Resolución del Ejercicio N° III del Complemento Teórico (Estados de Tensión y Deformación) - Para resolver en Clase

1. Estados de Tensión y
Deformación
Resolución del Ejercicio N° III
(Complemento Teórico)
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Enunciado
Dadas las tensiones correspondientes a
los planos x, y, z ortogonales y pasantes
por un punto A. Se pide:
1. Construir la circunferencia de Mohr para el haz
de planos cuyo eje sostén tiene la dirección del
eje z (estado doble con n = 0) y mediante ella
determinar.
i. Magnitud y dirección de las tensiones
principales.
ii. Las componentes de tensión en un plano
del haz que forma un ángulo  = 60° con el
eje “y” (sentido horario).
Datos: x = 530 kg/cm2 ; y = -610 kg/cm2 ; xy = 60 kg/cm2 ; zx = zy = 0;  = 60º (respecto
del eje y)
Introducción teórica, ver Tutorial “Estados Planos de Tensión – Circunferencia de Mohr (2)”

3. Consideraciones
preliminares
Dadas las tensiones correspondientes a
los planos x, y, z ortogonales y pasantes
por un punto A. Se pide:
1. Ángulo  = 60° respecto del eje “y” (sentido
horario).
 = 60°
x
y
b = 30°
…es equivalente a tomar un ángulo b = 30°
respecto del eje “x” en sentido anti horario.
2. Al ser un método gráfico, la circunferencia de Mohr requiere que se
fije una escala de magnitudes para poder trazarla, en este caso de
tensiones. Los valores que se midan del gráfico una vez trazado
deberán ser afectados por dicha escala para obtener los valores
correspondientes.

4. Consideraciones
preliminares
3. Convención
x
y
b
x’
y’
q
I
II
En un estado plano representado por un
elemento de superficie contenido en el plano
x-y definimos:
i. Par de ejes principales de inercia (1 - 2),
ubicados respecto de los ejes
coordenados (x – y) rotando la terna un
ángulo q medido en sentido anti horario
ii. Par de ejes genéricos (x’ – y’), ubicados
respecto de los ejes coordenados (x – y)
rotando la terna un ángulo b medido en
sentido anti horario
iii. Las tensiones (consideradas positivas)
que actúan sobre el elemento de
superficie son:
yx
xy
y
x
4. En la circunferencia de Mohr graficaremos las
tensiones normales () con su signo, y las
tangenciales () las graficaremos como positivas si
generan respecto al baricentro de la superficie
elemental giros horarios y negativas si generan giros
anti horarios.
+

5. Resolución
Construimos la circunferencia de Mohr
Se establece un sistema coordenado tal que las abscisas representan las
tensiones normales, siendo positivo hacia la derecha y las ordenadas
representan las tensiones tangenciales, siendo positivas hacia arriba
Se ubica el centro “C” de
la circunferencia a una
distancia respecto del
origen de coordenadas
“O” igual a:


O
𝐂 =
𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐
= −𝟒𝟎
C
Se ubican los puntos “A”
de coordenadas (x; xy) y
“B” (y; yx) de acuerdo a
la convención adoptada
A - C - B es diámetro de la
circunferencia de Mohr.
A (530; -60)
B (-610; 60)

6. 

O
C
A (530; -60)
En los estados planos de tensión una de las tensiones principales es
i = 0; las otras dos tensiones serán los puntos en los que la
circunferencia de Mohr corta al eje de abscisas.
Definimos el polo “P” de la
Circunferencia de Mohr, para ello:
Trazamos por A una paralela
al eje de abscisas
Trazamos por B una paralela
al eje de ordenadas
B (-610; 60)
Ambas rectas se cortan
sobre la circunferencia
definiendo el polo “P”
P
P - A será la traza de
referencia del eje “x” y
P - B será la traza de
referencia del eje “y”
para medir ángulos
1  533 [kg/cm2]
2 = 0
3  -613 [kg/cm2]

7. 

C
A (530; -60)
Las direcciones principales las
obtenemos uniendo el polo “P”
con 1 y 3
I
II
B (-610; 60)
3  -613 [kg/cm2]
P 1  533 [kg/cm2]
qI  3°
𝜽𝑰 ≅ 𝟑°
𝜽𝑰𝑰 ≅ 𝜽𝑰 + 𝟗𝟎° = 𝟗𝟑°
qII  93°
Las tensiones  y  que actúan sobre un plano definido por el ángulo  = 60º
respecto del eje “y” (o b = 30° respecto del eje “x”), se determina trazando
desde el polo P una recta con una inclinación definida por  (o b )
b = 30°
Dónde la recta corta a la
circunferencia de Mohr
obtenemos el punto
“D” que define al
estado tensional para el
plano que forma un
ángulo  = 60º respecto
del eje “y” (o b = 30°
respecto del eje “x”)
30  260 [kg/cm2]
30  510 [kg/cm2]
30  572 [kg/cm2]
D
O
2 = 0

8. 

C
I
II
qI  3°
qII  93°
Nota: también podemos medir los ángulos a partir del centro de la
circunferencia “C” considerando que las trazas de referencia de los ejes “x”
e “y” son las siguientes:
b = 30°
D
O
x
y
De esta forma los ángulos medidos
son el doble de los medidos a partir
del polo “P”
2b = 60°
2qII  186°
2qI  6°
…y las restantes familias
de circunferencias serán:
P
B
A

9. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

10. Muchas Gracias