Exposicion ecuaciones

DEFINICION
 SE LLAMA SISTEMA LINEAL CON
COEFICIENTES CONSTANTES AL SIGUIENTE
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN:

x1' a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 (t )
x2 ' a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (t )
.
.
.
xn ' an1 x1 an 2 x2 ann xn bn (t )

SISTEMAS Y ECUACIONES
LINEALES
 TODA ECUACIÓN LINEAL DE COEFICIENTES
CONSTANTES

a0 y ( n ) a1 y ( n 1)
an 1 y ' an y b(t )

X '1 X2
X '2 X3
.
.
.
X 'n 1 Xn

an an 1 a1 b(t )
X 'n X1 X2 Xn
a0 a0 a0 a0

 RESOLVIENDO ESTA ECUACIÓN Y
HALLANDO LAS DEMÁS VARIABLES
X j , j i SE TIENE RESUELTO EL SISTEMA.
ESTE MÉTODO DE ELIMINACIÓN NO SE
PUEDE SISTEMATIZAR Y PUEDE RESULTAR
EN OCASIONES MUY COMPLICADO.

EJEMPLO 5 SECCION 8.1
 SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA (6)
EN EL EJEMPLO 2 VIMOS QUE

1 2t 3 6t
X1 e X2 e
1 5

 SON SOLUCIONES LINEALMENTE
INDEPENDIENTES DE (6) EN ( , ) ;
POR LO TANTO, X 1 Y X 2 FORMAN UN
CONJUNTO FUNDAMENTAL DE
SOLUCIONESEN EL INTERVALO.

 EN CONSECUENCIA, LA SOLUCION
GENERAL DEL SISTEMA EN EL INTERVALO
ES
1 2t 3
X c1 X1 c1 X1 c1 e c2 e 6t
1 5

 SE VIO EN EL EJEMPLO 5 DE LA SECCION 8.1 QUE
LA SOLUCION GENERAL DEL SISTEMA
HOMOGENEO X'
1 3
X
5 3
ES:
1 2t 3
X c1 X1 c2 X 2 c1 e c2 e6t
1 5

DEBIDO A QUE AMBOS VECTORES SOLUCION
TIENEN LA FORMA
k1
Xi e t , i 1, 2 i

k2

DONDE k1 , k 2 , 1 Y 2 SON CONSTANTES,
SE MOTIVA A PREGUNTAR SIEMPRE SI SIEMPRE ES
POSIBLE ENCONTRAR UNA SOLUCION DE LA
FORMA k1
k2
.
X
.
e t
Ke t
(1)
.
kn

PARA EL SISTEMA LINEAL HOMOGENEO GENERAL
DE PRIMER ORDEN X ' AX (2)
DONDE “A” ES UNA MATRIZ DE CONSTANTES n n
.

DEMOSTRACION

(A )K 0

 LO PRIMERO ES DETERMINAR NUESTRA
VARIABLE DEPENDIENTE QUE TENDRA LA
FORMA SIGUIENTE:

X AX

 DE (1) OBTENEMOS QUE

t
X Ke

 IGUALAMOS CON

X AX
Y SUSTITUIMOS “X”

 QUEDANDO ASI

t t
K e AKe

 DIVIDIMOS LA ECUACION ENTRE

t
e

 AGRUPANDO A UN LADO DE LA ECUCION

VALORES PROPIOS REALES
Y DISTINTOS

TEOREMA 8.7
SOLUCION GENERAL, SISTEMAS
HOMOGENEOS

 SEAN 1 , 2 , , n VALORES PROPIOS
REALES Y DISTINTOS DE LA MATRIZ DE
COEFICIENTES “A” DEL SISTEMA
HOMOGENEO (2), Y SEAN K1 , K 2 , , K n LOS
VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES.

 ENTONCES LA SOUCION GENERAL DE (2)
EN EL INTERVALO ( , ) ESTA DADA POR

nt
X c1 K1e 1t c2 K 2e 2t
... cn K n e

 EN RESUMEN, NO TODOS LOS n VALORES
PROPIOS 1 , 2 , , n DE UNA MATRIZ “A”
n n DEBEN SER DISTINTOS; ES DECIR,
QUE EN ALGUNOS CASOS LOS VALORES
PROPIOS PODRIAN SER REPETIDOS.


( 1 )m
( 1 )m 1

2

 EXISTEN 2 CASOS IMPORTANTES PARA LOS
VALORES PROPIOS REPETIDOS

PRIMER CASO
 PARA ALGUNAS MATRICES “A” DE n n
PODRIA SER POSIBLE ENCONTRAR m
VECTORES PROPIOS LINEALMENTE
INDEPENDIENTES K1 , K 2 ,..., K m QUE
CORRESPONDEN A UN VALOR PROPIO 1 DE
MULTIPLICDAD m n.

 EN ESTE CASO, LA SOLUCION GENERAL
DEL SISTEMA CONTIENE LA COMBINACION
LINEAL

1t 1t 1t
c1 K1e c2 K 2 e ... cm K m e

SEGUNDO CASO
 SI SOLO HAY UN VECTOR PROPIO QUE
CORRESPONDE AL VALOR PROPIO 1
DE MULTIPLICIDAD m , ENTONCES SE
PUEDE ENCONTRAR m SOLUCIONES
LINEALMENTE INDEPENDIENTES DE LA
FORMA

X1 K11e 1t
X2 K 21te 1t K 22 e 1t
.
.
.
tm 1 tm 2
Xm K m1 e 1t Km2 e 1t K mm e 1t
(m 1)! ( m 2)!

 DONDE K ij SON VECTORES COLUMNA.

 SI 1 i Y 2 1 SON
i, > 0, i 2
VALORES PROPIOS COMPLEJOS DE LA
MATRIZ DE COEFICIENTES A, ENTONCES
SE PUEDE ESPERAR DE HECHO QUE SUS
VECTORES PROPIOS CORRESPONDIENTES
TAMBIEN TENGAN ELEMENTOS
COMPLEJOS.

TEOREMA 8.8
SOLUCIONES
CORRESPONDIENTES A UN
VALOR COMPLEJO



1 i

1t 1t
K 1e K1e

TEOREMA 8.9
SOLUCIONES REALES QUE
CORRESPONDEN A UN VALOR
COMPLEJO

 SEA 1 i UN VALOR PROPIO
COMPLEJO DE LA MATRIZ DE
COEFICIENTES “A” EN EL SISTEMA
HOMOGENEO (2) Y SEAN B1 Y B2 LOS
VECTORES COLUMNA DEFINIDOS EN:

1
B1 ( K1 K1 )
2

i
B2 ( K1 K1 )
2

DONDE K1 Y K1 SON MATRICES.

 ENTONCES
t
X1 [ B1 cos( t ) B2 sen( t )]e
t
(23)
X2 [ B2 cos( t ) B1sen( t )]e

SON SOLUCIONES LINEALMENTE
INDEPENDIENTES DE (2) EN ( , ) .

 DETERMINE LA SOLUCION GENERAL PARA
CADA SISTEMA

EJERCICIO 1

dx
x 2y
dt
dy
4x 3y
dt

 PRIMERO AGRUPAMOS DE LA SIGUIENTE
FORMA

 BUSCAMOS ENCONTRAR

1 2
det( A I) 0
4 3

 Y OBTENEMOS

(1 )(3 ) (4)(2) 0

 AL HACER EL PRODUCTO OBTENEMOS

2
4 5 0

 POR MEDIO DE LA RESOLUCION DE
ECUACIONES CUADRATICAS OBTENEMOS
VALORES PARA LAMBDA. DETERMINAMOS
QUE SON VALORES PROPIOS DISTINTOS.

1 5
2 1

 SUSTITUIMOS LAMBDA EN LA MATRIZ DE
LA CUAL OBTUVIMOS EL DETERMINANTE
Y FORMAMOS ECUACIONES QUE NOS
PERMITEN ENCONTRAR K1 Y K 2 Y ASI
OBTENEMOS

 PARA 5

4 2 0
4 2 0

 SUSTITUIMOS LA PRIMERA FILA EN LA
SEGUNDA Y OBTENEMOS

4 2 0
0 0 0

 OBTENEMOS UN SISTEMA CON INFINITAS
SOLUCIONES

4k1 2k2 0

 HACEMOS
k2 2

Y OBTENEMOS
k1 1

 LUEGO SUSTITUIMOS

1

2 2 0
4 4 0

 SIMPLIFICANDO NOS QUEDA

1 1 0
0 0 0

 DE NUEVO OBTENEMOS UN SISTEMA CON
INFINITAS SOLUCIONES

k1 k2 0

 HACEMOS
k2 1

Y OBTENEMOS
k1 1

 COMO

k1
k2
. t t
X e Ke
.
.
kn

 HACEMOS

1
K1
2

1
K2
1

 ASI OBTENEMOS QUE

1
X1 e5 t
2

1 t
X2 e
1

 AHORA OBTENEMOS LA SOLUCION

1 5t 1 t
X c1 e c2 e
2 1

EJERCICIO 2

dx
x y z
dt
dy
2y
dt
dz
y z
dt

 AGRUPAMOS

1 1 1
X 0 2 0 X
0 1 1

 HACEMOS EL DETERMINANTE

1 1 1
det( A I) 0 2 0 0
0 1 1

 OBTENIENDO ASI

det( A I ) (1 )(2 )( 1 )

 COMO YA ESTA FACTORIZADO
ENCONTRAMOS

1 1
2 2
3 1

 CON
1

OBTENEMOS

0 1 1
0 1 0 0
0 1 2

 DE TAL FORMA QUE
CUALQUIER VALOR DEBIDO A
k 1 QUE SU COEFICIENTE ES CERO
POR COMODIDAD TOMAREMOS “1”

k2 0
k3 k2 0

 CON
2

OBTENEMOS

1 1 1
0 0 0 0
0 1 3

 NOS QUEDA EL SIGUIENTE SISTEMA DE
ECUACIONES

k1 k2 k3 0
0k1 0k2 0k3 0
0k1 k2 3k3 0

 DEL CUAL OBTENEMOS

k1 k 2 k3
1
k3 k2
3

k1 2
k2 3
k3 1

 AHORA CON

1
OBTENEMOS

2 1 1
0 3 0 0
0 1 0

 OBTENEMOS EL SISTEMA DE ECUACIONES

2k1 k2 k3 0
3k2 0
k2 0

 LAS SOLUCIONES

k 3 PUEDE SER CUALQUIER VALOR POR
COMODIDAD USAMOS 2

k2 0
k3 2
k1 1

 AHORA NUESTRA SOLUCION

1 2 1
X c1 0 et c2 3 e 2t c3 0 e t

0 1 2

EJERCICIO 3

dx
3X Y
dt
dy
9X 3Y
dt

 HACIENDO
1 0

 SE OBTIENE
3K1 K 2 0
9 K1 3K 2 0



3K1 K2

K1 1 K 2 3

 ASI QUE UNA PARTE DE NUESTRA
SOLUCIÓN GENERAL SERÁ

1 0t 1
X C1 e C1
3 3

 AL SER DEL CASO DE “VALORES PROPIOS
REPETIDOS” VALOR PROPIO DE
MULTIPLICIDAD m A LA SOLUCIÓN

t
X Ke

 PARA QUE NO SE DE UN RESULTADO
REPETIDO LA TRABAJAREMOS CON

(A I )P K

 OBTENIENDO

3K1 K 2 1
9 K1 3K 2 3

 Y LA SOLUCIÓN FINAL SERIA

1 1 1
X C1 C2 t
3 3 2

EJERCICIO 4

dx
6X Y
dt
dy
5X 2Y
dt

 SE SIGUE TRABAJANDO DE LA MISMA
FORMA.

 SI 1 4 i

6 4 i k1 k2 0
5k1 [2 4 i ]k2 0

 SE OBTIENE

2 i k1 k2 0 (1)
5k1 2 i k2 0 2



2 i k1 k2

k1 1 y k2 (2 i)

 Y NUESTRA PRIMERA PARTE DE LA
SOLUCIÓN QUEDARÍA DE LA SIGUIENTE
MANERA

 AHORA SI 2 4 i

6 4 i k1 k2 0 (3)
5k1 [2 4 i k2 0 (4)

 SE OBTIENE

2 i k1 k2 0
5k1 2 i k2 0



2 i k1 k2

k1 1 k2 (2 i )

 LOS k1 Y k 2 SON DE ESTA NUEVA
ECUACIÓN NO CONFUNDIRLOS CON LA
ANTERIOR.

 NUESTRA SEGUNDA PARTE DE LA
SOLUCIÓN GENERAL NOS QUEDARÍA DE LA
SIGUIENTE FORMA

 PERO YA QUE EN NUESTRA CLASE DE
ECUACIONES DIFERENCIALES NO
QUEREMOS QUE LAS SOLUCIONES NOS
QUEDEN EXPRESADAS COMO NÚMEROS
IMAGINARIO UTILIZAMOS LA ECUACIÓN DE
EULER POR LO QUE SE ACONSEJA EXPRESAR
UNA SOLUCIÓN EN TÉRMINOS DE
FUNCIONES REALES.

 QUE QUEDA EXPRESADA DE LA SIGUIENTE
MANERA

t
X1 B1cos t B2 sen t e
t
X2 B2cos t B1sen t e

 DONDE

1
B1 ( K1 K1 )
2

i
B2 ( K1 K1 )
2

1 0i 1 0
k1 i
2 i 2 1

1 0
B1 B2
2 1

1 1 1 1
B1 ( K1 K1 )
2 2 2 i 2 i

 LA SOLUCION TIENE LA FORMA

X c1 X 1 c2 X 2

 LA CUAL OBTENEMOS A CONTINUACION

1 0 4t 0 1
X c1 cos(t ) sen(t ) e c2 cos(t ) sen(t ) e 4t
2 1 1 2

cos(t ) 0 4t 0 sen(t )
X c1 e c2 e 4t
2cos(t ) sen(t ) cos(t ) 2sen(t )

 Y FINALMENTE LA SOLUCION

cos(t ) 4t sen(t )
X c1 e c1 e 4t
2cos(t ) sen(t ) 2sen(t ) cos(t )

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