analisis numerico

1. Ángela Alvarado
C.I: 19114189
UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVOS A
DISTANCIA
(SAIA) – CABUDARE
ANALISIS NUMERICO
EVALUACION
PRESENCIAL I

2. 1. Halla los errores absolutos y los errores relativos de cada una de
las cantidades presentadas respectos a sus cantidades
aproximadas. Para la realización de este ejercicio puedes
completar la tabla que aparece abajo.
Solución:
Utilizaremos las siguientes formulas
Error Absoluto: Error Relativo:
∆ 𝒙= 𝒙 − 𝒙 𝟎
𝜺 =
∆ 𝒙
𝒙 𝟎
Los primeros cálculos serán para el valor
exacto 1 y valor aproximado 1.1
∆ 𝒙= 𝟏. 𝟏 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏
𝜺 =
𝟎. 𝟏
𝟏
= 𝟎. 𝟏 → 𝟎. 𝟏 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎%

3. De manera sucesiva llenamos la tabla:
Valor exacto Valor aproximado Error absoluto Error relativo
1 1,1 0.1 0.1 (10%)
2 2,1 0.1 0.05 (5%)
3 3,2 0.2 0.67 (6.67%)
4 4,1 0.1 0.025 (2.5%)
5 5,2 0.2 0.04 (4%)
6 6,3 0.3 0.05 (5%)
7 7,2 0.2 0.029 (2.9%)
8 8,1 0.1 0.0125 (1.25%)
9 9,2 0.2 0.022 (2.22%)
10 10,3 0.3 0.03 (3%)

4. 2. Usa el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 + 𝑥 − 1 , comenzando con 𝑥0 = 0.52 y hasta que 𝜀 <
1%.
Solución:
• Buscamos la ecuación f(x)=0.
sin 𝑥 + 𝑥 − 1 = 0
• Luego buscamos el intervalo de confianza en el cual debe haber un
cambio de signo, en dicho intervalo se encuentra la raíz de la
ecuación f(x).
𝑓 −1 = sin −1 + −1 − 1 = −284
𝑓 0 = sin 0 + 0 − 1 = −1
𝑓 1 = sin 1 + 1 − 1 = 0.84
Observando que existe un cambio de signo entre 0 y 1 dando como
intervalo de confianza [0,1] en cual f(x) posee una raíz.
• Despejamos x para encontrar la función x=g(x).
𝑥 = 1 − sin 𝑥

5. Con esto tenemos
𝑔 𝑥 = 1 − sin 𝑥
• Buscamos la derivada de g(x).
𝑔´ 𝑥 = − cos 𝑥
• Mediante un graficador se obtenemos la gráfica de g´(x).
Se observa que existe y es continua en todo su dominio y que es
creciente entre 0 y 1 y además observamos que 𝑔´ 𝑥 < 1 para el
intervalo para ∀ 𝑥 𝜖 0,1 .
• Verificamos si 𝑔´ 0.52 < 1
𝑔´ 0.52 = − cos 0.52 = −0.86 < 1
𝑔´ 0 = − cos 0 = −1 < 1
𝑔´ 1 = − cos 1 = −0.54 < 1
• ∴ 𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛, lo que indica que es apta
para iterar.

6. • Iniciamos la iteración desde el punto inicial x0=0.52 hasta cumplir
con 𝜖 < 1%
• Evaluamos el punto inicial en g(x)
- Primera iteración
𝑔 0.52 = 1 − sin 0.52 = 0.5031
Ahora calculando el error porcentual
𝝐 =
(𝟎. 𝟓𝟎𝟑𝟏 − 𝟎. 𝟓𝟐)
𝟎. 𝟓𝟎𝟑𝟏
× 𝟏𝟎𝟎 = 𝟑. 𝟑𝟔% , 𝝐 ≮ 𝟏%
- Segunda iteración
𝑔 0.5031 = 1 − sin 0.5031 = 0.5179
𝝐 =
(𝟎. 𝟓𝟏𝟕𝟗 − 𝟎. 𝟓𝟎𝟑𝟏)
𝟎. 𝟓𝟏𝟕𝟗
× 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐. 𝟖𝟔%
𝝐 ≮ 𝟏%
- Tercera iteración
𝑔 0.5179 = 1 − sin 0.5179 = 0.5049
𝝐 =
(𝟎. 𝟓𝟏𝟕𝟗 − 𝟎. 𝟓𝟎𝟒𝟗)
𝟎. 𝟓𝟏𝟕𝟗
× 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐. 𝟓𝟏%
𝝐 ≮ 𝟏%

7. En la siguiente tabla observamos las iteraciones consecutivas con su
respectivo error porcentual.
Valor
base
Valor calculado Error porcentual Cumple
0 0.5031 3.36% No
0.5031 0.5179 2.86% No
0.5179 0.5049 2.51% No
0.5049 0.5163 2.26% No
0.5163 0.5063 1.94% No
0.5063 0.5151 1.74% No
0.5151 0.5073 1.51% No
0.5073 0.5142 1.36% No
0.5142 0.5082 1.17% No
0.5082 0.5134 1.02% No
0.5134 0.5089 0.88% Si

8. Con esto se demuestra que en la iteración número once se obtuvo un
error porcentual del 0.88% que cumple con la condición inicial de
porcentual, indicando que
X= 0.5089 es el valor de la raíz aproximado de la ecuación f(x).
3. Usa el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de 𝑓 𝑥 =
cos 𝑥 − 𝑥 , comenzando con 𝑥0 = 1 y hasta que 𝜀 < 1% .
Solución:
• En este caso tenemos que:
𝒇′ 𝒙 = − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 − 𝟏
• De aquí tenemos que:
𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 −
𝒄𝒐𝒔 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊
− 𝒔𝒊𝒏 𝒙𝒊 − 𝟏
• Comenzamos a evaluar en 𝒙 𝟎 = 𝟏
𝒙 𝟏 = 𝟏 −
𝒄𝒐𝒔 𝟏 − 𝟏
−𝒔𝒊𝒏 𝟏 − 𝟏
= 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒
𝝐 =
(𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒 − 𝟏)
𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒
× 𝟏𝟎𝟎 = 𝟑𝟑. 𝟐𝟔%
𝝐 ≮ 𝟏%

9. • En 𝒙 𝟏 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒
𝒙 𝟐 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒 −
𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒 − 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒
−𝒔𝒊𝒏 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒 − 𝟏
= 𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏
𝝐 =
(𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒)
𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏
× 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟓𝟑%
𝝐 ≮ 𝟏%
• En 𝒙 𝟐 = 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟒
𝒙 𝟑 = 𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏 −
𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏
−𝒔𝒊𝒏 𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏 − 𝟏
= 𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟎
𝝐 =
(𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟎 − 𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟏)
𝟎. 𝟕𝟑𝟗𝟎
× 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒%
𝝐 < 𝟏%
Con esto se demuestra que en la iteración número tres se obtuvo un
error porcentual del 0.014% que cumple con la condición inicial de
porcentual, indicando que
X= 0.7390 es el valor de la raíz aproximado de la ecuación f(x).