiente de variación de X es
( )
√ ( )
( )
√
6. El número de unidades envasados se modela con una variable Poisson con un promedio 10 uni-
dades por cada 20 minutos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en los últimos 20 minutos se hayan envasado 12 productos?
P(X = 12) = 0,095
b. Si la máquina funciona durante dos horas consecutivas, calcule la probabilidad de que se ha-
yan envasado 50 productos.
1 = 60 unidades en dos horas
P(X = 50) = 0,0233

7. Sea la variable aleatoria X el número de frascos vendidos en un supermercado por semana, con la
siguiente función de probabilidad:
6,5,4,3,2,1)3(
38
1
)( 2
 xparaxkxf
a. Calcule el valor de k.
k = 0,25
x 12 24 36 48 60 72
f(x) 0,1447 0,2237 0,25 0,2237 0,1447 0,01316
b. Calcule la probabilidad de vender por lo menos tres docenas de frascos
P(X ≥ 3) =1 - P(X ≤ 2) = 1 - 0.36842105 = 0,6316
c. Si la utilidad por docena de frascos vendido (en soles) viene dada por la función: U(X) = 10X –
5, expresada en soles, calcule la utilidad esperada mensual y su varianza?
E(X) = 3,0396
E(U(X)) = E(10X – 5) = 10 E(X) - 5 = 25,396
8. La demanda mensual de uno de los productos Expórtame varía grandemente de un mes a otro.
Con base a la información de los últimos 24 meses se estimó las probabilidades para la demanda
mensual del producto jugo en frasco.
Número de frascos vendidos 80 90 100 120 130 140
f(x) 0,15 0,25 0,35 0,10 0,10 0,05
a. Calcule el valor esperado del número de frascos de jugo demandados.
E(X) = 101,5
b. Cada frasco tres soles y lo vende cinco soles. Si en un mes determinado, ha solicitado al dis-
tribuidor 140 frascos. Sea U(X) la utilidad del dueño de la tienda. Calcule la utilidad esperada.
x 80 90 100 120 130 140
f(x) 0,15 0,25 0,35 0,10 0,10 0,05
U(x) -20 30 80 180 230 280
E(U(X)) = 87,5

Caso: El Metropolitano
El Metropolitano es el sistema integrado de transporte público para Lima, que cuenta con buses arti-
culados de gran capacidad que circulan por corredores exclusivos, bajo el esquema de autobuses de
tránsito rápido BRT (Bus Rapid Transit en inglés). El objetivo de este moderno sistema es elevar la
calidad de vida de los ciudadanos, al ahorrarles tiempo en el traslado diario, proteger el medio am-
biente, brindarles mayor seguridad, una mejor calidad de servicio y trato más humano, especialmen-
te a las personas de la tercera edad y con discapacidad.
Se ha encargado a una empresa que modele ciertos procesos del Metropolitano con el fin de tener
estimaciones que permitan tomar decisiones.
Objetivo: Estimar el monto esperado semanal de las recargas
1. Se define la variable aleatoria X definida como el número de recargas de la tarjeta de los usuarios
a la semana con la siguiente función de probabilidad.
X: Número de recargas 0 1 2 3 4
f(x) 0,10 4k 0,30 k 0,10
a. Determine el valor de k para que f(x) sea función de probabilidad
Para que f(x) sea una función de probabilidad debe cumplir que ∑ ( )
Por lo tanto, f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0,10 + 4k + 0,30 + k + 0,10 = 1, de donde k= 0,1
b. Calcule la probabilidad de que un usuario, elegido al azar, recargue su tarjeta más de una vez a
la semana.
Se pide, P(2≤ X ≤ 3) = f(2) + f(3) + f(4) =0,3 + 0,10 + 0,10 = 0,5
c. Si un usuario recargó una vez su tarjeta en una semana, calcule la probabilidad de que dicho
usuario recargue su tarjeta por lo menos una vez más en esa semana.
Se pide, ( ⁄ )
( )
( )
d. Si el costo de una recarga es de cinco soles y el Metropolitano tiene 560 mil usuarios, determi-
ne el monto esperado semanal por recargas.
Tenemos que ( ) ∑ ( )
El esperado del monto será 1,7 x 5 x 560 000 = 4 760 000 soles

Objetivo: Estimar el número esperado de usuarios que realizan conexiones
2. Se sabe que el 12% de los usuarios del Metropolitano realizan conexiones de rutas. Si elegimos al
azar 80 usuarios,
a. Defina la variable, indique su distribución, parámetros y rango.
Sea X = cantidad de usuarios del Metropolitano que realizan conexiones de rutas en la mues-
tra
X  B(n = 80; p = 0,12) y Rx = {0,1,…,80}
b. Determine la probabilidad de que ocho o nueve usuarios, de los 80 escogidos, realicen
conexiones.
P(8 ≤ X ≤ 9) = f(8) + f(9) = 0,2623
c. Sea la variable Y definida como el número de usuarios que realizan conexiones de los 560 mil
usuarios. Calcule el valor esperado y varianza de Y.
Y  B(n = 560 000; p = 0,12)
E(Y) = np = 560 000 x 0,12 = 67 000. V(Y) = np(1-p) = 59 136
Objetivo: Determinar el gasto de los usuarios extremos
3. El gasto mensual de un usuario en el Metropolitano se modela con una variable normal con media
de 100 soles y una desviación estándar de cinco soles. Se elige un usuario al azar.
a. Calcule la probabilidad de que gaste entre 90 y 110 soles.
Sea X = gasto mensual en soles. X ~ N(100; 52
)
P(90 ≤ X ≤ 110) = P( X ≤ 110) - P(X ≤ 90) = 0,9772 – 0,0228 = 0,9545
b. ¿Cuál es la probabilidad de que gaste más de 105 soles?
P(X > 105) = 1 - P( X ≤ 105) = 1 - 0,8413 = 0,1587
c. Determine el gasto mensual mínimo para que esté en 10% de los que más gastan.
( ) ( ) ). Buscando en la tabla, . Luego, a = 106,4

Objetivo: Determinar el número esperado de usuarios que han sufrido robos
4. El 45% de los usuarios del Metropolitano son mujeres. Se estima que el 1% de las usuarias y el
0,8% de los usuarios ha sufrido de algún tipo de robo durante el uso del Metropolitano.
a. Si se elige un usuario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido víctima de robo?
Sean los eventos
R:= Que el usuario sea víctima de robo
H:= Que el usuario sea hombre. M:= Que el usuario sea mujer
( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ )= 0,0044 + 0,0045 = 0,0089
b. Si se elige un usuario al azar que no ha sido víctima de robo, calcule la probabilidad de que
sea hombre. Indique el resultado con cuatro decimales.
( ⁄ )
c. Si el sistema tiene 560 mil usuarios, calcule el número esperado de usuarios que han sido víc-
timas de robo durante el uso del Metropolitano. Defina la variable necesaria y determine su
distribución.
Y:= número de usuarios que han sido víctima de robo
Y  B(n = 560 000; p = 0,0089)
E(Y) = np = 560 000 x 0,0089 = 4984
Objetivo: Estimar el número de correos con consultas, sugerencias, quejas o reclamos
5. El Metropolitano cuenta con una cuenta de correo para cualquier consulta, sugerencia, queja o
reclamo. El número de correos electrónicos que llegan a la cuenta de correo se modela como una
variable aleatoria Poisson con una media de ocho correos por día.
a. Calcule la probabilidad que en medio día llegue más de tres correos con consultas, sugeren-
cias, quejas o reclamos. Defina la variable necesaria y establezca su distribución, rango y pa-
rámetros.
Sea X = número de correos electrónicos que llegan a la cuenta de correo del Metropolitano
en medio día
 y t = 0,5 día
X ~ P(µ = 4 correos )
P(X > 3) = 1- P(X ≤ 3) = 1 – 0,4335 = 0,5665
b. Si se eligen al azar 100 días, calcule la probabilidad que la cantidad total de correos recibidos
en esos 100 días esté entre 790 y 810.

Sea Xi = número de correos electrónicos que llegan a la cuenta de correo del Metropolitano
en el día, i = 1,…,100
Sea Y := cantidad total de correos en los 100 días
∑
Por teorema central del límite, ( ) , es decir,
( ).
Nos piden ( ) ( ) .
También se puede calcular usando la distribución de la media muestral.
Nos piden ( ) ( ̅ )
Por teorema central del límite, ̅ ( ), es decir, ̅ ( ).
Luego, ( ) ( ̅ )
Objetivo: Estimar el peso que transportan los buses
6. El peso de un usuario hombre del Metropolitano se modela con una variable normal con media de
75 kilos y desviación estándar de 15 kilos, mientras que para una usuaria mujer con media de 60
kilos y desviación estándar de 10 kilos. Si en un bus hay 50 hombres y 30 mujeres.
a. Si se elige una persona al azar, calcule la probabilidad de que pese más de 70 kilos.
Sean los eventos
A: = una persona pese más de 70 kilos
H:= Que el usuario sea hombre. M:= Que el usuario sea mujer
Sean las variables aleatorias
X = peso de un hombre X ~ N(75; 152
)
Y = peso de una mujer Y ~ N(60; 102
)
Por teorema de la probabilidad total ( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ )
Calculemos cada una de las probabilidades condicionadas
( ⁄ ) ( ) ( )
( ⁄ ) ( ) ( )
Luego, ( ) ( ) ( ⁄ ) ( ) ( ⁄ )

b. Calcule la probabilidad de que el peso total de los 50 hombres y 30 mujeres supere 5500 ki-
los
Sea Y := el peso total de los 50 hombres y 30 mujeres
∑ ∑
Por propiedad reproductiva de la normal, ( ),
es decir, ( ).
Nos piden ( ) ( ) .
Objetivo: Estimar el tiempo de espera
7. El tiempo de espera para tomar un bus de un usuario se modela con una variable uniforme con
parámetros 0 y 10 minutos.
a. Si se elige un usuario al azar, calcule la probabilidad de que su tiempo de espera sea mayor a
ocho minutos.
X=: tiempo de espera para tomar un bus. X ~ U(0,10)
P(X > 8) = 0,20
b. Si se elige al azar a 500 usuarios, calcule la probabilidad de que la media del tiempo de espe-
ra de esos 500 usuarios esté en 4,8 y 5,2 minutos.
µ = (a+b)/2 = (0+10)/2= 5
σ2
= (10 - 0)2
/12 = 8,3333
Por teorema central del límite, ̅ ( ), es decir, , ̅ ( )
Nos piden ( ̅ ) ( )
Objetivo: Mejorar la imagen del sistema de respuesta de agresiones sexuales en el Metropolitano
8. La actriz Magaly Solier es la décima séptima mujer en denunciar una agresión sexual ocurrida en
un bus del Metropolitano, desde noviembre del 2012. Solo un proceso está cerca de recibir sen-
tencia, según Silvia Loli, gerenta de la Mujer de la Municipalidad de Lima. Explica que en este caso
el agresor se acogió a la confesión sincera y podría recibir de dos a cuatro años de prisión suspen-
dida, cumplir trabajos comunitarios o pagar reparación civil. Si la oficina de relaciones públicas del
Metropolitano, quiere darle seguimiento exhaustivo a tres de las denuncias y elige al azar entre
los 17 casos existentes. Calcule la probabilidad de elegir el caso que está cerca de recibir senten-
cia. Defina la variable necesaria y establezca su distribución, rango y parámetros.

Sea X = número de casos que están cerca de recibir sentencia
X  H(N= 17; n = 3; r = 1) y Rx = {0,1}
P(X = 1) = f(1) = 0,1765
Objetivo: Estimar la media del número de días que un usuario usa el Metropolitano
9. Se define la variable aleatoria X: número de días a la semana que un usuario usa el Metropolitano.
Esta variable presenta la siguiente función de probabilidad.
X: Número de días 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 0,05 0,10 0,15 0,15 0,20 0,25 0,05 0,05
a. Calcule el esperado y la varianza de X.
Usando la calculadora, E(X) = 3,55 y V(X) = 3,1475
b. Si se elige al azar una muestra de 1000 usuarios, calcule la probabilidad de que la media
muestral del número de días que usan el Metropolitana esté entre 3,5 y 3,6 días.
Por teorema central del límite, ̅ ( ) , es decir, ,
̅ ( ).
Nos piden ( ̅ ) ( )
Objetivo: Estimar la media de la distancia a las estaciones
10.La distancia, en metros, que recorre un usuario caminando para llegar a una estación del Metro-
politano se modela con la variable aleatoria X con la siguiente función de densidad.
( ) {
a. Calcule el esperado y la varianza de X.
Primero hallemos a
∫ ∫
De donde a= 1/250. E(X) = 500 y V(X) = 41 666,7
b. Calcule la probabilidad de que un usuario camine entre 300 y 700 metros para llegar a una es-
tación.
( ) ∫ ∫

Tablas Estadísticas 199
Tablas estadísticas
Todas las tablas de este manual han sido calculadas usando el MS Excel.
Tabla de la distribución normal estándar
Área bajo la curva normal:    zZP
z -0,09 -0,08 -0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 -0,00
-3,9 0,000033 0,000034 0,000036 0,000037 0,000039 0,000041 0,000042 0,000044 0,000046 0,000048
-3,8 0,000050 0,000052 0,000054 0,000057 0,000059 0,000062 0,000064 0,000067 0,000069 0,000072
-3,7 0,000075 0,000078 0,000082 0,000085 0,000088 0,000092 0,000096 0,000100 0,000104 0,000108
-3,6 0,000112 0,000117 0,000121 0,000126 0,000131 0,000136 0,000142 0,000147 0,000153 0,000159
-3,5 0,000165 0,000172 0,000178 0,000185 0,000193 0,000200 0,000208 0,000216 0,000224 0,000233
-3,4 0,000242 0,000251 0,000260 0,000270 0,000280 0,000291 0,000302 0,000313 0,000325 0,000337
-3,3 0,000349 0,000362 0,000376 0,000390 0,000404 0,000419 0,000434 0,000450 0,000466 0,000483
-3,2 0,000501 0,000519 0,000538 0,000557 0,000577 0,000598 0,000619 0,000641 0,000664 0,000687
-3,1 0,000711 0,000736 0,000762 0,000789 0,000816 0,000845 0,000874 0,000904 0,000935 0,000968
-3,0 0,001001 0,001035 0,001070 0,001107 0,001144 0,001183 0,001223 0,001264 0,001306 0,001350
-2,9 0,00139 0,00144 0,00149 0,00154 0,00159 0,00164 0,00169 0,00175 0,00181 0,00187
-2,8 0,00193 0,00199 0,00205 0,00212 0,00219 0,00226 0,00233 0,00240 0,00248 0,00256
-2,7 0,00264 0,00272 0,00280 0,00289 0,00298 0,00307 0,00317 0,00326 0,00336 0,00347
-2,6 0,00357 0,00368 0,00379 0,00391 0,00402 0,00415 0,00427 0,00440 0,00453 0,00466
-2,5 0,00480 0,00494 0,00508 0,00523 0,00539 0,00554 0,00570 0,00587 0,00604 0,00621
-2,4 0,00639 0,00657 0,00676 0,00695 0,00714 0,00734 0,00755 0,00776 0,00798 0,00820
-2,3 0,00842 0,00866 0,00889 0,00914 0,00939 0,00964 0,00990 0,01017 0,01044 0,01072
-2,2 0,01101 0,01130 0,01160 0,01191 0,01222 0,01255 0,01287 0,01321 0,01355 0,01390
-2,1 0,01426 0,01463 0,01500 0,01539 0,01578 0,01618 0,01659 0,01700 0,01743 0,01786
-2,0 0,01831 0,01876 0,01923 0,01970 0,02018 0,02068 0,02118 0,02169 0,02222 0,02275
-1,9 0,02330 0,02385 0,02442 0,02500 0,02559 0,02619 0,02680 0,02743 0,02807 0,02872
-1,8 0,02938 0,03005 0,03074 0,03144 0,03216 0,03288 0,03362 0,03438 0,03515 0,03593
-1,7 0,03673 0,03754 0,03836 0,03920 0,04006 0,04093 0,04182 0,04272 0,04363 0,04457
-1,6 0,04551 0,04648 0,04746 0,04846 0,04947 0,05050 0,05155 0,05262 0,05370 0,05480
-1,5 0,05592 0,05705 0,05821 0,05938 0,06057 0,06178 0,06301 0,06426 0,06552 0,06681
-1,4 0,06811 0,06944 0,07078 0,07215 0,07353 0,07493 0,07636 0,07780 0,07927 0,08076
-1,3 0,08226 0,08379 0,08534 0,08691 0,08851 0,09012 0,09176 0,09342 0,09510 0,09680
-1,2 0,09853 0,10027 0,10204 0,10383 0,10565 0,10749 0,10935 0,11123 0,11314 0,11507
-1,1 0,11702 0,11900 0,12100 0,12302 0,12507 0,12714 0,12924 0,13136 0,13350 0,13567
-1,0 0,13786 0,14007 0,14231 0,14457 0,14686 0,14917 0,15151 0,15386 0,15625 0,15866
-0,9 0,16109 0,16354 0,16602 0,16853 0,17106 0,17361 0,17619 0,17879 0,18141 0,18406
-0,8 0,18673 0,18943 0,19215 0,19489 0,19766 0,20045 0,20327 0,20611 0,20897 0,21186
-0,7 0,21476 0,21770 0,22065 0,22363 0,22663 0,22965 0,23270 0,23576 0,23885 0,24196
-0,6 0,24510 0,24825 0,25143 0,25463 0,25785 0,26109 0,26435 0,26763 0,27093 0,27425
-0,5 0,27760 0,28096 0,28434 0,28774 0,29116 0,29460 0,29806 0,30153 0,30503 0,30854
-0,4 0,31207 0,31561 0,31918 0,32276 0,32636 0,32997 0,33360 0,33724 0,34090 0,34458
-0,3 0,34827 0,35197 0,35569 0,35942 0,36317 0,36693 0,37070 0,37448 0,37828 0,38209
-0,2 0,38591 0,38974 0,39358 0,39743 0,40129 0,40517 0,40905 0,41294 0,41683 0,42074
-0,1 0,42465 0,42858 0,43251 0,43644 0,44038 0,44433 0,44828 0,45224 0,45620 0,46017
-0,0 0,46414 0,46812 0,47210 0,47608 0,48006 0,48405 0,48803 0,49202 0,49601 0,50000

200 Tablas Estadísticas
Tabla de la distribución normal estándar
Área bajo la curva normal:    zZP
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793
0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327
0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891
1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214
1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298
1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147
1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774
1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189
1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408
1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449
1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327
1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062
1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670
2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169
2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574
2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899
2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158
2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361
2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520
2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643
2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736
2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807
2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861
3,0 0,998650 0,998694 0,998736 0,998777 0,998817 0,998856 0,998893 0,998930 0,998965 0,998999
3,1 0,999032 0,999065 0,999096 0,999126 0,999155 0,999184 0,999211 0,999238 0,999264 0,999289
3,2 0,999313 0,999336 0,999359 0,999381 0,999402 0,999423 0,999443 0,999462 0,999481 0,999499
3,3 0,999517 0,999534 0,999550 0,999566 0,999581 0,999596 0,999610 0,999624 0,999638 0,999651
3,4 0,999663 0,999675 0,999687 0,999698 0,999709 0,999720 0,999730 0,999740 0,999749 0,999758
3,5 0,999767 0,999776 0,999784 0,999792 0,999800 0,999807 0,999815 0,999822 0,999828 0,999835
3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 0,999883 0,999888
3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 0,999922 0,999925
3,8 0,999928 0,999931 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 0,999948 0,999950
3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 0,999959 0,999961 0,999963 0,999964 0,999966 0,999967

Tablas Estadísticas 201
Índice alfabético
—A—
Axiomas de la probabilidad, 100
—C—
Coeficiente de variación, 72
—D—
Deciles, 65
Desviación estándar, 71
Distribución
binomial, 124
de frecuencias, 14, 28, 30
de la media muestral, 160
de probabilidad, 116, 117
hipergeométrica, 126
normal, 142
Poisson, 128
uniforme continua, 139
—E—
Escalas de medición, 8
Espacio muestral, 92
Estadística
Definición, 4
Subdivisión, 4
estadístico, 11
Estadístico, 11
Evento, 92
Complemento, 95
Eventos
independientes, 108
Intersección de, 96
mutuamente excluyentes, 98
Unión de, 96
Experimento aleatorio, 92
—F—
Función
de densidad, 132
de distribución acumulada, 134
—G—
Gráfico
circular, 19
de barras, 19
de barras agrupadas, 24
de barras apiladas, 25
de barras apiladas al 100%, 25
de cajas, 76
de Pareto, 21
Ojiva, 39
Polígono de frecuencias, 38
—M—
Media, 51
ponderada, 62
Mediana, 55
Moda, 59
Muestreo
aleatorio simple, 170
estratificado, 180
probabilístico, 169
sistemático, 174
—P—
Parámetro, 11
Percentiles, 66
Población, 6
Propiedad reproductiva de la normal, 156
—T—
Teorema
de Bayes, 105
del límite central, 161
—V—
Valor esperado
de una función de una variable aleatoria, 121, 137
Variable, 10
aleatoria continua, 132
aleatoria discreta, 117
Varianza, 71
de una variable aleatoria, 121, 138

Estadistica Descriptiva UPC

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Destacado

Similar a Estadistica Descriptiva UPC

Más de Jose Matos

Estadistica Descriptiva UPC