Este documento presenta ecuaciones para describir el flujo isotérmico y adiabático con y sin fricción en función del número de Mach. Explica que para lograr un flujo supersónico se requiere una sección convergente seguida de una divergente, de modo que en la garganta se alcance un número de Mach igual a 1.

1. Ecuación para flujo isotérmico en función de números de Mach –con
fricción-
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝑧 + 𝛿𝑊 𝑀
̅̅̅̅̅ +
𝑓(𝑑𝐿)𝑣2
2𝐷
= 0
Multiplicado por ρ/P
𝑑𝑃
𝑃
+ 𝜌
𝑣𝑑𝑣
𝑃
+
𝜌𝑣2
𝑓(𝑑𝐿)
2𝑃𝐷
= 0 … (𝟒)
Regresando a la definición de Mach
𝑀𝑎 =
𝑣
𝑐
𝑣2
= 𝑀𝑎2
𝑐2
= 𝑀𝑎2
𝛾𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
= 𝑀𝑎2
𝛾
𝑃
𝜌
𝑣2
𝜌
𝑃
= 𝑀𝑎2
𝛾 … (𝟓)
Diferenciando (5)
𝜌𝑣𝑑𝑣
𝑃
= 𝛾𝑀𝑎𝑑𝑀𝑎 … (𝟔)
𝑣 = 𝑀𝑎𝑐
ln 𝑣 = ln 𝑀𝑎 + ln 𝑐
𝑑𝑣
𝑣
=
𝑑𝑀𝑎
𝑀𝑎
+ 0 … (𝟕)
Recordando la ley de gases ideales
𝑃 = 𝜌
𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
ln 𝑃 = ln 𝜌 + ln
𝑅𝑇
(𝑀𝑀)
𝑑𝑃
𝑃
=
𝑑𝜌
𝜌
+ 0
Igualando con ecuación (2) y ecuación (7)
𝑑𝑃
𝑃
= −
𝑑𝑣
𝑣
= −
𝑑𝑀𝑎
𝑀𝑎
… (𝟖)
Sustituyendo (5), (6) y (8) en (4):
−
𝑑𝑀𝑎
𝑀𝑎
+ 𝛾𝑀𝑎𝑑𝑀𝑎 + 𝑀𝑎2
𝛾
𝑓𝑑𝐿
2𝐷
= 0

2. 𝑓𝑑𝐿
2𝐷
=
(
1
𝑀𝑎
− 𝛾𝑀𝑎)
𝛾𝑀𝑎2
𝑑𝑀𝑎
𝑓𝑑𝐿
2𝐷
=
(1 − 𝛾𝑀𝑎2)
𝛾𝑀𝑎3
𝑑𝑀𝑎 … (𝟗)
De esta expresión es visible que existe un límite:
1 − 𝛾𝑀𝑎2
𝑀á𝑥 = 0
𝑀𝑎 𝑀á𝑥 = √
1
𝛾
(𝑎 𝑇 = 𝑐𝑡𝑡𝑒)
Integrando (9)
𝑓𝐿
2𝐷
=
1
2𝛾
(
1
𝑀𝑎2
1
−
1
𝑀𝑎2
2
) + ln
𝑀𝑎1
𝑀𝑎2
Si 𝑀𝑎2 =
1
√ 𝛾
𝑓𝐿 𝑀á𝑥
2𝐷
=
1
2𝛾
(
1
𝑀𝑎2
1
− 𝛾) + ln(𝑀𝑎1√ 𝛾)
Integrando (8)
ln
𝑃2
𝑃1
= − ln
𝑀𝑎2
𝑀𝑎1
𝑃2
𝑃1
=
𝑀𝑎2
𝑀𝑎1
Formulación para flujo adiabático
Una demostración análoga a la anterior e incluyendo como variables la temperatura y la velocidad del
sonido nos conduce a las siguientes expresiones
𝑓𝐿
𝐷
=
1
𝛾
{
1
𝑀𝑎2
1
−
1
𝑀𝑎2
2
−
𝛾 + 1
2
ln [
𝑀𝑎2
2 (1 +
𝛾 − 1
2 𝑀𝑎2
1)
𝑀𝑎2
1 (1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
2)
]}
𝑃2
𝑃1
=
𝑀𝑎1
𝑀𝑎2
√
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
1
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
2
𝑇2
𝑇1
=
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
1
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
2

3. 𝑀𝑎 𝑀á𝑥 = 1
Formulación para flujo adiabático sin fricción (isoentrópico)
𝑇2
𝑇1
=
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
1
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
2
𝑃2
𝑃1
= {
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
1
1 +
𝛾 − 1
2
𝑀𝑎2
2
}
𝛾
𝛾−1
¿Cómo lograr flujo supersónico?
Para un flujo másico constante
𝑚̇ = 𝑣𝐴𝜌
ln 𝑚̇ = ln 𝑣 + ln 𝐴 + ln 𝜌
0 =
𝑑𝑣
𝑣
+
𝑑𝐴
𝐴
+
𝑑𝜌
𝜌
… (𝟏𝟎)
Recordando que para flujo sin fricción
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 ≅ 0 … (𝟏)
y que: 𝑐2
=
𝑑𝑃
𝑑𝜌
𝑐2
𝑑𝜌
𝜌
+ 𝑣𝑑𝑣 = 0
𝑑𝜌
𝜌
= −
𝑣𝑑𝑣
𝑐2
… (𝟏𝟏)
Sustituyendo 11 en 10
0 =
𝑑𝑣
𝑣
+
𝑑𝐴
𝐴
−
𝑣𝑑𝑣
𝑐2
𝑑𝑣
𝑣
(
𝑣2
𝑐2
− 1) =
𝑑𝐴
𝐴
𝑑𝑣
𝑣
(𝑀𝑎2 − 1) =
𝑑𝐴
𝐴

4. En sección convergente (dA < 0) Para Ma < 1, dv > 0
Para Ma > 1, dv < 0
En sección divergente (dA > 0) Para Ma < 1, dv < 0
Para Ma > 1, dv > 0
Por lo tanto para lograr flujo supersónico se requiere de una combinación de una sección convergente
seguida de una divergente y es necesario que en la garganta se alcance Ma = 1.
Ma < 1 Ma = 1 Ma >1