El documento aborda la organización y presentación de datos estadísticos a través de ejercicios de distribución de frecuencias y representación gráfica. Se realiza un análisis de una encuesta sobre el número de hijos en 48 familias y se muestran procedimientos para calcular frecuencias absolutas, acumuladas, proporciones relativas y gráficas como histogramas, polígonos y ojivas. Además, se presenta un segundo conjunto de datos sobre el peso de 40 piezas, que también se agrupan y analizan utilizando las mismas técnicas estadísticas.

1. Diciembre, 2.016
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniería
Cabudare – Edo. Lara
Ejercicios Unidad II
Cátedra: Estadística
Tutor Académico: Majano, Eriorkys
Sección: A203-SAIAC
Integrante:
Sánchez, Gabriela. C.I: 26.370.552

2. Diciembre, 2.016
EJERCICIOS
UNIDAD II: ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS
Construir en los casos siguientes:
a. Distribución de frecuencias.
b. Representación gráfica de datos: Histogramas, polígonos de frecuencias, ojiva.
Nota: Se evaluarán fórmulas, procedimientos, resultados.
EQUIPO 2:
4. Se ha hecho una encuesta sobre el número de hijos en 48 familias, con los siguientes
resultados:
2 1 2 5 2 1 1 1 4 0 0 2
0 4 4 1 1 2 2 3 1 2 3 0
3 1 3 2 2 3 3 1 5 4 3 3
1 2 2 2 3 2 2 1 0 2 2 1
a. Distribución de Frecuencias
Al observar los datos se puede detallar que la muestra está constituida por 48 elementos y
dado que cuando la muestra consta de más de 30 datos es aconsejable agruparlos en clases, se
procederá a efectuar dicha agrupación.
Se inicia por localizar el valor menor y el valor mayor de la distribución, los cuales son 0 y 5
respectivamente
Luego, se determina el rango o recorrido del conjunto de datos, por medio de la siguiente
fórmula:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
Al aplicar esta fórmula en el conjunto de datos dados se obtiene:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 5 − 0 = 5
Se establece el número de clases (K) en que se va a agrupar los datos tomando como base la
siguiente tabla:

3. Diciembre, 2.016
Tamaño de muestra o No. De datos Número de clases
Menos de 50 5 a 7
50 a 99 6 a 10
100 a 250 7 a 12
250 en adelante 10 a 20
Al observar la tabla, se llega a la conclusión que es recomendable establecer 6 intervalos
de clase. Sin embargo, dado que la división entre el rango de la distribución y el número de
intervalos de clase no da como resultado un entero positivo, se busca un entero un poco mayor
que el rango que sea divisible entre el número de intervalos de clase.
Por lo tanto, Rango = 5, se incrementa el número hasta 6, de forma tal que 6/K = 6/6=1. A
este último valor (¨1¨) se le llamará amplitud de clases, el cual será igual para todos los intervalos
de clase.
Los intervalos de clase están constituidos por dos límites, un límite inferior cerrado y un límite
superior abierto; es decir, que el límite inferior pertenece al intervalo mientras que el superior no
pertenece. Dichos límites deben ser determinados antes de elaborar la tabla de distribución de
frecuencias.
Se recomienda colocar como límite inferior del primer intervalo de clase al valor menor de la
distribución y el límite superior se determina sumando la amplitud de clase al límite inferior. Dado
que el límite superior es abierto, este pasa a ser el límite inferior en la siguiente clase para tomar
este valor y se vuelve a comenzar el procedimiento. Al aplicar esto en la distribución, se obtiene:
Clase Límite Inferior Límite Superior
Primera 0 0 + 1 = 1
Segunda 1 1 + 1 = 2
Tercera 2 2 + 1 = 3
Cuarta 3 3 + 1 = 4
Quinta 4 4 + 1 = 5
Sexta 5 5 + 1 = 6
En la tabla de distribución de frecuencias se debe colocar cinco columnas de valores que se
obtienen de la distribución y que varían entre los intervalos de clase, estas son:
I. Frecuencias Absoluta (fi): Cantidad de datos de la distribución que pertenece al
intervalo de clases dado. Cada intervalo de clase tiene su propia frecuencia absoluta,
como se ve en la tabla adjunta:

4. Diciembre, 2.016
Intervalo de Clase Frecuencia Absoluta (fi)
[0 – 1) 5
[1 – 2) 12
[2 – 3) 16
[3 – 4) 9
[4 – 5) 4
[5 – 6) 2
II. Frecuencia Acumulada (Fi): Se obtiene al sumar la frecuencia absoluta del intervalo de
clase que se analiza más las frecuencias absolutas de los intervalos de clase que
anteceden al intervalo en cuestión. Estas se verán en la tabla adjunta:
Intervalo de Clase
Frecuencia Acumulada (Fi)
Fi = fi (del intervalo) + fi (intervalos
previos)
[0 – 1) 5 + 0 = 5
[1 – 2) 5 + 12 = 17
[2 – 3) 16 + 17 = 33
[3 – 4) 9 + 33 = 42
[4 – 5) 4 + 42 = 46
[5 – 6) 2 + 46 = 48
III. Proporción Absoluta (ni): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total
de datos de la distribución:
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 (𝑛𝑖) =
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Proporción Absoluta (ni)
ni = fi/Número de datos de la dist.
[0 – 1) 5/48 = 0,104
[1 – 2) 12/48 = 0,250
[2 – 3) 16/48 =0,333
[3 – 4) 9/48 = 0,188
[4 – 5) 4/48 = 0,083
[5 – 6) 2/48 = 0,042
IV. Proporción Relativa (Ni): es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número
total de datos de la distribución:
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑁𝑖) =
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Para la distribución se tiene:

5. Diciembre, 2.016
Intervalo de Clase Proporción Relativa (Ni)
Ni = Fi/Número de datos de la dist.
[0 – 1) 5/48 = 0,104
[1 – 2) 17/48 = 0,354
[2 – 3) 33/48 = 0,688
[3 – 4) 42/48 = 0,875
[4 – 5) 46/48 = 0,958
[5 – 6) 48/48 = 1,00
V. Marca de Clase (Xi): es el punto medio de cada intervalo, se determina a través del
cociente entre la suma de los límites superior e inferior de cada clase entre 2:
𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑋𝑖) =
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
2
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Marca de Clase (Xi)
Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2
[0 – 1) (0 + 1) = 0,5
[1 – 2) (1 + 2) = 1,5
[2 – 3) (2 + 3) = 2,5
[3 – 4) (3 + 4) = 3,5
[4 – 5) (4 + 5) = 4,5
[5 – 6) (5 + 6) = 5,5
Finalmente se obtiene la Distribución de Frecuencias:
Intervalos de
Clase
fi Fi ni Ni Xi
[0 – 1) 5 5 0,104 0,104 0,5
[1 – 2) 12 17 0,250 0,354 1,5
[2 – 3) 16 33 0,333 0,688 2,5
[3 – 4) 9 42 0,188 0,875 3,5
[4 – 5) 4 46 0,083 0,958 4,5
[5 – 6) 2 48 0,042 1,000 5,5
b. Representación Gráfica de Datos:
 Histograma de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que este es un gráfico
de barra que se diseña utilizando como base los intervalos de Clase de una
distribución de frecuencias y las frecuencias Absolutas (o frecuencias acumuladas)
agrupadas en cada uno de estos intervalos.

6. Diciembre, 2.016
La información que se presenta en un histograma puede ser de frecuencias absolutas
o relativas (en este caso absolutas). Algunas de sus principales características son:
I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo
II. En el eje vertical se puede ubicar la frecuencia absoluta o la frecuencia
acumulada.
III. Todas las barras tienen la misma anchura, que es la amplitud de clases.
IV. Las barras siempre permanecen unidas
V. Sólo funciona con datos numéricos (discretos o continuos).
VI. Todas las barras mantienen el mismo color
VII. En la copa de cada barra de puede colocar el valor de la frecuencia de cada
barra.
Para crear el histograma de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los intervalos de clase.
II. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
absolutas.
III. Se hacen 6 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases).
IV. Se hacen 9 marcas en la línea vertical a la misma distancia.
V. En el eje horizontal en cada marca se coloca el límite superior de cada intervalo de clase.
VI. En el eje vertical que corresponde con las frecuencias absolutas se colocan valores de
frecuencia desde cero hasta un valor superior a la frecuencia absoluta más elevada (18).
VII. En el primer intervalo se ubicarán dos puntos A = (0, 5) y B = (1, 5) y se traza una línea
que los una. Este procedimiento se repite en todos los intervalos de clase y finalmente
se obtiene:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6
Familias
Número de Hijos
Histograma de Frecuencia Absoluta

7. Diciembre, 2.016
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Intervalo de Clase
(Representa el Número de Hijos por
Familia)
Frecuencia Absoluta (fi)
(Representa las Familias)
[0 – 1) 5
[1 – 2) 12
[2 – 3) 16
[3 – 4) 9
[4 – 5) 4
[5 – 6) 2
 Polígono de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que es el gráfico de línea
que se diseña utilizando en el eje horizontal la marca de clase de cada intervalo de una
distribución de frecuencias.
La información que se presenta en un polígono de frecuencias puede ser de
frecuencias absolutas o relativas (en este caso será absoluta). Algunas de sus
principales características son:
I. En el eje horizontal se colocan las marcas de clase de cada intervalo
II. En el eje vertical se ubica la frecuencia absoluta o la frecuencia porcentual
III. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X y que coincide con la
amplitud de la clase.
IV. Las líneas siempre permanecen unidas
V. Ambos extremos deben terminar sobre el eje horizontal.
VI. Sólo funciona con datos numéricos (continuos o discretos).
Para crear el Polígono de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se calcula la marca de clase de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de
distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar un
polígono debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de
realizar el mencionado polígono.
II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán las marcas de clases de la distribución.
III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
absolutas.
IV. Se colocan las marcas de clase en el eje horizontal espaciadas a una distancia fija igual a la
amplitud de clase.
V. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean las marcas de clases y su coordenadas
verticales sean las frecuencias absolutas de cada clase.
VI. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:

8. Diciembre, 2.016
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Marca de Clase (Xi)
Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2
(Representa el Número de Hijos por
Familia)
Frecuencia Absoluta (fi)
(Representa las Familias)
(0 + 1) = 0,5 5
(1 + 2) = 1,5 12
(2 + 3) = 2,5 16
(3 + 4) = 3,5 9
(4 + 5) = 4,5 4
(5 + 6) = 5,5 2
 Ojiva de Frecuencias Acumuladas: se comienza por señalar que es un gráfico de línea
que se diseña utilizando en el eje horizontal las fronteras superiores de una
distribución de frecuencias. La información se obtiene de la columna de frecuencias
acumuladas (absoluta en este caso). Las características son las siguientes:
I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo de
clase.
II. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X
III. Las líneas permanecen unidas
IV. El primer extremo termina sobre el eje horizontal
V. Los datos son numéricos (discretos o continuos).
VI. En el cambio de intervalo es posible colocar el valor de la frecuencia absoluta
o relativa para una mejor comprensión de los datos.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
Familia
Número de Hijos
Polígono de Frecuencia Absoluta

9. Diciembre, 2.016
Para crear la Ojiva de Frecuencias Acumuladas Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se calcula la frecuencia acumulada de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de
distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar
una ojiva debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de
realizar la mencionada ojiva.
II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los límites superiores de los intervalos de
clase.
III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
acumuladas absolutas.
IV. Se hacen 6 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases).
V. Se hacen 6 marcas en la línea vertical a la misma distancia.
VI. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean los límites superiores y su coordenadas
verticales sean las frecuencias acumuladas absolutas de cada clase
VII. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Intervalo de Clase
(Representa el Número de Hijos por
Familia)
Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi)
(Representa las Familias)
[0 – 1) 5
[1 – 2) 17
[2 – 3) 33
[3 – 4) 42
[4 – 5) 46
[5 – 6) 48
0
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6
Familias
Número de Hijos
Ojíva de Frecuencia Acumulada Absoluta

10. Diciembre, 2.016
5. Se han pesado 40 piezas. Los resultados de las pesadas, expresados en gramos son:
64,1 66,4 64 66,7 65,3 64,4 63,9 63 65,4 64,3
68,8 66,6 65,1 64,2 68,5 65,7 65,8 63,1 64,6 63,5
65 66,4 67,3 65,7 64 61,5 64,1 65 63 63,2
66,9 66,3 67 66,1 66,8 65,3 64,4 64,5 63,1 65,5
a. Distribución de Frecuencias
Al observar los datos se puede detallar que la muestra está constituida por 40 elementos y
dado que cuando la muestra consta de más de 30 datos es aconsejable agruparlos en clases, se
procederá a efectuar dicha agrupación.
Se inicia por localizar el valor menor y el valor mayor de la distribución, los cuales son 61,5 y
68,8 respectivamente.
Luego, se determina el rango o recorrido del conjunto de datos, por medio de la siguiente
fórmula:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
Al aplicar esta fórmula en el conjunto de datos dados se obtiene:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 68,8 − 61,5 = 7,3
Se establece el número de clases (K) en que se va a agrupar los datos tomando como base la
siguiente tabla:
Tamaño de muestra o No. De datos Número de clases
Menos de 50 5 a 7
50 a 99 6 a 10
100 a 250 7 a 12
250 en adelante 10 a 20
Al observar la tabla, se llega a la conclusión que es recomendable establecer 6 intervalos
de clase.
Para establecer la amplitud de clases se divide el rango entre el número de intervalos de clases
elegido, así se tiene:
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 =
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠

11. Diciembre, 2.016
Aplicando esta fórmula en la distribución, se obtiene que Amplitud de clases = (7,3/6) = 1,22,
la cual es consistente con el hecho de contar con valores continuos en la distribución de
frecuencias.
Los intervalos de clase están constituidos por dos límites, un límite inferior cerrado y un límite
superior abierto; es decir, que el límite inferior pertenece al intervalo mientras que el superior no
pertenece. Dichos límites deben ser determinados antes de elaborar la tabla de distribución de
frecuencias.
Se recomienda colocar como límite inferior del primer intervalo de clase al valor menor de la
distribución y el límite superior se determina sumando la amplitud de clase al límite inferior. Dado
que el límite superior es abierto, este pasa a ser el límite inferior en la siguiente clase para tomar
este valor y se vuelve a comenzar el procedimiento. Al aplicar esto en la distribución, se obtiene:
Clase Límite Inferior Límite Superior
Primera 61,5 61,5 + 1,22 = 62,72
Segunda 62,72 62,72 + 1,22 = 63,94
Tercera 63,94 63,94 + 1,22 = 65,16
Cuarta 65,16 65,16 + 1,22 = 66,38
Quinta 66,38 66,38 + 1,22 = 67,6
Sexta 67,6 67,6 + 1,22 = 68,82
En la tabla de distribución de frecuencias se debe colocar cinco columnas de valores que se
obtienen de la distribución y que varían entre los intervalos de clase, estas son:
I. Frecuencias Absoluta (fi): Cantidad de datos de la distribución que pertenece al
intervalo de clases dado. Cada intervalo de clase tiene su propia frecuencia absoluta,
como se ve en la tabla adjunta:
Intervalo de Clase Frecuencia Absoluta (fi)
[61,5 - 62,72) 1
[62,72 - 63,94) 7
[63,94 - 65,16) 13
[65,16 - 66,38) 9
[66,38 - 67,6) 8
[67,6 - 68,82) 2
II. Frecuencia Acumulada (Fi): Se obtiene al sumar la frecuencia absoluta del intervalo de
clase que se analiza más las frecuencias absolutas de los intervalos de clase que
anteceden al intervalo en cuestión. Estas se verán en la tabla adjunta:

12. Diciembre, 2.016
Intervalo de Clase
Frecuencia Acumulada (Fi)
Fi = fi (del intervalo) + fi (intervalos
previos)
[61,5 - 62,72) 1 + 0 = 1
[62,72 - 63,94) 1 + 7 = 8
[63,94 - 65,16) 8 + 13 = 21
[65,16 - 66,38) 21 + 9 = 30
[66,38 - 67,6) 30 + 8 = 38
[67,6 - 68,82) 38 + 2 = 40
III. Proporción Absoluta (ni): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total
de datos de la distribución:
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 (𝑛𝑖) =
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Proporción Absoluta (ni)
ni = fi/Número de datos de la dist.
[61,5 - 62,72) 1/40 = 0,03
[62,72 - 63,94) 7/40 = 0,18
[63,94 - 65,16) 13/40 =0,33
[65,16 - 66,38) 9/40 = 0,23
[66,38 - 67,6) 8/40 = 0,20
[67,6 - 68,82) 2/40 = 0,05
IV. Proporción Relativa (Ni): es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número
total de datos de la distribución:
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑁𝑖) =
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Proporción Relativa (Ni)
Ni = Fi/Número de datos de la dist.
[61,5 - 62,72) 1/40 = 0,03
[62,72 - 63,94) 8/40 = 0,20
[63,94 - 65,16) 21/40 = 0,53
[65,16 - 66,38) 30/40 = 0,75
[66,38 - 67,6) 38/40 = 0,95
[67,6 - 68,82) 40/40 = 1,00
V. Marca de Clase (Xi): es el punto medio de cada intervalo, se determina a través del
cociente entre la suma de los límites superior e inferior de cada clase entre 2:

13. Diciembre, 2.016
𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑋𝑖) =
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
2
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Marca de Clase (Xi)
Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2
[61,5 - 62,72) (61,5 + 62,72)/2 = 62,72
[62,72 - 63,94) (62,72 + 63,94)/2 = 63,94
[63,94 - 65,16) (63,94 + 65,16)/2 = 65,16
[65,16 - 66,38) (65,16 + 66,38)/2 = 66,38
[66,38 - 67,6) (66,38 + 67,6)/2 = 67,70
[67,6 - 68,82) (67,6 + 68,82)/2 = 68,82
Finalmente se obtiene la Distribución de Frecuencias:
Intervalos de
Clase
fi Fi ni Ni Xi
[61,5 - 62,72) 1 1 0,03 0,03 61,50
[62,72 - 63,94) 7 8 0,18 0,20 62,72
[63,94 - 65,16) 13 21 0,33 0,53 63,94
[65,16 - 66,38) 9 30 0,23 0,75 65,16
[66,38 - 67,6) 8 38 0,20 0,95 66,38
[67,6 - 68,82) 2 40 0,05 1,00 67,60
b. Representación Gráfica de Datos:
 Histograma de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que este es un gráfico
de barra que se diseña utilizando como base los intervalos de Clase de una
distribución de frecuencias y las frecuencias Absolutas (o frecuencias acumuladas)
agrupadas en cada uno de estos intervalos.
La información que se presenta en un histograma puede ser de frecuencias absolutas
o relativas (en este caso absolutas). Algunas de sus principales características son:
I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo
II. En el eje vertical se puede ubicar la frecuencia absoluta o la frecuencia
acumulada.
III. Todas las barras tienen la misma anchura, que es la amplitud de clases.
IV. Las barras siempre permanecen unidas
V. Sólo funciona con datos numéricos (discretos o continuos).
VI. Todas las barras mantienen el mismo color
VII. En la copa de cada barra de puede colocar el valor de la frecuencia de cada
barra.

14. Diciembre, 2.016
Para crear el histograma de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los intervalos de clase.
II. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
absolutas.
III. Se hacen 7 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases).
IV. Se hacen 7 marcas en la línea vertical a la misma distancia.
V. En el eje horizontal en cada marca se coloca el límite superior de cada intervalo de clase.
VI. En el eje vertical que corresponde con las frecuencias absolutas se colocan valores de
frecuencia desde cero hasta un valor superior a la frecuencia absoluta más elevada (14).
VII. En el primer intervalo se ubicarán dos puntos A = (61,5; 1) y B = (62,72; 1) y se traza
una línea que los una. Este procedimiento se repite en todos los intervalos de clase y
finalmente se obtiene:
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Intervalo de Clase
(Representa los pesos en gramos de las
piezas)
Frecuencia Absoluta (fi)
(Representa las Piezas)
[61,5 - 62,72) 1
[62,72 - 63,94) 7
[63,94 - 65,16) 13
[65,16 - 66,38) 9
[66,38 - 67,6) 8
[67,6 - 68,82) 2
0
2
4
6
8
10
12
14
61,5 62,72 63,94 65,16 66,38 67,6 68,82
Piezas
Pesos en gramos
Histograma de Frecuencia Absoluta

15. Diciembre, 2.016
 Polígono de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que es el gráfico de línea
que se diseña utilizando en el eje horizontal la marca de clase de cada intervalo de una
distribución de frecuencias.
La información que se presenta en un polígono de frecuencias puede ser de
frecuencias absolutas o relativas (en este caso será absoluta). Algunas de sus
principales características son:
I. En el eje horizontal se colocan las marcas de clase de cada intervalo
II. En el eje vertical se ubica la frecuencia absoluta o la frecuencia porcentual
III. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X y que coincide con la
amplitud de la clase.
IV. Las líneas siempre permanecen unidas
V. Ambos extremos deben terminar sobre el eje horizontal.
VI. Sólo funciona con datos numéricos (continuos o discretos).
Para crear el Polígono de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se calcula la marca de clase de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de
distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar un
polígono debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de
realizar el mencionado polígono.
II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán las marcas de clases de la distribución.
III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
absolutas.
IV. Se colocan las marcas de clase en el eje horizontal espaciadas a una distancia fija igual a la
amplitud de clase.
V. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean las marcas de clases y su coordenadas
verticales sean las frecuencias absolutas de cada clase.
VI. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:

16. Diciembre, 2.016
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Marca de Clase (Xi)
Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2
(Representa los pesos en gramos de las
piezas)
Frecuencia Absoluta (fi)
(Representa las Piezas)
(61,5 + 62,72)/2 = 62,72 1
(62,72 + 63,94)/2 = 63,94 7
(63,94 + 65,16)/2 = 65,16 13
(65,16 + 66,38)/2 = 66,38 9
(66,38 + 67,6)/2 = 67,70 8
(67,6 + 68,82)/2 = 68,82 2
 Ojiva de Frecuencias Acumuladas: se comienza por señalar que es un gráfico de línea
que se diseña utilizando en el eje horizontal las fronteras superiores de una
distribución de frecuencias. La información se obtiene de la columna de frecuencias
acumuladas (absoluta en este caso). Las características son las siguientes:
I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo de
clase.
II. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X
III. Las líneas permanecen unidas
IV. El primer extremo termina sobre el eje horizontal
V. Los datos son numéricos (discretos o continuos).
VI. En el cambio de intervalo es posible colocar el valor de la frecuencia absoluta
o relativa para una mejor comprensión de los datos.
Para crear la Ojiva de Frecuencias Acumuladas Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
0
2
4
6
8
10
12
14
62,11 63,33 64,55 65,77 66,99 68,21
Piezas
Pesos en gramos
Polígono de Frecuencia Absoluta

17. Diciembre, 2.016
I. Se calcula la frecuencia acumulada de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de
distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar
una ojiva debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de
realizar la mencionada ojiva.
II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los límites superiores de los intervalos de
clase.
III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
acumuladas absolutas.
IV. Se hacen 6 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases).
V. Se hacen 9 marcas en la línea vertical a la misma distancia.
VI. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean los límites superiores y su coordenadas
verticales sean las frecuencias acumuladas absolutas de cada clase
VII. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Intervalo de Clase
(Representa los pesos en gramos de las
piezas)
Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi)
(Representa las Piezas)
[61,5 - 62,72) 1
[62,72 - 63,94) 8
[63,94 - 65,16) 21
[65,16 - 66,38) 30
[66,38 - 67,6) 38
[67,6 - 68,82) 40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
62,72 63,94 65,16 66,38 67,6 68,82
Piezas
Pesos en gramos
Ojíva de Frecuencias Acumuladas

18. Diciembre, 2.016
6. En el siguiente conjunto de números, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra
más próxima) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital:
4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6,
9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 11, 8, 7, 10, 8, 5, 7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5
a. Distribución de Frecuencias
Al observar los datos se puede detallar que la muestra está constituida por 50 elementos y
dado que cuando la muestra consta de más de 30 datos es aconsejable agruparlos en clases, se
procederá a efectuar dicha agrupación.
Se inicia por localizar el valor menor y el valor mayor de la distribución, los cuales son 3 y 11
respectivamente
Luego, se determina el rango o recorrido del conjunto de datos, por medio de la siguiente
fórmula:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
Al aplicar esta fórmula en el conjunto de datos dados se obtiene:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 11 − 3 = 8
Se establece el número de clases (K) en que se va a agrupar los datos tomando como base la
siguiente tabla:
Tamaño de muestra o No. De datos Número de clases
Menos de 50 5 a 7
50 a 99 6 a 10
100 a 250 7 a 12
250 en adelante 10 a 20
Al observar la tabla, se llega a la conclusión que es recomendable establecer 9 intervalos
de clase. Sin embargo, dado que la división entre el rango de la distribución y el número de
intervalos de clase no da como resultado un entero positivo, se busca un entero un poco mayor
que el rango que sea divisible entre el número de intervalos de clase.
Por lo tanto, Rango = 8, se incrementa el número hasta 9, de forma tal que 9/K = 9/9 = 1. A
este último valor (¨1¨) se le llamará amplitud de clases, el cual será igual para todos los intervalos
de clase.
Los intervalos de clase están constituidos por dos límites, un límite inferior cerrado y un límite
superior abierto; es decir, que el límite inferior pertenece al intervalo mientras que el superior no

19. Diciembre, 2.016
pertenece. Dichos límites deben ser determinados antes de elaborar la tabla de distribución de
frecuencias.
Se recomienda colocar como límite inferior del primer intervalo de clase al valor menor de la
distribución y el límite superior se determina sumando la amplitud de clase al límite inferior. Dado
que el límite superior es abierto, este pasa a ser el límite inferior en la siguiente clase para tomar
este valor y se vuelve a comenzar el procedimiento. Al aplicar esto en la distribución, se obtiene:
Clase Límite Inferior Límite Superior
Primera 3 3 + 1 = 4
Segunda 4 4 + 1 = 5
Tercera 5 5 + 1 = 6
Cuarta 6 6 + 1 = 7
Quinta 7 7 + 1 = 8
Sexta 8 8 + 1 = 9
Séptima 9 9 + 1 = 10
Octava 10 10 + 1 = 11
Novena 11 11 + 1 = 12
En la tabla de distribución de frecuencias se debe colocar cinco columnas de valores que se
obtienen de la distribución y que varían entre los intervalos de clase, estas son:
I. Frecuencias Absoluta (fi): Cantidad de datos de la distribución que pertenece al
intervalo de clases dado. Cada intervalo de clase tiene su propia frecuencia absoluta,
como se ve en la tabla adjunta:
Intervalo de Clase Frecuencia Absoluta (fi)
[3 – 4) 1
[4 – 5) 4
[5 – 6) 5
[6 – 7) 9
[7 – 8) 12
[8 – 9) 9
[9 – 10) 5
[10 – 11) 4
[11 – 12) 1
II. Frecuencia Acumulada (Fi): Se obtiene al sumar la frecuencia absoluta del intervalo de
clase que se analiza más las frecuencias absolutas de los intervalos de clase que
anteceden al intervalo en cuestión. Estas se verán en la tabla adjunta:
Intervalo de Clase
Frecuencia Acumulada (Fi)
Fi = fi (del intervalo) + fi (intervalos
previos)
[3 – 4) 1 + 0 = 1
[4 – 5) 4 + 1 = 5

20. Diciembre, 2.016
[5 – 6) 5 + 5 = 10
[6 – 7) 9 + 10 = 19
[7 – 8) 12 + 19 = 31
[8 – 9) 9 + 31 = 40
[9 – 10) 5 + 40 = 45
[10 – 11) 4 + 45 = 49
[11 – 12) 1 + 49 = 50
III. Proporción Absoluta (ni): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total
de datos de la distribución:
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 (𝑛𝑖) =
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Proporción Absoluta (ni)
ni = fi/Número de datos de la dist.
[3 – 4) 1/50 = 0,02
[4 – 5) 4/50 = 0,08
[5 – 6) 5/50 = 0,10
[6 – 7) 9/50 =0,18
[7 – 8) 12/50 = 0,24
[8 – 9) 9/50 = 0,18
[9 – 10) 5/50 = 0,10
[10 – 11) 4/50 = 0,08
[11 – 12) 1/50 = 0,02
IV. Proporción Relativa (Ni): es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número
total de datos de la distribución:
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑁𝑖) =
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Proporción Relativa (Ni)
Ni = Fi/Número de datos de la dist.
[3 – 4) 1/50 = 0,02
[4 – 5) 5/50 = 0,10
[5 – 6) 10/50 = 0,20
[6 – 7) 19/50 = 0,38
[7 – 8) 31/50 = 0,62
[8 – 9) 40/50 = 0,80
[9 – 10) 45/50 = 0,90

21. Diciembre, 2.016
[10 – 11) 49/50 = 0,98
[11 – 12) 50/50 = 1,00
V. Marca de Clase (Xi): es el punto medio de cada intervalo, se determina a través del
cociente entre la suma de los límites superior e inferior de cada clase entre 2:
𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑒 (𝑋𝑖) =
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
2
Para la distribución se tiene:
Intervalo de Clase Marca de Clase (Xi)
Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2
[3 – 4) (3 + 4) = 3,5
[4 – 5) (4 + 5) = 4,5
[5 – 6) (5 + 6) = 5,5
[6 – 7) (6 + 7) = 6,5
[7 – 8) (7 + 8) = 7,5
[8 – 9) (8 + 9) = 8,5
[9 – 10) (9 + 10) = 9,5
[10 – 11) (10 + 11) = 10,5
[11 – 12) (11 + 12) = 11,5
Finalmente se obtiene la Distribución de Frecuencias:
Intervalos de
Clase
fi Fi ni Ni Xi
[3 – 4) 1 1 0,02 0,02 3,5
[4 – 5) 4 5 0,08 0,10 4,5
[5 – 6) 5 10 0,10 0,20 5,5
[6 – 7) 9 19 0,18 0,38 6,5
[7 – 8) 12 31 0,24 0,62 7,5
[8 – 9) 9 40 0,18 0,80 8,5
[9 – 10) 5 45 0,10 0,90 9,5
[10 – 11) 4 49 0,08 0,98 10,5
[11 – 12) 1 50 0,02 1,00 11,5
b. Representación Gráfica de Datos:
 Histograma de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que este es un gráfico
de barra que se diseña utilizando como base los intervalos de Clase de una
distribución de frecuencias y las frecuencias Absolutas (o frecuencias acumuladas)
agrupadas en cada uno de estos intervalos.

22. Diciembre, 2.016
La información que se presenta en un histograma puede ser de frecuencias absolutas
o relativas (en este caso absolutas). Algunas de sus principales características son:
I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo
II. En el eje vertical se puede ubicar la frecuencia absoluta o la frecuencia
acumulada.
III. Todas las barras tienen la misma anchura, que es la amplitud de clases.
IV. Las barras siempre permanecen unidas
V. Sólo funciona con datos numéricos (discretos o continuos).
VI. Todas las barras mantienen el mismo color
VII. En la copa de cada barra de puede colocar el valor de la frecuencia de cada
barra.
Para crear el histograma de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los intervalos de clase.
II. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
absolutas.
III. Se hacen 10 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de
clases).
IV. Se hacen 7 marcas en la línea vertical a la misma distancia.
V. En el eje horizontal en cada marca se coloca el límite superior de cada intervalo de clase.
VI. En el eje vertical que corresponde con las frecuencias absolutas se colocan valores de
frecuencia desde cero hasta un valor superior a la frecuencia absoluta más elevada (14).
VII. En el primer intervalo se ubicarán dos puntos A = (3, 1) y B = (4, 1) y se traza una línea
que los una. Este procedimiento se repite en todos los intervalos de clase y finalmente
se obtiene:
0
2
4
6
8
10
12
14
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bebés
Pesos (Redondeados a la Libra más Próxima)
Histograma de Frecuencias Absolutas

23. Diciembre, 2.016
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Intervalo de Clase
(Representa los Pesos redondeados a la
Libra más próxima de los bebés)
Frecuencia Absoluta (fi)
(Representa los Bebés)
[3 – 4) 1
[4 – 5) 4
[5 – 6) 5
[6 – 7) 9
[7 – 8) 12
[8 – 9) 9
[9 – 10) 5
[10 – 11) 4
[11 – 12) 1
 Polígono de Frecuencias Absolutas: se comienza por señalar que es el gráfico de línea
que se diseña utilizando en el eje horizontal la marca de clase de cada intervalo de una
distribución de frecuencias.
La información que se presenta en un polígono de frecuencias puede ser de
frecuencias absolutas o relativas (en este caso será absoluta). Algunas de sus
principales características son:
I. En el eje horizontal se colocan las marcas de clase de cada intervalo
II. En el eje vertical se ubica la frecuencia absoluta o la frecuencia porcentual
III. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X y que coincide con la
amplitud de la clase.
IV. Las líneas siempre permanecen unidas
V. Ambos extremos deben terminar sobre el eje horizontal.
VI. Sólo funciona con datos numéricos (continuos o discretos).
Para crear el Polígono de Frecuencias Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se calcula la marca de clase de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de
distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar un
polígono debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de
realizar el mencionado polígono.
II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán las marcas de clases de la distribución.
III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
absolutas.
IV. Se colocan las marcas de clase en el eje horizontal espaciadas a una distancia fija igual a la
amplitud de clase.

24. Diciembre, 2.016
V. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean las marcas de clases y sus coordenadas
verticales sean las frecuencias absolutas de cada clase.
VI. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Marca de Clase (Xi)
Xi = (Límite superior + Límite inferior)/2
(Representa los Pesos redondeados a la
Libra más próxima de los bebés)
Frecuencia Absoluta (fi)
(Representa los Bebés)
(3 + 4) = 3,5 1
(4 + 5) = 4,5 4
(5 + 6) = 5,5 5
(6 + 7) = 6,5 9
(7 + 8) = 7,5 12
(8 + 9) = 8,5 9
(9 + 10) = 9,5 5
(10 + 11) = 10,5 4
(11 + 12) = 11,5 1
0
2
4
6
8
10
12
14
3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5
Bebés
Pesos (Redondeados a la Libra más Próxima)
Polígono de Frecuencias Absolutas

25. Diciembre, 2.016
 Ojiva de Frecuencias Acumuladas: se comienza por señalar que es un gráfico de línea
que se diseña utilizando en el eje horizontal las fronteras superiores de una
distribución de frecuencias. La información se obtiene de la columna de frecuencias
acumuladas (absoluta en este caso). Las características son las siguientes:
I. En el eje horizontal se colocan los límites superiores de cada intervalo de
clase.
II. Todos los puntos tienen la misma distancia en el eje X
III. Las líneas permanecen unidas
IV. El primer extremo termina sobre el eje horizontal
V. Los datos son numéricos (discretos o continuos).
VI. En el cambio de intervalo es posible colocar el valor de la frecuencia absoluta
o relativa para una mejor comprensión de los datos.
Para crear la Ojiva de Frecuencias Acumuladas Absolutas de la distribución se seguirán los
siguientes pasos:
I. Se calcula la frecuencia acumulada de la distribución. Este paso ya se realizó en la tabla de
distribución de frecuencias; sin embargo, se señala en caso que el lector quiera realizar
una ojiva debe tomar en consideración que debe haber realizado este paso antes de
realizar la mencionada ojiva.
II. Se traza una línea horizontal donde se colocarán los límites superiores de los intervalos de
clase.
III. Se traza una línea vertical junto a la horizontal donde se colocarán las frecuencias
acumuladas absolutas.
IV. Se hacen 9 marcas en la línea horizontal todas a la misma distancia (amplitud de clases).
V. Se hacen 6 marcas en la línea vertical a la misma distancia.
VI. Se ubican puntos cuya coordenada horizontal sean los límites superiores y su coordenadas
verticales sean las frecuencias acumuladas absolutas de cada clase
VII. Se traza una línea que una a dichos puntos y finalmente se obtiene:

26. Diciembre, 2.016
Recordando que se emplearon los siguientes datos:
Intervalo de Clase
(Representa los Pesos redondeados a la
Libra más próxima de los bebés)
Frecuencia Acumulada Absoluta (Fi)
(Representa los Bebés)
[3 – 4) 1
[4 – 5) 5
[5 – 6) 10
[6 – 7) 19
[7 – 8) 31
[8 – 9) 40
[9 – 10) 45
[10 – 11) 49
[11 – 12) 50
0
10
20
30
40
50
60
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bebés
Pesos (Redondeados a la Libra más Próxima)
Ojíva de Frecuencia Acumulada