1. Algebra abstracta
Semestre 4
Fascículo No. 4
Tabla de contenido
Preliminares
Términos, predicados y cuantificadores
Términos
Predicados
Cuantificadores
Certeza y validez
Términos de enlace de certeza funcional
Conjunción
Disyunción
Proposiciones condicionales
Equivalencia: proposición bicondicional
Resumen
Bibliografía recomendada
Párrafo nexo
Autoevaluación formativa

2. Términos, predicados y cuantificadores
En este módulo se estudian los conceptos de términos, predicados y
cuantificadores universales; además se identifica y analiza el concepto de certeza
y validez en la conjunción, disyunción, proposiciones condicionales y equivalencia:
proposiciones bicondicionales.
Indicadores de logro
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Analiza la estructura lógica de las proposiciones atómicas.
•
Identifica los términos y predicados de proposiciones atómicas.
•
Identifica y explica los cuantificadores universales.
•
Analiza el comportamiento de certeza y validez de cada uno de los términos de
•
enlace.
El cálculo de predicados contiene todos los componentes del cálculo de
proposiciones, incluyendo las constantes y variables de proposiciones. Para un
científico de la computación, el cálculo de predicados es importante por varias
razones. En primer lugar, constituye el fundamento lógico de los lenguajes de
programación lógica; en segundo lugar, el cálculo de predicados se utiliza cada
vez más para especificar los requisitos de las aplicaciones de la computadora.
El cálculo de predicados contiene términos, predicados y cuantificadores. Los
términos suelen utilizarse en lugar de los nombres o pronombres, se combinan
para formar frases por medio de predicados y con el uso de cuantificadores,

3. permiten indicar si una frase es siempre verdadera, si es verdadera a veces o si
nunca es cierta.
Existen ciertos argumentos que parecen ser perfectamente lógicos y que, sin
embargo, se pueden especificar empleando el cálculo proposicional.
Ejemplo
Todos los gatos tienen cola
•
Tom es un gato
•
De estas frases, se puede concluir que:
Tom tiene cola
•
Para mostrar que este argumento es válido, se necesita ser capaz de identificar a
los individuos como Tom, junto con sus propiedades y predicados. Este es el
objetivo del cálculo de predicados, que es el tema de este fascículo.
Ejemplo
Premisa: Todos los pájaros son animales.
Premisa: Todos los ruiseñores son pájaros.
Conclusión: Todos los ruiseñores son animales.
Se puede simbolizar este razonamiento así:
p: quot;Todos los pájaros son animalesquot;
q: quot;Todos los ruiseñores son pájarosquot;
r: quot;Todos los ruiseñores son animalesquot;

4. Colocando p, q y r en lugar de estas proposiciones, el razonamiento se presenta
así:
p Premisa
q Premisa
r Conclusión
Actividad 3.1
1. Sugerir una conclusión que piense que podría ser consecuencia de las
premisas dadas en cada uno de los siguientes ejercicios. (Lo que se quiere es
deducir, no se requiere utilizar métodos formales).
a. Todos los miembros del equipo ganaron en sus pruebas.
Todos los que ganaron en sus pruebas recibieron medalla.
b. Todos mis amigos esperarán la entrevista.
Javier es uno de mis amigos.
c. Ningún miembro del comité está presente.
Todas las personas directamente afectadas por la enmienda están
presentes.
2. En los razonamientos siguientes tanto las premisas como las conclusiones
son proposiciones atómicas. A pesar de que las conclusiones no se pueden
deducir mediante los métodos y reglas que ya se conocen, algunos de los
razonamientos son válidos y otros no. Leer los razonamientos e indicar si la
conclusión parece deducirse o no de las premisas. (No se piden las
deducciones, sino decir simplemente lo que parece lógicamente) No confundir
la verdad de hecho con la validez lógica.
a. Todas las ranas son anfibios.

5. Todos los anfibios son vertebrados.
Por tanto, todas las ranas son vertebrados.
b. Algunos estudiantes estudian Lógica.
Todos los estudiantes que estudian Lógica conocen el vocablo quot;premisaquot;.
Por tanto, algunos estudiantes conocen el vocablo quot;premisaquot;.
c. Todos los árboles de nuestro jardín pierden las hojas en otoño.
Ningún pino pierde sus hojas en otoño.
Por tanto, algunos de los árboles de nuestro jardín son pinos.
d. Todos los reptiles son animales de sangre fría.
Todos los caracoles son animales de sangre fría.
Por tanto, todos los caracoles son reptiles.
e. Todos los amigos de Pedro son chicos que juegan baloncesto.
Todos los chicos que juegan baloncesto son altos.
Por tanto, todos los amigos de Pedro son altos.
f. Algunas figuras de este papel son pentágonos.
Todos los pentágonos tienen cinco lados.
Algunas figuras de este papel tienen cinco lados.
Términos
Consideremos las siguientes proposiciones:
María está ausente
•
Juan va despacio
•
Este libro es amarillo
•

6. Dos es menor que tres
•
En estas proposiciones los términos son las palabras quot;Maríaquot;, quot;Juanquot;, quot;este libroquot;,
quot;dosquot; y quot;tresquot;. Por lo cual, un término es una expresión con la que se nombra o se
designa un único objeto. Algunos términos son nombres y algunos son
descripciones que se refieren a un individuo o a un objeto, por ejemplo, quot;el primer
presidente de Colombiaquot;, quot;3 + 2quot;.
Actividad 4.1
Señalar los términos en las siguientes proposiciones:
1. Este ejercicio es muy fácil.
2. China es el país más poblado del mundo.
3. El juego empezará pronto.
4. 5+4=3+6
5. Siete es mayor que tres más tres.
6. William Shakespeare es el autor de Macbeth.
7. Dos por tres es menor que siete por uno.
8. Juan es el presidente de nuestra clase.
9. París es la capital de Francia.
El universo de discurso
Consideremos el siguiente argumento lógico:
1. Juana es la madre de Pablo.
2. Juana es la madre de María.

7. 3. Todas las personas que tienen la misma madre son hermanos.
4. Pablo y María son hermanos.
La veracidad de la frase quot;Juana es la madre de Pabloquot;, sólo se puede ponderar en
un cierto contexto. Hay muchas personas llamadas Juana y Pablo, y, sin más
información, la frase en cuestión puede referirse a muchas personas distintas, lo
cual la hace ambigua. Para eliminar estas ambigüedades, se presenta el concepto
de un universo de discurso o de un dominio.
El universo de discurso o dominio es la colección de todas las personas, ideas,
símbolos, estructuras de datos y demás que afectan al argumento lógico que se
está considerando. Los elementos del universo de discurso se denominan
individuos.
En el argumento acerca de María y Pablo, el universo de discurso puede constar,
por ejemplo, de las personas que viven en una cierta casa. Hay muchos
argumentos que implican números, y, en este caso, se tiene que estipular si el
dominio es el conjunto de números naturales, el de los enteros, el conjunto de los
números reales o incluso un conjunto de números complejos. De hecho, la
veracidad de una frase puede depender del dominio seleccionado. La frase quot;Existe
un número que es el más pequeño de todosquot; es verdadera en el dominio de los
números naturales, pero falsa en el dominio de los enteros.
Observación
Recuerda que los elementos del dominio se denominan individuos. Un individuo
puede ser una cierta persona, número, estructura de datos o cualquier otra cosa
acerca de la cual queramos razonar.

8. En lugar de la palabra individuo se utiliza la palabra objeto. Para hacer alusión a
un objeto o individuo particular, se emplean identificadores; estos identificadores
se denominan constantes individuales. Si el universo de discurso está formado por
personas, las constantes individuales pueden ser sus nombres. Cada constante
individual debe identificar de modo único a un individuo en particular, y a ningún
otro. Por ejemplo, si el universo de discurso está formado por personas, no debe
haber dos personas que tengan el mismo nombre.
Predicados
Los predicados son aquellos que hacen afirmaciones (declaraciones) acerca de
individuos.
Ejemplo
María y Pablo son hermanos.
•
Juana es la madre de María.
•
Tom es un gato.
•
La suma de 2 y 3 es 5.
•
En cada una de estas frases, existe una lista de individuos, que nos da la lista de
argumentos, junto con frases que describen ciertas propiedades de los individuos
mencionados en la lista o relaciones existentes entre ellos. Estas propiedades o
relaciones se conocen con el nombre de predicados.
En la frase quot;María y Pablo son hermanosquot;, por ejemplo, la lista de argumentos
consta de María y Pablo, por este orden, mientras que el predicado lo describe la
frase quot;son hermanosquot;. De manera similar, la frase quot;Tom es un gatoquot; tiene una lista

9. de argumentos con un solo elemento, quot;Tomquot;, y su predicado lo describe quot;es un
gatoquot;. Las entradas de la lista de argumentos se denominan argumentos. Los
argumentos pueden ser, o bien variables o bien constantes individuales, pero dado
que aún no hemos hablado de variables, limitaremos nuestra atención al caso en
que todos los argumentos son constantes individuales.
En el cálculo de predicados, cada predicado recibe un nombre, que va seguido por
la lista de argumentos. La lista de argumentos se encierra entre paréntesis. Por
ejemplo, para expresar que quot;Juana es la madre de Maríaquot;, seleccionamos un
identificador, digamos quot;madrequot;, para expresar el predicado quot;es la madre dequot; y
escribimos madre(Juana, María).
En lógica se utilizan sólo letras individuales para los nombres de predicados y de
constantes. Por ejemplo, se escribe M(j, m) en lugar de madre(Juana, María); esto
es, utilizamos la M como nombre del predicado quot;es la madre dequot;, j en lugar de
Juana y m en lugar de María.
Es importante el orden de argumentos. Las frases madre(María, Juana) y
madre(Juana, María) tienen un significado completamente diferente. El número de
elementos que hay en la lista del predicado se denomina aridad del predicado. Por
ejemplo, madre(Juana, María) tiene una aridad de 2. La aridad de cada predicado
es fija. Por ejemplo, un predicado no puede tener dos argumentos en un caso y
tres en otro. Dos predicados se consideran distintos si su aridad es diferente.
Los predicados de aridad n suelen denominarse predicados de n cifras. Los
predicados de una sola cifra suelen denominarse propiedades. El nombre de un
predicado, seguido por una lista de argumentos entre paréntesis, es lo que se
denomina una fórmula atómica. Las fórmulas atómicas son frases, y se pueden
combinar mediante conexiones lógicas como si fueran proposiciones. Por ejemplo:

10. si gato(Tom) y tienecola(Tom) son dos fórmulas atómicas que expresan que Tom
es un gato y Tom tiene cola, respectivamente, entonces se puede afirmar:
gato(Tom) → tiene cola(Tom)
Si todos los argumentos de un predicado son constantes individuales, entonces la
fórmula atómica resultante debe ser, o bien verdadera o bien falsa. Esto forma
parte de la definición de predicado.
Por ejemplo, si el universo de discurso consta de Juana, David, María y Pablo,
entonces es preciso saber para cada par ordenado de individuos si el predicado
quot;es la madre dequot; (o quot;madrequot; para abreviar) es o no verdadero. Esto se puede
hacer en forma de tabla:
Asignación para el predicado quot;madrequot;:
David Juana María Pablo
F F F F
David
F F V V
Juana
F F F F
María
F F F F
Pablo
En un universo finito de discurso, se pueden representar las asignaciones de los
predicados cuya aridad sea n mediante matrices n-dimensionales. Por ejemplo, las
propiedades se asignan mediante matrices monodimensionales, los predicados de
aridad 2 mediante matrices bidimensionales, y así sucesivamente.

11. Los símbolos matemáticos ≥ y ≤ son predicados. Sin embargo, estos predicados
suelen utilizarse con la notación infijos. Con esto se quiere decir que se sitúan en
los argumentos. Por ejemplo, para expresar que 2 es mayor que 1, se escribe 2 >
1, en lugar de poner >(2, 1).
Para el caso de las frases: La suma de 2 y 3 es 5; La suma de 2, 3 y 4 es 9;
expresándolas en cálculo de predicados, se tiene:
Se puede, o bien utilizar dos predicados diferentes, tales como quot;sumar2quot; y
sumar3quot;, escribiendo sumar2(2, 3, 5) y sumar3(2, 3, 4, 9), respectivamente, o bien
utilizar el mismo símbolo, quot;sumarquot;, entendiendo implícitamente que el nombre
quot;sumarquot; de sumar(2, 3, 5) hace alusión a un predicado distinto del que se usa en
sumar(2, 3, 4, 9).
Actividad 4.1
Realice una tabla de asignación para el predicado quot;mayorquot;, si el dominio consta de
los cuatro números 1, 2, 3 y 4, y el predicado quot;mayor quequot; es verdadero si el
primer argumento es mayor que el segundo.
Cuantificadores
Dada una proposición p sobre los elementos de un conjunto A, si deseamos
cuantificar los elementos del conjunto A que satisfacen la proposición,
encontramos dos casos especiales de importancia.
1. Todos los elementos cumplen (o no cumplen) la proposición.
2. Algunos elementos cumplen (o no cumplen) la proposición.

12. Cuantificador universal (∀: para todo)
Cuando todos los elementos (o ninguno) del conjunto A satisfacen la proposición
p(x).
∀ x∈A, p(x) ; ∀ x∈A, ¬p(x)
Las frases que contienen: Para todo, Todos, Ninguno, Cada Uno, Los quot;elementosquot;,
suelen indicar una cuantificación Universal.
Ejemplo
Expresar quot;Todos los gatos tienen colaquot; en cálculo de predicados.
Primero hay que hallar el ámbito del cuantificador universal, que es quot;Si x es un
gato, entonces x tiene colaquot;. Una vez seleccionados unos símbolos de predicado
significativos, expresamos eso mediante la fórmula compuesta:
Gato(x) → tienecola(x)
Hay que cuantificar universalmente esta expresión para producir la solución
deseada.
∀ x(gato(x) → tienecola(x))
Otra forma de expresar esta frase es:
∀ y(gato(y) → tienecola(y))

13. Aquí la variable es y en lugar de x. La variable utilizada para los cuantificadores es
irrelevante.
Cuantificador existencial (∃: existen)
Cuando algunos elementos del conjunto A satisfacen (o no satisfacen) la
proposición p(x).
∃ x∈A, p(x) ; ∃ x∈A, ¬p(x)
Las frases que contienen: Algunos, Varios, Existen, Pocos, Unos, Muchos, Por lo
menos uno, sugieren una cuantificación existencial.
Ejemplo
Sea p la propiedad quot;les gusta la carne crudaquot;. Entonces, ∃ xp(x) se puede traducir
como quot;Hay personas a las cuales les gusta la carne crudaquot;, o de otro modo, quot;A
algunas personas les gusta la carne crudaquot;.
Como caso especial, podemos hablar del Cuantificador de UNICIDAD: ∃!: Existe
un único.
∃! x∈A, p(x) ; ∃! x∈A, ¬p(x)
Las frases que contienen: Existe un único, Sólo uno, Nada más que Uno, sugieren
una cuantificación existencial de unicidad.

14. Los cuantificadores tienen una prioridad superior a la de todas las conexiones
binarias. Por ejemplo, si p(x) y q(x) significan respectivamente que x vive y que x
está muerto, entonces hay que escribir ∀x(p(x) ∨ q(x)) para indicar que todo está o
bien vivo o bien muerto.
Restricciones de los cuantificadores a ciertos grupos
En algunas ocasiones, la cuantificación se hace sobre un subconjunto del universo
de discurso. Por ejemplo, que los animales formaran el universo de discurso. Para
expresar frases tales como quot;Todos los perros son mamíferosquot; y quot;Algunos perros
son marronesquot;, tendremos primero para la frase quot;Todos los perros son
mamíferosquot;, el Cuantificador tiene que restringirse a los perros, luego se tiene: quot;Si
x es un perro, entonces x es un mamíferoquot;, esto será:
∀ x(perro (x) → mamífero(x))
En general:
∀ x(p (x) → q(x))
se puede traducir como quot;Todos los individuos que poseen la propiedad p tienen
también la propiedad qquot;.
Para la frase: quot;Algunos perros son marronesquot;, significa que hay algunos animales
que son perros y que son marrones. Entonces, la frase quot;x es un perro y x es
marrónquot;, será:
∃x(perro(x) ∧ marrón(x))
En general:
∃x(p(x) ∧ q(x))

15. se puede interpretar como quot;Algunos individuos que tienen la propiedad p tienen
también la propiedad qquot;.
Si el cuantificador universal tiene que aplicarse sólo a individuos con una
propiedad dada, se emplea una condicional para restringir el universo de discurso.
Por otro lado, si restringimos de forma similar el cuantificador existencial, se utiliza
la conjunción.
Certeza y validez
Términos de enlace de certeza funcional
Cada proposición ha de tener un valor de certeza, cada proposición ha de ser
cierta o falsa. El valor de una proposición cierta es cierto y el valor de certeza de
una proposición falsa es falso. Cada proposición atómica o molecular tiene uno de
estos dos valores de certeza posibles.
Para determinar la certeza o falsedad de cada proposición molecular sólo es
necesario conocer la certeza o falsedad de sus proposiciones atómicas y los
términos de enlace que las ligan.
Conjunción
La conjunción de dos proposiciones es cierta si y sólo si ambas proposiciones son
ciertas. Por tanto, si p ∧ q ha de ser una proposición cierta, entonces p es cierta y
q es cierta.
Así se concluye:

16. Si p es cierta y q es cierta, entonces p ∧ q es cierta
•
Si p es cierta y q es falsa, entonces p ∧ q es falsa
•
Si p es falsa y q es cierta, entonces p ∧ q es falsa
•
Si p es falsa y q es falsa, entonces p ∧ q es falsa
•
Observación
Recuerda que en Lógica se pueden ligar dos proposiciones cualesquiera para
formar una conjunción. No se requiere que el contenido de una de ellas tenga
relación con el contenido de la otra.
Disyunción
Al considerar la certeza o falsedad de cada disyunción se debe tener en cuenta
que se utiliza el sentido incluyente de la palabra quot;oquot;. Esto significa que en
cualquier disyunción, por lo menos, una de las dos proposiciones es cierta y quizá
ambas. Lo que se requiere es que por lo menos un miembro sea cierto. Por lo
cual, la disyunción de dos proposiciones es cierta si y sólo si por lo menos una de
las dos proposiciones es cierta.
Para conocer la certeza o falsedad de la proposición p ∨ q se debe conocer la
certeza o falsedad de las proposiciones p ∧ q.
Ejemplo
O Antonio ganó una apuesta en las carreras o ganó una apuesta de fútbol.

17. Para saber si la proposición es cierta o falsa es necesario saber si las
proposiciones quot;Antonio ganó una apuesta en las carrerasquot; y quot;ganó una apuesta en
fútbolquot; son proposiciones ciertas o falsas.
Si por lo menos una de ellas es una proposición cierta, entonces la disyunción
total es cierta. Al determinar los valores de certeza de p ∨ q, se tiene:
Si p es cierta y q es cierta, entonces p ∨ q es cierta.
•
Si p es cierta y q es falsa, entonces p ∨ q es cierta.
•
Si p es falsa y q es cierta, entonces p ∨ q es cierta.
•
Si p es falsa y q es falsa, entonces p ∨ q es falsa.
•
Proposiciones condicionales
Si se conoce la certeza o falsedad de p ∧ q entonces también se conoce la certeza
o falsedad de p → q, porque la certeza o falsedad de p → q es una función, o
depende, de la certeza o falsedad del antecedente y del consecuente.
Ejemplo
Se sabe si es cierta o falsa una proposición como: quot;Si hay un eclipse entonces
salen las estrellasquot;, cuando se sepa si son ciertas o falsas las proposiciones quot;Hay
un eclipsequot; y quot;Las estrellas salenquot;.
Observación
Recuerda que en Lógica el contenido del antecedente no necesita estar
relacionado, en absoluto, con el contenido del consecuente.

18. Ejemplo
quot;Si el día es frío, entonces 3 + 3 = 6quot;.
Una proposición condicional es falsa si el antecedente es cierto y el consecuente
es falso, en todo otro caso la proposición condicional es cierta. Como el valor de
certeza de p → q está determinado únicamente por la certeza o falsedad de la
sentencia de p y de la sentencia de q, se concluye:
Si p es cierta y q es cierta, entonces p → q es cierta.
•
Si p es cierta y q es falsa, entonces p → q es falsa.
•
Si p es falsa y q es cierta, entonces p → q es cierta.
•
Si p es falsa y q es falsa, entonces p → q es cierta.
•
Equivalencia: proposiciones bicondicionales
Las proposiciones bicondicionales, se denomina también equivalencias. Por
ejemplo: Usted puede votar si y sólo si está inscrito.
La certeza o falsedad de la equivalencia depende de la certeza o falsedad de sus
partes. Si ambas proposiciones son ciertas, entonces la proposición bicondicional
es cierta; si ambas proposiciones son falsas, entonces la proposición es cierta.
Siempre que se tenga una proposición bicondicional con un miembro cierto y un
miembro falso, entonces una de las implicaciones que contiene tendrá un
antecedente cierto y un consecuente falso, por lo que la proposición completa será
falsa.

19. Observación
Recuerda que una proposición bicondicional, o equivalencia, p ⇔ q tiene en
esencia el mismo significado que dos condicionales, p → q y q → p.
Por lo cual, una proposición bicondicional es cierta si y sólo si sus dos miembros
son ambos ciertos o ambos falsos. Por lo que se concluye:
Si p es cierta y q es cierta, entonces p ⇔ q es cierta.
•
Si p es cierta y q es falsa, entonces p ⇔ q es falsa.
•
Si p es falsa y q es cierta, entonces p ⇔ q es falsa.
•
Si p es falsa y q es falsa, entonces p ⇔ q es cierta.
•
Resumen
En este módulo, se estudiaron los conceptos de términos, predicados y
cuantificadores universales; se identificaron y analizaron los conceptos de certeza
y validez en los términos de enlace.
Bibliografía recomendada
SUPPES, Patrick y HILL, Shirley. Introducción a la lógica matemática. Barcelona:
Editorial Reverté Colombiana, capítulo 5, p. 1 - 37, 1988.

20. GROSSMAN, Stanley. Matemática discreta y lógica. México: Grupo Editorial
Iberoamérica, capítulos 2, 3, 4, 1988.
Párrafo nexo
En el siguiente fascículo, se estudiará el concepto de conjuntos: el universal,
conjunto vacío, igualdad de conjuntos, subconjuntos, y las operaciones entre
conjuntos: unión, intersección, diferencias y complementos, aplicando los
conceptos hasta ahora estudiados de la lógica proposicional en el análisis de
éstos.

21. Autoevaluación formativa
1. Expresar las frases siguientes en el cálculo de predicados. El Universo de
discurso es el conjunto de todas la personas.
a. Si a María le gusta Kiko, y a Kiko le gusta Juli, entonces a María le gusta
Juli.
b. Juan está muy ocupado, pero Beni no.
c. Benja conoce al señor Suárez, pero el Sr. Suárez no conoce a Benja.
2. Traducir las frases siguientes a cálculo de predicados. El dominio es el
conjunto de los enteros.
a. Si x está entre 1 y 2, y si y está entre 2 y 3, entonces la diferencia entre x
e y no puede ser mayor que 2. Utilizar el predicado b(x, y, z) si x está entre
y, y z, y utilizar d(x, y, z) si la diferencia entre x e y es mayor que z.
b. Si x es divisible por 3, entonces x no puede ser primo. Utilizar d(x, y) si x
es divisible por y y p(x) si x es primo.
c. Exprese: quot;No existen números naturales negativosquot;, suponiendo que el
universo de discurso es:
• El conjunto de los números naturales.
• El conjunto de los números enteros.
3. En el dominio de los números naturales, ¿cómo traduciría las frases
siguientes? Utilice p(x) para denotar quot;x es primoquot; y q(x) para denotar quot;x es
parquot;. También puede utilizar x < y para x e y.
a. Algunos primos son pares.
b. Todos los números pares son mayores que 1.

22. c. Los números pares son primos solamente si son menores que 3.
d. No hay primos menores que 3.