Este documento presenta la comprobación de la solución de la ecuación diferencial de vibración para un oscilador armónico simple utilizando la fórmula de recurrencia para los polinomios de Hermite. En la primera parte, se obtiene la solución asintótica transformando la ecuación diferencial original y comparándola con la ecuación asintótica resultante. Luego, se utiliza la fórmula de recurrencia para verificar que la solución completa satisface la ecuación diferencial original. En la segunda parte, se demuestra la f

1. [1]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
Abstract.- Obtención de solución asintótica del oscilador armónico simple y comprobación de la solución completa
mediante fórmula de recurrencia para polinomios de Hermite.
PRIMERA PARTE
Esta es segunda parte del artículo titulado: Comprobación Hermite
OBTENCIÓN DE PARTE ASINTÓTICA DE SOLUCION ECUACIÓN DE VIBRACIÓN
[−
ℎ2
2𝜇
𝜕2
𝜕𝑥2 +
1
2
𝑘𝑥2] 𝜓 = 𝐸𝛹(1) donde
𝐸 =
1
2
𝜆ℎ𝜔
𝑘 = 𝜇𝜔2
𝜉 = 𝑥√
𝜇𝜔
ℎ
Donde µ es la masa reducida del enlace diatómico y ω es la frecuencia de vibración
Sea 𝜓~𝑒 𝐴( 𝜉)
∴ 𝜓´~𝐴´( 𝜉) 𝑒 𝐴( 𝜉)
(2)
La segunda derivación de esta derivación se omite el término 𝐴´´( 𝜉) 𝑒 𝐴( 𝜉)
Ya que: 𝜓´´ = 𝐴´´( 𝜉) 𝑒 𝐴( 𝜉)
+ (𝐴´( 𝜉))
2
𝑒 𝐴( 𝜉)
∴ 𝜓´´~(𝐴´( 𝜉))
2
𝑒 𝐴( 𝜉)
(3)
𝑑2 𝜓
𝑑𝜉2 + (−𝜉2
+ 2𝑛 + 1) 𝜓 = 0(4)
La ecuación diferencial (4) es la ecuación (1) transformadas mediante las indicaciones
mencionadas, la solución asintótica se realiza para valores de ξ muy grandes por lo que 2n+1
resulta insignificante quedando la ecuación diferencial asintótica:
𝑑2 𝜓
𝑑𝜉2 + (−𝜉2) 𝜓~0o sea 𝜓´´~𝜉2
𝜓(5)
Cristo y comparando (3) con (5) observamos que: (𝐴´( 𝜉))
2
= 𝜉2
∴ 𝐴´( 𝜉) = ± 𝜉(6)
De (6) 𝐴( 𝜉) = ±∫ 𝜉 𝑑𝜉 = ±
𝜉2
2
(7) entonces 𝝍~𝒆±𝝃 𝟐/𝟐
(8)
La solución (8) es la solución asintótica buscada de manera aproximada. Es como una parte
asociada a la solución Hermitiana.
La solución completa es: 𝜓 = 𝛿𝑒±𝜉2/2
𝐻( 𝜉)(9), donde 𝛿 =
1
√2 𝑛 𝑛!
(
µ𝜔
𝜋ℎ
)
1/4
Diferenciando (9) y llamando 𝜆 = 2𝑛 + 1en ecuación (4), tenemos:
𝜓´( 𝜉) = 𝛿𝐻´( 𝜉) 𝑒−𝜉2/2
− 𝛿𝜉𝐻( 𝜉) 𝑒−𝜉2/2

2. [2]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
𝜓´ 𝑛( 𝜉) = 𝛿𝐻´ 𝑛( 𝜉) 𝑒−𝜉2/2
− 𝜉𝜓𝑛( 𝜉)(10)
∴
𝜓´´ 𝑛( 𝜉) =
= −𝜓𝑛( 𝜉) + 𝜉2
𝜓𝑛( 𝜉) − 𝜉𝛿𝑒−
𝜉2
2 𝐻´ 𝑛( 𝜉) − 𝜉𝛿𝑒−
𝜉2
2 𝐻´ 𝑛( 𝜉) + 𝛿𝑒−𝜉2/2
𝐻´´ 𝑛( 𝜉)
Entonces:
𝜓´´ 𝑛( 𝜉) = (−1 + 𝜉2) 𝜓 𝑛( 𝜉) − 2𝜉𝛿𝑒−
𝜉2
2 𝐻´ 𝑛( 𝜉) + 𝛿𝑒−𝜉2/2
𝐻´´ 𝑛( 𝜉)(11)
Relación de recurrencia de polinomios de Hermite:
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) − 2𝜉𝐻´ 𝑛( 𝜉) + 2𝑛𝐻 𝑛 = 0(12)
De diferenciación (11)
𝜓´´ 𝑛( 𝜉) = (−1 + 𝜉2) 𝜓 𝑛( 𝜉) + (−2𝜉𝐻´ 𝑛( 𝜉) + 𝐻´´ 𝑛( 𝜉)) 𝛿𝑒−𝜉2/2
(13)
Insertando recurrencia (12) en diferenciación (13)
𝜓´´ 𝑛 ( 𝜉) = (−1 + 𝜉2) 𝜓 𝑛( 𝜉) + (−2𝑛𝐻 𝑛) 𝛿𝑒−𝜉2/2
𝜓´´ 𝑛( 𝜉) = (−1 + 𝜉2) 𝜓 𝑛( 𝜉) − 2𝑛𝜓𝑛 = (−1 + 𝜉2
− 2𝑛) 𝜓𝑛(14)
Ahora Cristo se introduce resultado (14) en ecuación (4)
𝑑2 𝜓
𝑑𝜉2 + (−𝜉2
+ 2𝑛 + 1) 𝜓 = 0(4)
(−1 + 𝜉2
− 2𝑛) 𝜓 𝑛 + (−𝜉2
+ 2𝑛 + 1) 𝜓𝑛 = 0
Cristo este es un resultado esperado para comprobación de ecuación de oscilador
armónico simple utilizando relación de recurrencia de Hermite.
SEGUNDA PARTE
Objetivo.- Demostración de la recurrencia (12) de polinomios de Hermite, utilizando para dicha demostración
la fórmula de Rodrigues, o sea, la fórmula condensada de los polinomios de Hermite

3. [3]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) − 2𝜉𝐻´ 𝑛( 𝜉) + 2𝑛𝐻 𝑛 = 0(1) Fórmula de recurrencia
𝐻 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
(2) Fórmula de Rodrigues
Como 𝐻´ 𝑛( 𝜉) =
𝑑
𝑑𝜉
{(−1) 𝑛
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
} =
= (−1) 𝑛
{2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
}(3)
Cristo como
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
=
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(−2𝜉𝑒−𝜉2
) = −2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝜉𝑒−𝜉2
)(4)
Cristo ahora introduzco (4) en (3);
𝐻´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
{2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
− 2𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝜉𝑒−𝜉2
)}(5)
Cristo de (5) diferenciando nuevamente respecto de ξ
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
{2𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 4𝜉2
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
−
4𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝜉𝑒−𝜉2
) − 2𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
(𝜉𝑒−𝜉2
)}(6)
Cristo de la fórmula de n-diferenciaciones sucesivas de un producto de funciones tenemos:
( 𝑓𝑔) 𝑛+1
= ∑ (
𝑛 + 1
𝑘
)𝑓 𝑛+1−𝑘
𝑔 𝑘
𝑛+1
𝑘=0
Entonces:
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
(𝜉𝑒−𝜉2
) = 𝜉
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
(𝑒−𝜉2
)+ ( 𝑛 + 1)
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝑒−𝜉2
)(7)
Esto fue para 𝑓 = 𝑒−𝜉2
; 𝑔 = 𝜉; 𝑔´ = 1
Cristo introduzco (7) en (6), y simplificando tenemos:

4. [4]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛 {2𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 4𝜉2
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
− 4𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝜉𝑒−𝜉2
)
− 2𝑒 𝜉2
[ 𝜉
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
(𝑒−𝜉2
) + ( 𝑛 + 1)
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝑒−𝜉2
)]}
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛 {2𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 4𝜉2
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
− 4𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝜉𝑒−𝜉2
) − 2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
(𝑒−𝜉2
)
− 2( 𝑛 + 1) 𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝑒−𝜉2
)}
Entonces:
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛 {4𝜉2
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
− 4𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝜉𝑒−𝜉2
)
− 2𝑛𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝑒−𝜉2
)}
(8)
Cristo de resultado (3) multiplico 𝐻´ 𝑛( 𝜉)por 2𝜉;
2𝜉𝐻´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
{4𝜉2
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
}(9)
Cristo a la ecuación (2) multiplico por 2𝑛;
2𝑛𝐻 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
2𝑛𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
(10)
Cristo ahora sumo resultado (8) con (10)
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) + 2𝑛𝐻 𝑛( 𝜉) =

5. [5]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
𝐻´´ 𝑛( 𝜉) + 2𝑛𝐻 𝑛( 𝜉) = 2𝜉(−1) 𝑛 {2𝜉𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
− 2𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
(𝜉𝑒−𝜉2
)}
(11)
Cristo comparando la parte en rojo con resultado (5) de la primer diferenciación de 𝐻 𝑛( 𝜉)vemos
que es la misma.
∴ 𝐻´´ 𝑛( 𝜉) + 2𝑛𝐻 𝑛( 𝜉) = 2𝜉𝐻´ 𝑛( 𝜉)
Cristo este es un resultado esperado y es la fórmula de recurrencia (1) comprobada.
TERCERA PARTE
JUSTIFICACIÓN DE APLICACIÓN DE FÓRMULA DE LEIBNITZ PARA EL CASO UTILIZADA
Objetivo.- Visualización y justificación del caso particular en la utilización de fórmula de Leibnitz
aplicada al caso actual de comprobaciones
Primera diferenciación:
𝑑
𝑑𝜉
(𝜉𝑒−𝜉2
) = 𝑒−𝜉2
+ 𝜉
𝑑
𝑑𝜉
(𝑒−𝜉2
)
Segunda diferenciación:
𝑑2
𝑑𝜉2
(𝑒−𝜉2
𝜉) =
𝑑
𝑑𝜉
𝑒−𝜉2
+
𝑑
𝑑𝜉
𝑒−𝜉2
+ 𝜉
𝑑2
𝑑𝜉2
(𝑒−𝜉2
)
= 2
𝑑
𝑑𝜉
𝑒−𝜉2
+ 𝜉
𝑑2
𝑑𝜉2
(𝑒−𝜉2
)
Tercera diferenciación:

6. [6]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
𝑑3
𝑑𝜉3
( 𝑒−𝜉2
𝜉) = 3
𝑑
𝑑𝜉
𝑒−𝜉2
+ 𝜉
𝑑3
𝑑𝜉3
( 𝑒−𝜉2
)
…
( 𝑛 + 1)diferenciación:
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝑒−𝜉2
𝜉) = ( 𝑛 + 1)
𝑑
𝑑𝜉
𝑒−𝜉2
+ 𝜉
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝑒−𝜉2
)
Reflexiones
Cristo observo que:
1ro la derivación del primer término siempre es de primer orden
2o las derivaciones mostradas en el segundo término siempre son del mismo orden de derivación
del lado izquierdo de la ecuación correspondiente.
3o que el coeficiente del primer término es el de la derivación correspondiente al orden de
derivación del lado izquierdo.
4o que al derivar sucesivamente el segundo término proporcionará siempre un término adicional al
primer término elevado a la siguiente derivación, es decir al derivar el primer factor (ξ) del segundo
término.
5º que el coeficiente del segundo término siempre es la unidad.
Cristo todo esto concuerda con la aplicación de la fórmula de derivaciones sucesivas de
Leibnitz, aun cuando una de las funciones implicadas solo soporte la primera derivación.
CUARTA PARTE
Comprobación de la función de Onda del Oscilador
By Héctor L. Cervantes C.
Abstract.- Este artículo utiliza la fórmula condensada para los polinomios de Hermite, los cuales forman parte
de la función de onda de vibración armónica simple, sin utilizar ninguna fórmula de recurrencia.
ECUACIóN DE SCHRöDINGER PARA VIBRACIóN ARMÓNICA SIMPLE
[−
ℎ2
2𝜇
𝜕2
𝜕𝑥2 +
1
2
𝑘𝑥2] 𝜓 = 𝐸𝛹(1)

7. [7]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
Cristo haciendo los tres cambios de variables siguientes:
Cristo introduciendo los cambios de variables (2) en (1) resulta que:
𝑑𝜓
𝑑𝑥
=
𝑑𝜓
𝑑𝜉
∙
𝑑𝜉
𝑑𝑥
∴
𝑑2
𝜓
𝑑𝑥2
=
𝑑2
𝜓
𝑑𝜉2
∙ (
𝑑𝜉
𝑑𝑥
)
2
Así entonces:
𝑑2
𝜓
𝑑𝑥2
=
𝜇𝜔
ℎ
𝑑2
𝜓
𝑑𝜉2
(3)
Remplazando ecuación (3) y ecuaciones (2) en (1)
ℎ2
2𝜇
𝜇𝜔
ℎ
𝑑2
𝜓
𝑑𝜉2
−
1
2
𝜇𝜔2 (
ℎ
𝜇𝜔
) 𝜉2
𝜓 = − ( 𝑛 +
1
2
) ℎ𝜔𝜓
ℎ𝜔
2
𝑑2
𝜓
𝑑𝜉2 −
1
2
ℎ𝜔𝜉2
𝜓 + (2𝑛 + 1)
ℎ𝜔
2
𝜓 = 0
Finalmente la ecuación anterior resulta:
𝑑2 𝜓
𝑑𝜉2 + (−𝜉2
+ 2𝑛 + 1) 𝜓 = 0
Cristo la ecuación anterior es la ecuación diferencial para vibración armónica con ejes contraídos
La solución a la ecuación (4) es: 𝜓 𝑛( 𝜉) = 𝐶 𝑛 𝑒−𝜉2/2
𝐻 𝑛( 𝜉)(5)
FORMA CONDENSADA DE POLINOMIO ENéSIMO DE HERMITE
𝐻 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
(4)

8. [8]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
Insertando la forma condensada en (5)
𝜓 𝑛( 𝜉) = 𝐶 𝑛 𝑒−𝜉2/2
∙ (−1) 𝑛
𝑒 𝜉2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
Simplificando resulta:
𝜓 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛 𝑒−𝜉2
(6)
La solución (6) es la que se utiliza directamente para probar la ecuación (4).
COMPROBACIóN DE ECUACIóN DIFERENCIAL OSCILACIÓN ARMONICA
𝜓´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 { 𝜉𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
} =
= (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 { 𝜉𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛 𝑒−𝜉2
− 2𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
)}(7)
Cristo ahora diferenciando nuevamente (7) obtengo la segunda derivada de la función de onda
vibracional.
𝜓´´ 𝑛 ( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 { 𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 𝜉2
𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 𝜉𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
𝑒−𝜉2
− 2𝜉𝑒
𝜉2
2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
)
− 2𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝜉𝑒−𝜉2
)} =
= (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 { 𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 𝜉2
𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
− 2𝜉𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
) − 2𝜉𝑒
𝜉2
2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
)
− 2𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝜉𝑒−𝜉2
)} =

9. [9]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
𝜓´´ 𝑛 ( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 { 𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ 𝜉2
𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
− 4𝜉𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
) − 2𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝜉𝑒−𝜉2
)}
(8)
Cristo ahora como:
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝜉𝑒−𝜉2
) = 𝜉
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝑒−𝜉2
) + ( 𝑛 + 1)
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝑒−𝜉2
) =
𝑑 𝑛+1
𝑑𝜉 𝑛+1
( 𝜉𝑒−𝜉2
) = −2𝜉
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
) + ( 𝑛 + 1)
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝑒−𝜉2
)(9)
Insertando (9) en (8)
𝜓´´ 𝑛( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 { 𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛 𝑒−𝜉2
+ 𝜉2
𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛 𝑒−𝜉2
−
4𝜉𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
) − 2𝑒 𝜉2/2 [−2𝜉
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝜉𝑒−𝜉2
) + ( 𝑛 +
1)
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
( 𝑒−𝜉2
)]}
Quedando finalmente:
𝜓´´ 𝑛( 𝜉) = (−2𝑛 − 1 + 𝜉2)(−1) 𝑛
𝐶 𝑛 𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛 𝑒−𝜉2
(10)
𝑑2
𝜓
𝑑𝜉2
+ (−𝜉2
+ 2𝑛 + 1) 𝜓 = 0
(4)

10. [10]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
Cristo introduciendo (10) en ecuación diferencial resultante de oscilación armónica (4); tenemos:
(−2𝑛 − 1 + 𝜉2 )(−1) 𝑛
𝐶 𝑛 𝑒 𝜉2/2
𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛
𝑒−𝜉2
+ (−𝜉2
+ 2𝑛 + 1) 𝜓 𝑛 = 0
Lo que da como resultado que: 𝜓 𝑛 ( 𝜉) = (−1) 𝑛
𝐶 𝑛 𝑒 𝜉2/2 𝑑 𝑛
𝑑𝜉 𝑛 𝑒−𝜉2
(11)
Lo que concuerda con definición de la solución (6) de pg 2
QUINTA PARTE
Objetivo:- La quinta y última parte de este artículo de tratamiento Hermite, se refiere al aspecto de
la obtención de la función generadora de los polinomios de Hermite.

11. [11]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
RESULTADO DE LA SUMA GEOMETRICA
La razón de una suma geométrica es el cociente de dos términos consecutivos, el mayor inmediato
en secuencia entre el menor inmediato en secuencia “n”
(−1) 𝑛+1 𝑡 𝑛+1
( 𝑧−𝜉) 𝑛+2
(−1) 𝑛 𝑡 𝑛
( 𝑧−𝜉) 𝑛+1
=
(−1) 𝑡
𝑧 − 𝜉
= 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 = 𝑟
𝑟 =
−𝑡
𝑧−𝜉
(9)
Una vez que se tiene la razón geométrica se aplica la fórmula de la suma:
(7)

12. [12]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
∑
(−1) 𝑛 𝑡 𝑛
( 𝑧−𝜉) 𝑛+1=𝑎
1−𝑟 𝑛
1−𝑟
(10)
La letra 𝑎significa el primer término de la serie geométrica, es decir para 𝑛 = 0
∴ 𝑎 = 1
𝑧−𝜉
(11)
Introduciendo (9) y (11) en (10)
∑
(−1) 𝑛 𝑡 𝑛
( 𝑧−𝜉) 𝑛+1=
1
𝑧−𝜉
{
1−(
−𝑡
𝑧−𝜉
)
𝑛
1−
−𝑡
𝑧−𝜉
}
Simplificando
∑
(−1) 𝑛 𝑡 𝑛
( 𝑧−𝜉) 𝑛+1= lim
𝑛→∞
1−(
−𝑡
𝑧−𝜉
)
𝑛
𝑧−𝜉+𝑡
(12)
Cristo entonces si
| 𝑟| = |
−𝑡
𝑧− 𝜉
| < 1
Entonces lim
𝑛→∞
1−(
−𝑡
𝑧−𝜉
)
𝑛
𝑧−𝜉+𝑡
=
1
𝑧−𝜉+𝑡
(13)
FUNCION GENERATRIZ PARA POLINOMIOS DE HERMITE
Introduciendo (13) en (8):
𝜓( 𝑡, 𝜉) =
𝑒 𝜉2
2𝜋𝑖
∙ ∮
𝑓( 𝑧)
𝑧 − 𝜉 + 𝑡
𝑑𝑧 =
𝑒 𝜉2
2𝜋𝑖
∙ ∮
𝑓( 𝑧)
𝑧 − ( 𝜉 − 𝑡)
𝑑𝑧
𝜓( 𝑡, 𝜉) =
𝑒 𝜉2
2𝜋𝑖
∙ ∮
𝑓( 𝑧)
𝑧 − ( 𝜉 − 𝑡)
𝑑𝑧
(14)
Utilizando la formula de Cauchy para la integral cerrada:
1
2𝜋𝑖
∮
𝑓( 𝑧)
𝑧 − ( 𝜉 − 𝑡)
𝑑𝑧 = 𝑓( 𝜉 − 𝑡) = 𝑒−( 𝜉 −𝑡)2
(15)
Cristo ahora introduciendo resultado (15) en (14): 𝜓( 𝑡, 𝜉) = 𝑒 𝜉2
∙ 𝑒−( 𝜉−𝑡)2

13. [13]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
Finalmente: 𝜓( 𝑡, 𝜉) = 𝑒2𝜉𝑡−𝑡2
(16)
Esta es la generatriz para polinomios de Hermite
CONSECUENCIAS DE QUE LA RAZÓN DE LA SUMA SEA MENOR A LA UNIDAD Y SOBRE EL
VALOR DE t
Figura1
Cristo la figura 1 muestra que el valor absoluto de “t” debe de ser menor a la unidad para que la
serie (1) sea convergente, además, el valor de “z” debe ser lo suficientemente grande para cubrir
ambos puntos según la razón de la suma (12).
| 𝑟| = |
−𝑡
𝑧− 𝜉
| < 1
(12)
ANALISIS DE LA RAZÓN (12)
De (12);|
−𝑡
𝑧−𝜉
| < 1implica que;
| 𝑡|
| 𝑧−𝜉|
< 1; | 𝑡| < | 𝑧 − 𝜉| ≤ | 𝑧| + | 𝜉|
Entonces: | 𝑧| > | 𝑡| − | 𝜉| ∴multiplicando por menos uno la desigualdad anterior
−| 𝑧| < | 𝝃| − | 𝒕| < | 𝒛|entonces 𝑧 > 𝜉 − 𝑡(17)

14. [14]
Comprobación de ecuación diferencial de vibración utilizando fórmula de recurrencia
Cristo la desigualdad (17) es la buscada para justificar el circulo envolvente de la figura 1, teniendo
en cuenta las siguientes consideraciones simultáneamente:
| 𝑧| > | 𝜉|
| 𝑧| > | 𝑡|
| 𝜉| 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ó 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 | 𝑡|,|ξ|sin 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 | 𝑡|
End