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Fórmula para encontrar la suma total de las n combinaciones posibles com m dígitos consecutivos
- 1. FÓRMULA PARA CALCULARLA SUMA DE LAS “N” COMBINACIONES POSIBLES CON “M” DÍGITOS CONSECUTIVOS ERNESTO RAÚL SILVA GONZÁLEZ SANTIAGO DE CHILE e-mail: ernesto.silvag@alumnos.usm.cl II. Abstract: This document shows the formula to calculate the sum of the n possible combinations of m consecutive digits. The formula for m = 3 and m = 5 will be demonstrated. Finally, the sum of the possible combinations from 3628800 to combine 0123456789 digit calculated. Comprobación de la fórmula para 3 dígitos consecutivos cualquiera Sea X, Y y Z tres dígitos consecutivos cualesquiera, entonces se cumple que: ܻ =ܺ+1 2+ܺ =1+1+ܺ=1+ܻ= ܥ Con estos 3 dígitos formamos los siguientes números Resumen: El presente documento muestra la fórmula para calcular la suma de las n combinaciones posibles con m dígitos consecutivos. Se demostrará la fórmula para m=3 y m=5. Finalmente, se calculará la suma de las 3628800 combinaciones posibles que resultan de combinar los dígitos 0123456789. 100X+10Y+Z 100X+10Z+Y 100Y+10X+Z 100Y+10Z+X 100Z+10X+Y 100Z+10Y+X PALABRAS CLAVE: combinaciones, dígitos consecutivos, fórmula, suma total. Sumando tenemos: I. Descripción de la fórmula 222X+222Y+222Z=222(X+Y+Z) reemplazando =222(X+X+1+X+2) =222(3X+3) =666(X+1) Para calcular la suma total de la n combinaciones posibles con m dígitos consecutivos, desde m=2 hasta m=10, tenemos la fórmula siguiente: (ࢉࢋ࢜ + ࡹࢂ) Aplicando la fórmula tenemos ! 3! ൫(100ܺ + 10ܻ + ܼ) + (100ܼ + 10ܻ + ܺ)൯ ∗ 2 6 (101ܺ + 20ܻ + 101ܼ) ∗ 2 Reemplazando Donde: cmev=combinación de menor valor CMAV=combinación de mayor valor m= número total de dígitos (101ܺ + 20ܺ + 20 + 101ܺ + 202) ∗ 3 (222ܺ + 222) ∗ 3 222 ∗ 3 ∗ (ܺ + 1) 666 ∗ (ܺ + 1) Por ejemplo para encontrar la suma total de las 120 combinaciones posibles con los dígitos 1,2,3,4 y 5 tenemos: (12345 + 54321) ∗ (66666) ∗ 120 2 Por lo tanto se comprueba la fórmula y se obtiene una fórmula alternativa para obtener la suma total de los números que resultan de combinar 3 dígitos consecutivos cualesquiera 666*(X+1), donde X es el dígito de menor valor. 5! 2 66666 ∗ 60 Para 1, 2 y 3 tenemos 3999960 (123 + 321) ∗ Por lo tanto la suma de las 120 combinaciones que resultan de combinar los dígitos 1,2,3,4 y 5 es 3999960. 3! 2 (444) ∗ 3 = 1332 1
- 2. III. Sumando tenemos elsiguiente resultado parcial 266664E Comprobación de la fórmula para 5 dígitos consecutivos cualquiera Sea A,B,C,D,E 5 dígitos consecutivos cualesquiera entonces se cumple que: Sumando los resultados parciales tenemos: B=A+1 C=B+1=A+1+1=A+2 D=C+1=A+2+1=A+3 E=D+1=A+3+1=A+4 266664A+ 266664B+266664C+266664D+266664E 266664(A+B+C+D+E) Por ser dígitos consecutivos tenemos: 266664(A+A+1+A+2+A+3+A+4) 266664(5A+10) 1333320(A+2) Formamos el número 10000A+1000B+100C+10D+E, haciendo las combinaciones, nos podemos dar cuenta que el dígito A estará 24 veces en esa posición. Porque el número de permutaciones con los 4 dígitos restantes es 24. Haciendo lo mismo sucesivamente con los otros dígitos obtendremos los siguientes resultados parciales: Aplicando la fórmula (10000ܧ00001 + ܧ + ܦ01 + ܥ001 + ܤ0001 + ܣ 5! + 1000∗ )ܣ + ܤ01 + ܥ001 + ܦ 2 A*24*10000=240000A A*24*1000=24000A A*24*100=2400A A*24*10=240A A*24*1=24A (10001)ܧ10001 + ܦ0101 + ܥ002 + ܤ0101 + ܣ 120 ∗ 2 ൫10001)2 + ܣ(002 + )1 + ܣ(0101 + ܣ + 1010()4 + ܣ(10001 + )3 + ܣ൯ ∗ 60 (200020303 + 004 + 0101 + ܣ002 + ܣ0202 + ܣ + 40004) ∗ 60 Sumando tenemos el siguiente resultado parcial 266664A B*24*10000=240000B B*24*1000=24000B B*24*100=2400B B*24*10=240B B*24*1=24B (2222206 ∗ )44444 + ܣ (1333320)0466662 + ܣ Sumando tenemos el siguiente resultado parcial 266664B 1333320()2 + ܣ Se comprueba la fórmula sin pérdida de generalidad, por lo tanto se concluye que la suma de todas las combinaciones posibles con m dígitos se puede calcular con la fórmula C*24*10000=240000C C*24*1000=24000C C*24*100=2400C C*24*10=240C C*24*1=24C Sumando tenemos el siguiente resultado parcial 266664C (ࢉࢋ࢜ + ࡹࢂ) D*24*10000=240000D D*24*1000=24000D D*24*100=2400D D*24*10=240D D*24*1=24D Donde: cmev=combinación de menor valor CMAV=combinación de mayor valor m= número total de dígitos. Sumando tenemos el siguiente resultado parcial 266664D E*24*10000=240000E E*24*1000=24000E E*24*100=2400E E*24*10=240E E*24*1=24E 2 !
- 3. IV. Cálculo de lasuma total de las 3628800 combinaciones posibles con los 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 Aplicando la fórmula tenemos: (0123456789 + 9876543210) ∗ (9999999999) ∗ 3628800 2 10! 2 ૡૢૢૢૢૢૡૡ Signed by: Ernesto Silva González Date: 2014.01.30 10:53:18 -03 3