MAT. Y RAZ. MATEMÁTICO I 2023-I.pdf

UNIVERSIDAD CATÓLICA
DE SANTA MARÍA
PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Heiby Elizabeth Espinoza Zúñiga
Hilarión Chaco Llamoca
Arequipa – Perú
Ingreso 2023

1 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
I. INTRODUCCIÓN
Cuando se definen los números reales se dice que
son cualquier número que se encuentre o corresponda
con la recta real que incluye a los números racionales
y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los
números reales se encuentra entre menos infinito y
más infinito.
Las principales características de los números reales
son:
Orden. Todos los números reales siguen un
orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4…
Integral. La integridad de los números reales
marca que no hay espacios vacíos, es decir,
cada conjunto que dispone de un límite
superior tiene un límite más pequeño.
Infinitos. Los números reales no tienen final,
ni por el lado positivo ni por el lado negativo.
Por eso su dominio está entre menos infinito
y más infinito.
Decimal. Los números reales pueden ser
expresados como una expansión decimal
infinito.
El conjunto de ℚ de los números Racionales y el
conjunto 𝕀 de los números irracionales
constituyen reunidos, el conjunto de números
reales que se representa por la letra ℝ . Todos los
conjuntos numéricos como: los naturales,
enteros, racionales e irracionales están incluidos
en los Reales como se verá en la siguiente
diagrama:
1. CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
(ℕ)
El conjunto de los números naturales la suma de
números enteros, es el conjunto de los números que
sirven para contar, se denota con N y es
N = {1, 2, 3, 4,5,...}. Para cada número natural n,
existe su siguiente representado por n+1. El siguiente
de 27489 es 27490 y el siguiente de éste es 27491 y
así sucesivamente. El conjunto de los números
naturales tiene infinitos elementos y no existe un
número natural que sea mayor que los demás.
2. CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS (ℤ)
Los números enteros son los naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero. El conjunto de los números
enteros se representa mediante una Z,
Z= {0, 1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4...}. Se cumple entonces
que todo número natural es entero.
-456298; 74000000; 26007253187; -13789 y
453571000000023 son ejemplos de números enteros.
3. CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES
(ℚ)
El Conjunto de números racionales, denotado por Q,
es el conjunto de todos los cocientes de dos números
enteros donde el denominador es diferente de cero:
Q= {
𝑚
𝑛
, 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≠ 0}
Ejemplos
3
4
; 0,4555…;
−124
343
;
6
7
Con la definición de número racional, se concluye
que los divisores no pueden ser cero, es decir, división
entre cero no existe, no representa ningún número.
Ejemplo
3
0
es una división indicada. Si
3
0
= 𝑎 se debe cumplir
que a x 0 = 3 y se sabe que todo número multiplicado
por cero da cero.
UNIDAD 1: NÚMEROS REALES

MATEMÁTICO I
Ejemplo
Si
0
0
= 𝑏 se debe cumplir que b x 0 = 0 y esto es
cierto para cualquier número real b. Por tanto, como
b no es único,
0
0
no está definido.
Si m es un número entero, 𝑚 =
𝑚
1
,, por tanto, todo
número entero es racional.
4. CONJUNTO DE NÚMEROS
IRRACIONALES (𝕀)
El Conjunto de números irracionales, denotado por I,
es el conjunto de todos los números decimales
infinitos no periódicos. Son ejemplos de números
irracionales 1,41421356..., 3,14.1592265...,
2,7182818284..., 2,31323334353637... Y -
14,1234567891011...
Existen en el conjunto de los irracionales números
como π y e, que son constantes universales
y √5 ; √61
9
; 𝜋 , etc., que, además de tener esta
forma, tienen su representación como números
decimales infinitos no periódicos.
Ejemplos
𝑒 = 2,71828182 ….
𝜋=3,1415922…
-√21
5
=-1,838416…
Ningún número racional es irracional porque todo
número racional es de la forma
𝑚
𝑛
y al realizar la
división indicada, encuentra la representación
decimal infinita periódica.
Como los números reales se clasifican en racionales
o irracionales y ambos tienen una representación
decimal, entonces todo número real tiene una
representación decimal.
Los números naturales y los enteros se pueden
representar como cociente de números, por ejemplo:
2 =
2
1
=
6
3
=
2√3
√3
=
√12
√3
; −7 =
−7
1
=
√49
−1
=
−14𝜋
2𝜋
Además ellos tienen representación decimal infinita
periódica con periodo cero o nueve. Por ejemplo:
3= 2,99999… = 3,00000…; -5 = -4,999 = -5,0000…
Ejemplo
Para clasificar el número,
−(4 × 103
+ 2 × 10−1
+ 5 × 10−3)
Se encuentra primero su representación en decimal, la
cual es -4000,205. En la representación decimal se
observa que no es natural, ni entero por tener parte
decimal finito, es racional porque la representación
como cociente de enteros es,
−4 000 205
1 000
Es irracional por ser un decimal finito y es real por ser
racional.
Ejemplo
Para clasificar
√32
5
2
Se debe realizar la operación indicada en el radical, la
cual da
2
2
= 1, que es un número natural, entonces es
entero, racional, no es irracional y es real.
Completa la siguiente tabla marcando con un aspa
según pertenezca el número dado a los siguientes
conjuntos: ℕ; ℤ; ℚ; 𝕀 𝑦 ℝ:
número ℕ ℤ ℚ 𝕀 ℝ
-7,7
−
𝟏𝟐
𝟒
0,3333…
√𝟑𝟐
𝟓
7,6335367…
Comprobemos tus
conocimientos

MATEMÁTICO I
II. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
1. POTENCIACIÓN
Para un número real 𝑎 y un número entero
positivo 𝑛 se define la potencia n-enésima de 𝑎
al número que se obtiene al 𝑛 veces el factor 𝑎 .
Es decir:
𝑎𝑛
= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 … × 𝑎 = 𝑝
“𝑛” veces
𝑎 = es la base
𝑛=exponente
𝑎𝑛
o 𝑝 = potencia
1.1Propiedades de la potenciación
𝑎0
=1; 𝑎 ∈ ℝ 70
=1
𝑎1
= 𝑎; 𝑎 ∈ ℝ −31
= −3
𝑎𝑛
. 𝑎𝑚
= 𝑎𝑛+𝑚
;
𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ
62
. 63
= 62+3
𝑎𝑛
𝑎𝑚
=𝑎𝑛−𝑚
;
𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ
58
53
=58−3
(𝑎. 𝑏)𝑛
=𝑎𝑛
. 𝑏𝑛
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ
(6.8)3
=63
. 83
(𝑎𝑛
)𝑚
= 𝑎𝑛.𝑚
𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ
(42
)3
= 42.3
√𝑎𝑛
𝑚
=𝑎
𝑛
𝑚
𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ
√27
5
=2
7
5
𝑎−𝑛
=
1
𝑎𝑛
𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ
8−2
=
1
82
1.2 Regla de signos
Al igual que en ℤ y ℚ se cumple que:
BASE EXPONENTE POTENCIA
+ Par +
impar +
− par +
impar −
2. Cuadrado perfecto
Un entero es un cuadrado perfecto, si es el resultado
de elevar al cuadrado un entero distinto de cero.
La condición necesaria y suficiente par a que un
número sea cuadrado perfecto, es que los exponentes
de los factores primos de su descomposición canónica
sean pares
𝑁 = 𝑘2
⟺ 𝑁 = 𝐴2𝛼
× 𝐵2𝛽
× 𝐶2𝛾
… × 𝑍2𝜙
Ejemplo
144 = 24
× 32
⇒ 144=122
TEOREMA
La condición necesaria y suficiente para que un
número sea cuadrado perfecto es que descompuesto
en factores primos, los exponentes de estos sean pares
(múltiplos de 2)
Ejemplo:
225 = 32
× 52
=152
Caracteres de exclusión de cuadrado perfectos
1. Un número acabado en:
2; 3; 7 u 8 no pueden ser cuadrado perfecto
2. Para que un número acabo en cero , pueda ser
cuadrado perfecto deberá terminar en una
cantidad par de ceros
𝑁 = 𝑘2
y 𝑁 = 𝑎𝑏0 … 00
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
⟹ 𝑛 = 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2

MATEMÁTICO I
3. Para que un número acabo en 5 ; pueda ser
cuadrado prefecto su cifra de decenas debe ser 2
y su cifra de centenas : 0;2 ó 6
452
= 20 × 25
4× 5
4. Si un número es múltiplo de un factor primo ;para
que pueda ser cuadrado perfecto deberá ser
también múltiplo del cuadrado de dicho modulo
𝟏𝟔 = 𝟒𝟐
16 es múltiplo de 2 entonces 𝟐𝟐
es múltiplo de 4
Cubo perfecto
Un entero es cubo perfecto, si es el resultado de elevar
al cubo, un entero positivo.
La condición necesaria y suficiente para, que un
entero sea cubo perfecto, es que los exponentes de los
factores primos de su descomposición canónica sean
múltiplos de 3.
𝑁 = 𝑘3
⟺ 𝑁 = 𝐴3𝛼
× 𝐵3𝛽
× 𝐶3𝛾
… × 𝑍3𝜙
216 = 33
× 23
→ 216 = 63
Caracteres de exclusión de cubos perfectos
1. Para que un número acabado en 5 , pueda
ser cubo perfecto su cifra de decenas
debe ser 2 ó 7
352
= 428 75
852
= 614125
2. Para que un número acabado en cero
pueda ser cubo perfecto debe terminar en
una cantidad de cero múltiplo de 3
Si : 7𝑎𝑏𝑐00
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ es cubo perfecto, hallar:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑆𝑖 ∶ 7𝑎𝑏𝑐00
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑘3
“n” cifras
n= s múltiplo de 3 c=0
N=7𝑎𝑏𝑐
̅̅̅̅̅̅̅ =93
= 729
Identificando:
𝑎 = 2 𝑏 = 9
Nos piden
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2 + 9 + 0 = 11
3. Si un número es múltiplo de un factor
primo para que pueda ser subo perfecto
deberá ser también múltiplo del cubo de
dicho factor
2 744 = 143
2 744 es múltiplo de 2 entonces 2 744 es
23
= 8× 343
2. RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa a la
potenciación. Consiste en dados dos números llamado
índice y radicando, calcular un tercer número llamado
raíz, que elevado a un exponente igual al índice
resulte el radicando.
Índice
√𝑁
𝑛
= k↔ N=𝑘𝑛
Radicando Raíz
Ejemplos:
√64
3
= 4 √625
4
= 5 √169 =13
2.1 Propiedades de la radicación
√𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
𝑎,𝑏 ∈ ℝ+
∧ 𝑛 ∈ ℕ
√8
3
. √27
3
= √8.27
3
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
;
𝑎,𝑏 ∈ ℝ+
∧ 𝑛 ∈ ℕ
√16
4
√256
4 = √
16
256
4
(√𝑎
𝑛
)
𝑚
= √𝑎𝑚
𝑛
𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑛 , 𝑚 ∈ ℕ
(√5
3
)
2
= √52
3
√√𝑎
𝑛
𝑚
= √𝑎
𝑚.𝑛
𝑎 ∈ ℝ+
∧ 𝑛 , 𝑚 ∈ ℕ
√ √64
3
= √64
3.2

MATEMÁTICO I
2.2 Regla de signos
Resultado del signo de
la raíz
Índice
par impar
Cantidad
subradical
positiva +
− +
negativa Cantidad
imaginaria
−
a) Si la cantidad subradical es positiva, la raíz de
índice par o impar es también positiva
√+
𝑝𝑎𝑟
= + √+
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
=+
√16
4
= 2 √27
3
= 3
b) Si la cantidad subradical es negativa, solo tiene raíz
de índice impar; si la raíz de índice par no pertenece
al campo de los números reales.
√−
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
= − √−
𝑝𝑎𝑟
∉ ℝ
√−64
3
= −4 √−16
4
∉ ℝ
3. Notación científica y exponencial
3.1 Notación científica
La notación científica nos permite escribir números
muy grandes o muy pequeños de forma abreviada.
Esta notación consiste simplemente en multiplicar
por una potencia de base 10 con exponente positivo
o negativo.
Ejemplo:
El número 0,00000123 puede escribirse en notación
científica como Evitamos escribir los ceros
decimales del número, lo que facilita tanto la lectura
como la escritura del mismo, reduciendo la
probabilidad de cometer erratas. Observa que existen
múltiples posibilidades de expresar el mismo
número, todas ellas igualmente válidas.
Potencias de 10
Exponente positivo: Si n es positivo, la potencia de
base 10 con exponente n, es decir, es el número
formado por la cifra 1 seguida de n ceros. Ejemplo:
El exponente indica el número de 0's. Exponente
negativo: La potencia de base 10 con exponente
negativo -n, es decir, es el número decimal 0,00...01
siendo n el número total de ceros. Ejemplo:
El exponente indica el número de 0's, contabilizando
también el cero situado a la izquierda de la coma.
Al multiplicar un número por la potencia
(con exponente positivo) se desplaza la coma hacia
la derecha tantas posiciones como indica el
exponente. Ejemplo:
Como los exponentes son positivos, la coma se
desplaza hacia la derecha. Si no hay suficientes cifras
para desplazar la coma, se añaden 0's (a la derecha).
Al multiplicar un número por la potencia
(con exponente negativo) se desplaza la coma hacia
la izquierda tantas posiciones como indica el
exponente (al cambiarle el signo). Ejemplo:
3.2 Notación exponencial
Cuando los científicos tenemos que escribir números
muy grandes o muy pequeños, como por ejemplo
3.000.000.000.000.000 (tres mil billones) o

MATEMÁTICO I
0,000.000.000.000.003 (tres milésimas de
billonésima) los científicos utilizamos la notación
exponencial, por ejemplo:
1.000 = 103 que se lee “diez a la tres”
0,001 = 10-3 que se lee “diez a la menos tres”
El exponente positivo es el número de ceros que
suceden al 1 y el exponente negativo es la posición en
que se encuentra el 1 detrás del punto. De esa manera,
los números que hemos citado antes se escribirían:
3.000.000.000.000.000 = 3×1015 que se lee “tres
por diez a la quince”
0,000.000.000.000.003 = 3×10-15 que se lee “tres por
diez a la menos quince”
Esto lo hacemos no solamente para ahorrar espacio,
sino porque el exponente hace explícito lo que más
nos importa a los científicos de una cifra que es su
orden de magnitud. Si tuviéramos que contar el
número de ceros, como hemos hecho antes, nos
volveríamos locos y un error en la cuenta podría tener
consecuencias nefastas. Imagínate que tienes que ir a
algún lugar y te dan la distancia en metros. Si te estás
planteando qué medio emplear para desplazarte no
importa tanto que la distancia sea de 327 o 452
metros, lo que importa es el orden de magnitud. Si la
distancia es del orden 103 metros podrás ir andando,
pero si es de 105 metros será mejor que subas al
coche.
Distancia en
metros
Medio de
transporte más
conveniente
Menos de
103
andando
104 Bicicleta
/moto/auto
105 Auto/autobús/tren
106 Avión
107 Avión ( con
escalas)
𝑀𝑎𝑠 𝑑𝑒 108 Nave espacial
De esta manera, un simple vistazo al exponente nos
indica cual es el medio de transporte más adecuado
para el desplazamiento. Un error en la apreciación del
orden de magnitud de la distancia que nos tenemos
que desplazar tendría consecuencias muy serias.

MATEMÁTICO I
PRACTIQUEMOS N°1
1. Completa el cuadro
PRODUCTOS POTENCIA BASE EXPONENTE
2.2.2.2.2
5.5.5.5.5.5
7.7.7
10.10.10.10
8.8.8.8.8.8.8
4.4.4.4
12.12.12.12
20.20.20.20.20
4.4.4.4.4.4.4
17.17
2. Efectúa las siguientes operaciones
aplicando las propiedades de la
potenciación.
a. 45÷
43
b. 106
÷ 103
c.103
× 106
× 100
d.(57
. 53
). 54
e.( (26
. 27
) ÷ (22
. 28
)
f.167
÷ 167
g. [(53
)2]0
3. Resuelve aplicando las propiedades
a. √4 900
b.√640 000
c. √90 000
d. √810 000
4
e. √3 200 000
5
4. Calcula el valor de cada raíz aplicando las
propiedades
a. √√81√16
b. √√√256
c. √169 +√64.27
3
d. √√729
3
e. √
2 500
1 600

MATEMÁTICO I
5. ¿Cuál es el menor número múltiplo de 5 por
el que se debe multiplicar 84 para que sea
cuadrado perfecto?
A) 525 B) 520 C) 500 D) 510 E) 530
6. ¿Cuál es el menor número entero por el que
se debe dividir 453 600 para que sea un cubo
perfecto?
A)
2 300
B)
2 000
C)
2 500
D)
2 100
E)
2 200
7. Determinar un número cuyo cuadrado
disminuido en 119 es igual a 10 veces el
exceso del número con respecto a 8.
A) 12 B) 11 C) 13 D) 10 E) 15
8. La suma del cuadrado y el cubo de un mismo
número es 4 352.Determinar la suma de las
cifras de dicho número
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

MATEMÁTICO I
9. La diferencia de los cubos de dos números
impares consecutivos es 602.El valor de su
suma es :
A)21 B) 20 C) 27 D) 22 E) 29
10. El cociente del cuadrado de un número entero
menos 45 entre la raíz cuadrada de la
diferencia del cuadrado del número
mencionado y 72 es 12. El valor del número
es :
A)9 B)4 C) 6 D) 5 E)2
11. Calcular un número cuyo cuadrado
disminuido en 119 es igual a 10 veces el
exceso del número con respecto a 3.
A)12 B) 11 C) 13 D )14 E)15
12. Resolver:
[√(
1
2
)
−3
+ (
4
3
)
−1
+ 2−2 ]
3
√√324
4
A) 1 B)2 C)4 D) 6 E)8

MATEMÁTICO I
13. Resolver:
√ 1
√√2−6
3
. √√√216
3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
14. Hallar el resultado de :
(32−1
)
4
.(√√√362
3
)
1/3
A)25 B) 27 C) 23 D)22 E)29
15. Resolver:
1000,5
− 161/4
+ √√16
810,5 + √√√327
3
3
3
−
2−4
2−6
+ 2
A)3 B) 0 C) 4 D)1 E) 2
16. Escribir la notación científica de los
siguientes números
a. 259:
b.2,59:
c. 40,7:
d. 407 000:
e. 259 000:
f. 0,000 040 7

MATEMÁTICO I
17. .Escribir como un número ordinario
a. 5,8 × 105
b. 5,8 × 10−5
c. 4,93 × 104
:
d. 4,93 × 10−4
:
e. 6,4 × 105
f. 6,4 × 10−5
18. El grosor de una hoja de papel es de
3,4 × 10−4
metros ¿Cuántas hojas serán
necesarias apilar para alcanzar una altura de
10 cm.
A. 294 B. 265 C.289 D. 250 282
19. Durante la temporada de invierno , un
granjero de quinua produjo 6𝑥 10 4
kg .Si el
peso promedio de quinua es 8x10−4
kg ¿cuál
es la cantidad de producción de quinua en la
granja? ( respuesta en kg)
A) 5,7 𝑥 10 3
B) 3, 6𝑥 10 4
C) 8,7𝑥 10 6
D) 5,6𝑥 10 8
E) 7,5𝑥 107
20. La NASA informa que el 7 de mayo Marte
estará a 4,3× 109
km de Urano y 1,5× 109
km de Júpiter ¿Cuánto más lejos está Urano
que Júpiter ? (respuesta en km )
A) 2,8 𝑥 10 9
B) 5, 6𝑥 10 5
C) 1,7𝑥 10 −7
D) 2,5𝑥 10 2
E) 3,5𝑥 104

MATEMÁTICO I
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y
contiene a todos los números reales que están
comprendidos entre dos cualquiera de sus elementos.
Geométricamente los intervalos corresponden a
segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.
Los intervalos de números correspondientes a
segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos
correspondientes a semirrectas y a la recta real son
intervalos infinitos
Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o
semiabiertos
1. Representación de intervalos
¿Cómo se representará un intervalo que contiene
infinitos números? Pues con infinitos puntos, es decir,
dibujando el tramo de la recta real que representa ha
dicho intervalo. Vamos a verlo a continuación.
2. Operaciones con intervalos
Los intervalos son conjuntos de números reales, por lo
tanto, se pueden realizar las operaciones definidas entre
conjuntos: unión, intersección, diferencia, diferencia
simétrica y complemento. Para los conjuntos definidos
como intervalos, el conjunto universal o de referencia
U es el conjunto de los números reales R.
Cualquier subintervalo se denota por una letra
mayúscula. Si A está contenido en los números reales,
gráficamente, se puede representar de la siguiente
manera:
El intervalo A = [a,b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}, es un
subconjunto de números reales y en la recta real se
representa de la siguiente forma:
2.1 Unión de intervalos
La unión entre los conjuntos A y B se define como
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}.
El conjunto A ∪ B está formado por todos los
elementos que pertenecen a A o pertenecen a B sin
repetirlos.
En la unión de dos conjuntos A y B se pueden presentar
tres situaciones: A y B no tienen elementos en común,
como se muestra en la siguiente figura.
A∪B, si A y B no tienen elementos en común
Los intervalos A = (−3,0] y B = [1,2), no tienen
elementos en común. Gráficamente se representan de
la siguiente manera:
Para los intervalos A y B, A∪B = (−3,0] ∪ [1,2) se
representa gráficamente como sigue:
A y B tienen elementos en común.

13
MATEMÁTICO I
A∪B, si A y B tienen elementos en común.
Ejemplo: Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen
al intervalo (−1,0] en común. Gráficamente se
representan de la siguiente manera:
La unión A∪B = (−3,0] ∪ (−1,2) = (−3,2), que se
Uno de los dos conjuntos está totalmente
contenido en el otro. En la figura siguiente, el
conjunto B, es totalmente contenido en el A.
A∪B, si B está totalmente contenido en A
Ejemplo Los intervalos A = (−3,0] y B = [−2, −1].
El intervalo B, está totalmente contenido en el
intervalo A. gráficamente se representan de la
siguiente manera:
La unión A∪B = (−3,0] ∪ [−2, −1] = (−3,0], que se
2.2 Intersección de intervalos
La intersección entre los conjuntos A y B se define
como:
A∩B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
El conjunto A∩B está formado por todos los elementos
comunes entre los dos conjuntos sin repetirlos. En
general, en la intersección de dos conjuntos A y B se
pueden considerar tres situaciones: A y B no tienen
elementos en común, como se muestra en la siguiente
figura.
Ejemplo: Los intervalos A = (−3,0] y B = [1,2), no
tienen elementos en común.
Gráficamente se representan de la siguiente manera:
A∩B, si A y B no tienen elementos en común.
La intersección A∩B = (−3,0] ∩ [1,2) = ∅ (conjunto
vacío), que no tiene una representación gráfica en la
recta real.
Al efectuar la unión entre conjuntos, los
elementos en común no se repiten.

14
MATEMÁTICO I
A∩B, si A y B tienen elementos en común.
Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen al
intervalo (−1,0] en común. Estos elementos, son la
intersección de los dos conjuntos.
La intersección A∩B = (−3,0] ∩ (−1,2) = (−1,0], se
El elemento −1 ∈ A, pero −1 ∉ B, por lo tanto
−1 ∉ A∩B.
Uno de los dos conjuntos está totalmente contenido en
el otro. En la figura siguiente, el conjunto B, está
totalmente contenido en el A.
A∩B = B, si B está contenido en A,
Ejemplo Para los intervalos A = (−3,0] y
B = [−2, −1], el intervalo B, está totalmente contenido
en el intervalo A. Gráficamente se representan de la
siguiente manera:
En la intersección A∩B = (−3,0] ∩ [−2, −1] = B, los
elementos que están en la intersección son todos los de
B.
2.3 Diferencia de intervalos
La diferencia entre los conjuntos A y B se define como:
A−B = {x/x ∈ A∧x ∈/ B}.
El conjunto A−B está formado por todos los elementos
que pertenecen a A y no pertenecen a B.
Ejemplo: Los intervalos A = (−3,0] y B = [1,2), no
tienen elementos en común. Gráficamente, la
diferencia, se representan de la siguiente manera:
A−B = A, si A y B no tienen elementos en común
La diferencia A−B = (−3,0] − [1,2) = A.
En este caso, todos los elementos de B no están en A.
B−A, si A y B tienen elementos en común.
Ejemplo Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen
al intervalo (−1,0] en común. Gráficamente se
Para que un elemento esté en la intersección,
debe pertenecer a ambos intervalos.

15
MATEMÁTICO I
La diferencia A−B = (−3,0] − (−1,2) = (−3, −1], que se
Observe que −1 ∈ A y −1 ∉ B, por lo tanto
−1 ∈ A−B. Uno de los dos conjuntos está totalmente
contenido en el otro.
En la figura siguiente, el conjunto B, está totalmente
contenido en el A.
B−A, si A y B tienen elementos en común.
Ejemplo Los intervalos A = (−3,0] y B = [−2, −1]. El
intervalo B, está totalmente contenido en el intervalo
A. Gráficamente se representan de la siguiente manera:
La diferencia
A−B = (−3,0] − [−2, −1] = (−3, −2) ∪ (−1,0], que se
Observe que los elementos que pertenecen a los dos
intervalos no están en la diferencia
Para los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2) se tiene que
A−B = (−3, −1] y B−A = (0,2).
Gráficamente estos dos últimos intervalos se
2.4 Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto A,
A ′ = 𝐴𝑐
= {x/x ∉ A}, en palabras, se define como el
conjunto de todos los elementos que no están en A ó lo
que le falta a A para ser igual al universal.
El complemento de un intervalo A = [a, b], es
A ′ = (−∞, a) ∪ (b, ∞). Son todos los números reales
que no pertenecen a. Se representa en la recta real de la
siguiente manera:
Complemento del intervalo [a,b],
A ′ = (−∞,a)∪(b,∞)
Note que si a ∈ A, a ∉ A’, si b ∈ A, b ∉ A’. El
complemento de un intervalo B = (a,b), es
B’ = (−∞,a]∪[b,∞). Son todos los números reales que
no pertenecen a B. Se representa en la recta real de la
siguiente manera:
La diferencia entre intervalos no es
conmutativa, es decir A−B ≠B−A.
El complemento del conjunto A, son todos los
elementos que están por fuera de A.

16
MATEMÁTICO I
Complemento del intervalo (a,b) es
B ′ = (−∞,a]∪[b,∞).
Note que si a ∉ B, a ∈ B ′ , si b ∉ B, b ∈ B ′ .
Ejemplo Encontrar y graficar los complementos de los
intervalos A = [3,5] y B = [−2,3). Para el conjunto A,
su complemento es
A ′ = (−∞,3)∪(5,∞). Gráficamente, se representa de la
siguiente manera: Para el intervalo B, su complemento
es
B ′ = (−∞,−2)∪[3,∞) y gráficamente se representa por:

17
MATEMÁTICO I
PRACTIQUEMOS
1. Completa el siguiente cuadro
REPRESNTACIÓN
SIMBÓLICA
REPRESENTACIÓN
CONJUNTISTA
[𝟐; 𝟓]
{𝐱/𝐱 ∈ ℝ ∧ −𝟐 < 𝐱 ≤ 𝟓}
〈−𝟗; 𝟐〉
{𝐱/𝐱 ∈ ℝ ∧ −𝟑 ≤ 𝐱 < 𝟔}
[𝟑; +∞⟩
[−𝟓; 𝟒⟩
2. Realiza la representación gráfica de:
a) {𝐱/𝐱 ∈ ℝ ∧ −𝟏 ≤ 𝐱 ≤ 𝟒}
b){𝐱/𝐱 ∈ ℝ ∧ 𝐱 > −𝟒}
c){𝐱/𝐱 ∈ ℝ ∧ 𝐱 ≤ 𝟔}
d){𝐱/𝐱 ∈ ℝ ∧ −𝟏 < 𝐱 ≤ 𝟐}
3. Dado los conjuntos:
E = {x/x ∈ ℝ ∧ −4 < x ≤ 7}
F = {x/x ∈ ℝ ∧ −5 ≤ x < 8}
G = {x/x ∈ ℝ ∧ −3 ≤ x ≤ 6}
Graficar y dar respuesta a la siguiente
operación.
a) 𝐸 ∪ 𝐹
b) F ∪ G
c)𝐸 ∪ 𝐺
4. Con los datos del ejercicio anterior , graficar y
dar respuesta a la siguiente operación
𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝐺
A)
[2; 5]
B)
[5; 8⟩
C)
〈−4; 2〉
D)
⟨−3; 6]
E)
[−5; 8⟩

18
MATEMÁTICO I
5. A un bingo asistieron personas de
diferentes edades marcando un orden de
llegada al evento de esta manera: en primer
lugar de 12 a 20 años, en el segundo lugar
de 17 a 24 años y en tercer lugar de 15 a 29
años ¿En qué intervalo de edades se
encontraban todas las personas que
asistieron?
A)
[𝟏𝟐; 𝟐𝟗]
B)
[𝟏𝟓; 𝟏𝟖⟩
C)
〈𝟏𝟒; 𝟐𝟗〉
D)
⟨𝟏𝟑; 𝟏𝟔]
E)
[𝟏𝟐;𝟐𝟒⟩
𝐌 = {𝒙/𝒙 ∈ ℝ ∧ −𝟏 < 𝒙 < 𝟗}
𝐍 = {𝐱/𝐱 ∈ ℝ ∧ −𝟑 ≤ 𝐱 ≤ 𝟔}
𝐏 = {𝒙/𝒙 ∈ ℝ ∧ −𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟖}
Graficar y dar respuesta en intervalos:
𝑎) 𝑀 ∩ 𝑁
𝑎) 𝑀 ∩ 𝑃
𝑎) 𝑁 ∩ 𝑃
7. Con los datos del ejercicio anterior ,
graficar y dar respuesta a la siguiente
operación
𝑀 ∩ 𝑁 ∩ 𝑃
A)
B)
A)
〈−𝟐; 𝟓〉
B)
⟨−𝟏; 𝟔]
C)
[−𝟐; 𝟖]
D)
[−𝟑; 𝟗]
C) E)
D) 〈𝟓; 𝟔〉
A) ⟨−𝟐; −𝟏]
8. Marita por la pandemia tiene las sesiones
sincrónicas de Matemática de 8:00 a 11:00, Lucho
de 9:00 a 12:00 y Toño de 9:00 a 13:00 ¿En qué
intervalo de tiempo se encontrarán los tres en la
clase de Matemática?
A) 〈8: 00; 10: 00〉
B) 〈9: 00; 12:00〉
C) [10: 00; 11: 00]
D) [8: 00; 10: 00]
E) 〈9: 00; 11:00〉

19
MATEMÁTICO I
M = {x/x ∈ ℝ ∧ 5 < x < 9}
E = {x/x ∈ ℝ ∧ −1 < x ≤ 6}
G = {x/x ∈ ℝ ∧ −4 ≤ x ≤ 8}
Graficar y dar respuesta a la siguiente operación.
𝐴) 𝑀 − 𝐸
𝐵) 𝐸 − 𝐺
𝐶) 𝑀 − 𝐺
10. Considerando el ejercicio anterior resolver:
𝐴) 𝐸 − 𝑀
𝐵) 𝐺 − 𝐸
𝐶) 𝐺 − 𝑀
11. ¿Entre qué edades coinciden tres grupos de
personas que se presentan a una convocatoria de
audición para un musical : cantantes, músicos y
sonidistas?, sus edades respectivamente
son: [15; 23]; [17; 35] 𝑦 ⟨16; 34] ? (edades
expresadas en intervalos)
A)
〈14; 35〉
B)
⟨12;34]
C)
[17; 23]
D)
[15; 34]
E) E)
F) 〈15; 36〉
12. Los alumnos de un colegio deben trazar una
recta numérica de números reales en su
cuaderno. Un alumno dibuja del punto -3 al
punto 9, su amigo del punto 0 al punto 9 y otro
del punto -7 al punto 6 ¿Cuál es el trazo que
realizaron los tres a la ves?
A)
〈−1; 5〉
B)
⟨−2;4]
C)
[0; 6]
D)
[−3; 0]
G) E)
H) 〈−7; 9〉

20
MATEMÁTICO I
13. José llega al gimnasio a las 10 horas y estuvo
3 horas, Edgar llega a las 12 horas estando 2
horas , Amalia llegó a las 11 horas y estuvo 4
horas ¿ En qué intervalo coincidieron las tres
personas en el gimnasio ?
A)
⟨𝟏𝟐; 𝟏𝟕]
B)
[𝟏𝟓; 𝟏𝟗⟩
𝑪)
⟨𝟏𝟑;𝟐𝟑⟩
D)
[𝟏𝟐; 𝟏𝟑]
E)
〈𝟏𝟐; 𝟏𝟒〉
14. Graficar y dar respuesta a las siguiente
operaciones de complemento de intervalos
14.1. M’
M = ⟨−3; 6]
A) ⟨−∞; −3] ∪ ⟨6; +∞⟩
B) ⟨−∞; 3] ∪ [5; +∞⟩
C) 〈−∞; +∞〉
D) ⟨−3; 5] ∪ 〈−∞; +∞〉
E) ∅
14.2. G’
G= 〈5; 9〉
A)⟨−∞; 2] ∪ [8; +∞⟩
B)⟨−∞; 5] ∪ [9; +∞⟩
C) ∅
D) 〈−∞; +∞〉
E) ⟨−2; −4] ∪ 〈−∞; +∞〉
15. Para el mundial de Futbol en Qatar se han
realizado mediciones de temperatura en dos
estadios para un mejor desarrollo del torneo,
las temperaturas se han medido en intervalos
las cuales son :
𝐴 = [23°;35°] 𝐵 = ⟨20°; 32°]
Dar respuesta a las siguientes operaciones :
15.1 𝑨 ∪ 𝑩
A)
[𝟐𝟑°; 𝟐𝟏°]
B)
[𝟐𝟎°; 𝟐𝟔]
C)
〈𝟑𝟐°; +∞〉
D)
[𝟐𝟑°; 𝟑𝟐°]
E)
⟨𝟐𝟎°; 𝟑𝟓°]
15.2 𝑨 ∩ 𝑩
A)
〈𝟐𝟎°; 𝟐𝟑°〉
B)
⟨𝟑𝟐°; 𝟑𝟓°]
C)
[𝟐𝟑°; 𝟑𝟐°]
D)
[𝟑𝟐°; 𝟑𝟓°]
E)
〈𝟐𝟎°; 𝟑𝟐°〉
16. Con el problema anterior , realizar las
siguientes operaciones :
16.1 𝐴 − 𝐵
A)
⟨𝟑𝟐°; 𝟑𝟓°]
B)
〈𝟐𝟑°; 𝟑𝟐°〉
C)
[𝟐𝟎°; 𝟑𝟐°〉
D)
∅
E)
[𝟐𝟑°; 𝟑𝟓°]
16.2 𝑩 − 𝑨
A)
〈𝟐𝟑°; 𝟑𝟓°〉
B)
[𝟐𝟎°;𝟑𝟐°⟩
C)
[𝟐𝟎°; 𝟐𝟑°]
D)
[𝟐𝟎°; 𝟑𝟓°]
E)
〈𝟐𝟎°; 𝟐𝟑°〉

21
MATEMÁTICO I
17. En un estudio sobre la tensión arterial normal
se determina que de 20 a 24 años se
encuentran entre [79; 120] mientras que de
40 a 44 años se encuentra entre [83; 125]
¿Cuál es la diferencia entre la tensión arterial
normal del grupo de menor edad respecto al
del grupo de mayor edad?
A)
[𝟕𝟗; 𝟖𝟑⟩
B)
[𝟖𝟑; 𝟏𝟐𝟓]
C)
〈𝟖𝟑; 𝟏𝟐𝟓〉
D)
⟨𝟕𝟗; 𝟏𝟐𝟎]
E)
[𝟏𝟐𝟎; 𝟏𝟐𝟓]
18. Un grupo A de personas sale a correr durante la
mañana entre los siguientes horarios
[6: 30; 8: 15] y un grupo B sale a correr de
[6: 15; 7: 50]¿En qué intervalo de horas hay
gente más corriendo?
A)
[6: 15; 8: 15⟩
B)
⟨6: 20; 8: 00]
C)
[6: 30; 8: 15]
D)
[ 6: 30; 7: 50]
E)
⟨ 6: 30; 8: 15]
19. Se tomó temperatura al volcán Coropuna,
obteniéndose los siguientes intervalos de
temperatura en grados centígrados, durante el
mes de mayo [−12; 10] , junio [−14; 8] y
julio[−13; 9] .Durante ese trimestre ¿Cuál
fue el intervalo de temperatura en el que
coincidieron?
A)
[−10;2⟩
B)
[−12,8]
C)
〈−14;6〉
D)
[−13; 9 ⟩
E)
〈−15;10〉
20. Se conoce que la cantidad de sodio que
consume un deportista es importante, se ha
realizado una comparación entre 3 deportistas
es así que la cantidad de sodio (expresado en
intervalos) en el deportista A está entre
[136,98;145,77] en un deportista B entre
[134,21;148,12] y el deportista C entre
[133,10;144,32] . ¿Entre qué valores puede
variar la cantidad de sodio de los 3 deportistas?
A) [134,21;148,12]
B) [133,10;148,12]
C) [136,98;145,77⟩
D) [136,98;145,77]
E) ⟨134,21;144,32]

22
MATEMÁTICO I
El valor absoluto de un número consiste en su valor,
sin importar su signo. Cuando tomamos el valor
absoluto de un número, éste es siempre positivo o
cero. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5.
El valor absoluto de -5 es también 5.
Pero también,
¿Qué es el valor absoluto y para qué sirve?
La noción de valor absoluto se utiliza en el
terreno de las matemáticas para nombrar al valor
que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere
decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin
importar si su signo es positivo o negativo.
En cualquier caso,
¿Qué es el valor absoluto de un número ejemplos?
El valor absoluto de un número es su distancia desde
cero en una recta numérica.
Por ejemplo, 4 y –4 tienen el mismo valor
absoluto (4). Así, el valor absoluto de un
número positivo es justo el mismo número, y el valor
absoluto de un número negativo es su opuesto.
Pero entonces,
¿Cómo se usa el valor absoluto?
En la recta numérica se representa como valor
absoluto a la distancia que existe de un punto al
origen. Por ejemplo, si se recorren 4 unidades del
cero hacia la izquierda o hacia la derecha, llegamos a
−4 o a 4, respectivamente; el valor absoluto de
cualquiera de dichos valores.
El valor absoluto de un número se escribe como |a| y
es su valor numérico sin signo.
El valor absoluto de x, |x|, es −x si x es negativo y
es x si x es positivo ó 0:
𝑎𝑥 + 𝑏 =c
c> 0
ax+b=c
ax+b=-c
c=0
c< 0 C.S.∅
ax+b=0
Atención
Para resolver una
ecuación de la forma
|𝑎𝑥 + 𝑏|

23
MATEMÁTICO I
PROPIEDADES
1. El valor absoluto
de un número es
siempre no negativo
|𝒙| ≥ 𝟎
de un
número x es 0 si, y
sólo si, 𝒙 = 𝟎
|𝒙| = 𝟎 ⟺ 𝒙 = 𝟎
de un producto es el
producto de los
valores absolutos de
sus factores:
|𝒙. 𝒚|=|𝒙| . |𝒚|
Análogo para el
cociente |
𝒙
𝒚
| =
|𝒙|
|𝒚|
4. Valor absoluto
del opuesto |−𝒙| = 𝒙
5. Desigualdad
triangular (valor
absoluto de la suma)
|𝒙 + 𝒚| ≤ |𝒙| + |𝒚|
6. Igualdad entre
valores absolutos: |𝒙| = |𝒚| → {
𝒙 = −𝒚
ó
𝒙 = 𝒚
7. Valor absoluto
como una raíz
|𝒙| = √𝒙𝟐
8. Dos propiedades
importantes por su
aplicación en las
inecuaciones
|𝒙| ≤ 𝒌 → −𝒌 ≤x≤ 𝒌
|𝒙| ≥ 𝒌 {
𝒙 ≥ 𝒌
ó
𝒙 ≤ −𝒌

MATEMÁTICO I
PRACTIQUEMOS
1. Revisando las propiedades de valor absoluto.
Realizar las siguientes operaciones :
a) |(−7)(2)| =
b) |−5||−8| =
c) |16| − |−16| =
d) |9(−4)|=
e) |−48| + |−3|=
f) |
−18
3
|=
2. Si x es mayor que cero , hallar:
a) |4𝑥|=
b) |−5𝑥|=
c) |
−𝑥
−9
|=
d) |
𝑥
12
|=
e) |
𝑥
−3
|=
3. Si x es menor que cero , hallar:
a) |5𝑥|=
b) |−4𝑥|=
c) |
𝑥
−6
|=
d) |
−𝑥
−13
|=
e) |
−𝑥
−2
|=
4. Hallar
|2𝑚 − 16| = 0
A) {2} B){8} C){4} D){6} E){1}

MATEMÁTICO I
5. Resolver
|𝑚 − 4| = 7
El conjunto solución es:
A) {−𝟑, 𝟏𝟏} B){−𝟓; 𝟖} C){−𝟐; 𝟏𝟒} D){𝟎; 𝟏𝟔} E){−𝟏; 𝟎}
6. Memo le propone a Mario lo siguiente :
” Encuentra la solución de la suma de valores de m que
satisfacen la igualdad en :
|𝑚2
− 𝑚 − 2| = 2𝑚 + 2 , porque tengo como
resultado 5 ”.
Ayudemos a Mario para que encuentre la respuesta
correcta.
A) 5 B) -6 C) 2 D) 8 E) -1
7. Resolver :
|6𝑥 − 25| = 𝑥 − 5
A) {𝟐,
𝟐𝟎
𝟒
} B){𝟔;
𝟐𝟕
𝟕
} C){𝟒;
𝟏𝟎
𝟗
} D){𝟒;
𝟑𝟎
𝟕
} E){𝟑;
𝟑𝟐
𝟕
}
8. Resolver :
|𝑥 − 2| + |3𝑥 − 6||4𝑥 − 8| = |2𝑥 −5|
A) {
𝟏𝟐
𝟕
,
𝟐𝟕
𝟒
} B){
𝟐𝟏
𝟖
;
𝟏𝟐
𝟓
} C){
𝟏𝟏
𝟔
;
𝟐𝟏
𝟏𝟎
} D){
𝟏𝟑
𝟕
;
𝟑𝟎
𝟏𝟏
} E){
𝟏𝟒
𝟓
;
𝟗
𝟕
}

MATEMÁTICO I
9. Resolver:
|−8|+|
3(2𝑥−5)
−9
|=|10|
A)
{−
7
2
;
11
3
}
B)
{
8
5
;
10
2
}
C)
{−
1
2
;
11
2
}
D)
{−
1
9
;
13
2
}
E)
{−
17
2
;
11
6
}
10. El producto de las raíces de la ecuación es:
2|𝑥 − 3|2
+ |7𝑥 − 21| − 15 = 0
A)
27
4
B)
20
6
C)
13
5
D)
21
4
E)
31
3
11. Resolver:
(𝑥 − 3)2
+6|𝑥 − 3| − 27 =0
A)
{0; 3}
B)
{−5;6}
C)
{−2;7}
D)
{0;6; }
E)
{3; 8}
12. Resolver:
A)
[−3;+∞⟩
B)
[−3; 1]
C)
〈−∞; 2〉
D)
〈−∞; 8]〉
E)
[−2; 4]
|𝑥2
+ 2𝑥 − 3 −| < |𝑥2
− 3𝑥 + 7|

MATEMÁTICO I
13. Resolver la siguiente inecuación :
|3𝑥 − 2| < |6 − 𝑥|
A)
〈−𝟗; 𝟐〉
B)
[−𝟐; 𝟖]
C)
[ 𝟓;𝟒⟩
D)
〈−𝟐; 𝟐〉
E)
[𝟐; 𝟓]
14. Hallar la suma de las raíces enteras siguiente
inecuación :
| 3 − 𝑥| ≥ |3𝑥 − 5|
A) 4 B) 2 C) 1 C)8 E)3
15. Hallar la siguiente inecuación en :
|3 − |2𝑥 + 3|| < 2
A) ⟨−4;2] ∪ 〈−1; 1〉
B) ⟨−∞;2] ∪ ⟨4; +∞⟩
C) ⟨−2;−1] ∪ 〈−5;4〉
D) ⟨−∞;−2] ∪ ⟨−1; +∞⟩
E) ⟨−2;−1] ∪ 〈3; 4〉
16. Si se sabe que el valor absoluto de doble de la
edad de Jorge aumentada en 4 es igual a 24.
¿Cuántos años tiene Jorge?
A) 10 B)12 C) 11 D)5 E)8

MATEMÁTICO I
17. Al valor absoluto de un número se le suma
el doble de su valor absoluto y se obtiene la
diferencia entre 36 y el valor de dicho
número .Hallar el valor negativo del
número.
A) -8 B) 6 C) -9 D) 7 E) -3
18. Si al valor absoluto de las horas transcurridas se
le suma 2 se obtiene el doble de las horas que
faltan por transcurrir disminuidos en 4 ¿Qué
hora será dentro de 3 horas?
A)
17
horas
B)
12
horas
C)
13
horas
D)
10
horas
E)
11
horas
19. Si al triple de valor absoluto del número de
canicas aumentadas en 1, se les suma 24 se
obtiene seis veces el valor absoluto del
número de canicas más 1 aumentadas en
6.Hallar la cantidad de canicas.
A) 2 B) 9 C) 4 D) 6 E) 5
20. La temperatura de una ciudad ha llegado a estar
bajo cero .Se sabe que si el valor absoluto de
dicha temperatura se le suma 15 se obtiene 4
veces el valor absoluto de la temperatura ¿Cuál
es la temperatura de la ciudad?
A)-3 B) 0 C) -4 D) -5 E) 9

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I
1. Razón
Es la comparación entre dos cantidades y esta
comparación se puede realizar de dos maneras
(restando o dividiendo)
2. Clases de razón
2.1 Razón aritmética
Es cuando la comparación de las cantidades se
realiza mediante la operación de sustracción, es
decir restando.
Ejemplo
Un padre tiene 32 años y su hijo, 8 años
Comparando las edades mediante la sustracción,
tenemos:
32
⏞
antecedente
− 8
⏞
consecuente
⏟
razón aritmética
= 24
⏟
valor de la
razón aritmética
Del ejemplo anterior podemos interpretar que:
• La edad del padre es mayor (excede) a la del
hijo en 24 años.
• La edad del hijo es menor (es excedida) por
la del padre en 24 años.
En general, si una cantidad “a” es mayor o excede
a otra cantidad “b” en “r” unidades, entonces
podemos simbolizar así:
𝑎 − 𝑏 = 𝑟 {
𝑎 es antecedente
𝑏 es consecuente
𝑟 es el valor de la razón
Nota:
Las expresiones: excede, excedido, mayor y menor
indican que se debe aplicar la razón aritmética.
2.2 Razón geométrica
Es cuando la comparación de las cantidades se
realiza mediante la operación de división.
Tomando los datos del ejemplo anterior
Un padre tiene 32 años y su hijo, 8 años
Comparando las edades mediante la división,
tenemos:
Edad del padre
Edad del hijo
=
32
⏞
antecedente
8
⏟
consecuente
=
4
1
Del ejemplo anterior podemos interpretar que:
• La edad del padre es a la edad del hijo como 4
es a 1.
• La edad del padre y la del hijo están en la razón
(relación) de 4 a 1.
• La edad del padre y la del hijo son
proporcionales a 4 y 1.
• La edad del padre es el cuádruple de la del hijo.
En general:
𝑎
𝑏
= 𝑘 {
𝑎 es antecedente
𝑏 es consecuente
𝑘 es el valor de la razón
Para tener en cuenta:
De las dos razones estudiadas, la que tiene mayor
uso es la razón geométrica, por ello si un ejercicio
o problema indica el término de razón, se entenderá
que se trata de la razón geométrica.
¡Muy importante!
Si el valor de una razón geométrica, tal como
A
B
=
2
5
Esto se interpreta de la siguiente manera:
• A y B están en la relación de 2 a 5.
• A es a B como 2 es a 5.
• A es como 2 y B es como 5.
• A y B son proporcionales a 2 y 5.
UNIDAD 2: RAZONES Y PROPORCIONES
padre hijo
padre hijo
Razón
geométrica
Valor de
la razón
geométrica

Nota:
Las expresiones razón, relación, son entre sí como,
por cada... hay... indican que se debe aplicar la
razón geométrica.
Para tener en cuenta:
Si en los enunciados de ejercicios o problemas, se
tiene las siguientes expresiones:
• “a es 2 veces b” significa que a = 2b
• “a es 2 veces más que b” significa que
a = 3b
3. Proporción
Es la igualdad de dos razones de un mismo tipo
3.1 Proporción aritmética
Es la igualdad de dos razones aritméticas
Ejemplo
En una familia, la edad del padre es 48 años, de la
madre 42 años, del hijo 18 años y de la hija 12 años.
Comparando las edades del padre y del hijo, se
tiene que:
48 – 18 = 30 → valor de la razón
Ahora, comparando las edades de la madre y de la
hija, se tiene que:
42 – 12 = 30 → valor de la razón
Por tanto, como los valores de las razones
aritméticas son iguales, entonces tenemos la
proporción aritmética:
48 − 18 = 42 − 12
En general, una proporción aritmética tiene la
forma:
Donde:
• a y d, se llaman términos EXTREMOS
• b y c, se llaman términos MEDIOS
Propiedad importante:
En toda proporción aritmética se cumple que:
Importante
En una proporción aritmética, hay 4 términos
cuyo orden es el siguiente:
𝑎
⏟
1er término
− 𝑏
⏟
2do término
= 𝑐
⏟
3er término
− 𝑑
⏟
4to término
3.1.1 Tipos de proporciones aritméticas
Proporción aritmética
Discreta Continua
Cuando los términos
medios son diferentes
Donde:
d, es la cuarta
diferencial de a, b y c
medios son iguales.
Donde:
• c, es la tercera
diferencial de a y b
• b, es la media
diferencial de a y c
3.2 Proporción geométrica
Es la igualdad de dos razones geométricas
Ejemplo
En una familia, la cantidad de dinero que tiene el
padre es S/. 80, la madre S/. 50, el hijo S/. 16 y la
hija S/. 10.
Comparando las cantidades de dinero del padre y
del hijo, se tiene que:
80
16
= 5 → valor de la razón geométrica
Ahora, comparando las cantidades de dinero de la
madre y de la hija, se tiene que:
50
10
= 5 → valor de la razón geométrica
padre hija
hijo
madre
a − b = c − d
Suma de los Suma de los
términos medios términos extremos
=
a − b = c − d a − b = b − c
padre hija
hijo
madre

Por tanto, como los valores de las razones
geométricas son iguales, entonces tenemos la
proporción geométrica:
80
16
=
50
10
En general, una proporción aritmética tiene la
forma:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
Donde:
• a y d se llaman términos EXTREMOS
• b y c se llaman términos MEDIOS
Propiedad importante:
En toda proporción geométrica se cumple que:
Importante
En una proporción geométrica, hay 4 términos
cuyo orden es el siguiente:
3.2.1 Tipos de proporciones geométricas
Proporción geométrica
Discreta Continua
medios son diferentes
Donde:
d, es la cuarta
proporcional de a, b y c
medios son iguales.
Donde:
• c, es la tercera
proporcional de a y b
• b, es la media
proporcional de a y c
¡Muy importante!
De las dos proporciones estudiadas, la que tiene mayor
uso es la proporción geométrica, por lo que si un
ejercicio o problema solo se indica el término
proporción se entenderá que se trata de la proporción
geométrica.
3.2.2 Propiedades de la proporción geométrica
Dada la proporción:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, se cumple:
•
𝑎+𝑏
𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑑
•
𝑎
𝑎+𝑏
=
𝑐
𝑐+𝑑
•
𝑎−𝑏
𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑑
•
𝑎
𝑎−𝑏
=
𝑐
𝑐−𝑑
•
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑐−𝑑
•
𝑎−𝑏
𝑎+𝑏
=
𝑐−𝑑
𝑐+𝑑
Cuando la proporción es igual a una constante de
proporcionalidad 𝑘 :
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= 𝑘, se cumple:
•
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑
= 𝑘
•
𝑎.𝑐
𝑏.𝑑
= 𝑘2
•
𝑎
𝑎+𝑏
=
𝑐
𝑐+𝑑
=
𝑘
𝑘+1
•
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
𝑐+𝑑
𝑐−𝑑
=
𝑘+1
𝑘−1
Cuando la proporción es continua de la forma:
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
= 𝑘
En donde:
b = ck
a = bk =(ck)k = ck2
Entonces:
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
= 𝑘 equivale a
𝑐𝑘2
𝑐𝑘
=
𝑐𝑘
𝑐
= 𝑘
Producto de los Producto de los
términos medios términos extremos
=
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑎
⏞
1er término
𝑏
⏟
2do término
=
𝑐
⏞
3er término
𝑑
⏟
4to término
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐

PRACTIQUEMOS
1. La suma de dos números es 58 y el doble del menor
excede al mayor en 20 unidades. Calcula el mayor
de los números.
A) 32 B) 26 C) 28 D) 24 E) 30
2. Dos números están en la relación de 3 a 1, y la razón
aritmética del producto y la suma de los números es
32. Calcula el mayor de los números
A) 16 B) 12 C) 15 D) 9 E) 8
3. Cuando Ana tenía 30 años nació su hijo Bruno. Si
dentro de 2 años sus edades estarán en la relación
de 4 a 1, entonces ¿hace cuántos años nació Bruno?
A) 12 años B) 10 años C) 8 años
D) 9 años E) 7 años
4. Cuando Manuel nació, su padre tenía 25 años y
cuando nació Néstor, el hijo de Manuel, este tenía
20 años. Si actualmente la edad de Pedro, el abuelo,
es a la del nieto como 4 es a 1, ¿hace cuántos años
estas edades eran como 10 es a 1?
A) 12 años B) 20 años C) 15 años
D) 10 años E) 9 años

5. En el Congreso de la República, un tema es
sometido a votación; al hacer el conteo de los votos
se observó que hay 11 votos a favor por cada cuatro
votos en contra. Si la moción fue ganada por 42
votos, ¿cuántos congresistas votaron?
A) 72 B) 78 C) 82 D) 85 E) 90
6. En el aula 1 de la Precatólica, la cantidad de varones
y mujeres está en la proporción de 3 a 2; mientras
que en el aula 2, la relación de varones y mujeres es
de 4 a 3, respectivamente. Además, se sabe que en
ambas aulas la cantidad de mujeres es la misma.
¿Cuántos varones hay en la primera aula si en total
se tienen 174 alumnos en las dos aulas?
A) 54 B) 52 C) 56 D) 48 E) 40
7. A un evento deportivo asistieron 8 varones adultos
por cada 10 mujeres adultas, y 3 mujeres adultas
por cada 7 niños. Si en total asistieron 620
personas, ¿En cuánto excede el número de niños al
número de varones adultos?
A) 30 B) 230 C) 200 D) 120 E) 180
8. Las cantidades de dinero que tienen Gustavo y
Claudia están en la relación de 13 a 7. Si Gustavo le
paga los 9 soles que le debe a Claudia entonces
ambos tendrían la misma cantidad de dinero.
¿cuánto dinero tenía inicialmente Gustavo?
A) 52 soles B) 30 soles C) 39 soles
D) 21 soles E) 26 soles

9. El dinero que tiene Abel es al de Bruno como 4 es
a 6 y el dinero que tiene Bruno es al de Carlos como
1 es a 2. Si se sabe que lo que tiene Carlos excede
al doble de lo que tiene Abel en 36 soles. Calcula la
cantidad de soles que tienen los 3 juntos.
A) 130 B) 144 C) 162 D) 198 E) 208
10. El dinero que tiene Gustavo es 3 veces el dinero de
Claudia, y el dinero de Claudia es 3 veces más que
el dinero de Heybi. Si entre los tres tienen 221 soles,
¿en cuánto excede el dinero de Gustavo al dinero de
Heybi?
11. Luis gasta de su sueldo mensual los 3/8 de lo que
no gasta y le sobra 1675 soles. ¿Cuánto gana
mensualmente Luis?
12. Lo que gana y lo que gasta diariamente David, están
en la relación de 9 a 4. Si David ahorra diariamente
115 soles, ¿en cuánto debe disminuir su gasto
diario, para que la relación entre lo que gana y lo
que gasta sea de 23 a 9?

13. En un recipiente se mezclan 16 L de vino y 20 L de
gaseosa; luego, se extraen 27 L de la mezcla.
Calcula la razón aritmética entre el número de litros
de vino y gaseosa que queda al final.
A) 3 L B) 2 L C) 1 L D) 4 L E) 0,5 L
14. Se tiene un depósito de 120 L de una mezcla de agua
y pisco, cuya relación es de 2 a 3 respectivamente.
Si se extrae 50 L de la mezcla y se reemplaza por
agua. Calcula la diferencia de los volúmenes de
agua y pisco.
A) 10 L B) 12 L C) 15 L D) 36 L E) 24 L
15. En una fábrica se producen clavos, pernos y
tornillos. Los tiempos de fabricación son de tal
modo que por cada 6 kg de clavos se producen 4 kg
de tornillos, y por cada 3 kg de tornillos se
producen 2 kg de pernos. Si en la jornada de un día
de trabajo se produjeron 130 kg más de clavos que
de pernos, ¿cuántos kilogramos de tornillos se
produjeron ese día?
A) 140 B) 148 C) 168 D) 172 E) 156
16. La suma de los dos primeros términos de una
proporción geométrica es 32 y la suma de los dos
últimos términos es 16. Calcula la suma del mayor
y el menor término de dicha proporción, si la
diferencia de los consecuentes es 6.
A) 26 B) 22 C) 32 D) 30 E) 16

17. En una proporción geométrica, la suma de los
términos de cada razón es 40 y 45. Si los
antecedentes se diferencian en 2. Calcula la
diferencia positiva de los consecuentes de dicha
proporción.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 6
18. En una proporción geométrica continua, de razón
mayor que la unidad y no entera, se cumple que la
suma de extremos es 78 y la diferencia de
consecuentes es 12. Calcula el producto de las cifras
del mayor término.
A) 18 B) 24 C) 20 D) 36 E) 54
19. Calcula el valor de: P + R + E + C + A, si se sabe
que:
• P es la media proporcional de 25 y 49.
• R es la media diferencial de 23 y 11.
• E es la tercera diferencial de 40 y 32.
• C es la cuarta proporcional de 12; 28 y 9.
• A es la tercera proporcional de 12 y 30.
A) 98 B) 108 C) 136 D) 172 E) 89
20. En una proporción geométrica continua la suma de
los extremos es 73 y la suma de los cuadrados de
estos extremos es 4177. Calcula la media
proporcional
A) 17 B) 18 C) 26 D) 24 E) 37

4. Magnitudes proporcionales
4.1 Magnitudes directamente proporcionales
(DP)
Dos magnitudes serán directamente proporcionales
si al aumentar o disminuir los valores de una de
ellas, entonces los valores correspondientes de la
otra magnitud también aumentan o disminuyen en
la misma proporción.
Ejemplo
Si el costo de un lapicero es de S/9, veamos la
relación que existe entre las magnitudes cantidad de
lapiceros y costo.
N.º de
lapiceros
1
lapicero
2
lapiceros
3
lapiceros
5
lapiceros
Costo S/. 9 S/. 18 S/. 27 S/. 45
Al analizar los valores correspondientes de las
magnitudes se observa:
• Al aumentarse la cantidad de lapiceros, entonces
aumenta el costo en la misma proporción.
• Al disminuir la cantidad de lapiceros, entonces
disminuye el costo en la misma proporción.
Por lo tanto, se concluye que:
(cantidad de lapiceros) DP (costo)
Además, al realizar el cociente de sus valores
correspondientes, siempre resulta lo mismo.
Nº de lapiceros
Costo
=
1
9
=
2
18
=
3
27
=
5
45
= constante
En general
Si A y B son magnitudes directamente
proporcionales, se cumple que:
Muy importante
La gráfica de dos magnitudes directamente
proporcionales es un conjunto de puntos que están
contenidos sobre una misma recta que pasa por el
origen de coordenadas.
4.2 Magnitudes inversamente
proporcionales (IP)
Dos magnitudes serán inversamente proporcionales
si al aumentar o disminuir los valores de una de
ellas, entonces los valores correspondientes de la
otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma
proporción.
Ejemplo
Si dos obreros pintan una casa en 6 días, la
relación que existe entre las magnitudes número
de obreros y el número de días será
2 obreros
4 obreros
1 obrero
6 obreros
6 días 3 días 12 días 2 días
Al analizar los valores correspondientes de las
magnitudes se observa:
• Al aumentar la cantidad de obreros, entonces
disminuye el número de días en la misma
proporción.
• Al disminuir la cantidad de obreros, entonces
aumenta el número de días en la misma
proporción.
Por lo tanto, se concluye que:
(cantidad de obreros) IP (número de días)
Además, al realizar el producto de sus valores
correspondientes, siempre resulta lo mismo.
(Nº de obreros) (Nº de días) =
= (2)(6) = (4)(3) = (1)(12) = (6)(2) = constante
En general
Si A y B son dos magnitudes inversamente
proporcionales, se cumple que:
A es DP a B 
valor de A
valor de B
= constante
A es IP a B  (valor de A) (valor de B) = constante

Muy importante
La gráfica de dos magnitudes inversamente
proporcionales es un conjunto de puntos que están
contenidos sobre una rama de una hipérbola
equilátera
4.3 Propiedades de las magnitudes
proporcionales
a) Si cambiamos el orden de las magnitudes, la
relación de proporcionalidad no cambia
b) Al cambiar la relación de proporcionalidad,
una de las magnitudes se invierte.
c) Si a las dos magnitudes se le eleva a un
número racional diferente de cero, la relación
no cambia
d) Si:
A DP B (cuando C no varía)
A IP C (cuando B no varía)
Entonces se cumple que:
Para determinar si dos magnitudes son directa o
inversamente proporcionales, se debe variar una
de ellas (ya sea aumentando o disminuyendo) y,
según cómo varía la otra magnitud, se podrá
determinar si son DP o IP.
4.4 Reparto proporcional
Es una de las aplicaciones de las magnitudes
proporcionales, y consiste en repartir una
determinada cantidad, en partes proporcionales ya
sea de manera DP y/o IP a ciertos números
denominados índices.
Ejemplo
Repartir S/.150 en forma DP a 2; 3 y 5
Resolución:
Como la (parte) es DP a (índice), entonces:
𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆
í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Supongamos que P1, P2 y P3 son cada una de las
partes, por tanto, tendremos:
𝑃1
2
=
𝑃2
3
=
𝑃3
5
= 𝑘 (𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝑃1 = 2𝑘 , 𝑃2 = 3𝑘, 𝑃3 = 5𝑘
Pero: P1 + P2 + P3 = 150
2k + 3k + 5k = 150 → k = 15
Por consiguiente, las partes repartidas son:
P1= S/.30; P2 = S/.45 y P3= S/.75
Otro ejemplo
Repartir S/.155 en forma IP a 2; 3 y 5
Resolución:
Como la (parte) es IP a (índice), entonces:
(parte)(índice) = constante
Supongamos que P1, P2 y P3 son cada una de las
partes, por tanto, tendremos:
2P1 = 3P2 =5P3 = k (k es constante)
Luego: 𝑃1 =
𝑘
2
; 𝑃2 =
𝑘
3
; 𝑃3 =
𝑘
5
Pero: P1 + P2 + P3 = 155
𝑘
2
+
𝑘
3
+
𝑘
5
= 155 → k = 150
Por consiguiente, las partes repartidas son:
P1= S/.75; P2 = S/.50 y P3= S/.30
A es DP a B  B es DP a A
A es IP a B  B es IP a A
A es DP a B  A es IP a (
1
B
)
A es IP a B  A es DP a (
1
B
)
A es DP a B  𝐴𝑛
es DP a 𝐵𝑛
A es IP a B  𝐴𝑛
es IP a 𝐵𝑛
𝐴. 𝐶
𝐵
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

PRACTIQUEMOS
1. Sean M y N dos magnitudes, tal que M es DP a √N.
Si se sabe que el valor de M es 16 cuando el valor de
N es 108, calcula el valor de N cuando el valor de M
sea 8.
A) 27 B) 18 C) 30 D) 15 E) 24
2. Sean las magnitudes A y B, donde A es DP a B3
.
Cuando A = 3, B = 5. Calcula el valor de A
cuando B = 10.
A) 21 B) 20 C) 18 D) 24 E) 15
3. Sean las magnitudes A y B donde √𝐴 es IP a B;
cuando A = 100, B = 3. Calcula el valor de B, cuando
A = 9
A) 8 B) 9 C) 10 D) 15 E) 12
4. Se tienen 2 magnitudes A y B que son IP, cuando
A aumenta en 25%, B varía en 6 unidades.
Calcule el valor inicial de B.
A) 24 B) 25 C) 18 D) 30 E) 32

5. Del gráfico, calcula a + b + c
A) 180 B) 193 C) 200 D) 120 E) 48
6. Teniendo en cuenta el gráfico, calcula el valor de:
5a + b – c – 4d
Sabiendo que: a + b + c + d = 215
A) 22 B) 32 C) 43 D) 12 E) 10
7. Sean las magnitudes A, B y C cuyos valores se
muestran en el cuadro.
A B C
96 9 2
648 x 3
Calcula el valor de x, si se sabe que A es DP a √B y C
es DP a √A
A) 72 B) 75 C) 81 D) 64 E) 95
8. Si el volumen (V) de un cilindro es directamente
proporcional a la altura (h) y proporcional al
cuadrado del diámetro (D2
).
Calcula el valor de x + y, si:
V h D
25 2,5 2
x 4 0,6
7,2 0,6 y
A) 4,8 B) 4,2 C) 3,6 D) 4,5 E) 5,2

9. Un caballo atado a una estaca con una cuerda de 3
metros de largo puede comer el pasto que está a su
alcance en 45 minutos. Si la cuerda tuviese 2 metros
de largo, ¿en qué tiempo se comería todo el pasto que
estaría a su alcance?
A) 20 min B) 24 min C) 18 min
D) 15 min E) 12 min
10. Una casa podría ser construida por 24 albañiles
en 36 días. Pero si al empezar la construcción solo
se cuenta con 18 albañiles, ¿cuántos días
demorará la construcción de la casa?
A) 40 días B) 48 días C) 12 días
D) 25 días E) 15 días
11. El consumo de batería de un celular es proporcional al
tiempo de uso. Si después de 2 horas se ha consumido
el 20 % de la batería, ¿en cuánto tiempo quedará 50 %
de batería?
A) 2,5 h B) 5 h C) 2 h D) 3 h E) 4 h
12. El precio de un USB es proporcional a su ca-
pacidad de almacenamiento. Así, un USB de 8
GB cuesta S/30. ¿Qué capacidad tendrá un USB
que cuesta S/90?
A) 30 GB B) 24 GB C) 40 GB
D) 60 GB E) 45 GB

13. El sueldo de un empleado es proporcional a su
eficiencia e inversamente proporcional al número de
días que ha faltado a trabajar. Abel tuvo un sueldo
mensual de S/2400 y su eficiencia es como 5 y faltó 4
días a trabajar. Calcula el sueldo de Bruno si el
rendimiento de este es como 8 y faltó 3 días a trabajar.
A) S/3600 B) S/4800 C) S/5120
D) S/5020 E) S/4200
14. Una empresa paga a sus empleados en forma
proporcional al cuadrado de la cantidad de años
de servicio. Si Marcos, que tiene 3 años laborando
en la empresa, obtiene un sueldo de S/1116, ¿cuál
será el sueldo de Néstor, quien lleva cuatro años
en el trabajo?
A) S/1488 B) S/1674 C) S/1984
D) S/1460 E) S/1240
15. Un barco lleva víveres para alimentar durante 45 días
a su tripulación formada por 60 personas. Si antes de
partir acoge a 30 personas más de un barco averiado,
¿cuántos días durarán los víveres?
A) 30 días B) 20 días C) 36 días
D) 32 días E) 32 días
16. Un albergue de mascotas tiene víveres para 33
días, pero llegan cuatro cachorritos más y por ello
los víveres solo alcanzan para 30 días. ¿Cuántas
mascotas había inicialmente en el albergue?
A) 38 B) 50 C) 40 D) 28 E) 32

17. Un padre, al morir, decide en su testamento que se
reparta S/60 000 en forma proporcional a las edades
de sus 3 hijos que son 20; 25 y 30 años. Sin embargo,
los hijos deciden repartirse la herencia en forma
equitativa. Calcula cuánto dinero adicional recibirá el
menor de los hermanos.
A) S/. 4000 B) S/. 4200 C) S/. 3850
D) S/. 3700 E) S/. 4105
18. Un padre reparte S/2958 entre sus tres hijos
(Abel, Bruno y Carlos) en forma inversamente
proporcional a sus edades, las cuales son 18; 24 y
27, respectivamente. ¿Cuál es la diferencia entre
lo que recibe Abel y Carlos?
A) S/408 B) S/102 C) S/306 D) S/460 E) S/315
19. El costo de un libro varía en forma proporcional al
número de hojas que tiene e inversamente
proporcional al cuadrado del número de ejemplares
que se imprimen. ¿Cuál será el costo de un libro que
tiene 280 hojas y se han impreso 400 ejemplares si un
libro de 600 páginas, cuyo número de ejemplares es
200, cuesta S/90?
A) 21 B) 20 C) 12 D) 18 E) 15
20. María y Verónica se asocian y juntas aperturan un
negocio aportando S/450 y S/650, respecti-
vamente. Al cabo de 14 meses, María disminuye
su capital en la tercera parte y Verónica decide
retirarse del negocio. Determine cuánto tiempo
duró el negocio si lo que ganó María y Verónica
está en la relación de 81 a 91, en ese orden.
A) 18 meses B) 15 meses C) 20 meses
D) 28 meses E) 12 meses

44 PRECATÓLICA 2023 - I
MATEMÁTICO I
1. Definición
Se denomina sistema de ecuaciones, al conjunto
de ecuaciones que verifican simultáneamente para
los mismos valores de sus incógnitas.
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de dos o
tres incógnitas:
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝
Este tipo de sistemas se puede interpretar como un
conjunto de dos rectas en el espacio
bidimensional.
{
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑚1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑚2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑚3
En cambio, este tipo de sistema se puede
interpretar como un conjunto de tres planos en el
espacio real tridimensional.
2. Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
Resolver un sistema de ecuaciones, implica
determinar el conjunto solución (C.S), el cual es un
par ordenado (x; y) o una tercia ordenada (x; y; z)
de números reales y que al ser sustituido en las
ecuaciones las convierte en identidades
3. Métodos de resolución
Para obtener el conjunto solución se puede aplicar
cualquiera de los siguientes métodos:
3.1.Método de sustitución, consiste en:
1° De una ecuación, se despeja una incógnita.
2° Se sustituye la incógnita despejada en la
otra ecuación del sistema, obteniendo así una
ecuación solamente con una incógnita.
3° Se resuelve la ecuación obtenida.
4° Se sustituye la solución obtenida en la
expresión de la otra incógnita.
Ejemplo
Resolver:
{
5𝑥 − 2𝑦 = 4 …(1 )
3𝑥 + 𝑦 = 9 …(2 )
Solución:
Despejamos “y” de la ecuación (2)
𝑦 = 9 – 3𝑥 … (3)
Reemplazamos (3) en (1):
5𝑥 – 2(9 – 3𝑥) = 4
5𝑥 – 18 + 6𝑥 = 4
11𝑥 = 22
𝑥 = 2 … (4)
Remplazamos (4) en (3)
𝑦 = 9 – 3(2)
𝑦 = 3
Por lo tanto: C.S. = (2; 3)
3.2.Método de igualación, consiste en:
1° Se despeja en las ecuaciones la misma
incógnita.
2° Se iguala las dos expresiones de la
incógnita despejada.
4° Se sustituye la solución obtenida en
cualquier de las expresiones de la incógnita.
Ejemplo
Resolver:
{
5𝑥 + 3𝑦 = 8 … (1 )
3𝑥 + 2𝑦 = 3 … (2 )
Solución:
Despejando “y” en las ecuaciones (1) y (2):
𝑦 =
8 − 5𝑥
3
… (3)
𝑦 =
3 − 3𝑥
2
… (4)
Igualando (3) y (4)
8 − 5𝑥
3
=
3 − 3𝑥
2
16 – 10 𝑥 = 9 – 9 𝑥
𝑥 = 7 … (5)
Reemplazando (5) en (2)
3(7) + 2𝑦 = 3
21 + 2𝑦 = 3
2𝑦 = − 18
𝑦 = − 9
Por lo tanto: C.S. = (7,-9)
UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES E
INECUACIONES LINEALES

MATEMÁTICO I
3.3.Método de reducción, consiste en:
1° Se multiplica a los dos miembros de las dos
ecuaciones por ciertos números, de tal forma
que los coeficientes de una incógnita sean
opuestos.
2° Se suman las dos ecuaciones miembro a
miembro.
4° Se sustituye la solución obtenida en
cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para
hallar la otra incógnita.
Ejemplo
Resolver:
{
8𝑥 + 5𝑦 = −28 …(1)
3𝑥 + 2𝑦 = −11 …(2)
Solución:
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la
segunda por – 8
24𝑥 + 15𝑦 = −84
−24𝑥 − 16𝑦 = 88
− 𝑦 = 4
𝑦 = − 4 … (3)
Reemplazamos (3) en (2)
3𝑥 + 2(− 4) = −11
3𝑥 – 8 = −11
3𝑥 = − 3
𝑥 = − 1
Por lo tanto: C.S. = (-1; -4)
4. Análisis de la solución de un sistema de
ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de ecuaciones de la forma:
4.1. Compatible
Si por lo menos presenta una solución. A su
vez puede ser:
a) Compatible determinada
Si el sistema tiene una solución única
Además, se cumple que:
𝑎
𝑚
≠
𝑏
𝑛
Interpretación gráfica: corresponde a dos
rectas secantes
Ejemplo
Gráficamente el sistema:
{
5𝑥 + 2𝑦 = 19 … (1)
4𝑥 − 3𝑦 = 6 … (2)
Sería tal como se muestra:
El punto de intersección de ambas rectas es
(3;2), por lo tanto: C.S = (3;2) es la única
solución
b) Compatible indeterminada
Si el sistema tiene infinitas soluciones
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
=
𝑐
𝑝
rectas coincidentes
Ejemplo
{
𝑥 + 𝑦 = 4 … (1)
3𝑥 + 3𝑦 = 12 … (2)
Dado que las rectas coinciden en todos sus
puntos, por lo tanto, el sistema tiene infinitas
soluciones
ቊ
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝
COMPATIBLE
DETERMINADO
INDETERMINADO
INCOMPATIBLE

MATEMÁTICO I
4.2. Incompatible
No tiene solución
También se le llama inconsistente
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
≠
𝑐
𝑝
rectas paralelas
Ejemplo
{
𝑥 − 𝑦 = 3 … (1)
𝑥 − 𝑦 = 5 … (2)
Dado que las rectas son paralelas y no tienen
ningún punto en común, por lo tanto, el
sistema no tiene solución.
5. Inecuaciones de primer grado con una variable
Una inecuación es una relación de orden que se da
entre dos expresiones matemáticas considerando
por lo menos una variable, se presenta de la
siguiente forma:
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0
Considerando que: a; bR, a  0
6. Resolución de una inecuación de primer grado
Es hallar un conjunto de valores que satisfacen la
desigualdad, que es expresado a través de un
intervalo denominado conjunto solución.
Para la resolución de una inecuación de primer
grado se efectuarán las operaciones indicadas y
luego despejar la variable tomando en cuenta los
teoremas de las desigualdades.
Ejemplos
a) Determinar el conjunto solución de:
3𝑥 − 12 ≤ 4(𝑥 − 7)
Solución:
3𝑥 − 12 ≤ 4(𝑥 − 7)
Efectuamos la operación:
3𝑥 − 12 ≤ 4𝑥 − 28
Despejamos y reducimos:
16 ≤ 𝑥
∴ 𝑥 ∈ [16; +∞[
b) Indicar el mayor valor entero que puede tomar
x en la siguiente inecuación:
3𝑥 + (𝑥 − 3)2
> (𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
Solución:
3𝑥 + (𝑥 − 3)2
> (𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
Efectuamos las operaciones:
3𝑥 + 𝑥2
− 6𝑥 + 9 > 𝑥2
− 2𝑥 − 15
Reducimos:
24 > 𝑥
∴ 𝑥 ∈ ]−∞; 24[
→ 𝑥 = 23
7. SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA
VARIABLE
Dadas dos o más de inecuaciones de primer grado
con una incógnita estarían formando un sistema de
inecuaciones.
Para resolver un sistema de inecuaciones primero
se resuelven cada una de las inecuaciones que
forma parte del sistema y la solución del sistema es
la intersección de los diferentes conjuntos
soluciones de las inecuaciones que formaron parte
del sistema.
Ejemplos
a) Determinar el conjunto solución de:
−2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
Solución
Primero se generan las dos inecuaciones
−2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4)
3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
Luego se resuelven de manera independiente
cada una:
−2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4)
−10 + 2𝑥 + 8 < 3𝑥 + 5𝑥 − 20
18 < 6𝑥
3 < 𝑥 CS 1
−∞ 3 + ∞
3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
3𝑥 + 5𝑥 − 20 ≤ 15 + 𝑥
7𝑥 ≤ 35
𝑥 ≤ 5 CS 2

MATEMÁTICO I
−∞ 5 + ∞
Luego se interceptan los conjuntos solución y
obtenemos la solución del sistema
−∞ 3 5 + ∞
C.S. ]3; 5]
b) La edad de Ricardo es un número impar. Si
a la cuarta parte de su edad se le agrega 4 resulta
menor que la tercera parte de su edad; mientras
que a la mitad de su edad se le suma 9, el
resultado es menor que 40. Calcular la edad de
Ricardo sabiendo que es la menor posible.
Solución:
Edad de Ricardo = x
Planteamos la primera inecuación:
𝑥
4
+ 4 <
𝑥
3
mcm: 12
3𝑥 + 48 < 4𝑥
48 < 𝑥
Planteamos la segunda inecuación:
𝑥
2
+ 9 < 35
𝑥
2
< 26
𝑥 < 52
𝑥 ∈ ]48; 52[
∴ La edad de Ricardo es 49 años
48 52
−∞ +∞

MATEMÁTICO I
PRACTIQUEMOS
1. Hallar el valor de 15𝑥 − 29𝑦 en el siguiente
sistema:
{
36
𝑥 + 3
+
14
𝑦 − 2
= 13
−
17
𝑥 + 3
−
42
𝑦 − 2
= 14
A) 102 B) 98 C) 72 D) 87 E) 92
2. En el siguiente sistema, hallar el valor de “y”.
{
𝑥 − 𝑦
(𝑥 + 3)(𝑦 − 3)
=
7
3
𝑥 + 𝑦 + 6
(𝑥 + 3)(𝑦 − 3)
=
1
3
A)
12
5
B)
13
3
C)
7
2
D)
15
4
E)
11
6
3. Dado el siguiente sistema:
{
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑦 + 𝑧 = 9
𝑥 + 𝑧 = −2
Calcular 𝑀 = 𝑧3
+ (𝑥 − 𝑦)2
A) 102 B) 26 C) 122 D) 47 E) 214
4. En el siguiente sistema, hallar el valor de “x”.
{
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3
4𝑥 + 𝑦 + 8𝑧 = 18
2𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 9
A) 10 B) 2 C) -7 D) 9 E) -3

MATEMÁTICO I
5. Si cada balanza representa una ecuación de tres
incógnitas y las tres forman un sistema, ¿cuánto
pesa un plátano, dos naranjas y una manzana?
6. Determinar el valor de “m” si el sistema es
incompatible:
{
(𝑚 + 2)𝑥 + 4𝑦 = 1
3𝑥 + (𝑚 + 1) = −1
A) 2 B) 6 C) -4 D) 3 E) -5
7. Determinar el valor que no puede tomar “m” para
que el sistema sea compatible determinado:
{
(𝑚 + 3)𝑥 + (𝑚 + 1)𝑦 = 9
(𝑚 − 6)𝑥 + 𝑚𝑦 = −5
A)
3
2
B) −
3
4
C) -5 D) −
4
3
E)
4
5
8. Determinar el valor de m + n, si el sistema es
compatible indeterminado:
{
(𝑚 − 1)𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 + 1
(𝑛 + 1)𝑥 + 3𝑦 = 2𝑛 − 1
A)1 2 B) 10 C) -14 D) 13 E) - 17

MATEMÁTICO I
9. Gustavo le dice Germán, la relación de nuestras
edades hace 5 años era de 5 a 3 y dentro de 12
años será de 7 a 6. ¿Cuál será la suma de sus
edades dentro de ocho años?
A) 82 B) 98 C) 44 D) 37 E) 52
10. Sara le pregunta a su prima Diana, acerca de la
edad de su hermana Eliana y esta le indica: la
tercera parte de mi edad excede a la quinta parte
de la edad de Eliana en 4 años, si dentro de 7 años
mi edad será a la edad actual de Eliana como 5 es
a 2. ¿Cuántos años le faltan a Eliana para ser
mayor de edad?
A) 8 B) 9 C) 4 D) 7 E) 5
11. En un triángulo escaleno, la suma del ángulo
mayor y el intermedio es 135°, y la suma del
intermedio y el menor es 110°. Determinar el
complemento del ángulo intermedio.
A) 18° B) 85° C) 34° D) 115° E) 25°
12. Si 𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃 son ángulos internos de un triángulo,
se cumple que la suma de 𝛼 𝑦 𝛽 excede en 30° a 𝜃
y el doble de 𝛼 más 𝛽 es 10° menor que el doble
de 𝜃. Determinar el suplemento de (𝜃 − 𝛼) + 𝛽.
A) 70° B) 85° C) 5° D) 105° E) 45°

MATEMÁTICO I
13. Mario tiene que pagar la cuota mensual de su
préstamo que asciende a 1560 soles. Realiza el
pago con billetes de 20 y 100 soles. ¿Cuántos
billetes de 100 soles tiene Mario, si se sabe que
hay seis billetes más de 20 que de 100 soles?
A) 12 B) 8 C) 14 D) 10 E) 13
14. Juan ha comprado en tottus 84 botellas de agua de
dos marcas diferentes a 1,5 y a 2,5 soles. Por su
compra pago 162 soles, ¿cuántas botellas de agua
compro de la más económica?
A) 42 B) 18 C) 24 D) 48 E) 36
15. Juanito a partir de la fecha para ir a su colegio
recibirá diariamente para sus pasajes y la propina
del día una cantidad equivalente al valor de x
{
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 − 𝑧 = 1
2𝑥 − 2𝑦 = 21
¿Cuánto recibió en el mes de abril?
A) 180 B) 150 C) 214 D) 186 E) 136
16. En la panadería la Canasta venden un riquísimo
pan croissant de jamón y queso, cuyo precio es
equivalente al valor de z.
{
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
5𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 15
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
Mario debe comprar 8 pan croissant de jamón y
queso, si para la compra le dieron 50 soles,
¿cuánto recibirá de vuelto?
A) 12 B) 9 C) 4 D) 18 E) 15

MATEMÁTICO I
17. Un vendedor de conservas de pescado tenía para
vender un cierto número de ellas. Si el primer día
vende 42 conservas quedándole más de la mitad;
al siguiente día le devuelven 5 y vende 16 por lo
que le quedan menos de 35 conservas. ¿De
cuántas conservas disponía el vendedor si era un
número par?
A) 82 B) 96 C) 88 D) 108 E) 58
18. En el año 2022 Walter cumplirá tantos años como
el producto de los valores enteros que satisfacen
la siguiente inecuación:
3𝑥 − 22 < 13 − 2𝑥 < 𝑥 + 1
Hallar el año en que nació de Walter
A) 1987 B)1982 C)196 D) 1994 E) 2001
19. En el inicial Pequeños Traviesos se ha
tomado las medidas necesarias para el
retorno a clases, por lo que han decidido
que en cada salón solo habrá tantos
niños como la cantidad de valores
enteros que satisfacen el siguiente
sistema:
{
3𝑥 − 7
4
≤
5(𝑥 + 6)
3
3
2
+
3
4
𝑥 < 0, 3
̂ −
5(𝑥 − 3)
6
A) 12 B) 16 C) 13 D) 18 E) 21
20. Sergio tiene una distribuidora de gaseosas y el
precio de costo de una botella personal de
energina es equivalente al mayor valor entero que
satisface el siguiente sistema:
ቊ
5 −
𝑥−7
2
≥
2
3
+ 7𝑥 − 2
(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) < 𝑥(𝑥 + 7) − 2
Si tiene que comprar 50 docenas ¿A cuánto
asciende la inversión?
A) 824 B) 960 C) 898 D) 1080 E) 786

MATEMÁTICO
1. Definición
Se denomina ecuación exponencial a la igualdad
donde la incógnita aparece, únicamente en los
exponentes de potencias de bases constantes.
La incógnita puede aparecer en cualquiera de los
miembros o en los dos miembros de la ecuación en
uno o en más términos.
Ejemplos:
3𝑥+2
+ 3𝑥+1
= 36
2𝑥+3
=7
2. Resolución de una ecuación exponencial
Resolver una ecuación exponencial, implica
determinar el conjunto solución (C.S), que será un
número real y que al ser sustituido en la ecuación
cumplirá la igualdad para ello se utilizarán las
propiedades de potenciación y logaritmos.
3. Propiedades de potenciación
1. 𝑎0
= 0 (2,5)0
= 1
2. 𝑎1
= 𝑎 (348)1
= 348
3. 1𝑛
= 1 1345
= 1
4. (𝑎)𝑛
(𝑏)𝑛
= (𝑎𝑏)𝑛
(5)3
(7)3
= (5 × 7)3
5. (𝑎)𝑛
÷ (𝑏)𝑛
= (
𝑎
𝑏
)
𝑛
,
∀ 𝑏𝑛
≠ 0
(8)4
÷ (3)4
= (
8
3
)
4
6. (𝑎)− 𝑛
= (
1
𝑎
)
𝑛
(7)−2
= (
1
7
)
2
7. 𝑎𝑚
× 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚+𝑛
35 × 3−9 = 35+(−9)
= 3−4
8. 𝑎𝑚
÷ 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
∀ 𝑎𝑛
≠ 0
57
÷ 54
= 57−4
= 53
9. (𝑎𝑚)𝑛
= 𝑎𝑚 × 𝑛
(113)5
= 113 ×5
10. √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 √25
3
= 2
5
3
11. 𝑎𝑥
= 𝑎𝑦
→ 𝑥 = 𝑦 3𝑥−5
= 32𝑥+15
→
𝑥 − 5 = 2𝑥 + 15
4. Propiedades de logaritmos
Tomamos en cuenta las siguientes:
1. Definición log𝑏 𝑎 = 𝑐 → 𝑎 = 𝑏𝑐
2. Logaritmo
de uno
log𝑎 𝑎 = 1
3. Logaritmo de
un producto
log𝑏(𝑎 × 𝑐) = log𝑏 𝑎 + log𝑏 𝑐
4. Logaritmo
de un cociente
log𝑏 (
𝑎
𝑐
) = log𝑏 𝑎 − log𝑏 𝑐
5. Logaritmo de
una potencia
log𝑏(𝑎)𝑛
= 𝑛 log𝑏 𝑎
6. Logaritmo
de una raíz
log𝑏 √𝑎
𝑛
=
1
𝑛
log𝑏 𝑎
ECUACIONES EXPONENCIALES

MATEMÁTICO
PRACTIQUEMOS
1. Hallar el conjunto solución de la siguiente
ecuación:
2𝑥
. 8𝑥
=
1
64
A) -4 B) −
3
2
C) 2 D)
2
3
E)
5
2
2. Determinar el conjunto solución de:
1
3
2𝑥+5
= 243
A) -3 B) 10 C) 2 D) -5 E) 3
3. Resolver:
643𝑥−2
= 16𝑥+4
A) 2 B) 1 C) -3 D) -5 E) 4
4. Resolver:
63𝑥+4
= 362𝑥−9
A) 36 B) 18 C) 40 D) 24 E) 32

MATEMÁTICO
5. Resolver:
5𝑥+1
+ 5𝑥−2
+ 5𝑥−1
= 131
A)- 2 B) 1 C) -3 D) 2 E) -1
6. Hallar el conjunto solución:
3𝑥+3
+ 3𝑥+4
+ 3𝑥+2
= 39
A) 3 B) -1 C) 0 D) -3 E) 2
7. Determinar el valor de x en:
√6
1
6
2𝑥−4
= √6
216𝑥−7
A)- 2 B) 1 C) -3 D) 2 E) -1
8. Resolver:
√ √33𝑥−1
𝑥−1
3
= √32
3
A) 2 B) 5 C) -1 D) 3 E) 0

MATEMÁTICO
9. Resolver la siguiente ecuación:
24𝑥−2
. 42𝑥−3
= 5122𝑥−2
A)- 2 B) 1 C) -3 D) 2 E) -1
10. Hallar el conjunto solución de:
√6𝑥. √36𝑥+1
3
= √216𝑥+2
4
A) 2 B) 0 C) -1 D) 3 E) 1
11. Hallar el conjunto solución:
73𝑥+1
− 14 = 0
A)
1
2
log3 2 B)
1
3
log7 2 C)
1
7
log5 3
D)
1
3
log7 3 E)
1
5
log3 7
12. Resolver:
10𝑥+1
= 60
A)log5 B) log8 C) log3
D) log6 E) log9

MATEMÁTICO
13. Resolver:
9𝑥
+ 20 = 3𝑥+2
A) {log3 5; log3 4}
B)
{log5 3; log5 4}
C) {log2 6; log2 5}
D) {log3 2; log3 5} E) {log5 4; log5 2}
14. Resolver:
16√𝑥
+ 12 = 7. 4√𝑥
A){1; log 5} B) {2; (log2 3)2} C) {3; (log3 2)2}
D) {2; (log5 4)2} E) {1; (log4 3)2}
15. Hallar el conjunto solución en:
1
9𝑥 + √29
+
1
9𝑥 − √29
=
1
14
A) log3 2 5 B) log7 21 C) log5 31
D) log9 29 E) log6 27
16. Resolver:
2
3𝑥 − 1
+
5
3𝑥 + 1
=
3
4
A) {2; 5} B) {1; 3} C) {-1; 2}
D) {-2; 3} E) {3; 5}

MATEMÁTICO
17.Tatiana debe cumplir un reto, le indican que debe
hallar el valor de “A” si el valor que toma x es
-3
(A
2x+1
4 )
1
2−x
= 5−1
A) 784 B) 144 C) 256 D) 625 E) 441
18. María le pregunta a Juan su edad y le responde que
su edad es igual al valor que toma “n” en la
siguiente ecuación:
7𝑛2
+ 7𝑛2+1
+ 7𝑛2+2
+ 7𝑛2+3
= 400(7576
)
Dentro de cuántos años cumplirá 38 años Juan.
A) 12 B) 14 C) 9 D) 18 E) 21
19.Raúl ha contratado un tour a Europa todo incluido
y su hijo le pregunta ¿Cuántos días durara el
tour?
Raúl le contesta que serán tantos días como el
valor que toma x en la siguiente ecuación:
356(𝑥−1)(𝑥−1)
= 243555
A) 28 B) 32 C) 34 D) 26 E) 16
20.Se invierten 5 000 dólares con una tasa anual de
6,5% de interés con capitalización continua. ¿En
cuánto tiempo su capital se incrementará en 8 000
dólares?
Sabemos que: 𝐶𝑓 = 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡
A) 8,7 B) 12 C) 14,7 D) 9,6 E) 16,4

MATEMÁTICO I
CLAVE DE RESPUESTAS
INTERVALOS
1 2 3 4 5
E A
6 7 8 9 10
B E
11 12 13 14 15
C C D 14.1 A
14.2 B
15.1 E
15.2 C
16 17 18 19 20
16.1 A
16.2 E
A D B B
VALOR ABSOLUTO
1 2 3 4 5
B A
6 7 8 9 10
C D C C A
11 12 13 14 15
D C D E A
16 17 18 19 20
A C A E D
RAZONES Y PROPORCIONES
1 2 3 4 5
A B C D E
6 7 8 9 10
A B C D E
11 12 13 14 15
A B C D E
16 17 18 19 20
A B C D E
MAGNITUDES PROPORCIONALES
1 2 3 4 5
A D C D B
6 7 8 9 10
A C A A B
11 12 13 14 15
B B C C C
16 17 18 19 20
C A A A C
NÚMEROS REALES
1 2 3 4 5
A
6 7 8 9 10
D C D B A
11 12 13 14 15
C A B B D
16 17 18 19 20
A E A
PRECATÓLICA 2023-I

MATEMÁTICO I
SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES
LINEALES
1 2 3 4 5
B D C A
6 7 8 9 10
A D B C A
11 12 13 14 15
E A A D B
16 17 18 19 20
D C A C E
ECUACIONES EXPONENCIALES
1 2 3 4 5
B D A C D
6 7 8 9 10
B D C D A
11 12 13 14 15
B D A E D
16 17 18 19 20
C D B D C
PRECATÓLICA 2023-I

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